随着我国水电事业的发展，囿于地形地质条件，长引水式高水头水电站得到广泛应用．该类水电站具有超长的引水隧洞，并常在引水隧洞与压力管道衔接处修建调压室．它兼具高摩阻和易发生首相水锤的特性，因而在小开度下管道末端具有更高的初始压力和水锤升压，两项叠加成为压力极值的控制工况．文献[1]采用延长导叶关闭时间解决小开度压力骤升的问题；文献[2]综合考虑水锤极值和转速上升极值，优化导叶关闭规律；文献[3-6]研究了冲击式机组喷嘴开度与喷针相对行程之间的抛物型关系式，推导了水锤解析公式；文献[7-8]指出超长引水隧洞的调压室水位波动周期长、振幅大，最大水锤受调压室水位波动的影响可能出现在尾波中，调压室参数合理可避免这种极端情况的发生；文献[9]引入动态摩阻，研究了水气两相均质流瞬变现象；文献[10]分析了长距离供水工程中的线路充填现象，推导了考虑供水系统摩阻的直接水锤公式和间接水锤公式，但在电站的输水系统中由于调压室的存在，线路充填现象基本可以忽略．引水隧洞摩阻的存在导致不同开度的机组具有不同的初始压力，并对瞬变过程中的水锤升压产生影响．传统的水锤解析法忽略了管道的摩阻，无法进行考虑引水隧洞摩阻的水锤计算，不能完全揭示长引水式高水头电站的水锤特性．本研究以含冲击式机组的长引水式高水头发电系统为研究对象，考虑长引水隧洞摩阻，推导了新的水锤解析法，得到了考虑长引水隧洞摩阻的新水锤系列解析公式、临界开度的计算公式及基于小开度水锤极值的关闭规律限值公式，针对小开度甩负荷工况研究了长引水式高水头电站的水锤特性，表明水锤极值发生在临界开度为τ0a的甩负荷工况，并将新的水锤解析法与基于特征线法的数值模拟结果进行对比，验证了公式的准确性．1 考虑长引水隧洞摩阻过流公式为简化推导，本研究引入两点假设：a．忽略压力管道内的摩阻；b．喷嘴关闭过程中调压室内的水位保持不变．在假设a中，相对于长引水隧洞的摩阻，压力管道内的摩阻很小，且其对于水锤波的影响相对较小，所以可以近似忽略；在假设b中，由于该类型电站调压室的周期远大于喷嘴的关闭时间，因此近似认为喷嘴关闭过程中调压室的水位未发生变化．长引水式高水头电站的输水发电系统布置如图1所示，图中：Hu为上库水位；Q为机组的引用流量；α为引水隧洞摩阻系数；αQ2为运行时引水隧洞的水头损失；L为压力管道；B为调压室；A为喷嘴．10.13245/j.hust.220517.F001图1长引水式高水头电站输水发电系统当考虑引水隧洞摩阻时，喷嘴处的初始压力水头即为上库水位与引水隧洞的水头损失之差，随着开度的减小而增大．根据冲击式水轮机喷嘴的过流特性并计入引水隧洞的水损，可得任意初始开度下喷嘴的初始流量为Q0=τ0κHu-αQ02，(1)式中：τ0为喷嘴的初始相对开度，τ0=A0/Am，其中A0为喷嘴初始时刻的过水面积，Am为喷嘴的最大过水断面面积；κ为喷嘴的过流特性常数，κ=μAm2g=Qm/Hu-αQm2，其中，μ为流量系数，g为重力加速度，Qm为机组最大引用流量；Hu-αQ02为喷嘴端的初始压力，Q0为初始开度下的喷嘴过流量．由式(1)整理可得Q0=τ0κHu/(1+ατ02κ2)．(2)当满开度时，初始开度τ0=1，满开度下初始的喷嘴流量为Qm=κHu/(1+ακ2)．(3)对水锤发生的任意时刻t，喷嘴的流量为Qt=τtκHu/(1+ατ02κ2)+ΔH，(4)式中：Qt为任意时刻t的喷嘴流量；ΔH为水锤升压，ΔH=Ht-H0，其中，Ht为任意时刻t的水锤，H0为在初始开度τ0下的初始水头．将式(4)除以式(3)可得计入引水隧洞摩阻的冲击式水轮机边界条件为ηtA=τt(1+ακ2)/(1+ατ02κ2)+(1+ακ2)ξtA，式中：ηtA=Qt/Qm为t时刻喷嘴A的相对流量；ξtA=ΔH/Hu为t时刻喷嘴A的相对水头增值．2 考虑长引水隧洞摩阻水锤解析法2.1　新水锤系列解析公式根据文献[11-12]中水锤的连锁方程，并联立边界条件和初始条件，可推导出喷嘴A第一相末和任意相末的水锤方程为τ11+(1+ατ02κ2)ξ1A=τ0-ξ1A2ρ'1+ατ02κ21+ακ2；(5)τn1+(1+ατ02κ2)ξnA=τ0-ξnA/(2ρ')⋅1+ατ02κ21+ακ2-∑i=1n-1ξiAρ'1+ατ02κ21+ακ2, (6)式中：τ1和τn分别为第一相末和第n相末喷嘴的相对开度，其中n为相数；ρ'为修改后的水锤计算常数，ρ'=cVm/(2gHu)，其中，c为水锤波速，Vm为压力管道的最大流速；ξ1A，ξiA和ξnA分别为第一相末、第i相末和第n相末喷嘴A的相对水头增值，其中i=1~n-1，当首相末ξ1A出现最大值且发生间接水锤时，则ξ1A同时也是发生首相水锤的相对水头增值．对式(5)和(6)的左端进行泰勒级数展开并整理可得首相水锤及极限水锤解析公式为ξ1A=2σ' (ρ'τ0-σ')(1+ατ02κ2)+1+ατ02κ21+ακ2-1；(7)ξmA=2σ'  21+ατ02κ21+ακ2-(1+ατ02κ2)σ'-1，(8)式中：ξmA为发生极限水锤的相对水头增值；σ'为修改后的水锤计算常数，σ'=LVm/(gHuTs)，其中Ts为喷嘴一段直线关闭规律的总时间；-ρ'Δτ=σ'，Δτ=-tr/Ts=-2L/(cTs)，其中，Δτ为一相的喷嘴相对开度变化值，tr=2L/c为一相的时间．若喷嘴相对开度在首相已关至0，则发生的是直接水锤，将τ1=0代入式(5)得到直接水锤解析公式为ξdA=2ρ'τ0/(1+ατ02κ2)/(1+ακ2)，(9)式中ξdA为发生直接水锤的相对水头增值．由式(7)~(9)得到各类型水锤对应的喷嘴最大水头为Hmaxd=Hu[2ρ'τ0/(1+ατ02κ2)/(1+ακ2)+(1+ατ02κ2)-1]; (10)Hmax1=Hu{2σ'/[(ρ'τ0-σ')(1+ατ02κ2)+(1+ατ02κ2)/(1+ακ2)]+(1+ατ02κ2)-1}; (11)Hmaxm=Hu{2σ'/[2(1+ατ02κ2)/(1+ακ2)-(1+ατ02κ2)σ']+(1+ατ02κ2)-1}, (12)式中Hmaxd，Hmax1和Hmaxm分别为发生直接水锤、首相水锤和极限水锤的喷嘴最大水头．2.2　水锤临界开度的推导水锤类型与喷嘴开度密切相关，2.1节虽已推导出发生不同类型水锤时的水锤解析公式，但若不能明确不同的喷嘴开度下发生的水锤类型，则无法确定选用的解析公式，故应先对水锤的类型予以判别．当式(7)等于式(9)时，化简得(ρ'τ0-σ')ρ'τ0(1+ατ02κ2)+1+ατ02κ21+ακ2=0，即τ0a=σ'/ρ'=2L/(cTs)，(13)式中：τ0a即为在初始开度τ0a关闭时发生直接水锤与首相水锤的临界开度；2L/(cTs)为一相的时间与总关闭时间的比值，也对应了发生直接水锤时机组的最大初始开度．首相水锤与极限水锤的区别在于发生的最大水锤是否出现在第一相，取ξ1A与ξmA相等时的开度作为临界开度，即当式(7)等于式(8)时，化简得αρ'2κ2τ04+ρ'2τ02-1/(1+ακ2)=0，即τ0b=1/ρ'   (α=0);   τ0b=-1+1+4ακ2ρ'2(1+ακ2)(2ακ2)-1(α0), (14)式中τ0b即为在初始开度τ0b关闭时发生首相水锤与极限水锤的临界开度．具体求解方法为：由式(13)和(14)先求出两个临界开度τ0a和τ0b，判断所求初始开度τ0所处区间；若0τ0τ0a，则发生直接水锤，采用式(10)求解喷嘴最大水头；若τ0aτ0τ0b，则发生首相水锤，采用式(11)求解喷嘴最大水头；若τ0τ0b，则发生极限水锤，采用式(12)求解喷嘴最大水头；若处于临界开度τ0a，则采用式(10)或(11)求解；若处于临界开度τ0b，则采用式(11)或(12)求解．此外，当α=0时，即忽略引水隧洞摩阻，式(7)~(14)及水锤常数ρ'和σ'均与传统水锤解析公式相一致，验证了推导公式的准确性．2.3　初始开度对水锤的影响水电站可能在各种不同的负荷下运行，在不同的初始开度下事故丢弃负荷均有可能发生，其最大水锤随初始开度的变化过程如图2所示，图中Hmax为不同初始开度发生的最大水锤．10.13245/j.hust.220517.F002图2不同初始开度的最大水锤由式(10)~(12)及图2可知：当考虑长引水隧洞摩阻时，直接水锤Hmaxd随τ0的增大而升高，首相水锤Hmax1随τ0的增大而降低，Hmaxd和Hmax1与不考虑长引水隧洞摩阻的变化规律相一致，但极限水锤Hmaxm随τ0的增大持续降低，不同于无引水隧洞摩阻时最大水锤保持恒定的变化规律．直接水锤区的最大水锤压力十分接近，首相水锤区和极限水锤区由于摩阻的存在，考虑长引水隧洞摩阻的最大水锤压力小于不考虑长引水隧洞摩阻的压力，随τ0增大差异在增加．喷嘴处的最大水锤压力为初始压力与水锤升压两者之和，τ0增大，流量和水损随之升高，初始压力下降，二者差异主要源于初始压力的降低．是否考虑引水隧洞摩阻，水锤极值均出现在临界开度τ0a的甩负荷工况．长引水隧洞的高水头水电站具有摩阻大和易发生首相水锤的特性，当满开度时水损最大、初始压力最低，当小开度时易发生首相水锤，开度越小，升压越高，初始压力越大．仅考虑满开度甩负荷工况不足以保障电站的安全运行，必须将小开度甩负荷工况作为最大水锤的控制工况．将式(2)减去式(4)可得在初始开度τ0关闭喷嘴时第一相末的流量变化为Q0-Qt=[2L/(cTs)]κH0-[τ0-2L/(cTs)]κ(Ht-H0), (15)式中t=tr=2L/c．根据茹科夫斯基公式有ΔH=c(V0-V1)/g，式中：V0为初始压力管道的流速；V1为第一相末压力管道的流速．直接水锤的大小决定于一个相长内压力管道末端处的流速变化．对于发生首相水锤的电站，最大水锤压力出现在第一相末，压力管道末端的最大水锤压力未受到反射波的影响，类似于直接水锤．由式(15)可知：一个相长内喷嘴的流量变化为式中右端第一项与第二项的差值，第一项与H0有关，随τ0的减小而增大；第二项当发生首相水锤时τ0≥2L/(cTs)，且Ht大于H0，第二项为非负数．当初始开度大于τ0a时，第一项与第二项的差值随着开度的减小而增大；当初始开度为τ0a时，第二项为零，第一项与第二项的差值达到最大，即一相内的流量变化达到最大；当初始开度小于τ0a时，发生直接水锤，在第一相末喷嘴已经关闭，流量为0，随着开度的减小，一相内的流量变化随之减小．综上所述，从初始压力和水锤升压两方面证明了长引水式高水头电站水锤极值出现在临界开度τ0a的甩负荷工况，工程上应考虑小开度甩负荷工况．2.4　基于小开度水锤极值的关闭规律限值公式机组喷嘴关闭规律是控制水电站水锤压力的经济、有效措施．水锤极值出现在临界开度τ0a下事故丢弃负荷的工况，该极值工况的水锤如能满足过渡过程的安全控制标准，其他工况必然满足．针对极值工况的水锤进行关闭规律的优选具有一定的意义．发生极值工况的开度τ0a为小开度，引水隧洞的摩阻系数α远小于1，因而摩阻系数α与τ0a2的乘积可近似为0，将临界开度τ0a和ατ02=0代入式(10)或(11)得到Hmaxd=Hmax1=Hu(2ρ'τ0a1+ακ2+1)．(16)在输水发电系统中，机组最大引用流量、上库最高水位和引水隧洞摩阻等为定值，喷嘴的过流特性常数κ和修改后的水锤计算常数ρ'与上述值有关也为定值，因此临界开度τ0a决定了水锤升压和极值．由τ0a=2L/(cTs)可知：在压力管道的长度一定的情况下，喷嘴的关闭规律直接影响着水锤升压和极值．采用慢关的关闭规律，不仅会降低水锤，而且会减小临界开度τ0a，小开度运行本身是小概率事件，当临界开度τ0a小于空载开度时，理论上甚至不会出现这种运行情况，合理慢关不会增加工程的额外投资，成为既经济又有效的措施．机组可能运行在不同的起始开度，关闭规律也可以考虑在大开度快关小开度慢关的两段关闭规律，最大水锤随初始开度的变化将更为均匀，限于篇幅不过多讨论．当给定水锤升压的控制标准时，可利用式(11)求得极值工况的关闭规律限值．例如，假定喷嘴升压控制标准为最大水头的D倍，则基于小开度水锤极值的关闭规律限值公式为Ts=2L4ρ'2(1+ακ2)-αD2κ2/(cD)．(17)通过式(17)计算得到的关闭规律限值可直接判断小开度的关闭规律是否满足控制标准，为关闭规律的优选及机组的安全运行提供依据．3 算例分析3.1　工程概况采用如图1所示的输水发电系统，选取两个算例进行理论分析和数值计算．引水隧洞、压力管道及机组等参数如表1所示，关闭规律选取Ts=10 s，即喷嘴在一段直线关闭规律下由满开度关闭完成的总时间为10 s．文献[13]提出水锤计算的特征线方法，将有压管道的连续方程和运动方程变换成全微分方程，然后对全微分方程沿着特征线积分得到便于数值计算的有限差分方程，并介绍了上库、下库、阀门和机组等边界条件的处理．本研究应用特征线方法处理各边界条件，采用Fortran语言对图1所示的输水发电系统进行编程，并进行过渡过程数值模拟，计算步长取为0.025 s．10.13245/j.hust.220517.T001表1输水发电系统的基本参数算例Hu/m引水隧洞压力管道Qm/(m3·s-1)洞长/m直径/mc/(m·s-1)α/(s2·m-5)L/m直径/mc/(m·s-1)一20010 0005.51 0000.002 27160051 200100二400由上述参数可确定ρ'，σ'及κ，代入公式可依次求得τ0a与τ0b，相关参数如表2所示．由表2可知：两个算例压力管道的基本参数和关闭规律一致，因而具有相同的τ0a．高水头电站ρ'值小，τ0b随ρ'值的减小而增大，更易发生首相水锤，因而算例二的τ0b更大，且τ0b大于1，喷嘴满开度为1，而开度1.2在实际中并不存在，表明不会发生极限水锤．10.13245/j.hust.220517.T002表2水锤计算的基本参数算例ρ'σ'κ/(m2.5∙s-1)τ0aτ0b一1.560.1567.5100.100.59二0.780.0785.1480.101.203.2　新的水锤解析法与数值模拟的比对数值模拟可求解水锤的时域过程．算例一与算例二在不同开度下的水锤时域过程分别如图3和图4所示，理论与数值的最大水锤比对分别见图5和图6．10.13245/j.hust.220517.F003图3算例一不同初始开度的水锤变化过程10.13245/j.hust.220517.F004图4算例二不同初始开度的水锤变化过程10.13245/j.hust.220517.F005图5算例一不同初始开度的最大水锤10.13245/j.hust.220517.F006图6算例二不同初始开度的最大水锤图5和图6中不同τ0下最大水锤的数值结果是由图3和图4中的水锤时域过程统计对应τ0的水锤最大值得到，不同τ0下最大水锤的理论结果由式(10)~(12)计算得到．两个算例在不同τ0下理论计算与数值模拟的最大水锤结果如表3所示．10.13245/j.hust.220517.T003表3不同初始开度最大水锤的理论与数值结果统计算例τ00.0250.0500.0750.1000.2000.4000.5900.6000.8001.000算例一H0199.98199.94199.86199.74198.98195.98191.42184.85177.29数值结果216.43232.92249.37265.78256.09240.35228.20219.68211.55理论结果216.53233.02249.46265.87255.59239.61226.78219.65211.44算例二H0399.99399.94399.86399.76399.04396.18391.52385.16377.29数值结果415.93431.92447.88463.83458.51447.92437.05425.58413.39理论结果416.02432.01447.97463.89458.35447.60436.68425.21413.03注：空白表示无此项．m由图3和图4的水锤时域过程可知：直接水锤为周期性的运动，首相水锤的水锤最大值出现在第一相，发生时刻在1 s，极限水锤随着相数的增加水锤趋于极限值，临界开度的理论值与数值结果相符合，证明临界开度理论公式(13)和(14)可准确判别不同初始开度下发生的水锤类型．结合图5~6和表3可知：两个算例在不同初始开度下理论和数值的最大水锤变化规律相同，数值结果和理论结果基本一致，证明新水锤系列解析公式可满足工程计算的要求．两个算例满开度的初始水头最低，水锤升压最小．而临界开度τ0a的初始水头接近水库水位，水锤升压为极值，验证了水锤极值出现在临界开度τ0a的甩负荷工况．选取算例一进行关闭规律的优化，升压的控制标准取为最大水头的1/5，由式(17)得到关闭规律的限值，相关结果如表4所示．10.13245/j.hust.220517.T004表4不同关闭规律的水锤Ts/sτ0aH0/m理论水锤/m水锤升压值/m水锤升压标准值/m10.00.10199.74265.8766.1340.0016.50.06199.91239.9140.0040.00算例一采用10 s的关闭规律，升压不满足控制标准，当采用限值公式得到的16.5 s一段直线关闭规律时，升压正好满足标准，临界开度τ0a由0.10降至0.06，水锤极值得到改善．本研究将长引水隧洞的摩阻引入传统的水锤解析法，推导了考虑长引水隧洞摩阻的新水锤系列解析公式、临界开度的计算公式及基于小开度水锤极值的关闭规律限值公式．针对工程上小开度甩负荷工况水锤压力大的特点，选取两个算例进行理论与数值的对比验证，得到如下结论．a．考虑长引水隧洞摩阻的新水锤系列解析公式可分析摩阻的影响，并有效求解不同初始开度、不同工作水头的水锤压力，理论与数值模拟计算结果基本一致，验证了公式的精确性，表明其具有一定的实用性．b．临界开度τ0a与τ0b的计算公式可精准判别不同初始开度下甩负荷的水锤类型，划定新水锤系列解析公式各自的适用范围，二者配套使用可分析全开度事故甩负荷的最大水锤压力．c．从初始压力和水锤升压两方面证明水锤极值必然出现在临界开度τ0a的甩负荷工况，小开度甩负荷工况会成为水锤压力的控制工况．d．基于小开度水锤极值的关闭规律限值公式可以给出水锤极值工况的最短关闭规律，指导了关闭规律的选取，确保水锤极值满足控制标准．