在智能制造日益发展的背景下，企业生产模式逐步从单一工厂制造转变为多工厂协同的分布式制造[1]．这一多工厂模式能够减少规模效应，实现资源的合理配置，进而降低成本和提高生产效率．在此背景下，分布式柔性作业车间调度问题(Distributed flexible job shop scheduling problem)被广泛关注和研究，是传统柔性作业车间与分布式车间调度问题的结合，现已被证明为NP-难问题．国内外研究者对分布式车间调度进行了大量研究．文献[2]针对分布式柔性作业车间调度问题，提出了一种改进的差分进化算法(IDESAA)用以同时优化总成本和提前、延期惩罚．文献[3]通过引入变邻域搜索和禁忌搜索算法，提出了一种求解分布式柔性作业车间调度问题的混合蛙跳算法(HSFLA)．文献[4]针对具有异构工厂的分布式流水车间，建立了以最小化最大完工时间和总能耗为目标的调度模型，并提出了一种混合多目标优化算法(HMOIG)．文献[5]研究了分布式置换流水车间调度问题，提出了一种多目标的模因优化算法(KMMOA)以同时优化最大完工时间、负面社会影响和总能耗．文献[6]研究了考虑环境问题的多目标分布式柔性作业车间调度问题，提出了一种混合遗传算法和禁忌搜索算法(H-GA-TS)进行求解，并取得了较好的效果．在上述研究中，机器的加工时间是确定的，但在实际生产中，由于机器故障等不确定因素的影响，工序的加工时间通常是在一定范围内波动，而这些波动很可能造成调度任务的失败从而影响生产效率．考虑到工序加工时间的不确定性，模糊柔性作业车间调度问题(fuzzy flexible job shop scheduling problem)的提出则更加符合实际生产状况，对解决车间实际问题具有重要意义．文献[7]在引入路径重连技术的基础上，提出了一种混合多元宇宙优化算法(HMVO)用于求解模糊柔性作业车间调度问题．文献[8]设计了一种基于NS(non-dominated sorting)的ABC(artificial bee colony)算法(非支配排序人工蜂群算法)求解最大模糊完工时间．文献[9]为了求解模糊柔性作业车间调度问题，针对现有三角模糊数排序准则偶有不准确的情况，设计了一种新的排序准则，并提出了一种混合超启发式遗传算法(HHGA)．文献[10]提出了一种基于分解的多目标进化算法(MOEA_D)，来解决以最大模糊完工时间和总模糊机器负载的双目标模糊柔性作业车间调度问题．上述研究在求解模糊柔性作业车间调度问题时均取得了较好的成果，但只考虑了单车间的情况，忽略了分布式制造这一生产模式．综上所述，目前针对考虑模糊加工时间的分布式柔性作业车间调度问题的研究较少．为此，本研究针对不确定环境下的分布式柔性作业车间调度问题，采用三角模糊数来代表加工时间，提出了模糊分布式柔性作业车间调度问题(fuzzy distributed flexible job shop scheduling problem)，以最小化最大模糊完工时间为优化目标，构建了相应的数学模型．此外，从求解方法上看，近年来新型智能优化算法层出不穷，灰狼优化器 (grey wolf optimizer，GWO)算法[11]作为其中之一，由于其实现简单、参数少、收敛速度和求解精度均衡等特点，不少研究者将其应用于求解各种调度问题[12-13]，但很少用于求解分布式柔性作业车间调度问题和模糊柔性作业车间调度问题．因此，本研究将灰狼优化算法应用于模糊分布式柔性作业车间调度问题，并结合模型特点设计了编码方式、混合初始化策略、种群更新机制及变邻域搜索策略．最后通过不同规模的仿真对比实验，验证了所提出算法的有效性．1 问题描述及数学模型1.1　问题描述本研究中模糊分布式柔性作业车间调度问题可以描述为：n个工件J={J1，J2，…，Jn}被分配到q个位于不同位置的加工厂F={F1，F2，…，Fq}加工，如图1所示．其中每一个加工厂都是一个柔性作业车间，且配备一系列加工机器M={M1，M2，…，Mq}，每个工件Ji须要完成ui道加工工序．Oi,j表示工件i的第j道工序，可以加工Oi,j的机器组成Oi,j的可选机器集Mi,j．每个工序Oi,j在可选机器集Mi,j中选择一台机器进行加工．10.13245/j.hust.220610.F001图1分布式柔性作业车间系统示意图本研究用三角模糊数t˜i,jf,k=(t1，t2，t3)来表征加工时间，其中t1为上界，即最乐观值；t3为下界，即最悲观值；t2为主值，即最大可能值．模糊分布式柔性作业车间调度问题的目标是分配工厂并且安排工件加工顺序以及相应的加工机器，使某个或多个调度指标最优．由此可将模糊分布式柔性作业车间调度问题划分为3个子问题：确定加工厂的任务分配，确定工序的加工顺序，确定工序的机器选择．对于分布式柔性作业车间调度问题的假设如下：a. 每个加工厂都可以完成任一工件的加工；b. 每个工件只能分配到一个加工厂加工；c. 工件在加工过程中不得在加工厂之间转移； d. 工序一旦开始加工则不能停止，直至该工序结束；e. 一道工序同一时刻只在一台机器上加工；f. 一台机器同一时刻仅能加工一个工件．1.2　三角模糊数的运算由于模糊分布式柔性作业车间调度问题的加工时间为三角模糊数，因此须要确定三角模糊数的基本运算规则，包括加法、比较和取大运算．对于两个三角模糊数X˜=(x1，x2，x3)，Y˜=(y1，y2，y3)，三种运算的规则如下．规则1　加法运算X˜+Y˜=(x1+y1，x2+y2，x3+y3)．规则2　比较运算a. 若F(X˜)=(x1+2x2+x3)/4F(Y˜)=(y1+2y2+y3)/4，则X˜Y˜；反之，则X˜Y˜．b. 若F(X˜)=F(Y˜)，则比较x2和y2，若x2y2，则X˜Y˜；反之，则X˜Y˜．c. 若x2=y2，则比较x3-x1和y3-y1，若x3-x1y3-y1，则X˜Y˜；反之，则X˜Y˜．规则3　取大运算若X˜Y˜，则X˜∨Y˜=X˜；反之，则X˜∨Y˜=Y˜．1.3　符号定义为方便描述，定义以下数学符号：n为工件总数；q为加工厂总数；f为加工厂索引，且f=1，2，…，q；mf为加工厂f中的机器数；k，l为机器索引，且k，l=1，2，…，mf；i为工件索引，且i=1，2，…，n；ui为工件i的工序数；j为工序索引；r为加工顺序索引；Oi, j为工件i的第j道工序；Mf,k为加工厂f中的第k台机器；t˜i, jf,k为工序Oi, j在机器Mf,k上的模糊加工时间；E˜f,k,r为机器Mf,k上加工的第r道工序的模糊开始加工时间；Qf,k为机器Mf,k上加工的工序数目；S˜i, j为工序Oi, j的模糊开始加工时间；C˜i, j为工序Oi, j的模糊结束加工时间；C˜i为工件i的模糊完成加工时间；C˜max为最大模糊完工时间；Xi, jf,k为决策变量，若工序Oi, j在机器Mf,k上加工则为1，否则为0；Yif为决策变量，若工件i被分配到加工厂f加工则为1，否则为0；Zi, jf,k,r为决策变量，若工序Oi, j为机器Mf,k上加工的第r道工序则为1，否则为0．1.4　模型建立基于上述假设和符号定义，模糊分布式柔性作业车间调度问题的数学模型建立如下minC˜max=min(maxi=1n{C˜i})，(1)s.t.C˜i=C˜i,ui；(2)C˜i,j=S˜i,j+∑j=1ui∑i=1nt˜i,jf,kXi,jf,kYif ( j∈{1，2，…，ui})；(3)S˜i.j+1≥C˜i,j(i∈{1，2，…，n}，j∈{1，2，…，ui-1})；(4)E˜f,k,r+1≥E˜f,k,r+∑i=1n∑j=1uit˜i,jf,kZi,jf,k,r( f∈{1，2，…，q}，k∈{1，2，…，mf}，r∈{1，2，…，Qf,k -1})；(5)∑j=1ui∑k=1mfXi,jf,k∈{0，ui}；(6)∑f=1q∑k=1mfXi,jf,k=1 ( j∈{1，2，…，ui})；(7)S˜i,j≥0; (8)Xi,jf,k∈{0，1} (Yif∈{0，1}，Zi,jf,k,r∈{0，1})．(9)式(1)为目标函数，表示最大模糊完工时间，是指所有工件模糊完成加工时间的最大值；等式约束(2)为工件的模糊完工时间，是最后一道工序的模糊完工时间；式(3)表示工序的模糊完工时间等于模糊开始加工时间加上模糊加工时间；式(4)为工序顺序约束，表示同一工件的工序必须按照顺序加工；式(5)为机器约束，表示一台机器同一时间只能加工一道工序；式(6)表示一个工件所有工序只能在一个加工厂内加工；式(7)表示一道工序只能在一台机器上加工，式(8)和式(9)表示决策变量的取值范围．2 基于改进灰狼优化算法的模型求解2.1　灰狼优化算法灰狼优化算法[11]是一种模拟灰狼捕食猎物活动的群智能算法．灰狼优化算法将灰狼种群按适应度值划分为4个等级，即个体最优解、优解、次优解分别标记为α，β，δ狼，其他个体标记为ω狼．狩猎过程分为包围、捕猎和攻击三个步骤．步骤1 在狩猎过程中狼群首先包围猎物，该包围过程的数学模型为D=|CXp(t)-X(t)|；(10)X(t+1)=Xp(t)-AD；(11)A=2ar1-a；(12)C=2r2；(13)a=2-t(2/tmax)，(14)式中：t为当前迭代次数；tmax为种群最大迭代次数；A和C为协同系数向量；Xp为猎物的位置向量；X为灰狼的位置向量．向量a随着迭代过程从2到0线性递减，r1和r2为[0，1]中的随机数向量．步骤2 对狼群进行包围后，由α，β，δ狼引导，剩余狼群(ω狼)更新其各自的位置．该过程狼群位置更新的表达式如下：Dα=|C1Xα(t)-X(t)|;Dβ=|C2Xβ(t)-X(t)|;Dδ=|C3Xδ(t)-X(t)|; (15)X1=Xα(t)-A1Dα;X2=Xβ(t)-A2Dβ;X3=Xδ(t)-A3Dδ; (16)X(t+1)=(X1+X2+X3)/3．(17)式(15)和式(16)计算灰狼个体与α，β和δ之间的距离，以及三者分别对个体移动方向的影响，然后通过式(17)来确定个体向猎物下一步的移动方向．步骤3 狼群狩猎过程的最后一个阶段是攻击，该阶段狼群须要完成抓获猎物这一目标，即灰狼优化算法获得最优解的过程．本研究基于以上思路，提出一种改进的灰狼优化算法，解决以最小化最大模糊完工时间为目标的模糊分布式柔性作业车间调度问题．2.2　编码与解码模糊分布式柔性作业车间调度问题涉及到多个工件、多个工序、多个机器的选择，属于典型的离散型问题．为此，本研究设计了一种三维编码方式，包括工序序列Xp、工厂序列Xf和机器序列Xm，该调度问题的一个可行解可表示为X=[Xp | Xf | Xm]．为解释该编码和解码过程，本研究给出了一个包含3个工件和2个工厂的案例，其中各工件的工序集依次表示为{O1,1，O1,2，O1,3}，{O2,1，O2,2，O2,3}，{O3,1，O3,2，O3,3，O3,4}；各工厂的机器集依次表示为{M1,1，M1,2，M1,3}和{M2,1，M2,2，M2,3}．具体编码步骤如下．步骤1 工序排序层编码．工序排序层Xp使用基于工序的整数编码方式，向量中的元素为工件序号，该元素出现的次序表示该工件的工序．如图2中的Xp=[1，2，1，2，3，1，3，2，3，3]，该向量中第一个“1”表示J1的第一道工序O1,1，第二个“1”表示J1的第二道工序O1,2，依此类推．10.13245/j.hust.220610.F002图2编码和解码示意图步骤2 工厂分配层编码．工厂分配层Xf中的元素为工厂序号，须要保证同一工件的所有工序都在同一工厂加工，即Xp中同一工件的不同工序对应的工厂序号相同．如图2中的Xf =[1，1，1，1，2，1，2，1，2，2]，该向量中的“2”分别对应Xp中的“3”，即J3的所有工序在加工厂2进行加工，依此类推．步骤3 机器选择层编码．机器选择层中的元素为Xp中对应工序的加工机器在其可选机器集中的索引(非机器编号)．如图2中的Xm=[1，1，2，2，1，1，2，3，2，2]，该向量中第一个“1”表示其对应的工序O1,1在其可选机器集的第1台机器上加工，第一个“2”表示其对应的工序O1,2在其可选机器集的第2台机器上加工．根据上述步骤得到X=[1，2，1，2，3，1，3，2，3，3 | 1，1，1，1，2，1，2，1，2，2 | 1，1，2，2，1，1，2，3，2，2]．对X进行解码时，Xp和Xf向量为编码的逆过程，Xm向量则须要将编码中的机器索引号对应于该工序可选机器集中的机器编号．如图2所示，Xp中的第二个“3”代表J3的第二道工序O3,2，Xf中与之对应的“2”代表该工序在加工厂2中进行加工，Xm中与之对应的“2”代表该工序在其可选机器集的第二台机器上加工．2.3　种群初始化种群的初始化至关重要，其直接影响算法的收敛速度和解的质量．根据上述编码规则，本研究采用以下混合初始化策略，用于丰富初始种群的多样性．针对工序序列Xp，种群中所有个体都采用随机初始化策略．针对工厂序列Xf，基于如下策略分别生成种群规模的50%：a. 优先选择已分配工件数量少的工厂，若存在多选，则随机选择一个工厂；b. 随机选择一个工厂．针对机器序列Xm，基于如下策略分别生成种群规模的50%：a. 根据模糊数的比较规则，优先选择工序的可选机器集中所需加工时间少的机器，若存在多选，则随机选择一个机器；b. 随机选择一个机器．2.4　种群更新机制群智能优化算法中的一个关键问题是协调全局探索能力与局部开发能力．全局探索能力与优化的稳定性相关，而局部开发能力影响优化算法的收敛速度．由式(11)可知：灰狼优化算法中的参数A对于平衡其全局探索能力与局部开发能力具有重要作用，当|A|1时，狼群从猎物所在位置分散开去，即扩大搜索范围，体现为灰狼优化算法的全局探索能力；当|A|≤1时，狼群集中攻击猎物，即缩小搜索范围，体现为算法的局部开发能力．由式(12)可知：经典灰狼优化算法的参数A由控制参数a决定，a是随着迭代过程的进行由2线性变化到0，文献[14]的研究表明，对参数a进行非线性变换有助于更好的寻优性能，因此，本研究利用非线性控制参数策略对a进行非线性变换，有a=ai-(ai-af)(t/tmax)，(18)式中：ai和af分别为控制参数a的初始值和最终值；t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数．通过非线性控制参数a得到的参数A在算法迭代初期递减速度较慢，利于算法全局寻优，避免陷入局部最优；后期递减速度较快，加快算法局部寻优．此外，由式(17)可知，新灰狼个体的位置是取X1，X2和X3的平均值，X1，X2和X3的适应度值可能不同，其对新个体的影响程度也并不相同，而这种权重的平均分配方法无法体现不同等级狼群的领导作用，因此本研究利用动态权重对灰狼个体位置进行更新，即X(t+1)=λ1X1+λ2X2+λ3X3；(19)λ1=fα(t)/F(t),λ2=fβ(t)/F(t),               λ3=fδ(t)/F(t); (20)F(t)=fα(t)+fβ(t)+fδ(t)，(21)式中：λ1，λ2和λ3分别为α，β和δ的权重系数；fα(t)，fβ(t)和fδ(t)分别为其个体适应度值．在进行上述操作后，还须要将个体位置向量元素的连续值转换为离散值．为此对不同编码层采用不同的转换方法，对工序排序层，采用升序排列 (ranked order value，ROV)规则；对工厂分配层，先采用升序排列规则转换为离散值，然后比较同一工件在不同工厂的工序数量，将该工件分配至包含工序数量最多的工厂中；对机器选择层，采用文献[15]中的转换方法，根据下式将个体位置向量元素转换为对应工序可选机器集中机器的索引，即u(h)=roundx(h)+ε2ε[z(h)+1]+1(1≤h≤l), (22)式中：z(h)为元素h对应工序的可选机器数；u(h)为所选机器在可选机器集中的索引，即该工序在其可选机器集中的第u(h)个元素对应的机器上加工．2.5　变邻域搜索为了进一步增强算法局部搜索能力，设计了包含多种邻域结构的变邻域搜索(VNS)[16]．若对种群所有个体进行局部搜索，则会增加算法运行时间，降低算法效率．因此，为了减少计算量，仅选择种群中的部分个体(α，β和δ)进行变邻域搜索．本研究主要采用以下四种基于关键工厂和关键路径的邻域搜索结构．a. 邻域结构N1：选择最大完工时间最大的工厂作为关键工厂，随机选择关键工厂里的一个工件分配至当前最大完工时间最小的工厂．b. 邻域结构N2：随机选择任一工厂的两不同工序(其中一个为关键工序)，交换其位置．c. 邻域结构N3：随机选择任一工厂的两不同工序(其中一个为关键工序)，将后一工序插入到前一工序前的位置．d. 邻域结构N4：随机选择任一工厂关键路径上的一个工序，若该工序有多个可选机器，则在其可选机器集中选择加工时间最小的机器．当进行变邻域搜索时，首先确定当前解，然后依次进行上述操作；若采用邻域结构N1产生的新解优于当前解，则接受新解，并替换当前解，然后继续采用邻域结构N1；若无法改变当前解，则转向下一邻域结构搜索，直至达到终止迭代次数qmax．2.6　改进的灰狼优化算法流程将灰狼优化算法与混合初始化策略、种群更新机制和变邻域搜索策略相结合，提出了改进的灰狼优化(IGWO)算法，算法的具体执行步骤如下．步骤1 设置算法参数，确定算法的种群个数和迭代次数，并根据初始化策略生成初始化种群；步骤2 计算种群适应度值，更新迭代参数；若满足终止条件，则转至步骤6；否则，转至步骤3；步骤3 划分种群，找出适应度值最好的α，β和δ；步骤4 根据式(15)、(16)和(19)更新个体位置，其中控制参数a根据式(18)计算；步骤5 执行基于关键工厂和关键路径的变邻域搜索，转至步骤2；步骤6 算法结束并输出最优解．2.7　算法复杂度分析假设工件的总工序数为U，算法的最大迭代次数为Tmax，灰狼的种群规模为N．在迭代过程中主要包括三个部分：第一部分为适应度值计算，其时间复杂度为O(TmaxN)；第二部分为种群更新，其时间复杂度为O(TmaxNU)；第三部分为变邻域搜索，该部分的时间复杂度为O(TmaxqmaxU)．由此可知算法总的时间复杂度为T(n)=Tmax(N+NU+Uqmax)，可以看出影响算法性能的主要参数为种群规模和总工序数．3 实验与分析3.1　测试算例和参数设置由于当前缺少可用于模糊分布式柔性作业车间调度问题的标准算例，因此本研究以模糊柔性作业车间调度的标准测试集[17]为基础，针对前4个算例分别考虑了有2个或者3个工厂的情况，扩展生成了8组适用于模糊分布式柔性作业车间调度问题的测试算例．新生成的测试算例见表1，表中q为该算例中包含的工厂数．10.13245/j.hust.220610.T001表1生成算例参数算例工件数机器数工序数qR1-q54[4，5]{2，3}R2-q888{2，3}R3-q106[6，10]{2，3}R4-q101010{2，3}为验证改进的灰狼优化算法求解模糊分布式柔性作业车间调度问题的有效性和优越性，本研究基于以上测试算例，将改进的灰狼优化算法与未改进的灰狼优化算法[11]、离散粒子群优化(DPSO)算法[18]和遗传算法(GA)[19]进行对比实验．离散粒子群优化算法和遗传算法的种群规模设置为50，灰狼优化算法的种群规模为100，最大迭代次数为200，其余算法参数设置均与相应的文献一致．本文算法的种群规模与灰狼优化算法一致，设置为100，变邻域搜索最大迭代次数qmax=10，最大迭代次数为100，虽然本文算法的种群规模要比离散粒子群优化算法大一些，但总运行次数要小于其他算法．此外，改进的灰狼优化算法采用本文提出的混合初始化策略，其余算法均采用随机初始化策略．3.2　结果分析算法的运行环境为Inter Core i7，CPU 2.9 GHz，RAM 8 GiB，Win10 64 bit操作系统和 Matlab 2016b软件．为避免结果出现偶然性，每个算法均独立运行30次，采用最大模糊完工时间的平均值、最优值和最差值三个指标进行评价(见表2)，加粗部分为根据三角模糊数(triangular fuzzy number，TFN)比较规则得出的各指标的最优结果．先验证改进的灰狼优化算法中混合初始化策略和变邻域搜索对实验结果的影响，针对包含两个工厂的四个测试算例进行分离实验，对比结果见表2，其中：改进的灰狼优化算法采用随机初始化策略的算法为IGWOrd；改进的灰狼优化算法去掉变邻域搜索的算法为IGWOdvn．表2中的数据表明：对于初始化策略而言，随着数据规模越大，混合初始化策略的优势越明显；采用变邻域搜索策略后，平均值、最优值及最差值都有所改善，证明了变邻域搜索求解该问题的有效性．10.13245/j.hust.220610.T002表2分离实验的结果对比算例算法平均值最优值最差值R1-2IGWO(15.2，21.8，29.2)(16，21，30)(15，22，29)IGWOrd(15.2，21.8，29.2)(16，21，30)(15，22，29)IGWOdvn(17.7，25.5，34.5)(17，22，31)(20，27，37)R2-2IGWO(23.3，37.5，51.7)(24，36，47)(26，39，56)IGWOrd(25.7，37.7，53.0)(25，36，49)(26，39，56)IGWOdvn(37.3，59.1，77.5)(34，58，70)(43，65，85)R3-2IGWO(30.2，44.4，60.0)(25，44，60)(31，45，62)IGWOrd(27.7，46.0，60.7)(25，44，62)(28，48，62)IGWOdvn(46.3，75.1，97.2)(44，70，89)(54，80，100)R4-2IGWO(30.4，47.0，66.2)(29，46，65)(30，51，68)IGWOrd(32.7，48.7，65.7)(32，47，63)(39，49，68)IGWOdvn(53.7，78.7，101.3)(51，73，96)(60，85，112)表3给出了四种算法求解各算例的实验结果．根据表3中的数据可以看出：对于所有算例改进的灰狼优化算法求得的最大模糊完工时间的三项指标均取得最优，且改进的灰狼优化算法求得的平均值、最优值和最差值之间的差值比其他算法小，特别是对于算例R1-3，求得的平均值、最优值与最差值相等，证明了所提算法的稳定性和优越性．此外，在工序数相同的情况下，改进的灰狼优化算法求解三车间比双车间算例得到的最大模糊完工时间明显减少．例如算例R4-2和R4-3，最大模糊完工时间的最优值从(29，46，65)降低至(30，43，58)，表明分布式环境下加工厂数量的增加能够进一步合理配置生产资源，从而提高生产效率．10.13245/j.hust.220610.T003表3四种算法的实验结果对比算例算法平均值最优值最差值R1-2IGWO(15.2，21.8，29.2)(16，21，30)(15，22，29)GWO(19.1，27.5，36.2)(17，25，34)(21，29，39)DPSO(18.1，29.8，44.3)(19，28，38)(18，30，45)GA(16.6，24.3，32.9)(16，21，30)(21，27，36)R2-2IGWO(23.3，37.5，51.7)(24，36，47)(26，39，56)GWO(42.3，61.7，82.5)(41，57，79)(42，64，91)DPSO(44.3，65.4，89.7)(41，60，84)(43，70，95)GA(29.9，45.6，62.9)(23，41，61)(37，51，63)R3-2IGWO(30.2，44.4，60.0)(25，44，60)(31，45，62)GWO(55.3，79.0，102.5)(51，73，95)(63，84，110)DPSO(52.7，74.1，98.7)(46，70，97)(53，76，105)GA(39.2，57.3，76.3)(39，51，65)(47，65，85)R4-2IGWO(30.4，47.0，66.2)(29，46，65)(30，51，68)GWO(57.8，79.8，106.2)(50，74，99)(56，82，117)DPSO(57.7，81.0，109.6)(52，77，110)(58，83，118)GA(43.1，63.5，86.9)(37，60，84)(42，66，95)R1-3IGWO(15.0，22.0，29.0)(15，22，29)(15，22，29)GWO(18.2，24.9，32.7)(18，24，31)(19，26，34)DPSO(16.5，25.5，34.1)(15，23，31)(17，26，37)GA(15.4，22.6，30.2)(15，22，29)(17，26，35)R2-3IGWO(21.4，34.6，47.7))(22，33，46)(23，38，50)GWO(37.7，56.4，75.9)(35，54，74)(36，59，81)DPSO(39.7，58.1，79.6)(36，57，74)(42，62，84)GA(27.0，42.0，58.1)(25，39，53)(29，45，63)R3-3IGWO(26.0，42.0，55.8)(24，41，54)(25，44，59)GWO(48.4，71.4，93.6)(42，64，85)(49，76，101)DPSO(52.1，72.9，96.2)(46，66，93)(54，77，101)GA(33.0，48.6，65.9)(27，44，63)(38，55，67)R4-3IGWO(29.3，44.5，60.4)(30，43，58)(31，46，63)GWO(54.3，81.4，106.0)(53，77，101)(51，84，114)DPSO(56.7，79.1，104.6)(53，78，100)(62，80，107)GA(40.4，58.3，78.6)(39，55，74)(43，63，85)图3给出了各算法针对算例R4-3的收敛曲线，其中：T为迭代次数；Cmax为最大完工时间．由于最大模糊完工时间C˜max为三角模糊数，属于三维向量，为方便展示将此三维向量通过公式F(X˜)=(x1+2x2+x3)/4进行去模糊化处理，映射为均值Cmax．由图3可知：改进的灰狼优化算法的收敛曲线在其他四种算法下方，求得的最大模糊完工时间整体小于其他算法，说明改进的灰狼优化算法能够得到更优的调度解．此外改进的灰狼优化算法的起点明显低于其他算法，说明混合初始化策略的运用提高了初始解的质量．10.13245/j.hust.220610.F003图3算例R4-3的收敛曲线4 结语本研究针对模糊分布式柔性作业车间调度问题，建立了以最小化最大模糊完工时间为目标的调度模型，针对模型特点对灰狼优化算法进行改进，设计了编码方式、混合初始化策略、种群更新机制及变邻域搜索策略．为了验证算法的性能，在标准数据集的基础上产生不同规模的测试算例，并与其他优秀算法进行对比．实验结果表明改进的灰狼优化算法具有较强的寻优能力，能较好地求解该模型．在实际生产制造过程中，制造商关注的不仅是最大完工时间这一目标，同时还要考虑成本、机器负载和能耗等；此外，除了加工时间这一不确定条件，还有诸如紧急插单等情况发生，问题的约束将更复杂．因此，后续研究将重点考虑目标函数的扩展及更多实际问题因素的分布式动态调度问题．