钢铁行业作为具有高能耗、高排放特点的流程制造业，其能源消耗和碳排放量长期占全国总量的15%左右，是“双碳背景”下重点关注的行业之一．而炼钢-连铸过程作为钢铁制造的核心区段，具有物质流和能量流相耦合的特点[1]，因此在炼钢-连铸生产调度优化研究的基础上，考虑“能耗双控”条件下满足能源约束的生产调度优化具有重要的现实意义，也是钢铁企业实现智能制造需要考虑的重点要素之一．炼钢-连铸生产调度问题具有NP难特性[2]，难以在多项式时间内获得最优解．目前，针对炼钢-连铸生产调度问题已有较多理论研究及运用[3]．文献[4]将连铸时间可控的炼钢-连铸调度问题分解为两个子问题，基于双层优化建模思路提出混合差分进化的求解算法．文献[5]针对炼钢-连铸中炉次释放时间不确定的动态因素建立基于预测发布时间序列和精度统计信息的重调度模型．文献[6]将炼钢-连铸生产调度问题建模为两个耦合的子问题，提出基于协同进化的人工蜂群算法，能解决炼钢-连铸生产调度问题．近年来，研究人员更多关注能源因素对炼钢-连铸生产调度的影响．文献[7]以减少炼钢生产电能消耗为目标，建立考虑分时电价的混合整数非线性规划模型，使用分支定界算法进行求解．文献[8]构建通过混合整数线性规划模型来优化炼钢生产电力成本．文献[9]采用数学模型对连铸工序冷却水进行配置优化．文献[10]提出适用于钢铁厂电力负荷跟踪的调度方案，通过混合整数规划模型减少电能负载波动．文献[11]针对钢铁厂氧气供需平衡波动的特点提出基于时变预算的两阶段鲁棒优化策略．上述方法在模型上主要以能源作为调度优化目标，追求与能耗相关的生产指标最优，算法上运用了精确式算法、启发式算法和智能优化算法等方法．本研究在生产调度优化的基础上，在“能耗双控”的前提下，将以减少能源消耗优化目标转换为考虑能源的负载上限，并作为模型硬约束条件对炼钢-连铸生产调度问题进行数学建模，同时设计基于个体适应度分层进化和带先知种群策略的改进多目标优化算法求解模型．1 问题描述炼钢-连铸生产过程通常由三个主要工序(炼钢、精炼、连铸)组成．原料铁水经过转炉冶炼之后按照钢种工艺需求选择精炼工序组合，通过中间包、结晶器冷却后从连铸机拉出板坯衔接下游热轧、冷轧等工序．其中炉次(炼钢炉一次产出的钢水)为其基本调度单元，在同一连铸中间包寿命周期内连续加工的炉次集合称为浇次．炼钢-连铸生产调度的主要任务是根据企业生产管理系统下达的计划生产指令(浇次数量、浇次中炉次数量/顺序和相应钢种及铸坯规格等信息)，在满足生产约束和工艺规程的条件下，生成待排产炉次在各工序的加工机器、加工顺序、操作开始时间和完工时间，以达到相关生产性能指标最优．通常一个完整的炼钢-连铸生产调度方案可以通过甘特图表达(见图1)．10.13245/j.hust.220615.F001图1生产调度甘特图2 模型描述在炼钢-连铸生产调度优化目标中，为了减小钢水的温降以减少能耗损失，炉次在工序间的等待时间不宜过长，同时调度计划应尽快完成所有炉次的加工任务，即追求最小化炉次总的等待时间和整个调度方案的最大完工时间．本研究选取上述生产性能指标作为优化目标进行数学建模．2.1　目标函数和决策变量考虑炼钢-连铸调度问题中炉次总的等待时间最小和最大完工时间最小，min Wtot=Cg, j-C1, j-∑i=2gPi, j；minCmax=maxj∈JCg,j，式中：Wtot为炉次总的等待时间；i为工序号，I为工序集合，i∈I={1，2，…，g}；j为炉次序号，J为炉次集合，j∈J={1，2，…，r}；Cg, j为炉次j在连铸工序的加工结束时间；C1,j为炉次j在第一炼钢工序的加工结束时间；Pi,j为炉次j在工序i上的加工时间；Cmax为最大完工时间．xi,j,t表示以时间索引［12］的0-1决策变量，当且仅当炉次j在工序i的第t个时间单元加工时为1，否则为0．决策变量xi,j,t和各炉次在各工序的完工时间Ci,j的关系为Ci,j=∑t=1L-Pi,j+1t×xi,j,t+Pi,j-1    (∀i∈I,∀j∈J)，式中：L为离散时间单元的数量，L=Cmax；t为离散时间单元，t=1，2，…，L．2.2　约束条件各炉次在其各工序的开工时间具有唯一性，∑t=1Lxi,j,t=1  (∀j∈J,∀i∈I)．各浇次的开浇时间具有唯一性，∑t=1Lyn,t=1  (∀n∈Ω)，式中：n为浇次序号；Ω为所有浇次的集合，Ω={1，2，…，N}；yn,t为以时间索引的0-1决策变量，当且仅当浇次n在第t个时间单元开浇时为1，否则为0．对于同一炉次的相邻加工任务只有在前一个工序加工完毕后才能进入下一个工序，Ci+1,j-Pi+1,j-Ci,j≥Ti,i+1   (∀i,i+1∈I,∀j∈J)，式中Ti,i+1为相邻工序间的转移时间．在任一时刻，由于机器(设备)能力的限制，同时开工的炉次任务个数应不超过该工序的机器(设备)总数，∑j∈Jxi,j,t≤Mi   (1≤t≤L, i∈I)，式中Mi为工序i的总机器数．连浇约束．连铸阶段同一浇次里相邻炉次应连续加工，          Cg,j+1=Cg,j+Pg,j+1  (∀j, j+1∈Ωn ,n=1, 2,…,N) ,式中Ωn为第n个浇次的炉次集合．浇次间隔约束．同一连铸机上的相邻浇次之间需要一定的时间间隔以便更换浇铸设备，Cg,j+1-Pg,j+1-Cg,j≥U  (j=s(bk-1+n);     ∀k=1, 2,…,Mg;∀1≤n|Bk | ) ,式中：U为浇次标准准备时间；bk-1为第k-1台连铸机上的末尾浇次号，b0=0；|Bk |为第k台连铸机上已经指派的浇次个数，bk=bk-1+|Bk |；s(bk-1+n)为浇次bk-1+n上的末尾炉次号；Mg为连铸工序的加工机器数．能源负载约束．在各个加工时间单元内的所有加工任务的总能源负载不能大于该时间单元t设定的能源负载上界，∑Oi,j∈Фtqi(xi,j,t+xi,j,t-1+…+xi,j,t-pi,j+1)≤Rt，式中：Oi,j为炉次j在工序i的任务操作；Φt为在时间单元t加工的所有炉次任务；qi为第i个工序的能源负载系数，若某工序能源约束可以忽略，则将qi假设为0；Rt为时间单元t的能源负载上界．3 算法求解考虑基于非支配排序算法在求解多目标优化问题上的良好性能[13]，且算法的初始种群对NSGA-Ⅱ算法性能有重要影响，即具有优势的初始种群能够帮助算法更准确、快速地找到帕累托最优解集，所以本研究构造带有先验知识[14]种群的NSGA-Ⅱ算法[15](具体参数条件见第4.1节)，基本流程如图2所示．同时为避免优势个体因较大的变异、交叉概率使算法陷入局部最优，在种群进化时依据个体适应度排序选择分层，分别进行交叉变异操作．10.13245/j.hust.220615.F002图2算法基本流程3.1　编码方法由模型描述可知，原调度问题可以分解成以浇次为单元的连铸工序调度子问题(并行机调度问题)和以炉次为单元的上游工序调度子问题(混合流水车间调度问题)[4]，并且连铸工序的浇次调度方案(浇次的机器分派、排列顺序、开浇时间以及加工时间和准备时间)确定之后，可以通过倒排方法得到覆盖所有工序的完整调度方案．基于此特征，本研究使用浇次调度子问题的编码对原问题决策空间进行映射，再采用反向倒排方法进行解码．由于浇次加工时间相对固定，但浇次间准备时间可以适当延迟，因此选择各浇次的加工优先级和准备时间比例进行编码映射完整调度解(见图3(a))．其中浇次加工选择优先级子向量(排序编码)代表浇次号，浇次号在向量中的索引位置代表其加工优先级顺序，浇次准备时间比例子向量代表相应位置浇次的准备时间和标准准备时间的比值(实数编码)．以3号浇次为例，此时3号浇次的加工优先级为第2位，其准备时间是标准准备时间的2.3倍．10.13245/j.hust.220615.F003图3编码解码示意图3.2　解码方法染色体解码生成连铸调度方案流程如下．步骤1 根据所有连铸机上已有任务的结束时间，选择可用时间最小的机器为当前选择优先级下待排浇次的加工机器．步骤2 根据所选加工机器，计算待排浇次的准备时间、加工开始时间和结束时间．步骤3 更新机器的当前任务结束时间，选择下一待排浇次，重复步骤1～3直至所有浇次排列完毕．以图3(b)为例，此时A，B，C代表连铸机上正在加工的浇次，目前1号浇次为待排浇次，此时连铸机CC2可用时间最小，因此选择连铸机CC2加工1号浇次．以图4为例，假设前两个工序的能源负载系数q1=3，q2=4；能源负载上界Rt=11，在满足能源约束前提下，根据连铸调度方案反向倒排上游工序流程如下．10.13245/j.hust.220615.F004图4能源约束处理示意图步骤1 将已排浇次中的全部炉次按加工开始时间由小到大排列，计算所有炉次在上一工序的加工结束时间Ci,j和该工序各机器处于可用状态的最大时刻Qm(m=1,2,…,Mi)，初始值为无穷大．步骤2 选择Qm最大的机器为待排炉次在该工序的加工机器(图4(a))．若Ci,jQm或者该炉次的加工时段中某个时间单元的能源负载超过上界Rt，则相应左推该炉次的加工时段(图4(b))以满足机器唯一性约束和能源负载约束．步骤3 当该机器排入新的炉次后则根据在当前工序下该炉次的加工时间更新该机器的Qm，然后重复步骤1～3直至所有炉次在当前工序排列完毕，以此类推直至所有炉次的所有工序倒排完毕．步骤4 倒排结束后，若调度时间表开始时间大于0或小于0，则对应左推或右推时间表使得开始加工时刻为0．4 实验结果和分析4.1　实验条件将本文算法与MOEA/D算法[16]、RVEA算法[17]和初始NSGA-Ⅱ算法进行对比，各比较算法的种群规模N=100，最大迭代次数K=50，交叉概率Pc=0.8，变异概率Pm=0.05．对改进NSGA-Ⅱ算法，设置种群大小N=2 000，然后根据倒排启发式规则评价选取优势种群N=100，最大迭代次数K=50．最后根据适应度将种群分为4层，具体交叉和变异概率见下式，Pci=0.4+0.5(fmax-fai)/(fmax-fmin);Pmi=0.03+0.04(fmax-fai)/(fmax-fmin),式中：Pci，Pmi，fai分别为第i层交叉概率、变异概率和平均适应度；fmax和fmin分别为当前种群个体适应度的最大值和最小值．实验基本参数如下：各工序间转移时间(Ti,i+1)为［10，6，15，0］min；各炉次在各工序的加工时间(Pi,j)区间为［21，31］min，［35，54］min，［20，30］min和［32，43]min；各工序能源负载系数qi=[3，5，2，0]；浇次数｜Ω｜=9；炉次数｜J｜=90；浇次标准准备时间U=60 min．4.2　算法评价指标4.2.1　均匀性指标均匀性指标(SP)[18]用于度量生成解集P中每个解到其他解的最小距离(di)的标准差，指标越小表明解的均匀性越好，SP=1|P|-1∑i=1|P|d¯-di2．4.2.2　反转世代距离指标反转世代距离指标IGD[19]表示每个参考点到最近的解P的距离平均值，IGD越小说明算法综合性能越好．由于很难得到未知问题真实的帕累托前沿，因此选取由所有算法所得的非支配解构成参考帕累托前沿P*，IGD(P,P*)=∑x∈P*miny∈P dis(x,y)/|P*|．4.2.3　超体积测度超体积测度(VH)指标表示算法获得的非支配解集与参照点围成的目标空间中区域的体积大小[20]，其值越大即算法的收敛性越好，VH=δ∪i=1|H|μi，式中：δ为勒贝格(Lebesgue)测度，用于体积测量；H为非支配解集的个数；μi为参考点与第i个解构成的超体积．4.3　算法对比分析分别运行四种算法各10次，指标结果见表1，表中：A1，A2，A3和A4分别代表改进NSGA-Ⅱ算法、NSGA-Ⅱ算法、MOEA/D算法和RVEA算法．方差分析见表2，结果表明：改进的NSGA-Ⅱ算法在三种指标上具有显著性优势(P值均小于0.05)，其综合性能较其他算法更好．10.13245/j.hust.220615.T001表1各指标结果次数VHSPIGDA1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A410.990.970.920.960.040.060.060.140.260.420.920.6221.000.970.920.970.080.150.390.110.300.380.540.4530.980.960.890.920.080.380.500.180.330.370.630.6241.000.970.890.960.031.000.160.810.330.481.000.4651.000.960.930.940.040.410.620.610.260.440.610.5361.000.970.890.950.070.070.110.350.270.430.640.4870.990.970.950.940.380.210.580.170.300.420.450.5781.000.950.880.930.050.280.060.460.290.460.590.6691.000.960.900.940.120.580.630.850.300.510.730.47100.990.950.920.950.060.270.410.110.280.510.560.4110.13245/j.hust.220615.T002表2各指标方差分析表指标来源自由度平方和均方差fPSP因子3.000.530.183.120.03误差36.002.050.06总和39.002.58VH因子3.000.040.0156.611.04×10-13误差36.000.012.00×10-4总和39.000.05IGD因子3.000.730.2424.428.48×10-9误差36.000.360.01总和39.001.095 结语本研究结合炼钢-连铸生产中能量流和物质流耦合的特点，构建能源负载约束的多目标优化调度模型，并运用先知种群和个体适应度分层进化策略改进NSGA-Ⅱ算法，以实际生产案例验证所提模型和算法的有效性．实验结果表明：改进NSGA-Ⅱ算法能够在能源约束下的炼钢-连铸调度问题寻求最优帕累托解集，且综合性能优于其他对比算法．在实际生产中，能源负载约束具有时变特性，后续工作中应针对能源约束的动态变化特性开展相关模型和算法研究．