重力场是地球的基本物理场，重力场数据在重力辅助导航和资源勘探等领域有着重要应用，重力梯度是重力的导数，可以反映出重力场的更多细节，航空重力梯度测量相比传统重力测量方法在测量的效率和效果上都有明显优势[1]．目前商用的航空重力梯度仪有澳大利亚BHP Billiton公司的猎鹰部分张量重力梯度仪和美国Lockheed Martin公司的全张量重力梯度仪，其敏感单元为多个高精度加速度计集成在高精度转台上组成的测量系统，在实际测量中的分辨率优于10 E(1 E =10-9s-2)[2-3]．在高精度加速度计的研究中，严世涛等[4]研制的静电再平衡式加速度计在0.2~2.0 Hz频率范围达到了0.3×10-9g∙Hz-1/2 (g为重力观测值)；针对梯度仪系统，喻名彪等[5-6]提出了通过陀螺仪监测离心梯度，并基于输出模型补偿运动误差的方案；杨晔等[7]基于高精度石英挠性加速度计成功研制出了分辨率优于20 E的重力梯度仪，并进行了一定的动态适应性试验．随着MEMS技术的发展，MEMS器件凭借其体积小、精度高和一致性高的优点，在精密测量领域已经有了许多成功的应用[8-9]．目前，课题组内已经研制出自噪声水平达到0.7×10-9g∙Hz-1/2的高精度MEMS加速度计，并且在重力仪[10]、行星微震仪[11]等领域均有成功的应用．本研究在高精度MEMS加速度计基础上，集成高精度单轴转台，研制了旋转加速度计式重力梯度仪样机，该样机的静态自噪声水平达到40 E∙Hz-1/2，在实验室环境下标定的分辨率达到了10 E，满足静态环境下重力梯度测量的需求．为了实现航空环境下重力梯度测量的目标，结合高精度加速度计的输出模型[12]和重力梯度仪的安装误差模型[13]，得到了重力梯度仪的输出模型．根据航空环境的特点，综合考虑运动加速度、温度效应和磁场效应的影响，对加速度计输出模型中的二阶非线性系数、温度效应和磁场效应进行了精确测量，得到重力梯度仪在航空环境下的输出误差模型，并且结合当前的技术水平计算出航空环境下具体的输出误差．根据航空重力梯度测量的噪声要求[14]，在1 E输出误差的要求下，提出了重力梯度仪在隔离航空环境中的运动噪声、温度变化和磁场变化的指标．1 重力梯度仪的原理与输出模型1.1　重力梯度仪的基本原理重力梯度仪的基本结构如图1所示，4个高精度加速度计正交反对称地安装在转台台面上，其敏感轴沿着转台的切线方向，转台以固定的转速旋转，通过4个加速度计的组合输出即可测量转台中心位置处重力梯度的部分张量．10.13245/j.hust.220913.F001图1旋转加速度计重力仪原理令单轴加速度计A1处加速度为a1，将a1在转台中心O点处做n阶泰勒展开可得a1=g0+∑k=1n1k!x∂∂x+y∂∂y+z∂∂zkg0+1(n+1)!x∂∂x+y∂∂y+z∂∂zn+1g0(δx,δy,δz),式中g0表示O点处的重力加速度，取其一阶近似为a1=g0+(x∂/∂x+y∂/∂y+z∂/∂z)g0．当转台以ω的角速度旋转时，加速度计的敏感轴沿着转台的切线方向e//i=(-sin(ωt),cos(ωt),0)，因此A1测量的加速度为a1=a1e//i=-g0xsin(ωti)+g0ycos(ωt)+(Γyy-Γxx)Rsin(2ωt)/2+ΓxyRcos(2ωt)，式中：Γxy表示重力加速度g0x在y方向的空间导数，即重力梯度的一个张量；Γxx与Γyy同理．由于加速度计采用正对安装，4个加速度计的组合输出可以抑制共模干扰并使梯度信号加倍EGGI=a1+a2-(a3+a4)=2R(Γyy-Γyy)sin(2ωt)+4RΓxycos(2ωt). (1)旋转加速度计式重力梯度仪通过转台旋转把重力梯度信号调制至转速二倍频的边际带，从而避免了低频噪声对梯度信号的影响．将组合输出分别经过sin(2ωt)和cos(2ωt)信号解调后，即可分别提取出重力梯度分量Γyy-Γxx和Γxy．1.2　重力梯度仪的输出模型加速度计是重力梯度仪的主要敏感单元，研制的高精度MEMS单轴加速度计如图2所示，图2(a)为MEMS弹簧振子结构，对于高精度加速度计而言，除了沿敏感轴方向的加速度ai外，垂直敏感轴方向的加速度输入也会影响加速度计的输出，即沿输出轴方向的加速度ao和沿摆轴方向的加速度ap．10.13245/j.hust.220913.F002图2MEMS加速度计的弹簧振子结构与成品因此，加速度计的输出模型HU为U/K1=HU(ai,ao,ap,K0,K2,Koo,Kpp,Kip,Kio,Kop)=K0+ai+K2ai2+Kooao2+Kppap2+Kipaiap+Kioaiao+Kopaoap, (2)式中：U为加速度计的电压输出；K1为加速度计的标度因数(单位：V/g)；K0为加速度计的零偏(单位：g)；K2，Koo，Kpp为加速度计二阶非线性系数；Kio，Kip，Kop为加速度计交叉耦合系数(单位：g/g2)．进一步考虑梯度仪的安装误差，图3所示为梯度仪的安装误差模型．10.13245/j.hust.220913.F003图3重力梯度仪的安装误差模型以加速度计A1为例，其中蓝色坐标系为外界惯性坐标系OXYZ，黑色为梯度仪测量坐标系Omxyz，红色为加速度计理论安装位置坐标系，绿色为加速度计的实际测量坐标系．在加速度计实际测量坐标系与理论安装位置坐标系之间存在着失准角υx，υy和υz，对应安装误差矩阵为C=1υz-υy-υz1υxυy-υx1．因此，加速度实际测量坐标系下的加速度为[ai,ao,ap]T=aiopT=CaxyzT=C[ax,ay,az]T. (3)由于梯度仪中的转台以大小为ω的角速度旋转将加速度信号进行调制，因此加速度计理论安装位置坐标系与梯度仪测量坐标系之间存在变换矩阵Q，具体为Q=[e//x,e//y,e//z]T=-sin(ωt)cos(ωt)0-cos(ωt)-sin(ωt)0001.因此，加速度计理论安装位置坐标系下的加速度为[ax,ay,az]T=axyzT=QaxmymzmT=Q[axm,aym,azm]T. (4)在航空重力梯度测量中，梯度仪与外界惯性坐标系之间存在相对运动，在梯度仪测量坐标系下的外界加速度的模型Ha为axmymzm=Ha(Γ,rOmA,ωm,ω˙m,rOOm,gm)=-ΓrOmA+ωm×(ωm×rOmA)+ω˙m×rOmA+drOOm2/dt2i-gm, (5)式中：Γ为转台中心处的重力梯度，即测量的目标信号；ωm为梯度仪相对惯性坐标系的角速度；ω˙m为梯度仪相对惯性坐标系的角加速度；drOOm2/dt2i为梯度仪相对惯性坐标系的平动加速度．将式(3)~(5)代入式(2)中，得到单个加速度计的输出模型为U/K1=HU(CQHa(Γ,rOmA,ωm,ω˙m,rOOm,gm),K0,K2,Koo,Kpp,Kip,Kio,Kop).将4个加速度计的输出按公式(1)组合，以K1_i表示第i个加速度计的标度因子，HUi表示第i个加速度计的输出模型，其余参数同理，最终得到重力梯度仪的输出模型HG为EGGI=U1/K1_1+U2/K1_2-(U3/K1_3+U4/K1_4)=HGHUiCiQHa(Γ,rOmAi,ωm,ω˙m,rOOm,gm),K0_i,K2_i,Koo_i,Kpp_i,Kip_i,Kio_i,Kop_i,K1_i. (6)2 重力梯度仪的静基座性能重力梯度仪在实验室静基座测量中受到运动场、温度场、磁场等环境干扰的影响较少，适用于评估其自身的性能．加速度计作为重力梯度的敏感单元，其精度决定了梯度仪的精度的上限，研制的高精度MEMS加速度计自噪声达到了1×10-9g．为了测量MEMS加速度计的自噪声，将其安装在山洞实验室隔震地基上以尽量减少环境振动的影响，在加速度计旁安装商用三轴微震仪CMG-3ESPC，使用相关分析法扣除地面震动的共模噪声，得到的结果如图4所示．其中，蓝色和黑色曲线为MEMS加速度计和微震仪单独测量的信号，在扣除了共模地面震动信号后得到红色曲线，即MEMS加速度计的自噪声，其自噪声在0.5 Hz达到了0.7×10-9g∙ Hz-1/2．10.13245/j.hust.220913.F004图4高精度MEMS加速度计自噪声测试由于旋转加速度计式重力梯度仪对组合加速度计一致性有很高的要求，须在MEMS加速度计的基础上通过匹配技术来进一步提高其一致性．将加速度计安装在转台上以36 °/s的角速度旋转，由于加速度计之间存在较大的不一致性，4个加速度计的组合输出不足以完全抑制外界加速度噪声，在旋转频率处仍存在明显的信号峰．单个加速度计以及4路组合的输出如图5所示，通过匹配技术提高加速度计标度因数的一致性后，4个加速度计的组合输出中转速一倍频处的信号峰被抑制到噪声本底，标度因数的一致性达到了10-5．10.13245/j.hust.220913.F005图5重力梯度仪4路加速度计标度因数匹配当测量重力梯度仪样机静态噪声本底时，将其安装在实验室内隔振地基上并保持环境稳定，得到梯度仪的静态噪声本底如图6所示，其中蓝色和红色曲线分别为重力梯度仪输出正弦通道和余弦通道的信号，其噪声本底在目前的测量频带内均达到了40 E∙Hz1/2．10.13245/j.hust.220913.F006图6重力梯度仪静基座本底噪声为了得到梯度仪的时域分辨率，在实验室环境下对重力梯度仪进行了标定，采用大质量圆柱形铜柱作为引力源以避免其他金属引力源附带磁场对梯度仪的影响．如图7所示，将铜柱安装在电动位移台上，梯度仪安装在隔震地基内的基座上以避免铜柱运动导致地面倾斜的影响．铜柱按照设计的轨迹进行移动，在梯度仪中心处产生特定的梯度变化，将实际测得的梯度信号与理论梯度信号对比，实现对梯度仪分辨率的标定．10.13245/j.hust.220913.F007图7重力梯度仪标定经过相应的数据处理后，得到标定结果如图7所示，可以看到梯度仪测量得到的梯度信号与理论梯度信号在幅值和频率上均较为相符，计算得到实测信号的平均幅值为8.1 E而理论信号的平均幅值为10 E，其相对误差19%优于50%的标定误差指标；因此，重力梯度仪的分辨率达到了10 E，在静态环境下满足重力梯度测量的要求．3 重力梯度仪多物理场作用误差模型移动平台力学运动场、温度场及磁场等多物理场作用误差是限制航空重力梯度测量性能最主要的因素．为了分析重力梯度仪在航空环境中多物理场下误差，根据加速度计与梯度仪的输出模型，通过测量加速度计输出模型中的二阶项系数，温度效应系数和磁场效应系数，得到梯度仪中MEMS加速度计对外界环境加速度、温度和磁场的误差模型，进而实现重力梯度仪对航空环境下多物理场的误差分析．3.1　加速度计力学运动场作用误差分析移动平台载体环境的运动噪声通过变换矩阵Q、安装误差矩阵C和加速度输出模型HU后，贡献到加速度计的输出．变换矩阵Q通过转台内置的光栅计数器得到，安装误差矩阵C通过正交对齐调节来抑制，加速度计输出模型HU中标度因数与零偏的测量方法已经十分成熟，而二阶项系数的精确测量一直是高精度加速度计模型中的难点．针对MEMS加速度计的特点，基于高精度单轴转台，线振动台和激光干涉测距仪，实现了对加速度计所有二阶项系数的精确测量[15]．使用线振动台来测量MEMS加速度计二阶项系数，如图8所示为加速度计二阶项系数Kio多次测量的结果，图中N为实验次数，其加权平均的结果为(-34±8) mg/g2．测量了MEMS加速度计的全部的二阶项系数，其大小均在10 mg/g2左右[16]．将得到的各项系数代入式(2)中即可得到MEMS加速度计的输出模型HU．10.13245/j.hust.220913.F008图8加速度计输出模型中二阶项系数的测量令航空环境对梯度仪产生的运动加速度噪声为am，已知变换矩阵Q、安装误差矩阵C和加速度的输出模型HU，因此航空环境中载体运动加速度贡献到单个加速度计的输出误差为U˜/K1=HU(CQam,K0,K2,Koo,Kpp,Kip,Kio,Kop)．3.2　加速度计温度场作用误差分析将MEMS加速度计安装温控箱内，在加速度计上集成有温度传感器以测量加速度敏感探头的温度变化[17]．当温控箱内的温度稳定后，测量出该温度下加速度计的零偏k0和标度因数k1．改变温控箱内的温度，在不同温度下分别测量出加速度计的零偏和标度因数，结果如图9所示．加速度计的零偏和标度因数与温度均呈现明显的线性相关性，对测量的结果使用最小二乘拟合，得到MEMS加速度计的零偏和标度因数与温度关系为：K0=-1.9×10-6T+4.2×10-4 (300 KT320 K);K1=0.87T+1.8×103  (300 KT320 K).10.13245/j.hust.220913.F009图9加速度计温度效应的测量3.3　加速度计磁场作用误差分析由于MEMS加速度计采用中心对称的磁路结构，因此其标度因数不受磁场强度变化的影响，只用考虑环境磁场对加速度测量零偏K0的影响[16]．测量结果如图10所示，MEMS加速度计的零偏与磁场强度呈现明显的线性相关性，图中δ为磁感应强度．对测量结果使用最小二乘拟合，以K0'作为该环境下加速度计零偏的偏置，得到MEMS加速度计的零偏与磁感应强度的关系为K0=7.2×10-4B+K0'  (-400 μTB320 μT)．10.13245/j.hust.220913.F010图10加速度计磁场效应的测量3.4　重力梯度测量多物理场作用误差分析由于加速度计输出模型中的零偏受温度与磁场影响，标度因数受温度影响而不受磁场影响，因此加速度计在航空环境下的输出模型为U/K1(T)=HU(ai,ao,ap,K0(T,B),K2,Koo,Kpp,Kip,Kio,Kop)=K0(T,B)+ai+K2ai2+Kooao2+Kppap2+Kipaiap+Kioaiap+Kopaoap.航空环境对梯度仪产生的运动加速度噪声为am，则梯度仪总的输出误差为E˜GGI(T,B)=HG[HUi(CiQiam,K0_i(T,B),K2_i,Koo_i,Kpp_i,Kip_i,Kio_i,Kop_i,K1_i(T)]=ΔK0(T,B)+(ΔK1(T)/K1(T))(1+C˜+Q˜+ε)am+∑Kij(1+C˜+Q˜+ε)2amiamj. (7)根据实际测量结果，航空环境的运动加速度噪声主要包括平动加速度及转动导致的向心和切向加速度，其最大值为am=0.1 g；标度因数的匹配一致性达到ΔK1/K1=1×10-5；二阶非线性系数约为Kij=10 mg/g2；加速度计距离转台中心距离为R=0.225 m；变换矩阵Q的误差为Q˜=1×10-6；安装误差矩阵C的贡献为C˜=1×10-4．将上述参数代入式(7)，在不考虑温度与磁场变化的情况下，梯度仪输出误差主要是由加速度计输出模型中的二阶项所贡献，计算得到梯度仪总输出误差在106 E量级．为了满足航空重力梯度测量的需求，外界环境导致重力梯度仪的输出误差要求小于1 E．综合考虑梯度仪的技术指标以及目前隔振技术水平，将在航空重力梯度测量系统中增加隔离外界运动2个量级的隔振装置，由于二阶项与运动加速度的平方成正比，二阶项的输出误差将被抑制4个量级；同时，根据喻名彪提出的误差补偿技术，通过监测外界运动环境并后续补偿的方法可将梯度仪整体的输出误差再降低2个量级．结合上述两种方法，对梯度仪输出误差的总抑制效果将达6个量级，即航空环境下重力梯度仪总的输出误差由106 E量级降为1 E．航空环境中的温度与磁场变化将导致MEMS加速度计零偏和标度因子的变化，进而导致梯度仪的输出误差．4个加速度计组合零偏的变化将直接表现为梯度误差，在梯度仪总输出误差小于1 E的前提下，加速度计零偏的变化要小于0.1×10-9g，加速度计标度因数的相对要小于标度因子匹配一致性的指标1×10-5．由于温度变化主要影响MEMS加速度计中的弹簧振子结构，由3.2中加速度计零偏和标度因数的温度系数计算可知每个加速度计温度变化要控制在0.1 mK之内．因此将对每个加速度计中MEMS弹簧振子结构进行0.1 mK的第一级精准温控，为此对梯度仪整体系统提出了0.1 K的二级温控需求．对于磁场效应的影响，由于加速度计零偏变化要求小于0.1×10-9g，由3.3节中加速度计零偏的磁场系数计算可得梯度仪系统内部的磁场强度变化需要通过磁屏蔽手段控制在1 μT之内．4 结论基于自研高精度MEMS加速度计研制了旋转MEMS加速度计重力梯度仪．从加速度计安装误差和失准角误差输出模型出发，给出重力梯度测量误差输出模型；研究实验室多物理场作用较弱情况下旋转MEMS加速度计重力梯度测量性能水平；同时，结合航空环境的特点，精确测量加速度敏感单元的载体运动误差传递矩阵、温度误差系数、磁场误差系数，最终得到梯度仪在航空环境下的输出误差模型，为航空重力梯度测量实用化奠定基础．