折纸作为可折叠结构的一个大类，近年来逐渐受到各个领域的重视，例如机器人[1]、建筑[2]、航天[3]等．折纸结构的本质是将一个平面材料沿着预先设计好的折痕进行折叠，进而成为一个复杂的空间三维结构．由于折痕模式无穷的可设计性和折叠的丰富性，折纸结构可以拥有许多非常规的特性．在几何特性上，折纸结构可以实现负泊松比[4]、大变形[5]及多种变形模式[6]．在力学特性上，其拥有多稳态[7-8]、自锁[9-10]及可调刚度等[11]特性．不同于一般的超材料，折纸超材料的特殊性质并非来源于微观层面分子的排布，而是由于其基本组成单元的特殊几何和力学特性所导致．折纸超材料的组成一般可以通过对多个折纸单元进行轴向串联或在平面/空间中进行阵列而获得[12]．文献[13]将Kresling折纸结构沿着轴向进行堆叠，制作了用于波传递的柱状折纸超结构；文献[14]将Miura-ori进行平铺作为夹层材料的核心．若以折纸超材料的单元是否异构作为分类条件，则可以将其分为同构单元折纸超材料和异构单元折纸超材料．现阶段的研究大部分集中于同构单元的折纸超材料，即每个单元的几何和力学特性完全相同．文献[15]研究了同构Miura-ori堆叠超材料的可调带隙结构和超传递现象；文献[16]则是研究了同构TMP堆叠超材料中的压缩应变波问题．但是，若进一步考虑单元异构的情况，则折纸超材料可以展现出更为丰富的特性．近年来，许多学者开始关注异构折纸超材料的研究，文献[17-18]研究了两个异构的Miura-ori堆叠而成的超材料的力学二极管和非线性动力学特性．异构单元折纸超材料的研究难点在于每一个折纸单元均拥有不同的力学本构，因此建模具有很大的挑战性，现阶段的研究暂时也主要针对二单元结构．如果进一步增加异构单元个数，那么折纸超材料必然会展现更为丰富的变形和力学特性．为了进一步推进多单元同构/异构折纸超材料研究领域的发展，以传统的折纸结构(magic spiral cube，MSC)为研究对象，在前述研究[19]的基础上制作其同构/异构三单元串联折纸超材料．为了揭示影响串联单元变形顺序的因素，通过实验的方式对6组不同排列的异构串联三单元折纸结构与4组不同排列的存在同构单元的三单元折纸结构进行分析，获得力-位移与势能-位移的真实本构模型．实验结果揭示了单元变化顺序仅仅与单元自身刚度有关，即与单元双稳态强弱有关，而与单元排布顺序无关．采用多项式对实验数据进行拟合，获得力-位移本构关系与势能-位移本构关系的解析表达式，并用决定系数来评估模型的拟合度．研究结果可为制造需要特定展开顺序的电子通信雷达天线[20-21]提供设计依据，获得的结论也可以推广到任意个数的同构/异构单元串联折纸超材料的情况．1 异构单元结构拉伸实验MSC单元是一个边长为L的正方体(图1(a))，顶面与底面设计为两个刚性平面、其他4个侧面设计为具有柔性的平面，主要形式呈现为：斜边Ad，Dc，Cb和Ba为刚性折痕；Aa，Bb，Cc和Dd为弹性折痕．文献[18]对单个MSC单元进行研究，通过施加虚拟折痕的方式解决了结构在折叠展开过程中存在的面弯曲变形问题，明确了结构折痕的设计方式，揭示了折痕刚度与结构双稳态稳定性强弱的关系及材料厚度与双稳态特性之间的关系等．研究结果证明薄膜厚度会加强结构的双稳态．10.13245/j.hust.239141.F001图1MSC单元示意图、单元模型和三单元串联模型为了进一步探究多个MSC折纸单元串联起来的力学特性，设计异构及同构串联三单元结构并对其进行拉伸试验．根据前述折痕设计方式，通过CAD布置单元设计模式：边长为60 mm的正方体、折痕处为短虚线．选取厚度分别为0.15，0.1和0.075 mm的不同耐高温耐高温聚对苯二甲酸乙二醇酯(PET)薄膜，用于设计单元的同异构，定义0.15 mm薄膜为型号I，0.1 mm薄膜为型号II，0.075 mm薄膜为型号III，每个单元使用同一型号薄膜作为四个侧平面．结构的顶面和底面使用有机玻璃板作为刚性平面，通过螺栓与薄膜进行连接；单元与单元之间共用一块有机玻璃板进行串联为三单元结构，如图1(b)和(c)所示．为了研究单元刚度与结构变形、稳态之间的关系，设计了三种单元排列顺序不同的异构三单元结构，分别为I-II-III，II-III-I和II-I-III(排列顺序为竖直方向：第一层-第二层-第三层)，其中异构主要体现在薄膜的厚度不同，通过前述研究可知薄膜厚度不同即结构刚度不同[18]．将结构固定在万能拉伸试验机上进行拉伸实验，每个结构进行3组实验测试，得到结果后将数据平均化，从而获得该异构结构的力-位移曲线．1.1　I-II-III三单元MSC结构I-II-III三单元MSC结构分别由厚度为0.15，0.1和0.075 mm的薄膜组成，在拉伸后得到如图2(a)的沿结构高度方向的力-位移曲线，可以看到：曲线与x轴有7个交点，空心点代表结构的稳定平衡点，实心点代表结构的不稳定平衡点．第一个稳定平衡点表示结构为单元全部折叠的构型，即0-0-0，此时结构高度h0-0-0=72.8 mm．定义0为单个单元完全折叠构型，1为单个单完全展开构型；随着位移的逐渐增大．在第二个稳定平衡点处单元III展开，此时结构构型为0-0-1，结构高度h0-0-1=111.5 mm；第三个稳定平衡点处单元II展开，结构构型为0-1-1，结构高度h0-1-1=145.5 mm；第四个稳定平衡点处单元I最后展开，此时结构为完全展开构型，即1-1-1，结构高度h1-1-1=188.0 mm．10.13245/j.hust.239141.F002图2I-II-III结构力位移曲线及势能曲线将图2(a)表示的力-位移曲线的离散点代入势能(Π)计算公式Πi=∑j=1i(Fj+1+Fj)(hj+1-hj)/2(i=1,2,⋯,7 514), (1)就可以得到势能曲线(图2(b))，式中i为静力学拉伸实验的数据点个数，一共有7 514个数据点．从图2(b)可以看出：势能总体呈下降趋势，且存在4个极小值分别对应结构的四个稳态．当结构完全展开时(1-1-1)，由于折痕不累积势能，因此该构型为势能最低点，并假设其势能值为零；当结构处于完全折叠的稳态时(0-0-0)，由于三个单元的折痕都处于折叠构型，折痕均累积较大势能，因此该稳态的势能高于其他稳态，值为Π0-0-0=57 N∙mm．随着单元的逐个展开，折痕处的弹性势能被不断释放，因此之后各个稳态构型的势能依次减小．由图2(b)看出：在第二稳态处，势能Π0-0-1=44 N∙mm；第三稳态处，势能Π0-1-1=24.7 N∙mm；第四稳态处，势能Π1-1-1=0 N∙mm．值得注意的是该结构的单元展开顺序为单元III、单元II和单元I，即按照双稳态稳定性由弱至强依次变形．1.2　II-III-I三单元MSC结构II-III-I三单元MSC结构分别由厚度为0.1，0.075和0.15 mm的薄膜组成，在拉伸后得到如图3(a)的力-位移曲线．曲线与x轴存在7个交点，其中4个空心圆代表4个稳定平衡点，对应结构的4个稳态．这4个稳态的结构构型分别为0-0-0，0-1-0，1-1-0，和1-1-1，对应的结构高度分别为78.4，111.8，146.1和188.0 mm．类似地，可以得到II-III-I构型的势能曲线如图3(b)所示，势能总体也呈下降趋势，且存在四个极小值．由图3(b)可知：第一稳态势能为Π0-0-0=67.2 N∙mm；第二稳态势能Π0-1-0=53.2 N∙mm；第三稳态势能Π1-1-0=31.6 N∙mm；第四稳态势能Π1-1-1=0.0 N∙mm．该结构的单元展开顺序也为单元III、单元II和单元I．10.13245/j.hust.239141.F003图3II-III-I结构力位移曲线及势能曲线1.3　II-I-III三单元MSC结构II-I-III三单元MSC结构分别由厚度为0.1，0.15 和0.075 mm的薄膜组成，在拉伸后得到如图4(a)的力-位移曲线．由图4(a)可知：随着结构的逐渐展开，其同样会经历四个稳态构型，分别为0-0-0，0-0-1，1-0-1和1-1-1．同时，这四个稳态构型对应的高度分别为74.4，113.4，146.4和188.0 mm．利用式(1)对力-位移数据进行积分，可以获得如图4(b)所示的势能曲线．势能总体呈下降趋势，且存在四个极小值．由图4(b)可知：第一稳态势能为Π0-0-0=43.6 N∙mm；第二稳态势能Π0-0-1=33.8 N∙mm；第三稳态势能Π1-0-1=21.9 N∙mm；第四稳态势能Π1-1-1=0.0 N∙mm．单元展开顺序为单元III、单元II和单元I．10.13245/j.hust.239141.F004图4II-I-III结构力位移曲线及势能曲线为了进一步验证单元切换顺序和双稳态之间的关系，对剩余的3种排列顺序进行了实验，这3种单元排列顺序是前文提到3种的倒序，因此实验获得的力-位移曲线结果和上文对应结构相同．通过实验观察到，不同单元组合能使结构达到8种不同稳态，可以实现结构展开的可编程性．6组不同单元组合结构可实现的稳态构型如表1所示．10.13245/j.hust.239141.T001表1三单元MSC结构单元组合结构稳态构型构型稳态1稳态2稳态3稳态4I-II-III0-0-00-0-10-1-11-1-1III-II-I0-0-01-0-01-1-01-1-1II-III-I0-0-00-1-01-1-01-1-1I-III-II0-0-00-1-00-1-11-1-1II-I-III0-0-00-0-11-0-11-1-1III-I-II0-0-01-0-01-0-11-1-1分析上述实验结果可知：异构单元按照刚度从小到大的顺序依次展开，与单元排列方式无关．其次，由于每一个MSC单元均为双稳态结构，因此整个三单元MSC结构一共具有4个稳态，在势能-位移曲线上呈现为存在4个极小值．通过进一步分析可知：4个稳态的势能随着结构高度的增加而逐渐递减．由于单元排列方式不影响单元的展开顺序，因此不同排列方式的结构均拥有相同的势能曲线．但是考虑到实验中的制作误差，势能初始和结尾值可能存在一些不同，但误差在可接受范围内．最后，虽然改变排列顺序不会对结构的势能曲线产生影响，但是可以丰富可实现的构型．对于三单元MSC结构而言，可实现的构型一共有23=8种，进一步增加单元数则可进一步增加可实现构型的数量．例如，对于4个单元而言，可实现的构型一共有24=16种，以此类推．2 存在同构单元MSC的拉伸实验通过对异构单元结构进行研究，得知异构结构展开顺序与单元排列顺序无关，并且只与结构刚度有关．为了进一步研究单元刚度与结构变形之间的关系，设计了两种存在同构单元的三单元结构，分别为I-III-I与I-I-I．值得注意的是，虽然2个I单元和1个III单元一共有3种排列方式(I-III-I，I-I-III和III-I-I)，但是由于排列方式并不会对力-位移曲线和展开顺序造成定性的改变，因此只展示了I-III-I的实验结果．同样地，每个结构都进行3组静力学测试，并且对结果数据进行平均化，从而获得结构的力-位移曲线．2.1　I-III-I三单元MSC结构I-III-I三单元MSC结构分别由厚度为0.15，0.075 和0.15 mm的薄膜制作而成，在拉伸后得到如图5(a)的力-位移曲线，稳定点和不稳定点均已经用空心圆和实心圆标出．第一个稳定平衡点表示结构的单元全部处于折叠的构型，即0-0-0，此时结构高度h0-0-0=83.1 mm．随着位移的逐渐增大，在第二个稳定平衡点处单元III展开，此时结构构型为0-1-0，结构高度h0-1-0=120.4 mm；然后，在第三个稳定平衡点处单元II展开，结构构型为0-1-1，结构高度h0-1-1=151.7 mm；最后，第四个稳定平衡点处单元I展开，此时结构为完全展开构型，即1-1-1，结构高度h1-1-1=188.0 mm．10.13245/j.hust.239141.F005图5I-III-I结构力位移曲线及势能曲线对力-位移曲线进行积分(式(1))可以得到势能曲线如图5(b)所示，势能总体呈下降趋势，且存在4个随高度增加逐渐下降的极小值．由图5(b)可知：4个稳态的势能依次为124.0，103.5，60.5和0.0 N∙mm．通过多次实验发现I-III-I结构中单元III首先展开，另2个单元I的展开顺序存在很强的随机性．由此可知：不同薄膜厚度的单元依旧按照双稳态强弱的顺序展开．若存在同构单元，则同构单元的展开顺序是随机的，具有不确定性．2.2　I-I-I三单元MSC结构I-I-I三单元MSC结构均由由厚度为0.15 mm的薄膜制作而成，拉伸实验后得到如图6(a)所示的力-位移曲线(稳定和不稳定平衡点均已经标出)．第一个稳定平衡点表示结构为单元全部折叠的构型，即0-0-0，此时结构高度h0-0-0=85.0 mm．随着结构高度的逐渐增大，其将依次经历稳态构型0-1-0(h0-1-0=121.6 mm)，0-1-1(h0-1-1=156.3 mm)和1-1-1(h1-1-1=188.0 mm)．10.13245/j.hust.239141.F006图6I-I-I结构力位移曲线及势能曲线利用式(1)得到势能曲线如图6(b)所示，势能的整体趋势依旧为逐渐下降．由图6(b)可知：随着结构高度的增加，4个稳态的势能依次为169.5，123.2，66.3和0.0 N∙mm．可以看到：I-I-I结构在处于稳态0-0-0时的势能明显大于I-III-I处于0-0-0时的势能(124.0 N∙mm)，这是因为该结构的三个单元均为双稳态强度最大的单元(IIIIII)．值得注意的是：在多次重复实验后，3个相同单元的变化顺序并不相同，而是与其初始放置构型与每个单元制造误差有关，存在一定随机性．综上所述，当结构存在两个及以上的同构单元时，其变形顺序和异构单元结构存在很大的不同．变形特征可以归纳为两点：刚度不同的两组同构单元之间的变形顺序遵循刚度小先变形的原则；同构单元之间的变形顺序是随机的．特别地，对于同构单元的三单元MSC串联结构而言，同样存在4个稳态，并且稳态势能随着结构高度的增加而逐渐降低．3 三单元MSC串联结构本构模型到目前为止，所得到结果都是在实验基础上完成的，利用几何-力学的方法[18]对三单元MSC串联结构建立力学的解析本构将会非常困难．为了得到解析的力学本构，可以通过实验数据，采用多项式拟合的方式建立近似的等效解析本构模型．以I-I-I三单元结构为例，力-位移曲线可以用多项式进行拟合，F(h)=∑i=0naihi, (2)式中：ai为多项式的系数；n为多项式的最高阶次数．拟合的精度可以通过决定系数体现，其中决定系数R2=1-∑j=1m(F(hj)-Fj)2∑j=1m(Fj-F¯)2, (3)式中：m为采样点的个数(300)；Fj为各个采样点对应的恢复力值；F¯为所有采样点恢复力的平均值．式(3)表明R2与多项式次数i有关，并且越接近1，拟合精度越高．图7为对图6(a)得到的实验结果的拟合精度．10.13245/j.hust.239141.F007图7对图6(a)得到的实验结果的拟合精度从图7中选取i=1~41，可以得到式(2)中的ai值如表2所示，对应的近似等效解析力-位移曲线如图8(a)所示．由式(2)得到的拟合曲线与实验曲线相符合．10.13245/j.hust.239141.T002表2多项式系数表iaiiaiiai01.21×108144.77×10-17281.48×10-481-2.76×10715-2.98×10-19291.43×10-5022.87×106161.15×10-2130-8.15×10-543-1.81×10517-1.09×10-2331-3.18×10-5547.68×103184.68×10-2632-1.70×10-575-2.30×103199.73×10-2933-3.26×10-6064.97×100204.66×10-31342.04×10-617-7.62×10-221-1.40×10-3235-3.79×10-6487.82×10-4228.67×10-3636-6.76×10-669-4.18×10-6232.40×10-37373.94×10-6810-1.09×10-8246.16×10-4038-5.35×10-71113.87×10-10251.37×10-4239-1.68×10-7312-2.80×10-1226-4.43×10-44406.29×10-76134.94×10-1527-3.47×10-4641-5.96×10-7910.13245/j.hust.239141.F008图8I-I-I结构力-位移、势能-位移及刚度-位移曲线于是，通过下式可以分别拟合得到势能(Π)-位移和刚度(k)-位移关系为：Πt=∫hminhmaxFdh; (4)k=dFdh, (5)式中hmax和hmin为结构高度的最大值和最小值．相应地可以得到势能-位移曲线和刚度-位移曲线如图8(b)和(c)所示．可以看出：拟合曲线与实验曲线符合很好．类似可以得到其他情形．综上所述，41次多项式可以对三单元MSC串联结构的多稳态进行定性表征，同时对力-位移及势能-位移关系的定量表征效果非常好．这种等效的力学模型也可以作为力学解析分析的基础．须指出的是，本研究虽然用多项式拟合了模型，但是多项式各个系数的物理意义难以明确．在后续工作中将尝试建立解析的力学本构模型，再采用数据辨识的方法，基于不同厚度结构的实验数据来获得模型中的系数．同时，在后续解决动态问题中，将权衡精度与计算量选取更合适于动力学分析的次数进行研究．4 结论现有串联折纸超材料的研究的一般是单元数大于2个的同构折纸超材料，或者是单元数为2的异构折纸超材料．但是在实际的应用中，增加异构单元的个数可以有效增加超材料的可实现构型，同时使其拥有更丰富的力学特性．以三单元MSC折纸超材料为例，研究了其构型切换和力学本构特征．得到以下结论．a．对于异构三单元的MSC串联折纸超材料而言，其单元的展开顺序只和单元自身的双稳态强弱有关，即以双稳态由弱到强的顺序依次展开．在展开的过程中，结构会经历4个势能依次递减的稳定构型(稳定平衡点)；同时，若考虑所有可能的排列方式，超材料则可实现的稳定构型个数为8．b．当超材料存在任意个数的同构单元时，展开顺序满足以下条件：两组拥有不同刚度的同构单元之间的变形顺序遵循刚度小先变形的原则；同构单元之间的变形顺序存在随机性．c．异构/同构三单元的MSC串联折纸超材料的力-位移模型曲线可以用41次多项式进行拟合，且拟合曲线可以定量地对多稳态特性进行表征．该超材料的本构拥有强非线性，刚度可变．d．尽管建立精确的力学模型很困难，但通过实验结果建立等效的力学本构关系，也可提供力学分析的基础．值得注意的是，无论是拉伸还是压缩，单元变形顺序与单元自身双稳态相关．压缩过程也同样遵循单元刚度小先变形的原则，即按照单元双稳态由弱至强依次变化和拉伸顺序相同．本研究的结果可以为设计拥有特定展开顺序的天线雷达提供理论依据；将结果拓展到拥有任意同构/异构单元数量的串联折纸超材料的情况，从而对折纸超材料的研究提供一定启发；为未来进一步研究MSC折纸结构的动态问题分析，解析非线性动力学的多稳态响应提供基础．