随着智能制造的蓬勃发展，机器人在各领域中所占的比例越来越大，机器人的发展程度成为衡量国家智能化水平的关键．机器人关节作为机器人的核心部件具有尺寸扭矩比小、控制精度高、反应迅速等优点，但其寿命制约着机器人的寿命．机器人的发展已经不仅仅局限于工业机器人，各类小型机器人(如服务机器人、特种机器人等)层出不穷，而机器人关节机械结构部分通常由电机加齿轮传动系统组成[1-2]．机器人关节常工作在频繁启动、变载荷等非稳态工况，容易引起齿轮传动系统提前失效．为使机器人关节能够适用于复杂工况，对其进行动力学研究具有重要意义．目前，大量学者研究机器人关节位置控制，即研究电机的输入参数和转角输出两者变化，并不涉及电机和齿轮传动系统的耦合研究，如吴震宇等[3]针对工业机器人RV减速器在运动过程中由于扭转变形等引起的运动不准确问题，采用PI控制方法抑制扭转变形；Sun等[4]对机器人关节串联控制进行研究，通过控制算法实现多个关节运动的精确控制，即在输入端通过改变输入参数来补偿误差．部分学者重点研究齿轮传动系统，莫帅等[5-7]针对面齿轮-行星传动系统进行研究，重点研究静力学均载、动力学均载、支撑刚度、啮合刚度等对固有频率的影响．虽然有部分学者在研究机电耦合动力学，但主要研究大型重载机械的传动系统，易园园等[8-9]研究采煤机在冲击载荷下的机电耦合系统动态特性，考虑传动系统在不同工况下的动力学特性，其研究对象为大模数重载传动系统，对于小模数变位齿轮并未涉及．本研究以机器人扇形关节为研究对象，主要应用于服务机器人、特种机器人、小型机械手等特殊领域．关节主要由电机、传动系统、驱动控制系统等构成并集中于关节内部，其中传动系统由4级平行轴齿轮构成．采用集中参数法利用电机输出转矩和齿轮输入转矩建立机电耦合动力学模型，在考虑电机转速对时变啮合刚度影响的基础上，研究在电机启动过程、受到冲击载荷和机器人关节正反转过程的动态特性，所得结论为精密机器人关节的可靠性优化设计奠定基础．1 机器人关节机电耦合动力学模型1.1　机器人关节设计制造与测试为深入研究机器人关节内部电机与小模数变位齿轮传动系统的耦合关系，设计了一款微型机器人关节，将电机传动系统和驱动控制系统集中于关节内部．以机器人扇形关节为例研究，其传动系统如图1所示．10.13245/j.hust.230214.F001图1机器人扇形关节1.2　传动系统啮合力分析在机器人扇形关节传动系统中，传动方式采用平行轴直齿圆柱齿轮传递动力．首先分析一对直齿圆柱齿轮扭转动力学模型[10]，齿轮副扭振模型如图2所示，图中：下标i和j分别为主动齿轮和从动齿轮；θ为齿轮转角；rb为齿轮的基圆半径；ω为齿轮角速度；φ为齿轮受到的扭转弹性变形；kij，cij，eij分别为啮合时的刚度、阻尼、误差，其值随啮合时单双齿的变化而变化；ψij为两齿轮位置角；αij为两齿轮啮合角．转角表达式为10.13245/j.hust.230214.F002图2齿轮副扭振模型θi(t)=∫ωi(t)dt+φi(t)，(1)式中t为时间．在启动、冲击载荷和电机正反转工况下，电机转速会发生很大变化，导致啮合周期为变值，因此首先利用MATLAB/Simulink将电机转速采集出来，此时关于时间的啮合周期为TM=2π/(Z1ω1)，(2)式中ω1为转动角速度；Z1为齿数．传动系统平稳运行的条件是重合度大于1，而直齿轮重合度的最大值为1.981，因此会出现单双齿交替啮合的情况，当传动系统平稳运转时，啮合刚度呈现周期性变化，采用国际标准ISO6336法计算刚度，将时变啮合刚度(kij(t))和啮合误差(eij(t))利用傅里叶级数展开，表达式为kij(t)=k¯ij[1+∑q=1∞(Aqcos(2πqt)+Bqsin(2πqt))];eij(t)=∑q=1∞eqsin(qωit+ψq);Aq=sin(2πqε)/(πqε);Bq=[1-cos(2πqε)/(πqε)], (3)式中：k¯ij为时变啮合刚度的平均值，可根据经验公式求得；ε为齿轮啮合时的重合度；eq为q次傅里叶展开系数的幅值；ψq为第q阶分量下的相位角，取5次傅里叶展开，时变啮合刚度(TVMS)如图3所示，图中k34为第二级时变啮合刚度．10.13245/j.hust.230214.F003图3稳态状况下传动系统时变啮合刚度啮合力计算公式为Fij=kij(t)δij+cijδ˙ij;cij=2ξijkijri2rj2JiJjri2Ji+rj2Jj;δij=riθi-rjθj-eij(θi,θj), (4)式中：ξij为齿轮i，j啮合时的啮合阻尼比，其值一般为0.03~0.17；J为齿轮的转动惯量．1.3　传动系统扭转动力学模型图4为扇形关节利用集中参数法建立的扭振模型，图中：T为转矩，下标m和L为电机和负载；kj和Cj ( j=1~5)为轴j的扭转刚度和扭转阻尼；θz (z=1~9)为齿轮z的转角．与大型重载齿轮相比，机器人扇形关节齿轮很小，齿轮与轴为间隙配合，双联齿轮在制造工艺上采用铆接结构，当齿轮失效时，常发生在铆接部位，本研究将双联齿轮进行放大，将其分解为在一根轴上的两个齿轮，并考虑扭转刚度、扭转阻尼对齿轮啮合的影响，电机轴的扭转刚度(k1)和扭转阻尼(c1)表达式为k1=GI1/l1;c1=2ζk1JmJ1Jm+J1, (5)式中：G为剪切模量，与材料有关；I1为轴截面的极惯性矩，按实心轴惯性矩计算；l1为受扭电机转子长度；ζ为材料的扭转阻尼比，其值为0.005~0.075；Jm和J1分别为电机和齿轮1转动惯量．10.13245/j.hust.230214.F004图4扇形关节传动系统动力学模型双联铆接齿轮扭转刚度(ki)、扭转阻尼(ci)的计算公式为ki=GIi/li;ci=2ζkiJiJi+1Ji+Ji+1;Ii=πD4(1-(d/D)4)/32, (6)式中：li为双联齿轮在两齿宽中点之间的距离；d为齿轮内孔直径；D为双联齿轮中小齿轮的基圆直径．双联齿轮扭转模型如图5所示，图中：下标z为第z个齿轮；B为齿宽．将齿轮啮合时的均布载荷集中到齿轮啮合中点位置．10.13245/j.hust.230214.F005图5双联齿轮扭转模型根据牛顿第二定律建立传动系统的动力学模型，以第一级啮合传动为例，列写扭转运动方程J1θ¨1=k1(θm-θ1)+c1(θ˙m-θ˙1)-F12r1;J2θ¨2=F12r2-k2(θ2-θ3)-c2(θ˙2-θ˙3). (7)式中Fz(z+1)为第z和z+1齿轮的啮合力．在扇形关节的传动系统中，第四级中为了磁编码器可以读取输出端的位置转速，故加入了等齿数的惰轮，惰轮的扭转运动方程为J7θ¨7=k4(θ6-θ7)+c4(θ˙6-θ˙7)-F78r7;J8θ¨8=F78r8-F89r8;J9θ¨9=F89r9-k5(θ9-θL)-c5(θ˙9-θ˙L). (8)负载端扭转运动方程为JLθ¨L=-TL+k5(θ9-θL)+c5(θ˙9-θ˙L)．(9)电机转子扭转运动方程为Jmθ¨m=Tm+k1(θ1-θm)+c1(θ˙1-θ˙m)-cmθ˙m，(10)式中cm为电机转子在运转过程中的黏性摩擦系数．1.4　电机-齿轮传动系统机电耦合模型采用直流有刷电机为动力源，直流电动机的优点为启动性能良好、调速简单，在机器人领域应用广泛，其中电机的调速方式采用脉冲宽度调制(PWM)方式．直流电机电动势(Ea)和电磁转矩(Tm)的表达式为Ea=pN60aϕn=Ceϕn；(11)Tm=pN2πaϕIa=CTϕIa，(12)式中：p为极对数；N为电枢总导体数；a为支路对数；Ce为反电动势系数；ϕ为磁通；n为电动机转速；CT为电机转矩常数；Ia为电枢电流．通过Tm建立机电耦合动力学方程，即Jθ¨+(c+c')θ˙+(k+k')θ=TL+E+Tm;Tm=CTϕIa;Ea=Ceϕn, (13)式中：c和c'分别为啮合阻尼和扭转阻尼矩阵；k和k'分别为啮合刚度和扭转刚度矩阵；θ为转角向量；J为转动惯量矩阵；TL为负载转矩向量；E为啮合误差激励向量；Tm为电机电磁转矩向量．2 机电耦合传动系统动态特性分析根据动力学方程，建立机器人扇形关节仿真模型，电机采用1718型空心杯电机，电机参数可参考文献[11]．关节运动控制采用转速、电流双闭环控制[12-13]．针对启动、受到冲击和电机正反转三种非稳态工况进行动态特性分析，其中三种工况的设定转速为1×104 r/min．启动过程采用空载启动，冲击采用负载增大为原来三倍模拟冲击，正反转带有50%的额定负载，根据机电耦合动力学方程，利用4~5阶龙格库塔进行求解微分方程．齿轮主要参数见表1，机器人关节输出端正常转速范围在0~0.5 r/s，输出最高转速可达0.92 r/s，其中转速调节通过单片机芯片STM32F103T8U6的高级时钟控制，采用PWM方式进行调试，即通过改变平占空比来改变输入电机的平均电压，从而达到调节电机转速的目的．在本实验中，为验证机器人关节在常规转速下的瞬态特性，将电机转速设定为1×104 r/min，对应输出端转速为0.42 r/s．10.13245/j.hust.230214.T001表1齿轮主要参数齿轮齿数模数/mm变位系数/mm齿宽/mm1140.20.453.22820.20.251.53120.30.552.44540.30.102.45140.40.604.26420.40.202.3790.50.584.38450.50.003.59450.50.003.52.1　启动过程中的动态特性分析考虑机器人关节在空载状态下启动，转速(n)、电流(Ia)如图6所示，当电机启动时，启动瞬间电流迅速上升，电机产生很大的冲击电流，在电流环的保护下电流被限定在额定电流的1.2倍．当达到设定转速时，在双闭环的调节下又会产生负值电流使超调转速降到设定值以下，此时转矩变为负值．空载启动完成时电流在0值附近变化，与文献[14]结果类似，可以验证本研究搭建模型的正确性．10.13245/j.hust.230214.F006图6启动过程电机转速、电流图7给出了机器人扇形关节在启动过程中前三级齿轮的啮合力、时变啮合刚度和时频分布，图中：A为幅值；f为频率．首先对启动时的啮合力进行分析，以第一级齿轮为例进行计算，转矩(T)和啮合力(F)的计算公式为T=9 550P/n;F=T/r, (14)式中：P为电机的功率；r为对应轴上齿轮的分度圆半径．在本研究中，机器人扇形关节电机功率为4 W，额定转速为1.76×104 r/min，电机轴上齿轮分度圆半径为1.4 mm，由式(14)可得额定工况下的计算啮合力为F12=1.55 N，当启动未达到设定转速时，电流是影响啮合力的主要因素，将其考虑为额定工况，但电流增大为额定电流1.2倍，导致啮合力增大为原来的1.2倍，故F12=1.55×1.2=1.86 N．在图7(a)中，通过4~5阶龙格库塔求解机电耦合动力学方程，得到啮合力平均值在1.8 N附近，从而验证动力学模型的准确性．10.13245/j.hust.230214.F007图7启动瞬间传动系统动态特性启动瞬间电流迅速增大导致传动系统产生冲击，在双闭环的控制下，电流变为负值使转速下降，导致啮合力也随之下降，并出现阻止转动的趋势，此时齿轮受力点发生变化，出现反向冲击，在啮合刚度图上也出现明显的啮合频率下降的现象，并且啮合力的变化相对于电机电流变化具有明显的滞后性．在进入稳态后由于空载启动，啮合力也在零值附近抖动．将三级啮合力对比发现只有第一级齿轮在电机启动时啮合力发生大的冲击，并且在下降时的变化倍数也不同，第一级的负值占整个下降过程的0.37，第二级占0.33，第三级占0.27，表明电流在减小时反向冲击影响最大的是第一级．本研究采用短时傅里叶变换，短时傅里叶变换适用于非稳态工况下时频分析，其原理为将原来的快速傅里叶进行加窗，为短时间上的快速傅里叶．在时频分布图中可以看出：随着启动过程的进行，啮合频率越来高，倍频也出现相同的趋势，观察整个时频分布发现一倍啮合频率的颜色最深，且呈现啮合倍频越高，颜色越浅即幅值越小．2.2　冲击载荷下动态特性分析系统在受到冲击时动态特性如图8所示．在电机启动平稳后即1.4 s时加入了冲击，由20%的额定负载变为原来的3倍以模拟在受到冲击时的动态特性，由转速图可知在受到冲击后转速降低，后又慢慢恢复为设定转速，在电流图中，转速下降后，在双闭环参数的调节下，电流迅速上升，产生超调后又迅速下降，直到进入稳态．将启动和冲击过程转速图对比可以看出，带负载启动时启动时间加长．10.13245/j.hust.230214.F008图8冲击过程电机转速、电流图9给出了机器人扇形关节在受冲击过程中前三级齿轮的啮合力、时变啮合刚度和时频分布．由图8可知：当电机启动1.15 s时，启动过程完成，为方便对冲击状况研究，更加充分有效的考虑冲击过程带来的影响，将1.15 s作为冲击动态特性的0点．10.13245/j.hust.230214.F009图9冲击瞬间传动系统动态特性受到冲击时啮合力迅速增大，并且在冲击的持续作用下，啮合力变化幅度增大，容易引起系统的振动、噪声[15]．从时变啮合刚度图可以看出：第一级齿轮在转速下降时啮合频率变化很小，而第二级齿轮啮合频率有明显降低，在高速级齿轮容易产生脱啮现象．当产生冲击时，由啮合力的变化可知：输出端的应力变化幅度要明显大于高速级，可见冲击对啮合力影响最大位置在输出端．在图9的时频分布图上可以看出：受冲击前后颜色发生了变化，受冲击后的颜色更深说明冲击使幅值增大，更容易引起零件的损坏．2.3　正反转状态中动态特性分析机器人关节常常工作在连续变速和急停工况下，为提高效率常常须要使电机连续正反转变化，故进行正反转状态分析是十分必要的．从控制的角度入手，考虑改变电机正反转情况下传动系统的动态特性．图10给出电机正反转工况下的转速和电流．假定当所得数据为正值时表示电机正转，负值时表示电机反转．由图10可知：控制电机在1.5 s进入反转状态，并且在反转未达到稳态时又立即恢复正转．反转变化比正转变化快是因为电机在运转时始终作用于50%的额定负载，在正转时表现为抑制转动的效果，在反转时表现为促进效果，故反转比正转更容易达到设定转速．为方便分析将1 s作为动态特性分析的0点．10.13245/j.hust.230214.F010图10正反转过程转速、电流图11给出了在正反转工况下的啮合力、时变啮合刚度和啮合力的时频分布．在电机正反转变化时，三级齿轮的啮合力均表现出正负变化的现象，特别是在第一级齿轮上出现从正转向反转变化过程中，出现了过冲现象．电流增大导致啮合力的变化范围也随之增大并且齿轮工作在大的交变应力作用下容易提前失效．通过对时变啮合刚度进行分析发现电机在1.5 s左右再次发生正转，对比第二级时变啮合刚度发现，第一级传动系统出现了脱啮现象，使系统受到冲击和噪声，同时对齿轮寿命造成影响．第三级时变啮合刚度图中，在0.5 s出现了刚度值没达到单齿啮合值又上升的现象，说明此时齿轮正在由正转变为反转．10.13245/j.hust.230214.F011图11正反转瞬间传动系统动态特性在图11时频分布图中，由于运动的复杂性，采用短时傅里叶对啮合力进行分析已经不适用，故引入小波分析．可以发现：电机在正反转的过程中齿轮受到的幅值明显比在稳态下的变化大，故应对电机的变速过程加以控制，以提高传动系统的寿命，随着速度的降低其频率降低但幅值增大，在第三级上正反转变化带来的频率错综复杂更加明显．3 结论a．构建了机电耦合传动系统动力学模型，在考虑时变啮合刚度、齿侧间隙和电机电磁特性等因素的基础上将双联齿轮本身等效为轴的扭转刚度和扭转阻尼，分析小模数变位齿轮在启动、冲击和电机正反转等瞬态过程中的动态特性．b．在电机启动的过程中，虽然电机电流被限定在额定电流的1.2倍，但电机与齿轮传动系统发生了强烈的耦合作用，传动系统表现出啮合力迅速增大后又出现反冲的现象，其中高速级的影响最为明显．齿轮传动系统的动态特性表现出与电流类似的变化规律，但在时间上表现出明显的滞后性．c．当遭受冲击等负载变化时，低速级齿轮传动系统受到冲击最为明显，转速降低后，双闭环控制提高了电机输出转矩，同时啮合力变化幅度增大引起系统的振动，因此当设计传动系统时，应适当提高传动系统输入和输出两级的使用安全系数．d．当电机主动进行正反转变化时，齿轮受到交变应力作用，容易产生疲劳裂纹，在正反转的瞬间高速级齿轮极易出现脱啮现象，正反转变化越迅速高速级齿轮脱啮现象越严重．对于机器人关节等常用于频繁启动的机电耦合系统，要充分考虑控制算法带来影响，从而提高传动系统寿命．