连续型机械臂由柔性材料制作，具有高柔顺性、复杂环境适应性及安全人机交互性等特点[1]，线缆驱动方式在柔性机器人中被广泛应用[2]．然而，连续型机械臂模型具有的非线性和多变量强耦合特性，给精确建模和控制研究带来了新挑战．针对线驱连续型机械臂的建模问题，目前有机理分析建模和黑箱建模两类方法．机理法根据柔性机械臂中心弹性杆的弯曲形变，基于分段常曲率假设、悬臂梁理论和有限元等方法建立机械臂的数学模型．文献[3]提出了一种基于改进分段常曲率的柔性机器人状态空间参数化建模方法．基于离散Cosserat模型，文献[4]提出了一种分段恒定应变动力学模型．文献[5]通过有限元建模描述连续型机器人的运动学特征．然而，上述建模过程非常复杂，所得柔性臂模型很难用于控制器设计．黑箱法对连续型机械臂建模常采用神经网络技术．文献[6]提出了一种有监督学习方法求解非常曲率柔性机械臂的逆静力学模型．文献[7]采用极限学习机、高斯混合回归和最近邻回归获得了机器人三维位置状态到控制输入的非线性映射．文献[8]通过训练具有单个隐藏层的多层感知器得到柔性臂的逆运动学模型．文献[9]提出了基于自回归小波神经网络的自适应动态面控制方法，实现了关节轨迹跟踪控制．文献[10]使用回归分析和人工神经网络导出经验模型，并使用新数据集对模型进行验证．然而黑箱建模方法数据采集困难、耗时长，且难以获得全空间下的连续型机械臂模型．近年来，针对不确定非线性复杂系统，无模型自适应控制(model-free adaptive control，MFAC)[11]受到广泛关注．MFAC方法仅基于输入输出数据即可进行实时控制．根据数据信息长度的不同，动态线性化模型分为紧格式动态线性化(compact form dynamic linearization，CFDL)数据模型、偏格式动态线性化(partial form dynamic linearization，PFDL)数据模型、全格式动态线性化(full form dynamic linearization，FFDL)数据模型三类．目前，MFAC已经得到了广泛应用，如电力系统稳定器设计[12]、多自由度机器人外骨骼控制[13]、下肢假肢运动控制[14]、航天器控制[15]及无人车轨迹控制[16]等．本研究针对线驱连续型机械臂的末端位置控制问题，应用MFAC技术设计了一种无模型自适应控制算法．基于机械臂的驱动线缆长度变化和末端位置数据，采用紧格式动态线性化方法，将复杂非线性机械臂系统等价为动态线性时变模型，进而设计出无模型自适应控制算法及伪雅可比矩阵估计和重置算法，构建了连续型机械臂的ADAMS虚拟仿真样机，并进行Matlab联合仿真，取得了较好的控制效果，验证了所提算法的有效性，为连续体的控制问题提供了新的解决思路．1 线驱连续型机械臂末端三维空间位置控制问题描述本研究的线驱连续型机械臂由超弹性碳纤维杆、基座盘、间隔盘、末端盘和驱动线缆组成，如图1所示．间隔盘等间距固连在碳纤维杆上，3根驱动线缆穿过间隔盘的线缆孔，固定在末端盘上．通过线缆的收放控制连续型机械臂的运动，改变其形态，进而调整机械臂末端位置．10.13245/j.hust.230212.F001图1线缆驱动连续型机械臂示意图针对线缆驱动的连续型机械臂，通过改变3根驱动线缆的长度配置可使机械臂产生相应形变，并对应唯一的位置输出响应，故可将以绳长为输入、末端位置为输出的机械臂系统表示为一类多输入多输出离散时间非线性函数，即p(k+1)=f(p(k),p(k-1),⋯,p(k-np),u(k),u(k-1),⋯,u(k-nu)), (1)式中：p(k)∈R3，u(k)∈R3分别为k时刻系统的输出和输入，其中p(k)为机械臂末端位置，u(k)为线缆长度配置；系统阶数np，nu为两个未知的正整数；f(⋅)∈∏nu+np+2R3↦R3为未知非线性向量值函数．线驱连续型机械臂末端位置控制问题，即为求取合适的u(k)，使得p(k)能够快速、准确地抵达目标位置．2 机械臂末端三维空间位置控制方案针对线驱连续型机械臂机理法建模复杂且难以获得精确模型的问题，引入紧格式动态线性化方法获得机械臂数据模型，在此基础上提出了一种机械臂末端位姿的无模型自适应控制算法．2.1　紧格式动态线性化在外部环境稳定，连续型机械臂受驱动线缆的控制发生连续弯曲变形的情况下，系统(1)满足下列假设．假设1 期望输出信号p*(k)一致有界的条件下，总存在一致有界的输入u(k)，使得系统输出信号p(k)=p*(k)．假设2 函数fi(⋅) (i=1，2，3)，关于各个时刻的输入量具有连续的偏导数．假设3 系统(1)满足广义李普希茨条件，即对任意k1≠k2,k1,k2≥0和u(k1)≠u(k2)有p(k1+1)-p(k2+1)≤bu(k1)-u(k2)，(2)式中b0，且为一个常数．注1 连续型机械臂受控制输入u(k)的驱动，末端位置状态量连续变化，在机械臂不与外部环境发生接触的情况下，末端轨迹连续可导．易知，实际系统不同时刻的控制输入变化量Δu有界，即输入能量有界，对应的输出能量亦有界，满足广义利普希茨假设条件．引理1[11] 对于满足假设1~3的非线性系统(1)，当Δu(k)≠0时，一定存在一个伪雅可比矩阵(PJM)Φc(k)∈R3×3，使得系统(1)可转化为如下CFDL数据模型Δp(k+1)=Φc(k)Δu(k)，(3)式中：Φc(k)=ϕ11(k)ϕ12(k)ϕ13(k)ϕ21(k)ϕ22(k)ϕ23(k)ϕ31(k)ϕ32(k)ϕ33(k)∈R3×3为系统的PJM，在采样周期和Δu(k)变化较小的情况下，Φc(k)为一系列慢时变参数，且对任意时刻k，Φc(k)是有界的；Δp(k+1)=p(k+1)-p(k)；Δu(k)=u(k)-u(k-1)．CFDL方法的结构简单且可调参数适中，以控制器的设计为导向，为实现计算负担小、易于工程应用且鲁棒性强的控制提供了基础．2.2　控制器设计利用系统的CFDL数据模型(3)，考虑如下的控制输入准则函数J(u(k))=p*(k+1)-p(k+1)2+λu(k)-u(k-1)2, (4)式中λ0为权重因子，设置右式第二项的目的是防止线缆长度的输入量发生剧烈变化．将式(3)代入式(4)中，对u(k)求导，并令其等于0，得u(k)=u(k-1)+ρΦcΤ(k)(p*(k+1)-p(k))λ+Φc(k)2, (5)式中：ρ∈(0,1]为步长因子，可使控制算法更具一般性；Φc(k)为时变参数，可根据系统的输入和输出数据设计Φc(k)估计算法，对PJM进行在线估计．考虑如下的PJM估计准则函数J(Φc(k))=Δp(k)-Φc(k)Δu(k-1)2+μΦc(k)-Φ^c(k-1)2, (6)式中μ0为权重因子，用于限制PJM估计值的过大变化；Φ^c(k-1)为(k-1)时刻PJM的估计值，      Φ^c(k-1)=ϕ^11(k-1)ϕ^12(k-1)ϕ^13(k-1)ϕ^21(k-1)ϕ^22(k-1)ϕ^23(k-1)ϕ^31(k-1)ϕ^32(k-1)ϕ^33(k-1)∈R3×3.当系统运行至稳定状态时，J(Φc(k))趋近一个极小的正数Jε．式(6)对Φc(k)求导并令其等于0，可得      Φ^c(k)=[η(Δp(k)-Φ^c(k-1)Δu(k-1))∙ΔuΤ(k-1)]/μ+Δu(k-1)2+Φ^c(k-1), (7)式中η∈(0,1]为步长因子．η越大，式(7)收敛至系统的真实PJM附近越快．设ε为任意小正常数，M为ϕ^ij(k)的上确界，其中j=1，2，3．为保证PJM估计算法对时变参数的适应性，当|ϕ^ij(k)|≤ε或|ϕ^ij(k)|≥M或sign(ϕ^ij(k))≠sign(ϕ^ij(1))时，使ϕ^ij(k)=ϕ^ij(1)，(8)式中ϕ^ij(1)为ϕ^ij(k)的初值．ϕ^ij(k)符号不变条件保证了系统输入、输出能量的一致性．无模型自适应控制算法框图如图2所示，图中Z-1为单位时延模块．10.13245/j.hust.230212.F002图2无模型自适应控制框图2.3　稳定性分析为了分析所提控制算法的稳定性，首先介绍一个相关引理．引理2[11] 对于满足假设1~3的非线性系统(1)，当p*(k+1)=p*且为常数时，基于紧格式动态线性化方法，最小化加权一步向前预报误差和输入量的一阶差分，所得控制算法具有以下结论．a．系统输出跟踪误差序列是收敛的，且limk→∞p(k+1)-p*v=0，其中(⋅)v为(⋅)的相容范数；b．闭环系统是有界输入有界输出(bounded input bounded output，BIBO)稳定的，即输出序列{p(k)}和输入序列{u(k)}是有界的．由引理2可知，对于本文研究的连续型机械臂系统，在式(5)控制律的作用下，机械臂末端三维空间位置闭环控制系统是BIBO稳定的，系统输出位置误差序列渐近收敛至0．3 仿真分析本研究针对线驱连续型机械臂末端三维空间位置控制问题，采用虚拟样机技术，通过ADAMS与Matlab联合仿真，验证所提无模型自适应控制算法对机械臂末端位置控制的有效性．通过单目标位置与多目标位置控制实验检验控制算法的鲁棒性及位置控制精度．将SolidWorks中构建好的机械臂CAD模型导出为“.x_t”格式的模型文件，导入ADAMS多体动力学仿真软件，采用拉伸法对中心碳纤维杆和驱动线缆进行柔性化处理，拉伸法保证了柔性化后的模型精度，使生成的虚拟样机最大程度接近实际物理系统，线驱连续型机械臂材料参数如表1所示．10.13245/j.hust.230212.T001表1线驱连续型机械臂材料参数参数中心碳纤维杆驱动线缆密度/(g∙cm-3)1.755.10弹性模量/(GPa)230150泊松比0.3070.247机械臂经柔性化处理后，创建所需的输入驱动线缆长度和输出末端位置变量，借助ADAMS中的Controls插件，将模型封装成名为“adams_sub”的Simulink模块，作为算法验证的控制对象，实验过程中由“adams_sub”模块实时反馈机械臂虚拟样机的数据，实现MATLAB和ADAMS联合仿真．3.1　单目标位置控制实验仿真实验的控制目标是使机械臂末端笛卡尔空间位置到达给定的期望值p*(k+1)=[px*,py*,pz*]=[340,430,-250]，应用多入多出紧格式无模型自适应控制(CFDL-MFAC)算法的系统输出记为p(k)=[px(k)，py(k),pz(k)]，控制输入记为u(k)=[ul1(k)，ul2(k),ul3(k)]，上述p*(k+1)，p(k)和u(k)的单位均为mm．系统初值为u(0)=[0,0,0]，p(0)=[0,600,0]．PJM的初值设置为Φ^c(1)=1-10.01-0.5-1-0.5-0.5-0.51，权重因子λ=10，μ=5，步长因子ρ=0.01，η=1，控制周期设置为50 ms．其中，系统闭环响应速度和超调量受λ控制，λ越小，系统响应速度越快，超调量相应变大．本研究所选参数在保证系统响应快速性的同时，抑制了因超调产生的连续型机械臂抖振现象．为了验证所提算法的有效性，与多变量PID控制算法进行比较，多变量PID控制器的结构为      u1(k+1)u2(k+1)u3(k+1)=u1(k)u2(k)u3(k)+KP11KI11KD11KP12KI12KD12KP13KI13KD13KP21KI21KD21KP22KI22KD22KP23KI23KD23KP31KI31KD31KP32KI32KD32KP33KI33KD33×e1(k)-e1(k-1)e1(k)e1(k)-2e1(k-1)+e1(k-2)e2(k)-e2(k-1)e2(k)e2(k)-2e2(k-1)+e2(k-2)e3(k)-e3(k-1)e3(k)e3(k)-2e3(k-1)+e3(k-2),式中：KPij,KIij,KDij分别为第i个输入对第j个输出控制通道的比例、积分、微分参数；e1,e2,e3分别为X，Y，Z方向的误差．PID参数经多次实验择优选取，具体参数为     KP11KI11KD11KP12KI12KD12KP13KI13KD13KP21KI21KD21KP22KI22KD22KP23KI23KD23KP31KI31KD31KP32KI32KD32KP33KI33KD33=0.520.060.720.130.050.130.130.050.130.130.050.130.520.060.720.130.050.130.130.050.130.130.050.130.520.060.72.图3为笛卡尔空间X，Y，Z方向位置响应曲线，仿真时间t=200 s．可知：基于多变量PID算法的欧氏距离误差为6.57 mm，基于CFDL-MFAC算法的欧氏距离误差为2.56 mm，误差收敛到较小的区间内，收敛速度明显快于多变量PID算法，说明本文算法具有更快的响应速度和更高的准确性．10.13245/j.hust.230212.F003图3X，Y，Z方向位置响应曲线图4为伪雅可比矩阵估计值曲线，估计值快速收敛，此后几乎保持不变．图5为CFDL-MFAC控制输入曲线，可以看出控制输入是有界的．10.13245/j.hust.230212.F004图4Φ^c(k)的估计值曲线10.13245/j.hust.230212.F005图5CFDL-MFAC控制输入曲线3.2　多目标位置控制实验为了进一步验证所提算法的控制性能，在不改变λ，μ，ρ，η的情况下，进行了多目标位置控制实验．针对5个有先后顺序的目标位置，连续型机械臂末端从初始位置出发，依次运动至p1*，p2*，p3*，p4*，p5*，最后回到p1*，形成封闭的运动轨迹，目标位置坐标如表2所示．10.13245/j.hust.230212.T002表2目标位置坐标位置XYZp1*-340.0430.0-250.0p2*-98.7573.0-117.6p3*-340.0430.0250.0p4*157.9526.7-188.1p5*340.0430.0-250.0mm图6和7分别为所提算法在X，Y和Z方向的输出误差曲线和PJM估计值曲线，柔性臂运动至所有目标点的平均欧式距离误差为2.61 mm，占机械臂总长度的0.43%．10.13245/j.hust.230212.F006图6CFDL-MFAC输出误差曲线10.13245/j.hust.230212.F007图7多目标位置控制下的Φ^c(k)估计值曲线图8为ADAMS中的线驱连续型机械臂末端运10.13245/j.hust.230212.F008图8多目标位置控制末端运动轨迹(俯视图)动轨迹(俯视图)，可以看出：机械臂末端能够较为精确地抵达目标位置，运动轨迹连续、平滑，满足线驱连续型机械臂末端三维空间位置控制要求．4 结语本研究针对线驱连续型机械臂末端三维空间位置控制，提出了一种基于紧格式动态线性化的无模型自适应控制算法，利用输入驱动线缆长度和输出末端位置数据，设计了伪雅可比矩阵估计和重置算法及无模型自适应控制算法，实现了机械臂末端三维空间位置控制，仿真实验结果表明：所提控制算法能够满足机械臂稳定及精确控制要求，为解决此类非线性系统的复杂控制问题提供了新思路．