GRACE/GRACE Follow-On任务在陆地水储量变化[1-3]、冰盖质量变化与冰川均衡调整[4-7]、海平面变化[8-10]、地壳形变[11]、地震评估[12-13]等地球科学领域贡献卓越，而海潮混频误差已成为GRACE/GRACE Follow-On反演重力场的显著误差源[14-17]，制约着时变重力场的进一步应用．欧洲航空局和美国宇航局联合发布了题为“下一代重力卫星任务(next generation gravity mission，NGGM)：质量变化与地球科学国际星座(mass-change and geosciences international constellation，MAGIC)”的任务需求报告，确定了以Bender卫星星座为基本任务构型的下一代重力卫星任务发展目标．大部分海潮分量的信号频率都远高于单个卫星的采样频率，由有限轨道面构成的卫星重力任务对海潮信号先天具有欠采样特性，使得海潮信号以低频形式混入地球重力场信号，产生海潮混频效应．为了最大限度削弱海潮混频效应对反演重力场的影响，通常通过在数据处理过程中引入海潮模型来扣除海潮信号．但是，由于海潮模型不能准确估计海潮信号，最终其模型误差以混频的形式混入反演重力场，形成海潮混频误差．海潮混频误差能否有效削减关系着未来重力卫星任务能否有效地完成其科学任务．早在GRACE卫星任务发射之前，Knudsen等[18]以半恒星日为采样周期估算了GRACE海潮混频频率．随后，Knudsen[19]考虑GRACE卫星交点进动影响，对GRACE海潮混频频率进行了重新估计．Ray等[20]通过考虑轨道面进动与引潮天体的相对关系估计海潮混频周期．此后，Ray等[21]根据轨道面进动重新估计了海潮混频周期．Tourian[22]采用GRACE半交点日作为采样周期来估计海潮混频周期．Seo等[23]利用美国喷气动力实验室(JPL)提供的GRACE L1b数据模拟了海潮沿轨误差．王长青等[24]利用轨道模拟检测了短周期潮波的混频周期．赵倩等[25]讨论了钟摆编队等卫星任务构型对对消除海潮混频误差的影响．Liu 等[26]利用数据驱动-频谱分析法估计了两对GRACE-type卫星编队任务中海潮混频周期．Liu等[27]系统地阐述单轨道面重力卫星任务中的海潮混频的机理，并在此基础上分析了CHAMP，GOCE，GRACE和GRACE Follow-On卫星任务的海潮混频特征．以上学者研究了单轨道面重力卫星任务中海潮混频问题，并系统阐述了其海潮混频机理，对多轨道面重力卫星任务的海潮混频问题的研究仅停留在轨道数值模拟上，其混频机理尚不清楚．特别地，针对Bender模式的双轨道面重力卫星任务海潮混频的研究甚少，其混频特性尚不明确．本研究通过理论分析和模拟计算，采用混频机理和频谱分析，对Bender模式重力卫星的海潮混频特性进行分析．研究结果可为下一代重力卫星任务的海潮混频误差的处理提供理论依据和实践指导．1 卫星重力中的海潮混频机理重力卫星观测是对地球连续地球物理信号的离散采样．由于卫星不能在短时间内重访地球同一区域，卫星观测对海潮、大气和非海洋潮汐等高频地球物理信号存在欠采样．高频信号由于欠采样而混入低频地球重力场信号，造成海潮混频．不同于大气和非海洋潮汐等高频信号受自然气候环境和外太空环境等影响而没有固定、可预测的信号频率，海潮分量的频率可以精确确定．如果可以准确估计混频频率，那么混频误差就有望在数据后处理中予以削减乃至消除，因此解决海潮混频问题的第一步是准确确定海潮混频频率．混频机理可以简单阐述为两步(如表1所示)：第一步由轨道对海潮信号(信号频率为ft)欠采样引起，采样频率为轨道面在地球固定坐标系下的进动率Λ˙，所得信号称为第一混频信号，其频率为第一混频频率fap；第二步由重力场反演对第一混频信号欠采样引起，采样频率为重力场反演周期倒数1/Tr，所得信号称为第二混频信号，频率为第二混频频率fas．根据信号频率和采样频率，混频频率为[27]fa=min(|f-nfs|)   (n∈Ν)，(1)式中：f为信号频率；fs为采样频率；fa为混频频率；n为能使|f-nfs|取得最小的任意整数．对于特定卫星重力任务，利用卫星轨道参数可计算轨道采样频率Λ˙，将海潮信号频率ft和轨道采样频率Λ˙代入式(1)右端可计算第一混频频率fap；将第一混频频率fap作为信号频率，与采样频率1/Tr同时代入式(1)右端，可计算第二混频频率fas．10.13245/j.hust.230301.T001表1卫星重力测量中海潮混频机理混频过程信号频率采样频率混频频率第一混频第二混频ftfapΛ˙1/Trfapfas混频机理可以很好地应用于单对卫星的海潮混频问题．对于多对卫星，由于同一时间间隔内采样增加，海潮混频频率是否会由于更多数据的融合而呈现不同的特征，须更深入的研究．这里首先将混频机理应用于Bender模式卫星任务，再通过闭环数值模拟对反演重力场时间序列进行分析，两种方式联合分析，进而确定Bender模式重力卫星测量的海潮混频特性．2 数据驱动-频谱分析法数据驱动-频谱分析法是利用单个海潮分量作为输入信号，模拟特定卫星重力任务观测过程，利用模拟观测值反演重力场，通过估计反演重力场时间序列的功率谱密度(power spectral density，PSD)来确定反演作用下的混频频率[26]．不同于基于混频机理利用式(1)计算海潮混频频率，该方法通过数值模拟与数值分析获取卫星重力任务的海潮混频频率，可补充验证基于海潮混频机理计算的海潮混频频率．具体步骤如下：a．获取反演重力场模型系数并构成时间序列；b．计算每一时刻的大地水准面格网值并形成时间序列；c．由大地水准面网格时间序列计算网格功率谱密度(PSD)；d．根据研究区域基于相同频率计算全球(区域)平均功率谱密度．由此计算的平均功率谱密度可作为时间序列的基本频谱特征．Liu等[26]讨论了该方法的可行性．利用该方法与混频机理推导可联合分析Bender-type重力卫星的混频特性．3 Bender-type海潮混频特性3.1　数据与模拟采用频谱分析方法和海潮混频机理计算公式同时估计海潮混频频率，从而进行相互验证，确定Bender-type的海潮混频特征．为了利用频谱分析方法验证海潮混频机理计算的海潮混频频率，分别闭环模拟了海潮分量M2，N2，S2，K2，O1，P1，Q1，K1的重力卫星观测与反演，模拟起始时间为2002年1月01：00时，模拟时长为5 a，反演周期为11 d，反演最高阶次为60．模拟方案如表2所示．选用重复轨道是为了保证在反演周期内轨道覆盖均匀，便于计算和分析．混频机理本身对轨道类型没有要求，可同时适用于重复轨道和非重复轨道，因此本文结论同样适用于非重复轨道的重力卫星任务．输入信号为单个海潮分量的海潮误差，由海潮模型EOT08a与GOT4.7差值表示．由于两个海潮模型建立时所采用的数据有重叠，两海潮模型可能具有很大相关性，因此将两模型差值作为海潮模型误差，相较于实际情况可能会存在低估．鉴于海潮频率是唯一相关因素，而海潮的量级不会影响研究结果，所以海潮模型误差可以用上述方式近似表达．10.13245/j.hust.230301.T002表2模拟方案示意模拟方案GRACE-typeBender-type极轨卫星极轨卫星倾斜轨卫星重复周期圈数172172460天数111129轨道倾角/(°)9292115轨道高度/km362362342模拟方案的基本设置为：闭环模拟输入单个海潮分量模型误差，通过模拟轨道观测值并进行重力场解算，获得单个海潮分量的反演重力场．由于输入为单个海潮分量，且模拟过程未引入其他信号和噪声作为干扰，所反演重力场即输入海潮分量经过轨道欠采样和重力反演欠采样后产生的海潮混频误差，对其进行分析可以直接得到海潮混频频率．3.2　频谱分析对模拟反演的重力场时间序列按照图1的频谱分析方法进行分析．功率谱密度计算采用矩形窗周期图法，周期图用采样点数a=128点的快速傅里叶变换求得．采用不同的移动窗会使结果在频谱分辨率(主瓣宽度)和频谱掩模(旁瓣振幅衰减)间做取舍与平衡．采用矩形窗是为了得到高的频谱分辨率，以准确地估计混频频率．快速傅里叶变换的a可以决定功率谱密度的频率分辨率，a越大，频谱分辨率越高．采样点数a的选取受限于时间序列的长度b(所含历元数)，基本原则是a为不大于b的最大2次幂指数．如果a大于b，在傅里叶变换时须要在时间序列末尾补0．功率谱密度网格平均在全球范围内进行，该方法不受地域的影响[26]．3.3　Bender-type重力卫星星座频谱特性如表2所示，模拟的Bender-type重力卫星星座由一对极轨卫星和一对倾斜轨道卫星组成．此外，由极轨卫星对组成GRACE-type重力卫星编队，用于同步验证海潮混频频率是否会根据不同卫星对的组合而形成耦合效应．根据混频机理，极轨卫星对和倾斜轨道卫星对的第一混频频率和第二混频频率可以分别求得．根据数据驱动-频谱分析法，计算模拟所得重力场时间序列的功率谱密度，可以确定GRACE-type以及Bender-type卫星任务的混频频率．图1给出了由混频机理和数据驱动-频谱分析法求得的各模拟方案下海潮分量的混频频率．其中：红色短线表示极轨卫星根据混频机理计算的第二混频频率(fas of polar pair)；蓝色短线表示倾斜轨道卫星根据混频机理计算的第二混频频率(fas of inclined pair)；深灰色曲线表示根据数据驱动-频谱分析法计算所得GRACE-type重力卫星功率谱密度曲线；浅灰曲线表示根据数据驱动-频谱分析法计算所得Bender-type重力卫星功率谱密度线．10.13245/j.hust.230301.F001图1GRACE模式与Bender模式重力卫星混频频率由图1可知：Bender-type卫星中极轨卫星的混频频率与GRACE-type重力卫星的混频频率高度重合．由此可知：当由多对重力卫星构成卫星星座时，处在不同轨道面上的卫星对所产生的海潮混频之间不存在耦合效应，即一对卫星对海潮欠采样引起的混频频率不会因其他轨道面上的卫星观测值的加入而改变．此外，除海潮分量P1以外，其他海潮分量由混频机理计算所得极轨轨道卫星混频频率(红色短线)与由功率谱密度确定的GRACE-type和Bender-type混频频率高度一致，由混频机理所计算的倾斜轨道卫星混频频率(蓝色短线)与由功率谱密度确定的Bender-type混频频率也高度一致．由此可知：可以利用混频机理直接计算Bender-type卫星的混频频率．具体来讲，根据每一对卫星的轨道面进动率和重力场反演周期，应用混频机理分别计算其第一混频频率和第二混频频率，再将所有卫星对的混频频率汇总，即为Bender-type的海潮混频频率．频谱分析Bender-type卫星任务P1海潮分量混频频率仅有一个，而其他海潮分量均有两个混频频率，分别对应极轨轨道卫星和倾斜轨道卫星．究其原因，频谱分析的频率分辨率受限于傅里叶变换的采样点个数a，而a的取值受限于时间序列的长度．当两个频率之差小于频率分辨率，在概率密度曲线上只能显示一个峰值．图中红色、蓝色短线所代表的混频频率因太近而在频谱分析曲线(浅灰色PSD曲线)上只显示为一个峰值，因此无法分辨为两个混频频率．由此亦可知：采用频谱分析法估计海潮混频频率具有一定的局限性，而根据海潮混频机理直接利用轨道参数和反演周期计算海潮混频频率则具有普遍适用性，不受卫星任务时长的影响．此外，由频谱分析估计的功率谱密度可以看出：海潮分量K1和K2在两种卫星任务构型下，除了具有与单对卫星相同主要混频频率外，还存在许多谐波．其一，这些次要频率是否是真正的混频频率，须要通过估计该频率下的混频误差来验证；其二，无论这些谐波是否为可解释的混频频率，都须研究其产生的原因：若是混频频率，海潮分量K1和K2为何会产生主混频频率外的次混频频率，若不是混频频率，为何频谱分析会产生伪频率．鉴于上述问题不影响此研究的主要结论，以上内容不在此研究范围内，须单独做进一步研究．可见Bender-type重力卫星星座观测所产生的海潮混频具有以下特性：在不同轨道面上的卫星对的海潮混频相互独立，不具有耦合效应；Bender-type海潮混频遵循单对卫星的海潮混频机理，两对卫星引起的混频共同构成卫星星座引起的海潮混频；Bender-type海潮混频频率可以由单对卫星分别估算后获得．4 结论针对重力测量中海潮混频问题，研究了下一代重力卫星任务备选构型Bender-type卫星星座观测引起的海潮混频特性．结果表明：针对两对卫星组成的Bender-type重力卫星星座，可以利用海潮混频机理单独分析每对卫星的海潮混频频率，将不同轨道面卫星的海潮混频频率合并作为Bender-type的海潮混频频率．以此类推，对于复杂的卫星星座任务的海潮混频问题，可以简化为单对卫星海潮混频的简单叠加，进而降低了卫星星座中海潮混频研究的复杂性．本研究可为未来重力卫星海潮混频数据处理提供理论依据．研究重点为海潮混频频率，而海潮混频误差量级不在讨论范围内．在相同时间段内，两对卫星组成的卫星星座比一对卫星对地球的采样多约一倍，须进一步研究Bender-type卫星星座对海潮混频误差量级的影响．