剐齿是一种高精、高效的齿轮加工技术，近年来，国内外学者针对剐齿加工技术展开大量研究[1-14]．文献[1]通过齿轮与齿条之间的展成关系简述了剐齿加工原理，并指出剐齿相比于滚齿和插齿等具有更高的精度和效率．文献[2]讨论了内齿轮剐削加工轴交角对刀具参数的影响，通过剐削加工模拟和实验来检验轴角的常用值．文献[3-4]基于自由曲面设计理论提出适应各种渐开线圆柱齿轮剐齿加工的刀具结构设计方案．文献[5]提出一种无理论误差直齿剐齿刀具结构设计方法，该设计方法为刀具参数优化设计等方面的研究奠定了理论基础．文献[6]提出了一种剐齿仿真模型，该模型能够预测非变形切屑的几何形状、切削过程中产生的切屑的形状和尺寸及齿轮间隙的特性．文献[7]基于刮削加工原理与展成运动，提出一种基于离散廓形包络的切削齿刃形通用计算方法，并给出切触点的求解方法与相应的空间刮削切触运动的计算仿真方法．加工误差分析及修正是剐齿设计的重要部分，文献[8-9]研究了刮削加工齿形误差的计算方法，分析了刮削刀具刃磨和前角对齿轮齿形误差的影响．文献[10-11]分析机床参数对加工误差的影响，分析刮齿加工各调整参数误差与齿形误差的关联函数，并提出了一种基于建立齿形误差敏感系数矩阵的误差补偿方法．文献[12]以反向包络法模型为基准对比齿条刀法和公式法修形后加工精度，有效减小刮齿刀具原理性误差．文献[13]介绍了一种基于数值离散包络的刮削数学建模构建方法，分析动力刮削过程中切削刃轨迹包络对刮齿加工精度的影响，并对渐开线齿轮和摆线轮进行了仿真验证．国内外学者主要针对剐齿的加工原理、刀具设计等内容进行研究．而工业技术的发展对齿轮精度的要求越来越高，因此对剐齿刀具设计与误差修形等内容的研究具有很大意义．本研究以啮合原理为基础构建剐齿刀具数学模型，分析刀具两侧刃齿廓误差，并以抛物线齿形齿条对刀具齿廓修形，分析在不同修形系数下刀具齿廓的误差变化趋势，得到最佳修形系数，进一步完善了剐齿加工工艺．1 内齿轮剐齿加工原理与齿面模型1.1　剐齿加工原理剐齿加工方式与插齿类似，都是基于展成加工原理，区别在于切削的作用方式．在剐齿加工过程中，工件与刀具保持恒定的轴交角并做同向旋转，剐齿刀具同时沿工件齿廓方向进给．刀具和工件的转速关系满足w1w2=n2n1，式中：w1和w2分别为工件和刀具的角速度；n1和n2分别为工件和刀具的齿数．刀具与工件在啮合时由于切削运动而在工件上产生一系列微小沟壑，形成齿轮轮廓．在机床的联动下，剐齿刀沿工件齿廓轨迹进给，逐层完成对目标廓形对应材料的去除，然后沿径向做进给运动，最终完成齿轮的加工[8]．1.2　内齿轮齿面模型图1为内齿轮渐开线，图中：os为齿轮基圆的圆心；rb和r分别为内齿轮基圆半径和分度圆半径；θs为渐开线起始点与任意一点的角度；θos为齿轮基圆上的齿槽宽对应角度；N为齿面任意共轭接触点法矢．10.13245/j.hust.230216.F001图1内齿轮渐开线齿轮端面渐开线A-K方程可表示为x0=-rb[sin(θos+θs)-θscos(θos+θs)];y0=rb[sin(θos+θs)+θssin(θos+θs)],θos=π2n2-inv α,式中inv α为压力角α的渐开线函数．内斜齿轮齿面是由渐开线沿螺旋线展成得到的，将端面渐开线绕基圆螺旋线旋转扫略即得到斜齿轮的齿面，用参数θ表示当发生面绕基圆螺旋线转动时所转过的角度，渐开螺旋面方程为x1=x0cos θ-y0sin θ;y1=x0sin θ+y0cos θ;z1=pθ,式中p为导程．N在坐标轴上的投影可表示为nx=p(x0'sin θ-y0'cos θ);ny=-p(x0'cos θ+y0'sin θ);nz=(nxy1-nyx1)/p. (1)2 剐齿刀具主要几何参数计算2.1　剐齿刀具共轭面模型建立剐齿加工坐标系如图2所示，图中：γ为刀具安装轴交角；a为坐标系中心o0和op的距离；h为坐标系中心o0和o2的距离；M为刀具齿面和内齿轮齿面的啮合接触点．坐标系s1-o1x1y1z1和s2-o2x2y2z2分别与内齿圈和剐齿刀刚性固接，绕固定坐标系s0-o0x0y0z0和sp-opxpypzp转动．加工时工件以角速度w1绕z1轴顺时针转动，剐齿刀以速度v沿z1轴负方向作直线运动，同时以角速度w2绕z2顺时针回转．根据啮合原理，一对共轭面在接触点处满足啮合方程[15]10.13245/j.hust.230216.F002图2剐齿加工坐标系nv12=0，(2)v12x=-w1yp-w2zpsin γ+w2ypcos γ;v12y=w1xp-w2(xp-a)cos γ;v12z=w2(xp-a)sin γ+v,式中v12为被加工齿轮和刀具的相对运动速度．将N转换到坐标系sp可得工件转动角度θ1；根据运动关系可得刀具转过的角度θ2．接触点M处满足：[x2y2z21]T=M20-1Mp0-1Mp1[x1y1z11]T, (3)M20=cos θ2sin θ200sin θ2cos θ200001h0001;Mp0=100a0cos γsin γ00sin γcos γ00001;Mp1=cos θ1sin θ100sin θ1cos θ10000100001,式中M20，Mp0和Mp1为坐标转换矩阵．三次B样条(NURBS)曲面是对应曲线的张量积形式，具有良好的局部性质[16-17]，对曲面型值点进行B样条曲面拟合要反算给定呈拓扑矩形阵列的控制顶点，通常把曲面的反算问题化解为两阶段的曲线反算，NURBS曲面拟合方程为P(u, w)=∑i=0j∑j=0kpijNi,3(u)Nj,3(w)(0≤u≤1, 0≤w≤1), (4)式中Ni,3(u)和Nj,3(w)为基函数．2.2　前刀面数学模型当剐齿加工时，刀具与工件的安装存在轴交角，为使刀具两侧刃具有相近的切削角度，采用与端面倾斜一定角度的平面作为前刀面．图3中：α为刀具螺旋角；β为刀具前角；坐标系s-oxyz为前刀面坐标系；sa-oaxayaza为辅助面坐标系；s1-o1x1y1z1为刀具运动坐标系，前刀面法向量在坐标系s中可表示为n(0，0，1)，前刀面法向量n在刀具运动坐标系s1中表示为n1，根据坐标系的空间转换可求得n1为(cos β sin α，-sin β，cos β cos α)[14]，即n1T=B2B1nT，(5)B1=1000cos βsin β0-sin βcos β;B2=cos α0sin α010-sin α0cos α，10.13245/j.hust.230216.F003图3前刀面坐标系式中：B1为坐标系s向sa变换的矩阵；B2为坐标系sa向s1变换的矩阵．前刀面方程可表示为x2sin αcos β+(y2-r1)sin β+z2cos βcos α=0 ．(6)2.3　切削刃求解共轭面拟合点云中各点在坐标中分量可表示为x2=P1(u，w)，y2=P2(u，w)，z2=P3(u，w)，式(6)可写为f(x2，y2，z2)=0，采用牛顿迭代法逼近共轭面网格顶点与前刀面的距离，获得主切削刃．将共轭面拟合点云矩形网格单元Δij的四个顶点带入前刀面方程，对应函数值为p(ui，wj)，p(ui，wj+1)，p(ui+1，wj)，p(ui+1，wj+1)．主切削刃的求取主要是计算步骤如下[14]．步骤1 将点云中网格顶点在坐标中的分量x2=P1(u，w)，y2=P2(u，w)，z2=P3(u，w)代入f(x2，y2，z2)并判断每个顶点的符号(大于0记为“+”，否则记为“-”)．步骤2 判断步骤1计算结果，若网格中四个顶点计算结果符号相同，则该网格单元与等前刀面无交点，否则转到步骤3．步骤3 两端异号的单元边可采用牛顿迭代法计算交点，设h(ui+1，wj+1)为“-”，h(ui+1，wj)为“+”，交点(ut，wt)中ut=ui+1，wt用牛顿迭代公式求取，即wk+1=wk-wk-wk-1P(ut,wk)-P(ut,wk-1)P(ut,wk) ．(7)令w1=wj，w2=wj+1，设置迭代精度ξ=0.000 1，当迭代至wk+1-wkξ时，wt=wk+1．求出对应的u和w值并代入式(4)，曲面求交示意如图4所示．10.13245/j.hust.230216.F004图4曲面求交示意图3 刀具数字化模型构建以内齿轮作为被加工齿轮设计剐齿刀具，其中内齿轮和剐齿刀具的设计参数如表1所示．10.13245/j.hust.230216.T001表1柔轮基本设计参数参数剐齿刀具内齿轮模数/mm33齿数3171齿宽/mm1515压力角/(°)2020螺旋角/(°)55顶刃后角/(°)4—前角/(°)5—剐齿刀具的设计流程如图5所示，根据内齿轮和剐齿刀具结构的特点构建前刀面转换坐标系和剐齿加工坐标系，根据啮合原理求解前刀面和共轭面模型并以NURBS曲面拟合，求解前刀面与共轭面拟合曲面交点获取切削刃数据如表2所示，利用下式拟合交点数据得到切削刃，10.13245/j.hust.230216.F005图5剐齿刀具设计流程k(u')=∑j=0ndjNj,3(u')    (0≤u'≤1), (8)式中：Nj，3(u')为三次B样条基函数；dj为控制点．10.13245/j.hust.230216.T002表2交点坐标坐标点xyz第1点21.239 8-1.992 89.039 1第2点21.287 7-1.992 69.035 7第3点21.345 1-1.991 59.031 7第4点21.412 3-1.989 29.027 4第5点21.489 3-1.985 49.022 7第6点21.576 2-1.979 89.017 7第7点21.673 2-1.972 19.012 5第8点21.780 3-1.961 89.007 2第9点21.897 9-1.948 69.001 8︙︙︙︙第39点21.349 5-0.242 59.491 8第40点21.301 9-0.238 59.496 3将切削刃点云数据导入到solidworks软件中构建切削刃曲线，刀具主后刀面由一系列变位共轭面与前刀面交线构成，通过曲面缝合构建单齿模型，将单齿模型做圆周阵列构成剐齿刀具主体结构模型．4 齿形误差分析及修形优化4.1　误差分析刃磨后的刀具齿面可以看作由前刀面与一系列变位齿面的交线组成，被加工齿轮是通过刀具进行展成加工形成的，刀具切削刃切削运动的轨迹与被加工齿轮啮合，故只有切削刃在端面上的投影和理论齿形重合才没有误差．而由于前角和后角的存在，切削刃的投影并非渐开线，因此形成了剐齿刀具的原理性误差如图6，图中：rd为刀具齿顶圆半径；re为分度圆半径；rf为齿根圆半径；α0为刀具后角；β为刀具前角．其中图6(b)齿廓线Ⅰ对应图6(a)Ⅰ-Ⅰ截面齿形，虚线齿廓Ⅱ对应图6(a)Ⅱ-Ⅱ截面中齿形，红色线条为对应图6(a)从Ⅰ-Ⅰ截面齿顶到Ⅱ-Ⅱ截面齿根的真实齿廓．10.13245/j.hust.230216.F006图6刀具误差示意图图7为刀具两侧刃齿形误差，从图中可以看出：齿形误差从齿顶到齿根逐渐增大，并随刀具前角值的增大而增大．齿形两侧误差不同，这是由于两侧齿形在前端面的投影不对称，其中右侧齿形误差大于左侧齿形误差．10.13245/j.hust.230216.F007图7刀具两侧刃齿形误差4.2　刀具齿廓抛物线修形由于剐齿刀具两侧刃齿形呈不对称分布，两侧齿形误差也不相同，因此采用双侧抛物线齿形齿条刀具对剐齿刀具的齿廓修形，图8为修形齿条齿廓示意图，根据齿廓误差从齿顶到齿根逐渐增大的特点将修形曲线起点设置在齿条齿根处，图中：sa-oaxayaza为修形曲线坐标系；sb-obxbybzb为齿廓法向坐标系；sc-ocxcyczc为齿廓坐标系；m为齿条模数．在坐标系sa中齿条刀具齿廓可表示为ra=[bu2，u，l，0]T，其中：u为切削点到oa的距离；b为抛物线修形系数；l为齿条齿向参数．齿条刀齿形及法向量在坐标系sc中表示为10.13245/j.hust.230216.F008图8修形齿条齿廓示意图rc(u,l)=Mcara(u,l)；(9)nc(u,l)=∂rc(u,l)∂u∂rc(u,l)∂l，(10)式中Mca为坐标系sa到sc的坐标变换矩阵．图9为齿条刀加工变位剐齿刀具坐标系，图中：ss0-xs0ys0zs0为刀具固定坐标系；ss-xsyszs为刀具运动坐标系；S为齿条沿水平方向移动距离；l tan α0为剐齿刀具变位量．根据齿条与刀具啮合点法线过瞬心I可得[9]φ=[(ltanα0+yc)ncxncy-xc]/ra ,式中：φ为刀具绕轴心旋转的角度；xc和yc为rc的坐标分量；ncx和ncy为nc的坐标分量．剐齿刀具齿面方程可表示为10.13245/j.hust.230216.F009图9齿条刀加工变位剐齿刀具坐标系rs(u,l)=Mscrc(u,l);ns(u,l)=Mscnc(u,l), (11)式中Msc为坐标系sc到ss的坐标变换矩阵．图10为不同修形系数下剐齿刀齿廓误差变化趋势图，图中：x轴为齿廓点距齿顶距离，左侧为齿顶方向，右侧为齿根方向；y轴为剐齿刀具齿廓误差值的大小．10.13245/j.hust.230216.F010图10齿廓误差变化趋势图图10(a)为不同修形系数下剐齿刀右侧齿廓误差变化趋势图．与未修形齿廓误差曲线相比，随着修形系数的增大剐齿刀具齿廓误差呈先增大后减小最后再增大的趋势，当修形系数为b=0.001 0时总体齿廓误差最小．图10(b)为不同修形系数下剐齿刀左侧齿廓误差变化趋势图．与右侧齿廓误差的变化趋势类似，剐齿刀具齿廓误差呈先增大后减小再增大趋势，当修形系数为b=0.000 2时总体齿廓误差最小．5 结论a．本研究揭示了内齿轮剐齿加工原理，首先构建加工坐标系，以啮合原理为基础求解刀具共轭面和前刀面模型，并以NURBS曲面拟合；然后以牛顿迭代法求解前刀面与共轭面交点作为剐齿刀具切削刃，将交点数据拟合并导入三维建模软件建立剐齿刀具模型．b．剐齿刀具经过刃磨后由于刀具前角和后角的存在，切削刃在前端面的投影并非渐开线，因此形成了剐齿刀具齿形的原理性误差．由于两侧齿形在前端面的投影不对称，因此左右侧齿形误差不同，其中右侧误差大于左侧，左右侧齿形误差从齿顶到齿根逐渐增大，且随前角的增大而增大．c．根据抛物线修形齿条对剐齿刀具齿形经行修正，分析不同修形系数下刀具齿廓误差变化趋势，结果表明：刀具齿误差差随修形系数下呈先增大后减小再增大趋势，当修形系数a分别为0.000 2和0.001 0时左右侧齿廓最大齿形误差分别降低了4 μm和20 μm．