重力恢复与气候实验(GRACE)重力卫星任务的成功实施(2002—2017年)，极大提高了地球静态以及时变重力场的反演精度，并成为研究和监测地球系统质量迁移的重要手段．鉴于GRACE任务的巨大成功，美德两国在2018年又实施了GRACE Follow-on (GRACE-FO)任务以延续对地球重力场的持续监测[1]．GRACE(-FO)任务由运行在同一轨道、相距约200 km的两颗相同的卫星构成，每颗卫星均搭载了K波段测距系统并通过双向单程测距方式测量星间距离变化，用于地球重力场反演．为满足双向单程测距微米级精度需求，双星K波段观测时刻对齐精度须达到100 ps，因此要求双星相对钟差精度优于100 ps．钟差通过星载GPS精密定轨获得，主要观测值包括星载GPS伪距和载波相位，精度分别为分米和毫米级．GPS载波相位在一个连续跟踪弧段内包含一个未知的整周模糊度，而导航卫星端和接收机端硬件延迟破坏了这一整周特性，恢复模糊度的整周特性后，载波相位便可作为高精度的绝对距离观测值使用，可显著提升观测的几何强度．目前，模糊度固定主要采用两种方法：一是通过构建站间星间双差模糊度消除导航卫星和接收机端硬件延迟，从而恢复模糊度的整周特性[2-3]；二是构建星间单差模糊度消除接收机端硬件延迟，并进行导航卫星端硬件延迟改正以恢复模糊度的整周特性[4-5]．其中，后者所使用的导航卫星端硬件延迟须事先基于地面跟踪站网解算．已有研究表明：模糊度固定可显著改善定轨精度[6-7]，但其中大部分研究聚焦于对卫星轨道的影响，对钟差影响的研究则较为匮乏．文献[8]研究表明：固定地面站和GRACE卫星间的双差模糊度可显著改善GRACE双星相对钟差精度，重叠弧段差异标准差(STD)从41.0 ps减小到7.2 ps．本研究首先给出不同模糊度固定方法的基本原理，然后基于GRACE-FO实测数据研究不同模糊度固定方法对GRACE-FO钟差解算的影响．1 模糊度固定1.1　观测值模型星载GPS伪距P和载波相位L观测值方程为Pr,js=ρrs+c(dtr-dts)+Ir,js+br,j-bjs;Lr,js=ρrs+c(dtr-dts)-Ir,js+λj(Nr,js+Br,j-Bjs)，式中：下标r表示接收机端；上标s表示导航卫星端；j表示频率编号；ρ表示经过各项改正后，信号发射时刻导航卫星天线相位中心至信号接收时刻接收机天线相位中心之间的几何距离；c为光速；dtr和dts分别为接收机钟差和导航卫星钟差；I为电离层延迟；λ为信号波长；N为未知整周模糊度；br和bs分别为接收机端和导航卫星端伪距硬件延迟；Br和Bs分别为接收机端和导航卫星端相位硬件延迟．为消除电离层延迟一阶项影响，数据处理一般采用双频消电离层组合观测值，观测方程为Pr,IFs=ρrs+c(dtr-dts)+br,IF-bIFs；Lr,IFs=ρrs+c(dtr-dts)+λ1(Nr,IFs+Br,IF-BIFs)，式中：br,IF=(f12br,1-f22br,2)/(f12-f22);bIFs=(f12b1s-f22b2s)/(f12-f22);NIF=f1(f1N1-f2N2)/(f12-f22);Br,IF=f1(f1Br,1-f2Br,2)/(f12-f22);BIFs=f1(f1B1s-f2B2s)/(f12-f22).根据IGS规范，br,IF和bIFs分别被接收机钟差和导航卫星钟差吸收，因此观测方程可写为Pr,IFs=ρrs+c(dtr¯-dts¯)；Lr,IFs=ρrs+c(dtr¯-dts¯)+λ1N¯r,IFs，式中：dts¯=dts+dtr¯-dtIFs¯/c;dtr¯=dtr+br,IF/c;N¯r,IFs=Nr,IFs+dr,IF-dIFs,其中，dr,IF=Br,IF-br,IF/λ1，dIFs=BIFs+bIFs/λ1．可以看出：消电离层组合模糊度N¯r,IFs中包含接收机端和导航卫星端硬件延迟，破坏了其整周特性，因此在定轨过程中一般作为浮点参数进行估计．1.2　非差模糊度为了实现模糊度固定，通常将消电离层组合模糊度N¯r,IFs分解为宽巷模糊度Nr,WLs和窄巷模糊度N¯r,NLs的线性组合，具体为N¯r,IFs=f1f2f12-f22Nr,WLs+f1f1+f2N¯r,NLs，式中：Nr,WLs=Nr,1s-Nr,2s;N¯r,NLs=Nr,NLs+dr,NL-dNLs;Nr,NLs=Nr,1s,其中dr,NL=dr,IF(f1+f2)/f1和dNLs=dIFs(f1+f2)/f1分别为接收机端和导航卫星端窄巷小数偏差(FCB)．模糊度固定具体算法包括以下几个步骤．首先，宽巷模糊度Nr,WLs通过HMW组合N¯r,WLs固定，即N¯r,WLs=[(f1Lr,1s-f2Lr,2s)/(f1-f2)]-[(f1Lr,1s+f2Lr,2s)/(f1+f2)]/λWL=Nr,WLs+dr,WL-dWLs,式中：dr,WL和dWLs分别为接收机端和导航卫星端宽巷FCB，dr,WL=Br,1-Br,2-[(f1br,1+f2br,2)/(f1+f2)]/λWL,dWLs=B1s-B2s-[(f1b1s+f2b2s)/(f1+f2)]/λWL；λWL=c/(f1-f2)．对HMW组合N¯r,WLs进行宽巷FCB改正后，即可恢复宽巷模糊度的整数特性并进行整周固定，具体为Nr,WLs=N¯r,WLs+dWLs-dr,WL．然后根据得到的整周宽巷模糊度Nr,WLs和定轨过程中所解算的消电离层组合模糊度N¯r,IFs，通过公式可计算得到窄巷模糊度N¯r,NLs，并根据公式对其进行窄巷FCB改正后，即可恢复窄巷模糊度的整数特性并进行整周固定，具体为Nr,NLs=N¯r,NLs+dNLs-dr,NL．一旦固定宽巷和窄巷模糊度后便可实现消电离层组合模糊度的固定，N¯r,IFs=f1f2f12-f22Nr,WLs+f1f1+f2(Nr,NLs+dr,NL-dNLs)．可以看出：为实现非差模糊度固定，需要已知接收机端和导航卫星端宽巷和窄巷FCB．目前，导航卫星端FCB可通过地面跟踪站网进行精确解算，但接收机端FCB通常未知，因此N¯r,IFs通常作为浮点参数进行估计．1.3　单差模糊度由于接收机端FCB未知，因此可通过在导航卫星间作差消除接收机端FCB，并根据公式和对所得到的单差模糊度进行导航卫星端FCB改正，即可恢复单差模糊度的整数特性并进行整周固定．此时，单差消电离层组合模糊度为∇N¯r,IFs0,s=f1f2f12-f22∇Nr,WLs0,s+f1f1+f2(∇Nr,NLs0,s-∇dNLs0,s)，式中∇为单差操作符．数据处理采用非差观测值，因此须要将所得到的单差消电离层组合模糊度∇N¯r,IFs0,s作为虚拟观测值对非差消电离层组合模糊度参数N¯r,IFs0和N¯r,IFs进行约束，即∇N¯r,IFs0,s=N¯r,IFs-N¯r,IFs0,上式的虚拟观测值权重为Wrs0,s，至此便实现了载波相位单差模糊度固定．1.4　双差模糊度在以上单次差分模糊度基础上进一步在两颗GRACE卫星间作差，可消除导航卫星端FCB，从而恢复双差宽巷和窄巷模糊度的整数特性并进行模糊度固定．此时，双差消电离层组合模糊度Δ∇N¯r0,r,IFs0,s可通过下式计算得到Δ∇N¯r0,r,IFs0,s=f1f2f12-f22Δ∇Nr0,r,WLs0,s+f1f1+f2Δ∇Nr0,r,NLs0,s，式中Δ∇为双差操作符．与单差模糊度固定相似，将根据上式得到的双差消电离层组合模糊度Δ∇N¯r0,r,IFs0,s作为虚拟观测值对非差消电离层组合模糊度参数N¯r,IFs0，N¯r,IFs，N¯r0,IFs0和N¯r0,IFs进行约束，即Δ∇N¯r0,r,IFs0,s=N¯r,IFs-N¯r,IFs0-N¯r0,IFs+N¯r0,IFs0,上式的虚拟观测值权重为Wr0,rs0,s，至此便实现了载波相位双差模糊度固定．2 实验设计采用动力学定轨方法进行精密轨道和钟差解算，数据处理采用PANDA软件[9]，具体策略如表 1~3所示．须要说明的是，为了进行单差模糊度固定，采用武汉大学所解算的相位钟和FCB(或相位偏差)产品[4]，并基于文献[3]提出的方法进行模糊度固定，即给定置信水平0.1%，当模糊度可固定的概率大于99.9%时，即认为该模糊度可成功固定．此外，接收机钟差参数作为白噪声过程参数逐历元估计．GPS观测值采用GPS1A数据，与GPS1B数据不同，GPS1A数据未做时标钟差改正和重采样等处理．最后，定轨弧段长度为30 h，即从前一日21：00到次日03：00．10.13245/j.hust.230307.T001表1GRACE-FO定轨背景力模型背景力模型描述地球重力场EIGEN-6C4[10] (150×150)固体地球和极潮IERS Conventions 2010[11]海洋潮汐EOT20[12] (120×120)海洋极潮Desai[13] (30×30)大气海洋高频摄动AOD1B RL06[14]N体引力DE440[15]广义相对论效应IERS Conventions 2010[11]大气阻力卫星宏模型[16]；DTM-2013大气密度模型[17]太阳光压卫星宏模型[18，16]地球反射辐射压卫星宏模型[18，16]；CERES反射辐射数据[19]10.13245/j.hust.230307.T002表2GRACE-FO定轨观测值模型观测值模型描述GPS观测值伪距和相位非差消电离层组合，30 s采样GPS星历CODE精密轨道GPS钟差和FCB相位钟和宽巷窄巷FCB[4]GPS卫星天线相位中心改正IGS14.ATXGRACE-FO天线相位中心改正残差法[20]相位缠绕模型改正[21]相对论效应模型改正[11]引力弯曲模型改正[11]10.13245/j.hust.230307.T003表3GRACE-FO定轨估计参数估计参数描述卫星初始状态卫星位置和速度大气阻力系数90 min一个轨道切向和法向周期性经验加速度90 min一组接收机钟差逐历元解算载波相位模糊度每连续跟踪弧段一个为分析不同模糊度固定方法对接收机钟差解算的影响，考察不固定模糊度(FAR-UD)、固定单差模糊度(IAR-SD)和固定双差模糊度(IAR-DD)三种模糊度固定方法，并利用2019年1月份的GRACE-FO数据解算了3组钟差．最后通过与官方产品及相对钟差重叠弧段比较来评估钟差解算质量．3 结果分析这里主要对GRACE-C和GRACE-D卫星的接收机钟差进行评估．前文已提及，相对钟差误差是K波段双向单程测距的主要误差源之一．须要说明的是，由于K波段测距本身包含一个未知的常量偏差，相对钟差里的系统性常量偏差不会影响K波段测距精度[22]，因此主要采用STD这一指标评估相对钟差的精度．3.1　与官方产品比较GRACE-FO卫星精密轨道和钟差产品由美国NASA的喷气动力实验室(JPL)负责解算并发布．如前文所述，JPL在解算过程中通过固定GRACE和地面站间的双差模糊度显著改善了相对钟差精度，其重叠弧段差异STD从41.0 ps降低到7.2 ps[8]．将基于不同模糊度固定方法所解算的钟差与JPL发布的钟差产品(CLK1B)作比较以评估不同钟差的质量．图1所示为2019年1月1日所解算的双星相对钟差与JPL相对钟差差异的时间序列．可以看出：与FAR-UD相比，IAR-SD和IAR-DD对应的相对钟差差异具有更好的稳定性．值得注意的是，所解算相对钟差与JPL存在约300 ps的常量偏差，且2019年1月份所有弧段均存在类似情况，这可能与二者对伪距观测值处理策略的差异有关，具体原因则有待进一步分析，不过前文已提及，这一常量偏差并不影响K波段测距精度．图2所示为2019年1月所有弧段的相对钟差差异STD，图例中给出了3种模糊度固定方法所对应的STD均值．可以看出：双差模糊度固定IAR-DD所对应的相对钟差差异STD最小(13.2 ps)，单差模糊度固定IAR-SD次之(17.2 ps)，不固定模糊度FAR-UD最大(32.8 ps)．以上结果表明模糊度固定可显著改善相对钟差精度．10.13245/j.hust.230307.F001图1不同模糊度固定方法解算相对钟差与JPL相对钟差差异10.13245/j.hust.230307.F002图2不同模糊度固定方法解算相对钟差与JPL相对钟差差异STD3.2　重叠弧段比较前文已提及，定轨弧段长度为30 h，相邻弧段存在6 h重叠弧段(21：00到次日03：00)．理论上重叠弧段内的轨道和钟差应完全重合，但由于数据处理误差的存在，导致重叠弧段内的结果存在差异，因此重叠弧段比较是评估相对钟差内符合精度的有效手段．为了避免轨道边界效应，仅对中间5 h的重叠弧段(21：30至次日02：30)进行统计分析．图3所示为不同模糊度固定方法所解算相对钟差重叠弧度差异(2019年1月1日21：30至2019年1月2日02：30)．可以看出：双差模糊度固定IAR-DD所对应的时间序列具有最高的稳定性，单差模糊度固定IAR-SD次之，不固定模糊度FAR-UD情况下的稳定性最差且存在显著的趋势性变化．图4所示为2019年1月所有弧段相对钟差重叠弧段比较差异STD，图例中所示为不同钟差产品所对应的STD均值，图中还给出了JPL钟差的结果．须要说明的是，JPL发布的CLK1B产品相邻弧段仅存在10 min的重叠弧段(23：55至次日00：05)，因此这里给出的是10 min重叠弧段的统计结果．可以看出：双差模糊度固定IAR-DD相对钟差重叠弧段差异STD最小(0.7 ps)，单差模糊度IAR-SD次之(2.3 ps)，而不固定模糊度FAR-UD最大(11.4 ps)．以上结果与JPL钟差比较结果一致，表明模糊度固定可显著改善相对钟差内符合性精度．须要注意的是，两种评估方法均表明双差模糊度固定优于单差模糊度固定，这可能由于单差模糊度固定时将导航卫星端FCB作为已知值使用，而FCB不可避免地含有误差，因而会损害钟差解算精度．10.13245/j.hust.230307.F003图3不同模糊度固定方法所解算相对钟差重叠弧段比较差异10.13245/j.hust.230307.F004图4不同钟差产品相对钟差重叠弧段比较差异另外，基于单差和双差模糊度固定所解算的相对钟差内符合性精度均优于JPL(3.6 ps)．最后值得注意的是，这里所得到的JPL相对钟差内符合精度(3.6 ps)显著优于文献[8]中的GRACE结果(7.2 ps)．一方面，这可能与GRACE和GRACE-FO数据质量差异有关；另一方面，这可能与重叠弧段长度不同有关，文献[8]给出的是5 h重叠弧段统计结果，而这里给出的是10 min重叠弧段的统计结果，由于样本较小从而可能导致结果偏优．4 结语研究了不固定模糊度、固定单差模糊度和固定双差模糊度3种GPS载波相位模糊度固定方法对钟差解算的影响，并利用GRACE-FO实测数据解算了3组钟差，最后通过与官方产品及重叠弧段比较两种方法进行了精度评估．表明固定单差模糊度和双差模糊度后，相对钟差差异STD比不固定模糊度分别减小了48%和60%．重叠弧段比较表明：固定单差模糊度和双差模糊度后，相对钟差差异STD比不固定模糊度分别减小了80%和94%，比官方产品分别减小了36%和81%．以上结果表明：模糊度固定能够显著提高GRACE-FO相对钟差精度，且完全满足100 ps精度需求．