在增材制造及数控加工技术中，任意多边形截面的填充路径生成问题一直是其核心问题之一．特别是在基于逐层制造的电弧熔丝增材制造技术中，任意多边形截面的填充路径生成问题受到广泛的关注和研究[1-2]．为了解决任意多边形截面的填充路径生成问题，相关研究者做了大量的工作，也提出了许多填充策略．例如等距填充策略[3-9]、光栅填充策略[10]、Z字形填充策略[11]、螺旋填充策略[12]、分形填充策略[13-14]及混合填充策略[15]等．光栅填充策略和Z字形填充策略得到的轨迹是由许多较长的直线段组成，由于两条直线段之间的连接处转角较大，设备的加速度和速度变化剧烈，因此对设备的冲击较大．此外，这种策略对于电弧熔丝增材制造技术来说焊接稳定性较差，不利于稳定焊接．螺旋填充策略是由一条螺旋线对多边形进行填充，对于复杂多边形其适应性较差，难以推广应用．分形填充策略过于复杂，对于复杂形状生成路径比较困难．等距填充策略生成的路径与多边形边界平行，具有较好的稳定性和连续性，比较适合应用于数控加工和电弧熔丝增材制造．等距填充策略可细分为偏移策略、Voronoi图策略等．在偏移策略中，须要处理复杂的多边形交、叉、并集运算，并且一个多边形偏移后可能出现多个多边形，因此其算法十分复杂，存在多边形发散问题[5,16]．Voronoi图策略须构建多个Voronoi多边形，实现比较困难且算法复杂度较高．为了避免使用偏移算法直接获取等距填充线所导致的复杂的多边形操作，本研究提出了一种新的路径规划算法，无须复杂的多边形操作即可生成等距轮廓填充线．首先利用水平集函数曲面的零值等高线模拟任意多边形截面[17]，随后根据一定的准则对水平集函数曲面进行变化并提取零值等高线，进而得到一条等距的填充线，最后不断重复水平集函数的变化并提取零值等高线，可生成全部等距填充线．本质上，该算法首先将二维轮廓偏移问题转化为三维偏微分方程初值问题，并使用动态有限差分法求解偏微分方程，结果表明该算法结构简单，效率高，无须复杂的多边形运算，并且有成熟的有限差分法可用．1 数学基础文献[18]提出了一种全新的计算截面迁移的数值方法(水平集法)，其简单、通用、计算精度高，易于处理拓扑合并和断开，并可以很容易地扩展到多维的问题，现已广泛应用于流体计算、晶粒生长及图像处理等领域．其核心思想是将N维函数定义为N+1维函数的切片，N+1维函数被定义为一个隐函数并根据截面迁移准则构建该函数的偏微分方程．将该方法的基本理念进行改进，并提出新的界面迁移准则，可解决任意复杂多边形截面的等距填充问题．1.1　水平集函数二维平面曲线可定义为三维曲面与二维平面的交线，这个三维曲面称为水平集函数，定义为ψ(x,y,t)．因此，任意多边形截面可用方程ψ(x,y,t)=0定义，式中：x为横坐标；y为纵坐标；t为时间．将方程对时间进行微分，得到如下方程∂ψ∂t+∂ψ∂xdxdt+∂ψ∂ydydt=0.将该方程进行简化，得到∂ψ/∂t+v|∇ψ|=0，(1)式中v=∂ψ∂xdxdt+∂ψ∂ydydt/|∇ψ|，∇ψ为水平集函数的梯度．上述方程即汉密尔顿-雅可比(Hamilton-Jacobi)方程[19]．对于截面的等距填充问题，v为边界扩散速度，被定义为常数，其物理意义为单位时间内边界迁移的距离．1.2　符号距离函数考虑一种特别的情况，即水平集函数定义为最小符号距离，即在二维R2空间内定义函数d=±min((x-x')2+(y-y')2)，式中：d表示R2空间内点(x,y)到边界的最小带符号的距离，即在多边形内为正，在多边形外为负；x',y'为点(x,y)到边界的最近点坐标．将最小符号距离作为水平集函数的初值，即ψ0(x,y,t)=d．根据上一节的推导，当v为常数时，可证明 ∇ψ=1．因此，方程(1)可简化为∂ψ/∂t+v=0．如图1所示，水平集函数定义为最小距离函数得到的水平集函数曲面在截面多边形上的值为0，在内部为正值，外部为负值．对于有多个内多边形的截面来说，其水平集函数有多个极值．10.13245/j.hust.221210.F001图1水平集函数及截面多边形2 数值解法及测试2.1　有限差分法对于上一节导出的偏微分方程，可以用有限差分法进行求解，即在R2域内离散为m×n的网格，在时间域内离散为k个时刻．使用一阶精度的前向欧拉差分格式离散偏微分方程，得到差分格式为      [ψ(x,iyj,tk+1)-ψ(x,iyj,tk)]/Δt+v=0, (2)式中：xi为第i行j列网格点的横坐标；yj为第i行j列网格点的纵坐标；Δt为时间维度的离散步长．将差分方程(1)变换为迭代格式，即ψ(x,iyj,tk+1)=-vΔt+ψ(x,iyj,tk)．(3)考虑到每次得到一条填充路径后的多边形轮廓已经发生改变，因此须要更新多边形的边界，进而重新计算最小符号距离函数的值，以此减小误差．有限差分法求解偏微分方程(1)的全部流程如图2所示．首先输入空间离散参数m，n，时间步长Δt，偏移速度v，偏移距离L及截面的多边形数据．输入数据后将空间离散为二维网格，将时间离散为时间序列．根据前向欧拉迭代方程(3)迭代出同一时刻不同网格点的水平集函数值，随后判断偏移速度和时间的乘积是否等于偏移距离，若相等则计算水平集函数的零值等高线作为该次偏移的填充路径，否则仅进行下一轮迭代．得到零值等高线后判断是否得到全部填充线，即判断水平集函数的值是否全部小于零，若小于零则等距填充线全部获得，否则将本次等高线作为下一次的边界多边形，进行下一轮迭代，直至获得全部填充线后循环结束．10.13245/j.hust.221210.F002图2有限差分法求解等距填充算法流程图2.2　填充测试为了测试算法的有效性，选取一个带有两个不规则孔的截面进行数值实验，如图3所示．将平面空间划分为50×50的网格，设置偏移距离为1 mm，时间步长为0.1 mm，偏移速度为1 mm/s，边界数据为内外轮廓的边界坐标点的横纵坐标数据．10.13245/j.hust.221210.F003图3不同偏移距离的填充路径及水平集函数如图3所示，分别选取偏移距离为0，2，4和6 mm时的水平集函数，和零值等高线绘制在同一个图上．实际上水平集函数的极值与内多边形的数目有关，此外，在生成等距填充路径的过程中，截面边界多边形的数目在发生变化，当偏移距离为4 mm时，边界多边形发生合并和裂解，原来的一个外多边形两个内多边形被重新组合为两个外多边形，重要的是无论多边形发生怎样的合并和分裂，本研究提出的算法都无须直接处理这些多边形的交、叉、并运算．从图4的偏移效果中也能直观地观察出对于复杂多边形截面而言，其每个偏移距离对应的等距填充线都不同，而且多边形数目也有巨大变化．此外，另一个比较重要的特性是，内多边形和外多边形得到的等距填充线是同时生成的，这意味着在增材制造过程中，可以在每一次增材时同时从零件模型的外部向中心区域逐步收缩增材．这种特性在电弧熔丝增材再制造修复技术中尤为重要，因为在电弧熔丝增材再制造修复中，在待增材区域外围有基体存在，为了避免撞枪，焊枪必须向待增材区域内部偏斜，而通过本文算法生成的轨迹能够从待增材区域的外围向中心焊接，焊枪直接沿轨迹法向偏移一个角度即可避免撞枪问题．10.13245/j.hust.221210.F004图4多孔截面多边形等距填充效果3 增材实验为了测试本研究提出的等距填充路径生成算法的效果，选取某型号汽车失效曲轴热锻模具进行电弧熔丝增材再制造修复实验．首先将失效热锻模具的裂纹用碳弧气刨刨除，随后用手持式3D扫描仪进行3D扫描，扫描得到的3D三角面片模型通过修补、拟合、矫正后转化为参数化曲面，并导入3D建模软件生成实体模型后，和标准模型做差得到须要增材的目标模型，如图5(a)所示．10.13245/j.hust.221210.F005图5曲轴热锻模具增材再制造修复实验获取目标数模后，经过分层切片得到每层的截面多边形，然后使用本研究提出的等距填充策略，进行每一层的焊接轨迹自动规划，其效果如图5(b)和(c)所示．将生成的等距填充焊接轨迹和相应的焊接工艺参数转化为机器能够识别的数控代码后，上传增材制造修复机器人，得到如图5(d)和(e)所示的修复模具．修复结果表明：模具表面质量较好，光洁度较好，没有填充缺陷，且能够完整实现随形填充焊接．4 结论a．针对增材制造或者机械加工中的任意复杂截面多边形的等距填充问题，基于广泛应用于图像处理、晶粒生长及界面演变仿真中的水平集法，提出了一种全新的随形等距填充路径生成策略，开发了相应的计算算法和程序．b．通过有限差分数值仿真实验验证了提出的算法，对复杂截面的等距填充轨迹规划问题具有编程简单、高效，无须处理多边形交、叉、并、裂解等优势．c．填充测试结果表明：能够同时生成内多边形和外多边形的等距填充路径，这意味着在增材制造过程中可以同时从零件模型的外部向中心区域逐步收缩增材．通过本文算法生成的轨迹能够从待增材区域的外围向中心焊接，焊枪直接沿轨迹法向偏移一个角度，可避免焊枪与待修复模具基体之间的撞枪．d．通过曲轴热锻模具的电弧熔丝增材制造，验证了本文提出的路径规划算法的有效性，得到表面质量良好的修复模具，能够实现随形焊接．