有限时间作为描述系统的暂态特性已广泛应用在各种场景[1-5]．值得注意的是：有限时间稳定性的关键问题之一就是对收敛时间的估计，它是一个取决于系统初始条件的函数，若初始条件无穷大，则收敛时间估计也将无限大．一些实际应用的需求如电力系统[6]，要求在固定时间内稳定于其标称值，以消除频率偏差，保证电源质量．为解决有限时间稳定性的局限性，学者们致力于研究一种在任意初始条件下都能使系统在固定时间内收敛的策略．文献[7]在2012年提出一种有限时间稳定性的特殊形式，固定时间稳定性．与有限时间稳定性相比，固定时间稳定的收敛时间不再受制于系统的初始条件．在固定时间稳定性的研究中，研究方向通常集中在寻找稳定性的充分条件和尽可能精确收敛时间上限估计这两个方面．文献[7]给出第一个收敛时间上界的估计公式．文献[8]提出一种新的多项式控制方法，该方法能够保证智能体在分段上的固定等时分配，并给出更为精确的收敛时间上界估计函数．文献[9]利用反证法建立固定时间稳定性并给出具有高精度的收敛时间上限估计公式．文献[10]在延时忆阻神经网络系统中实现更为精确的固定时间同步．不同的固定时间稳定表达式不断被提出，估计精度也更加准确，学者们也都在寻找更加通用的固定时间表达式和更加精确的收敛时间上限估计．虽然固定时间稳定性在某种意义上优于经典的有限时间稳定性，能够从系统参数直接估算收敛时间，但是很难在系统参数与固定时间之间找到明确关系，从而导致对收敛时间的估计不准确，难以调整且无法预测．基于这方面的不足，文献[11]提出规定时间稳定性的概念，该研究基于仿真模拟来近似的选择调节参数值．然而，这个规定时间通常是固定稳定的收敛时间上限，是一个保守的估计值．为了克服上述问题，文献[12]提出一类动力学系统，其固定稳定时间的最小上界等于可调节的参数，并将其定义为预定时间稳定性理论．该理论被作者用来处理递归神经网络的线性规划问题．文献[13]为给定非线性系统的控制器求解最优预定时间稳定问题提供充分条件，这些条件涉及李雅普诺夫方程，它满足一定的微分不等式，以保证预定时间稳定性．文献[14]提出一种基于劳伦兹混沌系统的预定时间同步设计方法，并通过对安全通信的应用，证明所提方法的有效性．文献[15]针对一类非线性系统的收敛时间估计问题，通过李雅普诺夫方程和不等式方法，得到一个更加精确的收敛时间估计，并将其应用于时滞忆阻神经网络的预定时间同步中[15]及非完整轮式移动机器人的预定时间轨迹跟踪中[16]．综上可知，国内外针对预定时间稳定方法的研究还处于起步阶段，研究相对较少．因此，如何建立系统收敛时间与参数之间的直接关系，以及如何得到更加通用的预定时间稳定方法是值得探究的课题．为此，本研究针对一类非线性系统，利用李雅普诺夫方程和不等式引理，提出一种新的预定时间稳定方法；所得预定时间稳定方法在某些参数组合下可以实现如文献[7，15，10]等固定时间稳定或预定时间稳定方法；在初始值已知条件下，可得到时间可调节的有限时间稳定方法，该方法得到的收敛时间估计比预定时间稳定的收敛时间估计更加精确．1 预备知识考虑以下非线性系统x˙=f(t,x);x(0)=x0，(1)式中：x∈Rn为系统的状态向量；Rn为n维实数空间；f∶Rn→Rn为光滑非线性函数；x0为初始状态．定义1[17] 假设系统(1)是全局渐进稳定的，并且系统(1)的任何解在某一有限时间内达到平衡，则称系统(1)是全局有限时间稳定性系统，即∀t≥T(x0),  x(t,x0)=0，式中T(x0)为系统(1)实际收敛时间．定义2[7] 假设系统(1)满足如下两个条件，则称系统(1)为全局固定时间稳定性系统．a．能在有限时间内达到稳定状态；b．稳定时间Tx0是全局有界的，并与系统的初始状态无关，即∃Tmax0,  ∀x0∈Rn,  T(x0)≤Tmax，式中Tmax为系统(1)的收敛时间估计．定义3[13] 对于预定参数Tc0(Tc为一个可调节参数)，若系统(1)是固定时间稳定的，并且稳定时间T∶Rn→R使得T(x0)≤Tc(∀x0∈Rn)，则称系统(1)为全局预定时间稳定性系统．引理1[18] 若满足xi∈R+(i=1,2,⋯,n)，0p≤1，q1，则∑i=1nxip≥∑i=1nxip;∑i=1nxiq≥n1-q∑i=1nxiq．引理2[7] 假设V(x)∶Rn→R+⋃{0}是一个连续正定的径向无界函数，并且满足：a．当x=0时，V(x)=0；b．存在α,η0,0p1,q1，使得任意解x满足以下微分不等式，即V˙(x)≤-αVp(x)-ηVq(x)，那么系统(1)是固定时间稳定的，并且收敛时间Tmax1估计表示为Tmax1=1α(1-p)+1η(q-1)．(2)引理3[10] 假设V(x)∶Rn→R+⋃{0}是一个连续正定的径向无界函数，并且满足：a．当x=0时，V(x)=0；b．存在α,η,c0,0p1,q1，使得任意解x满足以下微分不等式，即V˙(x)≤-αVp(x)-ηVq(x)-c，那么系统(1)是固定时间稳定的，并且收敛时间Tmax2估计表示为Tmax2=1α1/p1-p(α1/p+c1/p)1-p-c(1-p)/p+2q-1η1/q(q-1)η1/q+c1/q1-q. (3)2 主要结论定理1 假设存在连续正定的径向无界函数V(x)∶Rn→R+⋃0，并且满足：a．Vx=0⇒x∈M，其中M∈Rn为一个非空集合；b．Tc为用户定义的参数；c．对于任意Vx0，都存在参数α,η,k,p,c,q0,pk1,0qk1，使得V˙≤-(Cv/Tc)(αVp+ηVq+c)k，(4)式中Cv为固定时间参数．当0V≤1时，如果0q≤1，那么Cv=Cv1=1η1/q(1-qk)[(η1/q+c1/q)1-qk-c(1-qk)/q]；如果q1，那么Cv=Cv1=2(q-1)kη1/q(1-qk)[(η1/q+c1/q)1-qk-c(1-qk)/q]．当V1时，如果0p≤1，那么Cv=Cv2=1α1/p1pk-1(α1/p+c1/p)1-pk；如果p1，那么Cv=Cv2=1α1/p2(p-1)kpk-1(α1/p+c1/p)1-pk．针对任意的tTc，可得V=0，系统(1)在预定时间内收敛，收敛时间为Tc．证明 对于任意的V0，有V˙≤-(Cv/Tc)(αVp+ηVq+c)k，可得-TcCv1(αVp+ηVq+c)kdV≥dt，然后T(x0)=∫0T(x0)dt≤-∫V(x0)0TcCv1(αVp+ηVq+c)kdV=∫0V(x0)TcCv1(αVp+ηVq+c)kdV.以下证明分为两部分．a．当0V≤1时，T(x0)≤∫0V(x0)TcCv1(αVp+ηVq+c)kdV≤∫0V(x0)TcCv1(ηVq+c)kdV.如果q1，根据引理1，可得T(x0)≤∫0V(x0)Tc1Cv11(ηVq+c)kdV≤Tc1Cv12(q-1)kη1/q(1-qk)[(η1/qV(x0)+c1/q)1-qk-c(1-qk)/q]=Tmax31. (5)由于0V≤1，可得T(x0)≤Tc1Cv12(q-1)kη1/q(1-qk)[(η1/q+c1/q)1-qk-c(1-qk)/q]=Tc1.如果0q≤1，根据引理1，可得T(x0)≤∫0V(x0)Tc1Cv11(ηVq+c)kdV≤Tc1Cv11η1/q(1-qk)[(η1/pV(x0)+c1/p)1-pk-c(1-pk)/p]=Tmax31. (6)由于0V≤1，可得T(x0)≤Tc1Cv11η1/q(1-qk)[(η1/q+c1/q)1-qk-c(1-qk)/q]=Tc1.b．当V1时，可得T(x0)≤∫0V(x0)TcCv1(αVp+ηVq+c)kdV=∫01Tc1Cv11(αVp+ηVq+c)kdV+∫1V(x0)Tc2Cv21(αVp+ηVq+c)kdV≤∫01Tc1Cv11(ηVq+c)kdV+∫1V(x0)Tc2Cv21(αVp+c)kdV.如果p1，根据引理1，可得∫1V(x0)Tc2Cv21(αVp+c)kdV≤Tc2Cv21α1/p2(p-1)k1-pk⋅(α1/pV+c1/p)1-pk1V(x0)≤Tc2Cv21α1/p2(p-1)k1-pk⋅[(α1/pV(x0)+c1/p)1-pk-(α1/p+c1/p)1-pk]=Tmax32. (7)如果V(x0)→∞，可得∫1∞Tc2Cv21(αVp+c)kdV≤Tc2Cv21α1/p2(p-1)kpk-1⋅(α1/p+c1/p)1-pk=Tc2.如果0p≤1，根据引理1，可得∫1V(x0)Tc2Cv21(αVp+c)kdV≤Tc2Cv21α1/p11-pk⋅(α1/pV+c1/p)1-pk1V(x0)≤Tc2Cv21α1/p11-pk⋅[(α1/pV(x0)+c1/p)1-pk-(α1/p+c1/p)1-pk]=Tmax32. (8)如果V(x0)→∞，可得∫1∞Tc2Cv21(αVp(x)+c)kdV≤Tc2Cv21α1/p1pk-1⋅(α1/p+c1/p)1-pk=Tc2.因此T(x0)≤Tc1+Tc2=Tc．定理1中的Tc为系统(1)中的预定时间．证毕．注1 定理1表示系统(1)能够在预定时间Tc(即Tc1+Tc2)内收敛到零，并提供了两个可调参数Tc1和Tc2，可以根据实际需求灵活调节系统收敛时间．注2 固定时间稳定性很难找到系统参数与系统稳定时间之间的显式关系，导致对收敛时间的估计不准确，难以调整和无法预测．预定时间稳定性可以很好解决这些问题，便于在系统增益和收敛时间估计之间建立直接关系．由于预定时间稳定是一类特殊的固定时间稳定，因此预定时间稳定性的收敛时间估计与初始值无关，只与预定参数Tc和Cv有关．若定理1中的参数k=1，则有如下推论．推论1 假设存在连续正定的径向无界函数V(x) ∶Rn→R+⋃0，并且满足：a．V(x)=0⇒x∈M，其中M∈Rn为一个非空集合；b．Tc为用户定义的参数；c．对于任意V(x)0，都存在参数α,η,k,p,c,q0,p1,0q1，使得V˙≤-(Cv/Tc)(αVp+ηVq+c)，式中：当0V≤1时，Cv=[η1/q(1-q)]-1[(η1/q+c1/q)1-q-c(1-q)/q]；当V1时，Cv=1α1/p2p-1p-1(α1/p+c1/p)1-p．针对任意的tTc，可得V=0，系统(1)在预定时间内收敛，收敛时间为Tc．注3 本方法将传统的固定时间控制律V˙(x)≤-αVp(x)-ηVq(x)变化为如下分段形式进行控制律设计：a．若系统状态远离平衡点，则由非线性项V˙≤-ηVq实现快速收敛；b．若系统状态接近平衡点，则由非线性项V˙≤-αVp实现快速收敛．注4 在定理1中，当c=0,k=1,Cv=Tc时，可以实现引理2；当k=1,Cv=Tc时，可以实现引理3．因此，定理1的预定时间稳定方法更加通用．推论2 若初始状态已知，则根据式(5)～(8)可知定理1可以实现时间可调节的有限时间稳定．定理2 若初始状态已知，则有限时间稳定下的收敛时间估计Tmax3比预定时间稳定下的收敛时间估计Tmax4=Tc更加准确，即Tmax3≤Tmax4．证明 若初始状态已知，则由固定时间的证明过程可知，当0V≤1时，如果q1，那么由式(5)可得Tmax31=Tc1Cv12(q-1)kη1/q(1-qk)[(η1/qV(x0)+c1/q)1-qk-c(1-qk)/q]≤Tc1;如果0q≤1，那么由式(6)可得Tmax31=Tc1Cv11η1/q(1-qk)[(η1/pV(x0)+c1/p)1-pk-c(1-pk)/p]≤Tc1.当V1时，如果p1，那么由式(7)可得Tmax32=Tc2Cv21α1/p2(p-1)k1-pk[(α1/pV(x0)+c1/p)1-pk-(α1/p+c1/p)1-pk]≤Tc2;如果0p≤1，那么由式(8)可得Tmax32=Tc2Cv21α1/p11-pk[(α1/pV(x0)+c1/p)1-pk-(α1/p+c1/p)1-pk]≤Tc2.因此Tmax3=Tmax31+Tmax32≤Tc1+Tc2=Tc=Tmax4．这表明收敛时间估计Tmax3比收敛时间估计Tmax4更加接近实际收敛时间．证毕．注5 由定理2可知：推论2在定理1的基础上加入初始状态已知，可以实现时间可调节的有限时间稳定和更加精确的系统收敛时间估计．3 仿真与验证考虑非线性系统y˙=-(Cv/Tc)sign(y)(αyp+ηyq+c)k，(9)很显然系统(9)满足定理1的要求，可以实现预定时间稳定．参数取值α=10，η=1，p=2，q=0.6，c=2，k=0.8；对系统(9)取不同的初始值，由定理1可知，Cv1+Cv2=0.87 s，取Tc=0.87 s，则系统(9)会在Tc=0.87 s内实现稳定．仿真结果如图1所示．从图1可以看出：即使系统的初始值不同，也都能够在0.6 s左右趋近于0，满足Tc=0.87 s的要求．图2通过分别取不同的预定时间参数，即Tc=0.4，0.8，1.0，1.4 s，实现系统(9)在给定时间Tc内稳定．图2所示的仿真结果验证了定理1的正确性．10.13245/j.hust.228230.F001图1不同初始状态下的预定时间稳定曲线10.13245/j.hust.228230.F002图2不同预定时间Tc下的预定时间稳定曲线图3为Tc=1.0 s取不同参数组合的仿真结果．从图3可以看出：即使取不同的参数组合，系统也能在给定的时间Tc=1.0 s实现系统的稳定．为验证推论2，取表1中的不同初始值及图3中的第1组参数且Tc=1.0 s，仿真结果如图4所示，说明在不同的初始值下可以实现给定时间Tc的有限时间稳定．10.13245/j.hust.228230.T001表1不同初始值下的收敛时间估计稳定时间初始值1940400固定时间/s有限时间/s0.870.540.870.770.870.830.870.8610.13245/j.hust.228230.F004图4时间可调节的有限时间稳定曲线从 表1可以看出：初始值对系统收敛时间估计是有影响的，在初始值已知的条件下，可以得到更加准确的收敛时间估计 ，验证了定理2的正确性．1—α=10,η=1,p=2.0,q=0.6,c=2.0,k=0.8 ； 2—α=5,η=2,p=1.2,q=0.4,c=0.1,k=0.9；3—α=0.5,η=0.2,p=1.2,q=0.4,c=0.1,k=0.9． 4 结论通过严格的数学分析与公式推导得出了预定时间稳定性定理，主要有以下结论：a．定理1建立了系统参数与收敛时间之间的显式关系，将复杂的收敛时间上限估计表达式转化为一个可调节参数，能够更好预测和调整收敛时间估计，并且在进行参数选择后可以实现其他文献中的固定时间稳定或预定时间稳定；b．定理2实现了时间可调节的有限时间稳定和更加精确的系统收敛时间估计．仿真结果表明本研究所提控制方法可保证一类非线性系统的收敛时间是可控和可预设的．