分数阶系统是指由分数阶微分方程描述的系统[1]．由于分数阶系统在刻画具有记忆和遗传特性物质的状态变化过程上体现出巨大的潜力，如黏弹性材料、电化学过程和有色噪声等[2-6]，因此关于分数阶系统的理论分析和应用研究逐渐成为研究热点．另一方面，当人们在设计分数阶系统用来解决一些实际问题时，发现具有相同阶次的分数阶系统在刻画系统动态特性的准确度上有一定局限性．而多阶分数阶系统模型(系统中每个状态微分方程可以有不同的微分阶)由于在微分阶数上有着更大的灵活度和自由度，使得其能更为准确地描述和刻画一些复杂系统的动态特性．近来对多阶分数阶系统的研究成果也在日益增多[7-9]．分数阶神经网络作为一种重要的分数阶系统，结合了分数阶微积分和神经网络的优点，有着更广泛的自由度和无限记忆的特性，使得其在图像处理、模式识别、联想记忆和组合优化等方面取得了十分广泛的应用．而多阶分数阶神经网络，由于其在微分阶数上的灵活性，能够更为准确地刻画神经网络的动态特性，因此有着十分广泛的应用前景．另外，神经网络的各种动力学行为，如稳定、多稳定、同步和集群同步等[10-12]，作为神经网络在各领域成功应用的先决条件受到了研究者广泛的关注．其中，集群同步指的是一个系统可以被分为几个集群，在同一个集群中的网络节点能够达到同步，而不同集群的网络节点具有不同的状态．这在实际生物神经网络中是十分常见且重要的现象．随着神经网络的集群同步现象在生物科学和通信工程中的成功应用，分数阶神经网络的集群同步研究吸引了学者的广泛关注．目前关于分数阶神经网络的集群同步问题已经有了一些有益的工作．文献[12]解决了分数阶神经网络的集群同步问题，文献[13]利用Halanay不等式研究了具有常数时滞的耦合分数阶神经网络的集群同步问题．须要说明的是这些工作研究的都是相同阶次条件下的分数阶神经网络．尽管多阶分数阶神经网络的集群同步有着很好的应用前景，但是迄今为止并没有相关的结果报道．另一方面，在神经网络中，由于神经元之间信号传输和信息处理的速度有限，不可避免存在时滞现象[14]，这可能会导致系统不稳定．在某些情况下，时滞可能随时间变化，即时变时滞，因此分析具有时变时滞的多阶分数阶神经网络的集群同步具有一定的理论意义．本研究针对具有时变时滞的多阶分数阶神经网络的集群同步，通过设计牵制控制器，并借助向量李雅普诺夫函数给出了多阶分数阶神经网络实现集群同步的充分条件，最后通过数值仿真说明了结果的有效性．1 预备知识1.1　分数阶微积分定义和引理定义1[1] 函数h(t)的β(∈R)阶积分Dt0+-βh(t)定义为Dt0+-βh(t)=1Γ(β)∫t0t(t-ι)β-1h(ι)dι    (t≥t0)，式中：β0；Γ(∙)为伽马函数，即Γ(β)=∫0+∞ιβ-1e-ιdι．定义2[1] 连续可微函数h(t)的β(∈R)阶Caputo阶导数CDt0+βh(t)定义为CDt0+βh(t)=1Γ(1-β)∫t0th'(ι)(t-ι)βdι    (t≥t0)，式中：0β1；h'(∙)为函数h(∙)的一阶导数．引理1[1] 如果函数z(t)(∈R)是连续可微的，那么其分数阶导数满足CDt0+βz2(t)≤2z(t)DCDt0+βz(t)，式中β0．1.2　模型描述假设𝒢=(𝒞,ℰ,G)是由点集𝒞={1,2,⋯,N}、边集ℰ⊆𝒞×𝒞和耦合权重矩阵G=(gij)N×N组成的一个图，其中，耦合矩阵G的元素gij满足：当节点j到节点i(j≠i)有连接时，gij0，否则gij=0，且对角元素gii=-∑j=1,j≠iNgij(i=1,2,⋯,N)．假设图𝒢中包含m个集群，分别记为𝒞1={1,2,⋯,N1}，𝒞2={N1+1,N1+2,⋯,N2},⋯,𝒞m={Nm-1+1，Nm-1+2,⋯,Nm}，其中Nm=N．记𝒢1,𝒢2,⋯，𝒢m分别为对应集群的子图，各个集群的节点数记为𝒩k=Nk-Nk-1(k=1,2,⋯,m)．考虑由N个具有时变时滞的多阶分数阶神经网络组成的耦合系统，且第i个神经网络描述为CDt0+αxi(t)=-Akxi(t)+Bkh(xi(t))+Fkh(xi(t-τ(t)))+∑j=1NcijgijΓxj(t)+Ek+ui(t), (1)式中：t≥t0；i∈𝒞k(k=1,2,⋯,m)；α=(α1，α2,⋯,αn)T为向量微分阶，满足αi∈(0,1](i=1,2,⋯,n)；xi(t)=(xi1(t),xi2(t),⋯,xin(t))T为状态向量，满足CDt0+αxi(t)=(CDt0+α1xi1(t)，CDt0+α2xi2(t),⋯,DCDt0+αnxin(t))T；h(xi)=(h1(xi1)，h2(xi2),⋯,hn(xin))T:Rn→Rn为激活函数，是连续可微的；τ(t)为时变时滞，满足τi(t)≤t+a(a0)和limt→+∞t-τi(t)=+∞；cij0为常数，表示系统的耦合强度，满足cij=ck(j∈𝒞k)和cij=1(j∉𝒞k)，其中ck为第k个集群的内部耦合强度；Ak=diag(a1k,a2k,⋯,ank)0为第k个集群的自反馈矩阵；Bk=(bpqk)n×n和Fk=(fpqk)n×n为连接权矩阵；Ek∈Rn为输入向量；Γ=diag(γ1,γ2,⋯,γn)为正定对角矩阵，代表内耦合矩阵；ui(t)为反馈控制器．定义C([t0-a,t0],Rn)为连续函数映射[t0-a,t0]→Rn的集合，则系统(1)的初始条件的可以表示为xi(ι)=ϕi(ι)    (ι∈[t0-a,t0])，式中ϕi∈C([t0-a,t0],Rn)．假设第k(k=1,2,⋯,m)个集群中的一个孤立节点的解sk(t)满足CDt0+αsk(t)=-Aksk(t)+Bkh(sk(t))+Fkh(sk(t-τ(t)))+Ek, (2)式中：CDt0+αsk(t)=(DCDt0+α1s1k(t),DCDt0+α2s2k(t),⋯，CDt0+αnsnk(t))T；sk(t)可以是一个周期轨迹、一个平衡点甚至是混沌的．定义3 对于k,r=1,2,⋯,m，若有：limt→+∞xi(t)-sk(t)=0    (i∈𝒞k)；limt→+∞sk(t)-sr(t)≠0    (k≠r)，则称耦合多阶分数阶神经网络(1)能够实现集群同步．定义4 称实方阵是梅兹内矩阵，若其所有非对角元素都是非负的；若一个实方阵是赫尔维茨矩阵，则其所有特征值都有负实部．假设1 激活函数hi在R上满足李普希茨条件，即存在李普希茨常数wi使得对于i=1,2,⋯,n，有(hi(x)-hi(y))≤wix-y    (∀x,y∈R)．假设2 耦合矩阵G可以被写为G=G11G12⋯G1mG21G22⋯G2m⋮Gm1Gm2⋯Gmm，式中：Gkk∈R𝒩k×𝒩k为一个对角元素为负且行和为零的矩阵；Gkr∈R𝒩k×𝒩r(k≠r)为行和为零的矩阵．2 主要结果本研究采用牵制控制来实现系统的集群同步．为不失一般性，对于每个集群(以第k个集群为例)，选择前lk(k=1,2,⋯,m)个节点来进行控制，记受控节点的集合为𝒥k．定义sk作为第k个集群的虚拟节点，di(≥0)作为虚拟节点到第i(i∈𝒞k)个节点的连接权重，满足di0对于i∈𝒥k，否则di=0．那么由原图𝒢k、虚拟节点sk及前lk个节点到虚拟节点sk的边组成一个新的图Gk．对于图Gk有如下假设．假设3 图Gk(k=1,2,⋯,m)中包含一个生成树．引理2[15] 若假设3成立，则存在正定对角矩阵Ωk=diag(ωNk-1+1,ωNk-1+2,⋯,ω𝒩k)(k=1,2,⋯,m)使得(Lk+Dk)TΩk+Ωk(Lk+Dk)≥κkΩk，(3)式中：Lk=(lij)𝒩k×𝒩k为矩阵Gkk的拉普拉斯矩阵，满足lij=-gij(i,j∈𝒞k)；Dk=diag(dNk-1+1,dNk-1+2,⋯，dNk)为对角矩阵；κk=λmin((Lk+Dk)TΩk+Ωk(Lk+Dk))/λmax(Ωk)；λmin(∙)和λmax(∙)分别为矩阵的最小特征值和最大特征值．记κ=min1≤k≤mκk．设计牵制控制器为ui(t)=-ckdiΓ(xi(t)-sk(t))(i∈𝒞k;k=1,2,⋯,m), (4)式中di为反馈增益，对于i∈𝒥k，di0，否则di=0．对于i∈𝒞k(k=1,2,⋯,m)，定义误差函数ei(t)=xi(t)-sk(t)=(xi1(t)-s1k(t),xi2(t)-s2k(t),⋯,xin(t)-snk(t))T,则有如下误差系统CDt0+αei(t)=-Akei(t)+Bkh¯(t)+Fkh¯(t-τ(t))+∑j=1NcijgijΓej(t)-ckdiΓei(t),式中：h¯(t)=h(xi(t))-h(s(k)(t))；h¯(t-τ(t))=h(xi(t-τ(t)))-h(s(k)(t-τ(t)))．上述系统的第p(p=1,2,⋯,n)个分量系统为CDt0+αpeip(t)=-apkeip(t)+∑q=1nbpqkh¯q(t)+∑q=1nfpqkh¯q(t-τq(t))+∑j=1Ncijgijγpejp(t)-ckdiγpeip(t). (5)记ap=min1≤k≤mapk，bpq=max1≤k≤mbpqk，c=min1≤k≤mck及fpq=max1≤k≤mfpqk．另外，定义矩阵P=-diag(2a1-2n+cκγ1-2γ1ξ,2a2-2n+cκγ2-2γ2ξ,⋯,2an-2n+cκγn-2γnξ)+(bpq2wq2)n×n和矩阵Q=(fpq2wq2)n×n．显然，P为梅兹内矩阵，Q为非负矩阵．定理1 若假设1~3成立，矩阵P+Q为赫尔维茨矩阵，则多阶分数阶神经网络(1)在控制器(4)的作用下能够实现集群同步．证明 考虑向量李雅普诺夫函数V(t)=(V1(t),V2(t),⋯,Vn(t))T，其中Vp(t)=12∑k=1m∑i∈𝒞kωieip2(t)=12∑k=1mεpk(t)TΩkεpk(t)，(6)式中：p=1,2,⋯,n；εpk(t)=(e(Nk-1+1)p(t)，e(Nk-1+2)p(t),⋯,eNkp(t))T；Ωk如引理2中所述．根据引理1和函数(6)可得CDt0+αpVp(t)=∑k=1m∑i∈𝒞kωieip(t)(-apkeip(t)+∑q=1nbpqkh¯q(t)+∑q=1nfpqkh¯q(t-τq(t))+∑j=1Ncijgijγpejp(t)-ckdiγpeip(t)).由假设1得到∑k=1m∑i∈𝒞kωieip(t)∑q=1nbpqkh¯q(t)≤12∑k=1m∑i∈𝒞kωineip2(t)+∑q=1n(bpqkwq)2eiq2(t)≤nVp(t)+∑q=1nbpq2wq2Vq(t).类似地，有∑k=1m∑i∈𝒞kωieip(t)∑q=1nfpqkh¯q(t-τq(t))≤nVp(t)+∑q=1nfpq2wq2Vq(t-τq(t)).另外，根据假设2可得∑k=1m∑i∈𝒞kωieip(t)∑j=1Ncijgijγpejp(t)=∑k=1m∑i,j∈𝒞kckωieip(t)gijγpejp(t)+∑k=1m∑i∈𝒞kωieip(t)∑r=1,r≠km∑j∈𝒞rgijγpejp(t).根据引理2，有∑k=1m∑i,j∈𝒞kckωieip(t)(gijγpejp(t)-diγpeip(t))≤-12cγp∑k=1mεpk(t)T[(Lk+Dk)TΩk+Ωk(Lk+Dk)]εpk(t)≤-12cκγp∑k=1mεpk(t)TΩkεpk(t)=-cκγpVp(t),及∑k=1m∑i∈𝒞kωieip(t)∑r=1,r≠km∑j∈𝒞rgijγpejp(t)≤∑k=1m∑i∈𝒞kωieip(t)∑r=1,r≠kmGkr1γpeip(t)=2γpξVp(t),式中ξ=max1≤k≤m∑r=1,r≠kmGkr1．结合上述不等式得到CDt0+αpVp(t)≤-(2ap-2n+cκγp-2γpξ)Vp(t)+∑q=1nbpq2wq2Vq(t)+∑q=1nfpq2wq2Vq(t-τq(t)).根据上述对于矩阵P和Q的定义可知CDt0+αV(t)≤PV(t)+QV(t-τ(t))，CDt0+αV(t)=(CDt0+α1V1(t),CDt0+α2V2(t),⋯,CDt0+αnVn(t)).根据文献[9]中的引理7可知：当矩阵P+Q为赫尔维茨矩阵时，有limt→+∞V(t)=0，这表明对所有的k=1,2,⋯,m和p=1,2,⋯,n，都有limt→+∞εpk(t)=0成立．因此，网络(1)在控制器(4)的作用下实现了集群同步．注1 文献[12-13]讨论了在相同阶次条件下分数阶神经网络的集群同步．本研究讨论了不同阶次条件下的分数阶时变时滞神经网络的集群同步．因此，本研究可以看作文献[12-13]的推广．如果系统(1)中不包含时滞项，得到无时滞的多阶分数阶神经网络，定义P¯=-diag(2a1-n+cκγ1-2γ1ξ,2a2-n+cκγ2-2γ2ξ,⋯,2an-n+cκγn-2γnξ)+(bpq2wq2)n×n，那么P¯为梅兹内矩阵．推论1 如果假设1~3成立，矩阵P¯为赫尔维茨矩阵，那么无时滞的多阶分数阶神经网络在控制器(4)的作用下能够实现集群同步．证明 考虑向量李雅普诺夫函数(6)，类似于上述证明和矩阵P¯的定义可以得到CDt0+αV(t)≤P¯V(t)+Q¯V(t-τ(t))，式中Q¯为零矩阵．因此limt→+∞V(t)=0，即系统(7)在控制器(4)的作用下能够实现集群同步．若对于i=1,2,⋯,n都有αi=α0，则系统(1)退化为具有相同阶次的分数阶神经网络．根据定理的证明，可以验证其结果对于上述具有相同阶次的分数阶神经网络依旧成立．推论2 如果假设1~3成立，矩阵P+Q为赫尔维茨矩阵，那么具有相同阶次的分数阶时变时滞神经网络在控制器(4)的作用下能够实现集群同步．注2 由推论2可知，在相同阶次条件下，本研究结论仍然成立．此外，如果本研究中的所有阶次都取整数，那么系统退化为整数阶神经网络．由推论2及分数阶系统和整数阶的关系易知，定理1和推论2的结果对整数阶神经网络的集群同步仍然成立．因此，本研究的结论是整数阶神经网络的集群同步的有效推广．3 数值仿真考虑三个3维的多阶分数阶神经网络(2)，其中：向量微分阶α=(0.95,0.92,0.98)T；网络时变时滞τ1(t)=τ2(t)=τ3(t)=0.5(sin(t)+t)；激活函数h1(r)=h2(r)=h3(r)=(r+1-r-1)/2；对于所有k=1,2,3，有Αk=diag(1,1,1)和Ek=(0,0,0)T．另外有：B1=1.85-1.750.102.991.571.01-3.750.700.90；F1=-0.410.200.00-0.20-0.50-0.200.000.000.30；B2=1.80-1.710.102.871.571.01-3.750.700.90；F2=-0.450.250.00-0.20-0.55-0.200.000.000.29；B3=1.80-1.780.103.011.541.11-3.690.750.92；F3=-0.400.210.00-0.20-0.49-0.200.000.000.33．图1~3分别描述了这三个分数阶神经网络(2)在不同初始条件(t0=0)下的动力学行为．10.13245/j.hust.230517.F001图1k=1时网络(2)在s(t0)=(1.10,0.01,-1.00)T下的动力学行为10.13245/j.hust.230517.F002图2k=2时网络(2)在s(t0)=(1.01,0.10,-0.95)T下的动力学行为10.13245/j.hust.230517.F003图3k=3时网络(2)在s(t0)=(0.75,0.17,-0.77)T下的动力学行为考虑由9个多阶分数阶神经网络(1)组成的耦合系统，这9个神经网络可以被分为三个集群，记为𝒞1={1,2,3}，𝒞2={4,5,6}及𝒞3={7,8,9}．系统的内耦合矩阵Γ=diag(1,1,1)．图4展示了包含三个虚拟节点在内的耦合系统的拓扑结构，图中：1,2,⋯,9为9个节点；节点之间的数值表示各个节点之间的权重；s1,s2,s3为三个虚拟节点．当选择节点1,4,7作为牵制节点进行控制时，可知假设3成立．另外，根据给定的激活函数可知，存在w1=w2=w3=1使得假设1成立．10.13245/j.hust.230517.F004图4耦合系统的拓扑结构对于控制器(4)，选择控制增益的值为d1=d4=d7=5，即D1=D2=D3=diag(5,0,0)．根据引理2，存在Ω1=Ω2=Ω3=diag(1,1,1)使得不等式(3)成立，且κ1=2.836 1，κ2=3.657 7，κ3=3.514 7，显然κ=min1≤k≤3κk=2.836 1．另外，选择系统的耦合强度为c1=c2=c3=5.5，那么由矩阵P和Q的定义及系数矩阵可计算得到P+Q=-5.973 53.230 90.010 09.100 1-6.831 11.272 114.062 50.562 5-8.643 3，通过验证可知该矩阵为赫尔维茨矩阵．由定理可知：多阶分数阶神经网络(1)在控制器(4)的作用下能够实现集群同步．定义同步误差为ℰk(t)=∑i∈𝒞kxi(t)-sk(t)(k=1,2,3)．图5刻画了随机初始值下ℰk(t)(k=1,2,3)关于时间t的轨迹图，说明分数阶神经网络(1)在控制器(4)的作用下实现了集群同步．另外，图6刻画了网络状态向量xi(t)(i=1,2,⋯,9)关于时间t的轨迹图，可以看出多阶分数阶神经网络(1)实现了集群同步．10.13245/j.hust.230517.F005图5同步误差ℰk(t)关于时间t的轨迹图(k=1,2,3)10.13245/j.hust.230517.F006图6状态向量xi(t)=(xi1(t),xi2(t),xi3(t))T关于时间t的轨迹图(i=1,2,⋯,9)4 结语本研究利用广义Halanay不等式和矩阵的性质分析了具有时变时滞的多阶分数阶神经网络的集群同步问题．通过构建向量李雅普诺夫函数，给出了基于牵制控制实现集群同步的充分条件．在此基础上，分析了无时滞的多阶分数阶神经网络和具有时变时滞的同阶分数阶神经网络的集群同步．最后，通过仿真验证了结论的有效性和正确性．