忆阻概念是由蔡少棠教授于1971年提出[1]，是继电阻、电感和电容之后的第四种电路基本元件．忆阻器是一种无源二端电子元件，作为一种新型信息存储和处理的元器件，具有nm级尺寸、快速开关及功耗低等特点，其信息存储和处理特性极其类似于人脑突触，被认为是模拟神经突触的完美器件[2]．利用忆阻来模拟神经突触的人工神经网络被称为忆阻神经网络，近年来，忆阻神经网络的研究成为了热点方向之一[3-5]，其中惯性忆阻神经网络的动力学行为研究引起了各国学者的浓厚兴趣，与状态具有一阶导数的忆阻神经网络相比，惯性忆阻神经网络(IMNNs)是一个具有神经元状态二阶导数的微分方程，其特性更加复杂，IMNNs的研究主要集中在稳定性[6-7]、无源性[8]和同步控制[9-10]等方面．可达集是指动力系统在有外部扰动的情况下，所有可获取的系统状态的集合[11]．可达集估计是工程领域安全性自动检验中十分重要的问题，近年来在线性系统[12-13]、奇异系统[14]中受到广泛关注．在实际工程中，每个物理状态都有约束条件，一旦超过了这个约束范围可能会导致零件或者设备损坏，所以在设备操作期间必须对系统物理状态可达集进行估计，可见可达集估计是忆阻神经网络安全运行的最基本保障，只有在网络安全运行的情况下进一步考虑其实际应用才有意义．而实际中的时滞不可避免出现[15-17]，因此对时滞忆阻神经网络的可达集估计问题研究尤为重要．然而，关于时滞忆阻神经网络可达集估计的文献较少[18-19]，主要是因为忆阻神经网络具有切换和非线性特性，导致忆阻神经网络是一类切换不连续系统，扰动和时滞的引入也会产生混沌和分岔等行为，导致寻求最小可达集边界的优化算法较难设计，因此该问题的研究极具挑战性．本研究针对带有有界扰动的时滞IMNNs可达集估计问题，所考虑的时滞IMNNs是一个二阶微分系统，通过坐标变换转化成一阶微分方程；在Filippov解的框架下，应用微分包含理论，通过构造适当的李雅普诺夫函数，给出了IMNNs的可达集估计判据；通过求解优化问题，确定了一个多边形区域来估计IMNNs的边界．最后给出仿真算例验证所给判据的有效性．1 问题描述考虑如下的IMNNs模型，d2xi(t)dt2=-αixi(t)-di(xi(t))dxi(t)dt+∑j=1naij(xi(t))fj(xj(t))+∑j=1nbij(xi(t))∙fj(xj(t-τj(t)))+∑j=1ncij(xi(t))ωj(t), (1)式中：t为时间；xi(t)为第i个神经元的状态；di(xi(t))，aij(xi(t))，bij(xi(t))和cij(xi(t)) (i,j∈Ν)为忆阻连接权重，其表达式分别为di(xi(t))=1Ci∑j=1n(1Rij+1Rij*+1Rij**)δij+1Ri，aij(xi(t))=δijCiRij，bij(xi(t))=δijCiRij**，cij(xi(t))=δij/(CiRij**)，其中，Rij，Rij*和Rij**为忆阻器，Ri和Ci分别为电路中的电阻和电容；αi0为自反馈系数，αi=1/(CiRi)；若i≠j，则δij=1，否则δij=-1；fj(xj(t))和fj(xj(t-τj(t)))分别为神经元不含和含有时滞的激活函数；ωj(t)为有界外部扰动，令ω(t)=(ω1(t),ω2(t),⋯,ωn(t))T满足ω(t)≤ ω¯，其中ω¯为大于零的常数；τj(t)为时变时滞，满足0≤τj(t)≤τ, τ˙j(t)≤τ01，(2)其中τ和τ0为常量．关于IMNNs模型可参考文献[7-9]．基于文献[7-9]可得IMNNs模型状态相关参数满足di(xi(t))=di*(x˙i(t)≤Ωi),di**(x˙i(t)Ωi);aij(xi(t))=aij*(x˙i(t)≤Ωi),aij**(x˙i(t)Ωi);bij(xi(t))=bij*(x˙i(t)≤Ωi),bij**(x˙i(t)Ωi);cij(xi(t))=cij*(x˙i(t)≤Ωi),cij**(x˙i(t)Ωi),式中：Ωi为切换状态；di*0，di**0，aij*，aij**，bij*，bij**，cij*和cij**(i,j∈Ν)均为常量．IMNNs模型(1)的初始条件假定为零，即xi(s)=0，x˙i(s)=θi(s)，s∈[-τ,0]．为了得到IMNNs可达集估计条件，对IMNNs模型(1)给出以下假设．假设1 神经元激活函数fi(∙)有界，并且∃ri0，满足条件0≤xifi(xi)≤rixi2； fi(0)=0(i∈N)．(3)令：d¯i=max{di*,di**};d̲i=min{di*,di**};a¯ij=max{aij*,aij**};a̲ij=min{aij*,aij**};b¯ij=max{bij*,bij**};b̲ij=min{bij*,bij**};c¯ij=max{cij*,cij**};c̲ij=min{cij*,cij**}.根据微分包含理论和集值映射[20]，IMNNs模型(1)转化为d2xi(t)/dt2∈-αixi(t)-co[di(xi(t))]∙dxi(t)dt+∑j=1nco[aij(xi(t))]fj(xj(t))+∑j=1nco[bij(xi(t))]fj(xj(t-τj(t)))+∑j=1nco[cij(xi(t))]ωj(t)    (t≥0,i∈Ν), (4)式中：co[di(xi(t))]=[d̲i,d¯i]；co[aij(xi(t))]=[a̲ij,a¯ij]；co[bij(xi(t))]=[b̲ij,b¯ij]；co[cij(xi(t))]=[c̲ij,c¯ij]．或等价于存在函数d⌣i(t)∈co[di(xi(t))]，a⌣ij(t)∈co[aij(xi(t))]，b⌣ij(t)∈co[bij(xi(t))]和c⌣ij(t)∈co[cij(xi(t))]，使得d2xi(t)dt2=-αixi(t)-d⌣i(t)dxi(t)dt+∑j=1na⌣ij(t)fj(xj(t))+∑j=1nb⌣ij(t)fj(xj(t-τj(t)))+∑j=1nc⌣ij(t)ωjt. (5)接下来对模型(5)进行坐标变换，令yi(t)=λixi(t)+dxi(t)/dt(i∈Ν)，式中λi为常量，则模型(5)可以转换为dxi(t)dt=-λixi(t)+yi(t);    dyi(t)dt=-μi(t)yi(t)+ρi(t)xi(t)+∑j=1na⌣ij(t)fj(xj(t))+∑j=1nb⌣ij(t)∙fj(xj(t-τj(t)))+∑j=1nc⌣ij(t)ωjt, (6)式中：μi(t)=d⌣i(t)-λi；ρi(t)=μi(t)λi-αi．模型(6)相应的初始值xi(s)=0，yi(s)=θi(s)，s∈[-τ,0]．引理1 令V(t)为一个李雅普诺夫函数，满足V(0)=0，ω(t)=(ω1(t),ω2(t),⋯,ωn(t))T．若V˙(t)+εV(t)-εω¯ω(t)≤0 (ε0)，则V(T)≤1，∀T≥0．证明 因为V˙(t)+εV(t)-εω¯ω(t)≤0，将不等式两边乘eεt，有eεtV˙(t)+εeεtV(t)≤εω¯eεtω(t)，即ddteεtV(t)≤εω¯eεtω(t)．将两边从0到T积分可得eεTV(t)≤∫0Tεeεtω(t)ω¯=eεT-1．所以V(T)≤1-1/eεT1，T≥0．证毕．本研究的主要目标是找到一个尽可能小的集合，使得IMNNs模型(1)的状态界定在这个集合中．IMNNs模型(1)可达集定义为Rx:=xi(t)|t≥0，(7)式中xi(t)满足带有扰动ωi(t)的IMNNs模型(1)．对于常数πi0，一个界定式(7)中Rx的多边形集合定义为Σ=∑i=1nπixi(t)≤1．(8)2 主要结果针对IMNNs模型(1)提出一种可达集估计方法．令μ̲i=d̲i-λi,μ¯i=d¯i-λi,Aij=maxaij*,aij**，Bij=maxbij*,bij**,Cij=maxcij*,cij**，ρ¯i=maxμ̲iλi-αi,μ¯iλi-αi．定理1 在假设1条件下考虑IMNNs模型(1)，若存在常数ε∈(0,1),πi0,λi0,i∈N，使得：επi-λiπi+ρ¯i+∑j=1nAjiri+Bjieετ1-τ0ri0；(9)πi+ε-μ̲i0；(10)∑i=1nCji-εω¯0，(11)则IMNNs (1)状态界定在多边形集Σ中．证明 构造如下的李雅普诺夫函数，V(t)=V1(t)+V2(t)，(12)式中：V1(t)=(πi|xi(t)|+|yi(t)|)；V2(t)=∑i=1n∑j=1nBij1-τ0∫t-τjtt|fj(xj(s))|eεs-t+τds．令：ζit=co[sgn(xi(t))]=-1(xi(t)0),[-1,1)(xi(t)=0),1(xi(t)0);ηit=co[sgn(yi(t))]=-1(yi(t)0),[-1,1)(yi(t)=0),1(yi(t)0).沿着系统(6)计算V(t)的导数，则有：dV1(t)dt=∑i=1ndxi(t)dtζi(t)+dyi(t)dtηi(t)=∑i=1nπi(-λixi(t)+yi(t))ζi(t)+-μi(t)yi(t)+ρi(t)xi(t)+∑j=1na⌣ij(t)fj(xj(t))+∑j=1nb⌣ij(t)⋅fj(xj(t-τj(t)))+∑j=1nc⌣ij(t)ωj(xj(t))ηi(t)≤∑i=1n-λiπi|xi(t)|+πi|yi(t)|-μi|yi(t)|+ρ¯i|xi(t)|+∑j=1nAij|fj(xj(t))|+∑j=1nBijfj(xj(t-τj(t)))+∑j=1nCij|ωj(t)|. (13)dV2(t)dt=-εV2(t)+∑i=1n∑j=1nBij1-τ0| fj(xj(t))|⋅eετ-Bij1-τ0(1-τ˙j(t))| fj(xj(t-τj(t)))|eτ-τjt.而根据式(2)，0≤τj(t)≤τ，τ˙j(t)≤τ01，则有dV2(t)dt≤-εV2(t)+∑i=1n∑j=1nBij1-τ0⋅fj(xj(t))eετ-Bijfj(xj(t-τj(t))). (14)由式(13)和(14)可得dV(t)dt+εV(t)-εω¯ω(t)≤∑i=1n-λiπi|xi(t)|+πi|yi(t)|-μi|yi(t)|+ρ¯i|xi(t)|+∑j=1nAij|fj(xj(t))|+∑j=1nCij|ωj(t)|+ε(|xi(t)|+|yi(t)|)+∑i=1n∑j=1nBij1-τ0|fj(xj(t))|eετ-εω¯∑i=1nωi(t),即dV(t)dt+εV(t)-εω¯ω(t)≤∑i=1n-λiπi|xi(t)|+πi|yi(t)|-μi|yi(t)|+ρ¯i|xi(t)|+∑j=1nAijrj|xj(t)|+∑j=1nCij|ωj(t)|+ε(πi|xi(t)|+|yi(t)|)+∑i=1n∑j=1nBijeετ1-τ0rj|xj(t)|-αω¯∑i=1n|ωi(t)|=∑i=1nεπi-λiπi+ρ¯i+∑j=1nAjiri+Bjieετ1-τ0ri|xi(t)|+∑i=1n(πi+ε-μi)yi(t)+∑j=1nCji-εω¯|ωi(t)|.根据式(9)～(11)可知dV(t)dt+εV(t)-εω¯ω(t)0．由引理1可得V(t)≤1，即∑i=1nπi|xi(t)|≤1．注1 定理1给出了带有有界扰动的时滞IMNNs可达集估计的代数判据，与文献[12-14]中的线性矩阵不等式判据相比，代数判据更容易验证，更适合忆阻神经网络模型．注2 为寻找式(8)中多边形集合Σ，应用以下优化方法，即最大化δ使得δI≤diag{π1,π2,⋯,πn}和式(9)～(11)成立，其中I为单位矩阵．3 数值仿真例1 考虑如下二阶IMNNs模型d2xi(t)dt2=-αixi(t)-di(xi(t))dxi(t)dt+∑j=12aij(xi(t))fj(xj(t))+∑j=12bij(xi(t))fj(xj(t-τj(t)))+∑j=1ncij(xj(t))ωj(t)    (i=1,2), (15)式中：d1=1.95；d2=1.9；α1=2.25；α2=2.3；d1*=1.9；d1**=1.9；d2*=1.97；d2**=1.97；a11*=1.1；a11**=1；a12*=1.5；a12**=1.4；a21*=-1.2；a21**=-1.1；a22*=0.3；a22**=0.32；b11*=-2.55；b11**=-2.54；b12*=-1.75；b12**=-1.7；b21*=1.05；b21**=1；b22*=-0.5；,b22**=-0.8；c11*=-0.1；c11**=-0.1；c12*=-0.2；c12**=-0.2；c21*=0.2；c21**=0.2；c22*=-0.1；c22**=-0.1；fj(xj(t))=tanh(xj(t))；τj(t)=et/(1+et)；ω1(t)=-0.2sin t；ω2(t)=0.1sin t- 0.1cos t．经过计算得到：τ0=0.25，r1=r2=1，ω¯=0.4，A11=1.1，A12=1.5，A21=1.2，A22=0.32，B11=2.55，B12=1.75，B21=1.05，B22=0.8，C11=0.1，C12=C21=0.2，C22=0.1．令θ1=0.4，θ2=0.1，λ1=λ2=4，ε=0.2．易知ρ¯1=5.95，ρ¯2=5.9．根据定理1，满足式(9)～(11)的π1=π2=3.799．图1给出了IMNNs模型(15)的状态x1(t)和x2(t)的曲线图．图2给出了状态的相位图及可达集．从图1可以看出IMNNs状态不收敛，从图2可以看出系统的状态界定在一个多边形集合中．10.13245/j.hust.238851.F001图 1IMNNs模型(15)状态x1t和x2t的曲线10.13245/j.hust.238851.F002图 2IMNNs模型(15)状态和可达集4 结语针对一类带有有界扰动的时滞IMNNs可达集估计问题进行研究．首先应用变量代换方法把时滞二阶IMNNs转化成一阶微分方程，然后应用非光滑分析方法和李雅普诺夫稳定性理论得到了时滞IMNNs的可达集估计的充分条件，最后通过数值算例验证了所提方法的有效性．