并联机器人的动力学模型是机器人实现高性能运行的基础，动力学模型的参数一般难以直接测量，须要通过特定的辨识方法获得．辨识后便可以基于动力学模型设计相应的控制器对机器人进行运动控制，实现系统所期望的性能．李永泉等[1]建立了二自由度并联机器人的动力学模型，采用待定系数法辨识到机器人多能域下的动力学参数并进行基于计算力矩的力位混合控制．张彬等[2]建立了绳索牵引并联机器人的动力学模型并设计了一种双空间自适应同步控制器，解决了绳长空间中动力学参数不确定性和绳索同步两方面的问题．陈建宇[3]研究了轮足混合移动机器人的动力学模型，并对机器人的单腿机构进行了参数辨识．牛雪梅等[4]提出基于径向基函数(RBF)神经网络误差补偿的冗余驱动并联机器人的动力学模型简化方案．针对模型不确定性和干扰的问题，Saeed等[5]提出一种新型鲁棒自适应方案，保证了系统在外部干扰下的实时辨识和控制．Umme等[6]建立了二自由度平面机器人的动力学模型，采用比例积分微分(PID)和滑模控制相结合的控制方案，具有较好的系统稳定性．Müller等[7]提出采用在冗余坐标系下的基于动力学模型的增广比例微分(PD)和计算力矩的策略来控制冗余驱动并联机器人，补偿了寄生运动带来的扰动力．在机器人的运动控制中，基于动力学模型的运动控制不须要增加或改变任何系统的结构或硬件，仅在原系统已有的结构和硬件基础上，通过设计一套有效的控制策略，用软件就可以实现提高原机器人系统性能的目标．因此，设计基于动力学模型的运动控制器是机器人实现高速高精度控制的有效途径[8-9]，控制器性能的优劣直接依赖于机器人的动力学模型是否精确．并联机器人由多条复杂的闭环运动支链组成，其闭环特性所造成的约束导致机器人的动力学模型具有非线性、强耦合、时变参数等特性，因此从一套独立广义坐标系中得到精确的动力学方程变得尤为困难[10]，从而影响了机器人运动平台的轨迹精度．此外，并联机器人动力学模型的形式通常非常复杂，将该模型引入控制系统时导致计算程序无法满足控制系统的实时性要求[11]．刘晓等[12]提出了一种并联舰载稳定平台动力学模型在不同海况下的简化策略，提高了动力学计算效率．刘善增等[13]基于机器人系统的等效转动惯量、驱动力/力矩和能耗的显式表达式，导出了形式简洁的系统动力学方程．侯雨雷等[14]忽略分支支链的质量，建立了3-RSP/SP并联车载天线机构的动力学简化模型．相比之下，3-CRU并联机器人凭借线性的位置方程(C为圆柱副，R为转动副，U为万向铰)，有利于简化机器人的动力学模型，减少运动控制中的计算时间，保证控制算法的实时性．基于此，本研究建立了具有线性位置解的3-CRU并联机器人的动力学模型并对其动力学参数进行辨识．在线性伺服控制的基础上设计了前馈力矩补偿与滑模变结构控制相结合的控制策略，通过实验验证了算法的有效性，提高了机器人运动平台的轨迹跟踪精度．1 3-CRU并联机器人及其动力学模型1.1　并联机器人平台结构图1所示为3-CRU并联机器人三维模型图，机器人由运动平台、固定平台及三条完全相同的 CRU分支组成．圆柱副的轴线、转动副的轴线以及万向铰其中一条轴线两两相互平行，三条导轨与固定平台所在的平面夹角均为α．当α=0°时，直线模组滑块作为驱动副由电机通过滚珠丝杠驱动，从而实现机器人运动平台的三维移动．10.13245/j.hust.230625.F001图13-CRU移动并联机器人三维模型图1.2　3-CRU并联机器人的特性设驱动关节位移为q=[q1，q2，q3]T，动平台中心点的输出坐标矢量为U=[xp，yp，zp]T，该机器人的逆运动学方程为：q1=xpcosα+zpsinα;q2=-xpcosα/2+3ypcosα/2+zpsinα;q3=-xpcosα/2-3ypcosα/2+zpsinα. (1)该机器人的正运动学方程为：xp=(2q1-q2-q3)/(3cos α)；yp=（q2-q3）/(3cosα); (2)zp=(q1+q2+q3)/(3sinα)．不同于绝大多数并联机器人非线性的运动学正解，由式(1)和式(2)可以看出3-CRU并联机器人的正、逆运动学方程是简单的线性关系，位置正反解均为解析解，且解唯一．1.3　基于拉格朗日方程的动力学模型基于拉格朗日方程建立该机器人的动力学模型．主动力τi为非保守力时的拉格朗日方程可写为τi=ddt∂T∂q˙i-∂T∂qi+∂V∂qi(i=1,2,3)，(3)式中T和V分别为机器人系统的动能和势能．将式(3)写成矩阵的形式，3-CRU并联机器人的驱动力矩可表示为τ=M(q)q¨+B(q,q˙)q˙+G(q)+F(q˙)，(4)式中：M(q)为机器人的质量矩阵；B(q,q˙)为科氏力和离心力项；G(q)为重力项；F(qi)=fcisgn(q˙i)+fviq˙i，fci为库仑摩擦系数，fvi为黏滞摩擦系数．当考虑系统建模误差、采样延时、传感器噪声及外部干扰力矩时，把辨识误差产生的力矩误差和系统建模等引起的干扰力矩合并，称其为机器人总扰动τd，式(4)则改写为τ+τd=M^(q)q¨+B^(q,q˙)q˙+G^(q)+F^(q˙)，(5)式中M^(q),B^(q,q˙),G^(q),F^(q˙)分别为机器人经动力学参数辨识后的M(q),B(q,q˙),G(q),F(q˙)矩阵．1.4　动力学参数辨识为了便于求解待辨识的动力学参数，须要提取待辨识参数的系数．动力学方程式(4)进一步改写为τ=Hb(q,q˙,q¨)β，(6)式中：Hb(q,q˙,q¨)为动力学模型的观测矩阵；β为待辨识参数向量．通过选取一系列的观测点，并使并联机器人按照优化后的激励轨迹运行，从而辨识出动力学参数．将辨识结果代入式(6)中，当机器人以某一规划轨迹运行时，便求得该轨迹下的估计驱动力矩Hb(q,q˙,q¨)β^=M^(q)q¨+B^(q,q˙)q˙+G^(q)+F^(q˙). (7)2 前馈力矩补偿与滑模变结构控制2.1　前馈力矩补偿控制在线性伺服控制的基础上增加前馈力矩，可以补偿测量噪声和外部干扰力对机器人系统的影响．前馈力矩补偿控制的计算需要已知机器人的动力学模型及期望轨迹参数，在实际中，质量矩阵、科氏力和离心力，重力项和摩擦力项采用1.4节的辨识值，则有τf=M^(q)q¨d+B^(q,q˙)q˙d+G^(q˙)+F^(q˙)，(8)式中：τf为基于动力学模型的前馈力矩；qd,q˙d，q¨d分别为期望轨迹的位移、速度和加速度．对比式(7)，则有τf=Hb(qd,q˙d,q¨d)β^．(9)2.2　等效滑模变结构控制在上述前馈力矩补偿的基础上施加滑模控制，可以补偿由动力学模型参数真实值和辨识值，以及机器人实际运动和期望轨迹之间的误差引起的系统稳态跟踪误差，具有较好的鲁棒性．取3-CRU并联机器人的滑模函数为s=e˙+Ce，(10)式中e和e˙分别为关节空间轨迹跟踪位置误差和速度误差，即e=q-qd,e˙=q˙-q˙d，s=[s1，s2，s3]T，C=diag(c1,c2,c3)，参数c1,c2,c3满足赫尔维茨（Hurwitz）条件．等效控制力矩设计为τe=M^(q¨d-Ce˙)+B^+G^+F^-τd．(11)设计切换控制器为τs=-Ks/s，(12)式中K=K'+σ,K'0,σ0．滑模控制律由等效控制项和切换控制项组成，即τsm=τe+τs．(13)定义李雅普诺夫(Lyapunov)函数V=sTM^s/2．(14)因为惯性矩阵M^是正定矩阵，所以式(14)全局正定．对李雅普诺夫函数求导，10.13245/j.hust.230625.F002图23-CRU并联机器人的控制架构框图V˙=12s˙TM^s+12sTM^˙s+12sTM^s˙=sTM^s˙+sTB^s=-sT(K'+σ)s/s-σs,因此该系统可实现全局稳定．3-CRU机器人的控制架构框图如图2所示．此时的动力学方程为M^q¨+B^q˙+G^+F^-τd=τsc+τf+τsm，(15)式中：τsc为伺服控制器计算得到的力矩；τsm为采用滑模变结构算法输出的力矩；τsc，τf和τsm三者之和为伺服电机底层电流环的输入力矩．3 机器人的参数辨识和轨迹跟踪实验3.1　动力学参数辨识实验3-CRU并联机器人实验平台和系统原理图如图3所示．3-CRU并联机器人以五次多项式改进的傅里叶级数激励轨迹运行，得到了最优激励轨迹下的驱动力矩与观测矩阵．通过多次实验，将测得的各分支电磁转矩值平均．基于最小二乘法，得到了待辨识参数的估计值．为了验证辨识到的动力学模型参数是否准确，以便能够较准确地估计任意轨迹下的驱动力矩，在笛卡尔空间中设计了另一条轨迹．三条轴计算得到的估计力矩、测量的实际力矩及二者之间的误差如图4所示．10.13245/j.hust.230625.F003图3机器人的实验平台与系统原理图10.13245/j.hust.230625.F004图4基于动力学模型的计算力矩和实际力矩对比从总体看，除在一些力矩方向发生突变的位置处误差较大外，整体动力学模型的计算力矩和实际力矩的曲线基本符合．经计算，三条轴的平均误差分别为0.013 9，0.019 4和0.015 0 N·m．因此，基于辨识参数得到的动力学模型计算力矩能够较准确预测实际力矩．对于力矩方向突变引起计算力矩偏大可能有以下两个原因：a. 在实际中电机、减速器等旋转结构的摩擦力要比库仑-黏滞摩擦模型更加复杂，当换向时，摩擦力会随着速度增大而减小，从而导致对实际力矩的估计出现较大误差；b. 由于该并联机器人是由本课题组自行设计、加工、装配完成，机器人的运动副较多，每个运动副的微小间隙传递至分支末端后，加工误差就会被放大；而且由于缺乏物理基准数据，从而难以保证分支内和分支间的装配精度[15]．这些因素引起机器人运行的轻微抖动，当机器人换向时由于惯性的存在，从而导致计算力矩的偏大，其中机器人第二轴的偏差最明显，且实际力矩出现抖振的现象．这是因为在自行加工、装配过程中，第二轴的加工精度和装配精度比其他两轴都要差，从而导致第二轴分支支链运动副的间隙较大，机器人在高速换向中受到的惯性力也较大．3.2　机器人轨迹跟踪实验实验的目的在于提高机器人的轨迹跟踪精度，采用有限脉冲响应滤波器的轨迹规划方法[16]规划得到关节空间三条轴的位移，三个驱动滑块的实际位置q由直线光栅尺采集得到．当机器人按照线性伺服控制策略运行时，三个驱动滑块的期望轨迹与实际轨迹之间的误差如图5(a)所示．三条轴的位置误差都随着速度的增加而逐渐变大，其中第一轴的误差大于其他两条轴，最大值达到0.135 mm(如表1所示)．三条轴的平均误差分别为0.089，0.062和0.078 mm，关节空间的轨迹精度有待提高．图5(b)为运动平台三维空间的位置误差，可以看出X，Y，Z轴的误差均较小，最大误差也不超过0.10 mm．这是由于该3-CRU并联机器人的正运动学方程呈线性关系，这种线性映射关系导致驱动滑块的位置误差传递到运动平台上不会呈指数型累积增长．10.13245/j.hust.230625.F005图5线性伺服控制策略下机器人的位置误差在线性伺服控制策略的基础上施加如图6所示的前馈力矩，机器人的轨迹跟踪位置误差如图7和表2所示．同样地，三条轴驱动滑块的位置误差都随着速度的增加而逐渐变大．对比表1和表2，第一轴位置误差的最大值由开始的0.135 mm减小到0.110 mm，第二轴的误差由0.085 mm减小到0.053 mm，第三轴的误差由0.112 mm减小到0.083 mm，同时三条轴的平均误差也均有所减小．因此在施加前馈力矩后，关节空间的轨迹精度有所提高．10.13245/j.hust.230625.F006图6前馈力矩10.13245/j.hust.230625.F007图7前馈力矩控制策略下机器人的位置误差10.13245/j.hust.230625.T001表1线性伺服控制策略下机器人的位置误差值 mm参数驱动滑块运动平台第一轴第二轴第三轴X轴Y轴Z轴最大值0.1350.0850.1120.0490.0270.179平均值0.0890.0620.0780.0160.0120.13310.13245/j.hust.230625.T002表2前馈力矩控制策略下机器人的位置误差值参数驱动滑块运动平台第一轴第二轴第三轴X轴Y轴Z轴最大值0.1100.0530.0830.0550.0280.129平均值0.0690.0340.0510.0220.0130.089mm图7(b)为施加前馈力矩后3-CRU并联机器人运动平台的位置误差．对比表1和表2，运动平台在Z轴方向上的最大位置误差从原来的0.179 mm减小到0.129 mm；平均误差从原来的0.133 mm减小到0.089 mm．然而，其他两个方向上的位置误差变化不大，这同样是由线性的正运动学方程决定的．由式(2)可以看出，Z轴方向的位移是由三个驱动滑块的位移之和得到的，因此运动平台的Z向误差也由三个轴的误差之和求得．然而，X轴方向的位置误差则是三条轴之差求得，Y轴方向的位置误差是由第二轴和第三轴驱动滑块位置之差求得，两轴误差相互抵消，因此运动平台X轴和Y轴的位置误差变化不大．为了消除系统的稳态误差，进一步提高机器人的轨迹跟踪精度以及控制系统的鲁棒性，在线性伺服控制和前馈力矩的基础上，通过反馈的位移、速度信息，采用滑模变结构控制策略加以控制．选取控制器参数C=diag(25,25,25)，τdmax=0.05 N，σ=0.2，动力学模型误差为辨识值的40%．通过电机编码器和Kithara实时通信系统实时反馈位移和速度信号，基于滑模变结构控制算法，计算得到的机器人的补偿力矩如图8所示，机器人的轨迹跟踪位置误差如图9所示．由于滑模变结构伴随的抖振的存在，运动平台在前0.3 s振动的幅度较大．忽略启动时前0.3 s机器人的抖振，三条轴的驱动滑块的位置误差最大值分别减小至0.055，0.035和0.047 mm，分别比施加前馈力矩控制减小了50.00%，33.96%和43.37%，比原有伺服驱动减小了59.26%，58.82%和58.04%；平均误差分别减小至0.031，0.011和0.020 mm，比施加前馈力矩控制减小了55.07%，67.65%和60.78%；分别比原有伺服驱动减小了65.17%，82.26%和74.36%，驱动滑块的轨迹跟踪误差整体显著减小．因此，施加前馈力矩滑模变结构控制后，提高了驱动滑块的轨迹跟踪精度．图9(b)为采用前馈力矩滑模变结构控制后3-CRU并联机器人运动平台的位置误差，同样地，运动平台在Z轴方向上的最大位置误差在施加前馈力矩后的基础上最大值减小至0.053 mm，平均值减小至0.034 mm．Z轴位置误差显著减小．同样由式(2)线性运动学正解方程导致X轴和Y轴方向上的位置误差变化不大．10.13245/j.hust.230625.F008图8基于滑模变结构控制算法的补偿力矩值10.13245/j.hust.230625.F009图9前馈力矩滑模变结构控制策略下机器人的位置误差综上所述，采用前馈力矩滑模变结构控制后3-CRU并联机器人驱动滑块的位置精度显著提高(见表3)．由于该机器人的正运动学方程呈线性关系，机器人驱动滑块的位置误差传递至运动平台上并不会呈指数型累计增长．同时对比图5(b)、图7(b)和图9(b)，该机器人独特的正运动学方程也保证了运动平台X轴和Y轴的轨迹精度可以始终保持较好．这一特性从结构上保证了机器人运动平台的轨迹精度．10.13245/j.hust.230625.T003表3前馈力矩滑模变结构控制策略下机器人的位置误差值参数驱动滑块运动平台第一轴第二轴第三轴X轴Y轴Z轴最大值0.0550.0350.0470.0430.0280.053平均值0.0310.0110.0200.0160.0120.034 mm4 结语建立了3-CRU并联机器人包含建模误差和外部干扰的动力学模型并对其参数进行了辨识．针对采用单一的线性伺服控制时机器人运动平台的跟踪轨迹精度较差的问题，设计了前馈力矩补偿与滑模变结构控制相结合的控制策略．通过实验对比，驱动滑块的最大位置误差比原有线性伺服控制减小了59.26%，58.82%和58.04%，平均位置误差减小了65.17%，82.26%和74.36%，该控制方法提高了机器人的轨迹跟踪精度和鲁棒性．而且线性的位置正解特性使得机器人驱动滑块的位置误差传递到运动平台上不会呈指数型累积增长，同时运动平台X轴和Y轴可以始终保持较好的位置精度，从结构上保证了机器人运动平台的轨迹精度．未来将基于该机器人动力学模型简化的特点，引入智能学习算法进一步补偿机器人模型真实值和辨识值之间的误差．