舰艇在海洋中航行时，腐蚀或防腐措施会产生不容忽视的水下电场信号，近年来一直被水中兵器工作者重点关注[1-3]．为准确掌握水下电场分布特征，在理论研究中往往将深海环境简化为空气-海水两层平行分层媒质模型，并将舰艇电场场源等效为一个电场基本模拟单元或多个基本模拟单元的组合[4-5]．导电媒质中电场场源的基本模拟单元最常见的是电偶极子和电流元，诸多文献对二者并不做区分，场分布表达式往往通过引入标量电位、矢量磁位、赫兹势或者采用傅氏变换法求解相应的定解问题来获得．由于场域分层，且含导体，使得求解相对困难，所得表达式形式也比较复杂，只能依靠近似计算或数值求解[6-10]．这一思路适合用于电场的正演过程，即基于已知的场源参数及环境参数来预估场分布特征，但在已知电场分布反演场源参数的应用中并不方便使用．近年来，针对实际应用中经常出现的恒定电场，部分研究者基于唯一性原理，用镜像法对导电媒质中的电偶极子场分布所满足的边值问题进行求解[11-12]．该方法过程简单，并且能获得用初等函数表示的场分布表达式，电场的正演和反演过程均可应用．因此，镜像法及其所获得的场分布表达式在相关领域研究中的应用不断深入[13-15]，但是目前仍有两方面的问题有待完善．一是从电场的产生机理来看，考虑到对于导电媒质中的电场场源来讲，电流从一个极(源点)流出，从另一个极(汇点)流入，在导电媒质中形成电流场，进而产生电场分布．若用电流元来进行场源的模拟和等效，其物理图像更清晰，更易于理解．二是在用镜像法推导恒定的电偶极子场分布过程中，往往将p=Idl(其中：p为场源强度；I为场源的等效电流；dl为场源负极指向正极的有向线段)作为偶极矩，此时若场域含有绝缘媒质，则会出现表达式量纲不对的问题，如文献[11]推导过程中的式(2)~(5)．尽管最后的场分布表达式被证明是正确的，但物理图像不清晰、推导过程不严谨．为解决这些问题，本研究从导电媒质中恒定电场产生机理出发，选择恒定电流元为电场等效场源；并针对半无限大导电媒质场域，采用镜像法以矩阵形式重新对电流元场分布表达式进行推导，通过恰当引入镜像场源解决了已有文献中不严谨的问题；最后通过实验验证了推导结果的正确性．1 无限大导电媒质中恒定电流元电场1.1　导电媒质中的电流元舰船或潜艇水下腐蚀相关电场的场源主体可用如图1所示的简化电流结构来表达．防腐电流从外加电流阴极保护系统的阳极(电极1)流出，经海水后从螺旋桨(电极2)流回大轴，海水中的腐蚀相关电场(带箭头的虚线示意电流线)由此产生．10.13245/j.hust.230823.F001图1电场场源的简化电流结构显然，从产生机理来看，当场点与场源之间的距离远大于两电极间距时，两电极间距∆l可近似为dl，导电媒质中的上述电流结构可用一电流元来进行等效，电流流出的电极为电流元的源点，电流流入的电极为汇点，电流元强度可表示为p=Idl，其中dl的方向为从电流的汇点指向源点．若两电极之间的供电电源电压保持恒定，回路中流过的电流恒定，则成为一恒定电流元，将在全空间产生不随时间变化的恒定电场，也就是静态电场分布．当两电极间距∆l不可忽略时，可将场源视为多个电流元首尾相接形成的电流线，空间中的场分布则为多个电流元产生的场分布的矢量和．1.2　无限大导电媒质中电流源点或汇点的场分布设无限大导电媒质电导率为σ，其中仅存在一个电流源点(位置矢量r0)，流出恒定电流总强度为I+(流经源点的电流大小)．无限大导电媒质中电流源点的电流分布如图2所示，此时可视汇点在无穷远处．以电流源点为球心，过场点M(位置矢量r，r≠r0)做球面S．由于电流恒定，因此S面上各点的电流密度矢量应满足∯S j(r)∙dS=I+．(1)10.13245/j.hust.230823.F002图2无限大导电媒质中电流源点的电流分布S面上各点关于电流源点对称，因此各点电流密度大小相等、方向径向向外，电流密度可表示为j(r)=I+R4πR3，(2)式中R=r-r0为场点相对场源的位置矢量，R为R的大小．相应地，该点的电场强度矢量为E(r)=I+R4πσR3．(3)另一方面，对于恒定电流元在导电媒质中产生的恒定电场，也可类似静电场引入标量电位φ(r)，以无穷远处为标量电位零点，电场强度与标量电位的梯度关系为E(r)=-∇φ(r)．(4)由欧姆定律的微分形式有j(r)=σE(r)．(5)由高斯公式，对导电媒质空间中的任意闭合曲面Sꞌ有∇∙j(r)=limV→0∯S' j(r)∙dS'V,式中V为Sꞌ包含的封闭空间．整个导电媒质空间中，仅在r0处存在电流源点，这里引入表示点密度的狄克拉函数δ，则有limV→0∯S' j(r)∙dS'V=I+δ(r-r0),因此得∇∙j(r)=I+δ(r-r0)．(6)将式(4)和(5)带入式(6)，可得场点处的标量电位满足的偏微分方程为∇2φr=-I+δ(r-r0)/σ，(7)无限大空间中该方程的解为[18]φ(r)=I+4πσR．(8)对式(8)求负梯度即可得到相应的电场强度矢量表达式，即式(3)．上述过程既从另一角度推导了无限大导电媒质中恒定的电流源点产生的场强表达式，也说明可借助标量电位对恒定电流元的电场分布进行分析．相较于电场强度矢量，标量电位应用起来更为简洁，因此下文均采用标量电位来表征电场分布．同样的方法也可得到电流汇点的场分布．为区别起见，分别用+，-表示电流源点、汇点，即：φ+(r)=I+4πσR+;φ-(r)=I-4πσR-，(9)式中R±=r-r0±分别为从电流源点或汇点(位置矢量为r0±)指向场点的有向线段，R±为R±的大小，规定电流流出为正，流入为负．因此电流汇点产生的标量电位全部为负，场点的电场强度方向为从场点指向汇点．1.3　无限大导电媒质中电流元的场分布无限大导电媒质中同时存在电流源点及汇点(见图3)，且二者间距远小于场点M与二者间距，此时可等同于一电流元Idl，dl的方向为从电流的汇点指向源点，即dl=R--R+．10.13245/j.hust.230823.F003图3无限大导电媒质中的电流元显然场点M处的电场应为电流源点及汇点在此产生的电场之和，即φ(r)=φ-(r)+φ+(r)=I-4πσR-+I+4πσR+．(10)设R为M相对电流元中点的位置矢量，考虑到I-=-I+=-I，R∓=R±(1/2)dl，R-≈R+≈R，dl≪R，近似计算式(10)易得[16]φ(r)≈Idl∙R4πσR3=p∙R4πσR3．(11)同样给出此空间中的标量电位满足的定解问题∇2φ(r)=-I[δ(r-r0+)-δ(r-r0-)]/σ．(12)由叠加原理可得解为式(10)，近似计算结果为式(11)．由于电流元的源点和汇点间距很小，下文中用r0表示源点和汇点的中点，即电流元位置．2 半无限大导电媒质中恒定电流元的电场2.1　全空间由两层导电媒质构成假设全空间中包含两层导电媒质，且二者分界面为Σ(设其法向单位矢量为n)，如图4所示．为便于推导，以媒质分界面为xoy平面，竖直向下为z轴建立直角坐标系，下半空间为V1，电导率为σ1；上半空间为V2，电导率为σ2．10.13245/j.hust.230823.F004图4全空间由两层导电媒质构成设V1中r0处有一恒定电流元p=Idl．在分界面两边，标量电位和电流密度应满足边界条件，即标量电位在分界面处连续和电流密度法向分量在分界面处连续，因此场点M的标量电位所满足的定解问题为      ∇2φσ1(r)=-I[δ(r-r0+)-δ(r-r0-)]/σ1(M∈V1);∇2φσ2(r)=0    (M∈V2);φσ1(r)Σ=φσ2(r)Σ;σ1n∙∇φσ1(r)Σ=σ2n∙∇φσ2(r)Σ, (13)式中φσ1(r)和φσ2(r)分别为V1和V2区域的电位．利用镜像法来求解此问题，界面的影响用场源关于界面的镜像来等效．当M位于V1中时，电流元镜像p'(位置矢量设为r0')与p关于分界面对称，p在M点产生的电场相当于全空间充满媒质σ1时，p和p'共同在M点产生的电场；当M位于V2中时，其镜像与p的位置相同，设二者合起来的强度记为p″，此时p在M点产生的电场相当于全空间充满媒质σ2时，p″在M点产生的电场．结合式(11)，有φσ1(r)=p∙R4πσ1R3+p' ∙R'4πσ1R'3    (M∈V1);φσ2(r)=p″ ∙R4πσ2R3    (M∈V2), (14)式中：R=r-r0，R'=r-r0'．当已知场源位置、场点位置时，R和R'易于求得．借助前文所建立的直角坐标系，基于式(13)中的边界条件推导式(14)中未知的p'和p″．令Q=diag(1,1,-1)，边界面上的点有R'Σ=RQΣ，且R'Σ=RΣ．(15)将式(14)和(15)带入式(13)中的边界条件，可得：[p∙RΣ+p' ∙(RQΣ)]/σ1=p″ ∙RΣ/σ2;      -n∙(p+p')/RΣ3+3{n∙[(p∙RΣ)RΣ]+n∙[(p' ∙(RQΣ))(RQΣ)]}/RΣ5=-n∙p″/RΣ3+3{n∙[(p″ ∙RΣ)RΣ]}/RΣ5.由于p和R具有任意性，因此方程组可化简为：σ2σ1(p∙RΣ+p' ∙RQΣ)=p″ ∙RΣ;p∙RΣ-p' ∙RQΣ=p″ ∙RΣ.可得σ2σ1(p∙RΣ+p' ∙RQΣ)=p∙RΣ-p' ∙RQΣ．(16)因为p与p'为相同基下的三维向量，所以p与p'的关系可用一个3×3的变换矩阵X来表示，即p'=pX，代入式(16)得σ2σ1(p∙RΣ+pX∙RQΣ)=p∙RΣ-pX∙RQΣ．因为pX∙RQΣ=pXQ∙RΣ，所以上式变形得σ2σ1+1pXQ∙RΣ=1-σ2σ1p∙RΣ．若有上式成立，必有σ2σ1+1XQ=1-σ2σ1E，式中E为单位矩阵．可解得变换矩阵为X=σ1-σ2σ1+σ2Q．(17)继而可得：p'=σ1-σ2σ1+σ2pQ;p″=2σ2σ1+σ2p．(18)再带回式(14)可得场分布为：φσ1(r)=p∙R4πσ1R3+(σ1-σ2)pQ∙R'4πσ1(σ1+σ2)R'3    (M∈V1);φσ2(r)=p∙R2π(σ1+σ2)R3    (M∈V2). (19)2.2　全空间由一层导电媒质和一层绝缘媒质构成假设图4所示空间中V2区域为绝缘媒质，电容率为ε．分界面处，标量电位和电流密度仍满足前述边界条件，由于上半空间无电流，因此边界面处电场强度的法向分量为0，场点M的标量电位满足的定解问题为      ∇2φσ1(r)=-I[δ(r-r0+)-δ(r-r0-)]/σ1(M∈V1);∇2φε(r)=0    (M∈V2);φσ1(r)Σ=φε(r)Σ;σ1n∙∇φσ1(r)Σ=0, (20)式中φε(r)为绝缘媒质区域的电位．同样用镜像法来进行求解．V1中场点的电场可视为是p及其镜像p'共同产生的；但对V2中场点，由于绝缘媒质中不可能存在电流元，因此不能如2.1节中假设镜像电流元p″．考虑V2中电场的产生机理，可将分界面上净电荷在V2中产生的电场等效为一个电偶极子产生的电场，为方便推导起见，假设其位置与p的位置相同，电偶极矩记为pε，此时M点的电场相当于全空间充满绝缘媒质时，pε在M点产生的电场，即：φσ1(r)=p∙R4πσ1R3+p' ∙R'4πσ1R'3    (M∈V1);φε(r)=pε∙R4πεR3    (M∈V2). (21)沿用上一节方法，将式(15)和(21)带入式(20)中的边界条件并化简得：εσ1p∙RΣ+p' ∙RQΣ=pε∙RΣ;p∙RΣ-p' ∙RQΣ=0.可解得：p'=pQ;pε=2εσ1p．(22)所以场分布为：φσ1(r)=p∙R4πσ1R3+pQ∙R'4πσ1R'3    (M∈V1);φε(r)=p∙R2πσ1R3    (M∈V2). (23)对比文献[13]，两者结果虽然一致，但在应用镜像法过程中，根据V2中电场的产生机理，将其场源等效为一个电偶极子而非电流元，物理图像更准确；在此基础上根据电偶极子在无限大绝缘媒质空间中的电位表达式写出式(21)中φε(r)的表达式，并最终由边界条件解出等效电偶极子的偶极矩为式(22)中的第二式，从而避免了文献[13]中式(2)~(5)的φε(r)表达式的量纲不对的问题．另外，上文基于镜像法推导了两种情况下半无限大导电媒质空间中的恒定电流元在同层媒质中的场分布，其基本思路是将边界的影响用镜像源来替代，先假设镜像源的位置，再利用边界条件推出镜像源的强度，因此所得场分布表达式(19)和(23)应是满足方程和边界条件的．基于此，本研究不再从理论上进行解的正确性证明．3 实验验证在实验室中，用硬质塑料长方体水箱(尺寸为2.2 m×1.5 m×0.8 m)盛放盐水(电导率为1.7 S/m，深度为0.5 m)来模拟空气-海水两层平行分层媒质空间，用一对铂片电极模拟电流元，测量海水中某深度平面上的标量电位分布，并通过和理论仿真值的比较，证明所获得的场分布表达式的正确性．图5为实验装置布放示意图．以液面对角线交点为原点，液面为xoy平面，竖直向下为z轴正方向，x和y轴分别平行于水箱两壁，建立直角坐标系．将一对铂片表面平行、中心点连线平行于x轴放置，间距0.015 m，通以恒定电流I=0.5 A．8个固态Ag-AgCl电极固定在尼龙材质的电极架上，两两间距5 cm，构成电位测量线阵，平行于y轴放置，参比电极置于水箱一角．平移电极线阵即可获得平面上的电位分布．电极线阵沿y轴正方向编号分别为1#至8#．用数字存储记录仪收集测量值．10.13245/j.hust.230823.F005图5实验装置布放示意图为减少箱壁带来的边界影响，电流元和测量平面都尽量远离箱壁，靠近液面．实验中电流元位置为r0=(0，0，0.13) m；测量区域选择z=0.266 m的深度平面上、尺寸为0.60 m×0.35 m、中心点落在z轴上的矩形．每个电极获得321组标量电位测量值，测量点间隔为1.875 mm，电位φ的实验数据与仿真数据对比如图6所示，其中5#电极测量值与仿真值对比如图7所示．10.13245/j.hust.230823.F006图6标量电位实验与仿真对比图10.13245/j.hust.230823.F007图75#电极标量电位实验与仿真对比图为反映实验值与理论值偏离程度，引入平均相对误差值(MRE，EMRE)，定义EMRE=1N∑δi，式中：N为测量区域内8个电极总共测量的点阵数目；δi为每个点的相对误差，δi=(Δi/Li)×100%，其中，Δi和Li分别为第i个测量点的绝对误差和理论值．经计算，测量区域内所测得2 568个点的标量电位和依据式(23)所得仿真值的EMRE=4.21%．实验测试结果中的误差来源可分析如下．a．实验中铂片电极具有一定的形状和尺寸(正方体，10 mm×10 mm×0.1 mm)，并非真正的点源；b．测量电极也具有一定的形状和尺寸(圆柱体，Φ10 mm×10 mm)，因此所测量的电位值是该区域内电位的平均值；c．实验内模拟海水域深度有限，且四周存在竖直边界，也会给测量结果带来影响．综合考虑上述误差来源，实验结果仍和根据本研究推导结果所做的仿真计算结果符合较好，进一步说明了本研究推导结果的正确性．4 结论本研究针对电偶极子模拟导电媒质中恒定电场场源时遇到的困难，在分析导电媒质中恒定电场场源的电流结构的基础上，提出采用恒定电流元来对恒定电场场源进行等效．从无限大导电媒质空间中恒定电流元的电场分布入手，采用镜像法推导出分界面为无限大平面的导电媒质-导电媒质、导电媒质-绝缘媒质两种情况下半无限大导电媒质中恒定电流元产生的标量电位分布表达式．最后在实验室中模拟半无限大导电媒质空间及恒定电流元，通过实测场分布数据，并和理论仿真值对比，证明了理论推导的正确性．研究结果表明：将恒定电流元作为导电媒质中恒定电场场源的基本模拟单元，物理图像更为清晰准确，同时当应用镜像法解决分层导电媒质中的场分布问题时，通过恰当引入镜像场源，避免了已有文献中推导过程不严谨的地方．在本研究基础上，可进一步推出三层甚至更多层平行分层导电媒质或者球形分层导电媒质场域中的恒定电流元所产生的场分布．本研究有助于相关理论基础的完善，为水下远程预警、鱼雷电场制导等应用场景提供理论依据．