工业机器人是由电机、减速器、齿轮等传动机构组成的多连杆系统，该结构决定了机器人的弱刚性、低绝对定位精度的特点，一定程度上限制了工业机器人的发展．为了解决该问题，可以通过辨识机器人的关节刚度参数，采取阻抗控制、加工变形误差在线补偿、标定等方法提高机器人的绝对定位精度，进而提升机器人作业任务质量[1-5]．目前，机器人关节刚度的实验辨识方法[6-11]主要为动态实验和静变形实验．在动态实验[12]的辨识方法中，通过在机器人末端施加脉冲激振力或谐波激振力[7]，再测量、处理振动信号，从而计算出惯性、阻尼和刚度等动力学参数．然而该方法中测量噪声对计算结果的精度影响非常大，对测量元件的精度及灵敏性要求也很高．另外，由于动力学模型比较复杂，动态辨识的计算量会比较大，因此对动态辨识的研究多是针对单关节或两关节机器人的情况．对于常见的六轴串联工业机器人，静变形实验是采用最多的方法[10]．主要是通过在机器人上施加静态载荷，测量机器人在载荷作用下的变形，或者固定末端，给机器人输入关节角施加变形，测量机器人末端受力．静变形实验采用的仪器一般为激光跟踪仪、六维力传感器[11]，实验仪器昂贵，对于广泛应用的工业机器人来说，实验条件受到较大限制．另外，激光跟踪仪测距属于非接触式测量，对于实验加减负载的过程中机器人变形的具体变化无法直观体现．针对以上问题，本研究分析了设备测量精度与辨识精度间的关系，提出了基于千分表、电子称等替代设备的静变形实验方案，在保证测量精度的前提下大幅降低实验成本．在基于千分表等设备的实验中，发现测量过程中存在误差因素传动间隙，在消除传动间隙影响的情况下，测量精度得到了进一步提高．1 考虑传动间隙的机器人刚度建模本研究以IRB6700-200/2.60型工业机器人为辨识对象，该型号机器人的最大负载为200 kg，最大工作范围为2.60 m，常应用于搬运、码垛、铣削、钻孔等领域[13]．开展该型号机器人的刚度辨识实验，须要建立机器人的运动学模型和静刚度模型．1.1　机器人的运动学模型建立如图1所示的机器人连杆坐标系以便于表达．依据表1所示的德纳维特-哈滕贝格(Denavit-Hartenberg，DH)参数，表示机器人关节空间和笛卡尔空间转换关系的正向运动学方程为[14]60T=T10T21T32T43T54T65=nxoxaxpxnynzoyozayazpypz0001，(1)式中ii-1T为坐标系i在坐标系i-1中的表示．基于机器人DH模型求得机器人关节空间与操作空间的力、速度关系的雅可比矩阵J，Ji=Zi×PiP60Zi=Zi×(Ri0PiP6)Zi，(2)式中：Zi为坐标系i的Z轴单位向量在基坐标系下的表示；iP60为机器人末端法兰盘中心相对于坐标系i的位置矢量在基坐标系下的表示；Ji为矩阵J的第i列．J1=［-s1a1+a2c2+c23a3+d6c4s5-s23d4+ d6c5-d6c1s4s5,c1a1+a2c2+c23a3+d6c4s5- s23d4+d6c5-d6s1s4s5,0,0,0,1］T，(3)式中：si和ci为第i个关节角θi的三角函数sin θi和cos θi；sij和cij分别为sin(θi+θj)和cos(θi+θj)；ai，di为机器人连杆参数．10.13245/j.hust.238599.F001图1IRB6700-200/2.60连杆坐标系10.13245/j.hust.238599.T001表1IRB6700-200/2.60 DH参数iai-1/mmαi-1/(°)di /mmθi /(°)100780.002320-900-9031 1250004200-901 142.5050900060-90200.0180当进行刚度辨识实验时，须要选择实验位姿，此时为了更准确地辨识出关节刚度，选择的位姿应尽可能远离奇异点，机器人的奇异性质常用灵巧空间表示[15]．机器人灵巧空间常用雅可比矩阵的逆条件数表示，首先计算雅可比矩阵的特征值L，L=16∑i=16si2，(4)si=Zi×PiP60．(5)然后将式(4)结合雅可比矩阵代入下式JN=I3×3/L03×303×3I3×3J．(6)计算标准雅可比矩阵JN的条件数KF，KF(JN)=16tr(JNTJN)tr(JNTJN)-1．(7)图2所示机器人2和机器人3关节的灵巧等值图依据逆条件数KF-1绘制而成，图中颜色越深表示越接近奇异值，辨识位姿应选择浅色区域．10.13245/j.hust.238599.F002图2机器人关节灵巧空间1.2　考虑传动间隙影响的刚度辨识新模型按照刚度定义，机器人刚度矩阵是指机器人末端受力或力矩作用时抵抗变形的能力，设机器人的末端力F=[f1，f2，f3，m1，m2，m3]T，机器人末端产生的变形为X=[dx，dy，dz，δx，δy，δz]T，两者存在线性关系F=KX，(8)式(8)中K即为机器人笛卡尔刚度．关节力矩τ与关节变形角dq有关系式τ=Kθdq，(9)式(9)中Kθ为关节刚度．由雅可比矩阵知：τ=JTF；(10)X=Jdq．(11)结合式(8)～(11)有F=J-TKθJ-1X．(12)末端位移旋转方向的分量微小，为了便于测量，对X进行处理，Y=[dx,dy,dz]T=I3×303×3X．(13)将式(12)代入式(13)，得Y=I3×303×3J∙diagJT,FKθ-1．(14)在实验过程中，测量位移Y的方法通常采用激光跟踪仪直接读取施加负载后的偏差，而本研究在采用千分表接触式测量位移过程中，发现加载再卸载后千分表读数不归零，即存在非弹性变形．该变形不是机器人的刚度属性造成的，属于传动间隙[16]这一随机误差，如图3所示，将机器人简化为连杆、关节表示，关节间的角度分别为α1和α2．当机器人末端受力时，会发生绕关节的转动，由于转动现象的存在，因此关节之间存在位移变化，本研究将这种位移变化视为传动间隙．在使用机器人关节刚度进行误差补偿时，常忽略传动间隙这一因素，因为传动间隙具有随机性无法准确得到，且相比总偏差来说较小．而在辨识实验中，由于多次在同一位姿施加负载，对机器人传动间隙的作用具有累积效果，因此不能忽略．通过千分表接触式测量，可以很方便地得到实验过程中传动间隙的影响部分，即卸载后的千分表读数Y＇．10.13245/j.hust.238599.F003图3机器人关节变形因此，为了消除关节间隙对辨识实验的影响，式(14)可表示为Y-Y'=I3×303×3J∙diagJTFKθ-1．(15)式(15)是基于力、位移坐标系都位于机器人末端坐标系时的计算方式．但在实际实验过程中，力的施加位置与位移的测量位置往往不在机器人末端，如图4所示的末端法兰坐标系，图中数值代表坐标系间的距离．10.13245/j.hust.238599.F004图4机器人末端法兰坐标系(mm)机器人的末端位移和力坐标系与测量点坐标系的转换矩阵分别为TL和TF，位移和力在末端中心的分量为LSP和FSP：LSP=00-16500-1651651650；(16)FSP=0-5005000000．(17)经过坐标转换后的模型Y-Y'=[dx,dy,dz]T=[Ι3×3,03×3]JLdiag[JFT,F]Kθ-1, (18)JL=jl-1J，JFT=jfJT，jl=I3×3-LSP03×3I3×3，jf=I3×303×3FSPI3×3．2 基于新刚度模型的实验验证2.1　仪器选用标准当科学研究中涉及到测量性实验时，为了保证结果的准确性，常遵循数字修约规则的数据处理原则．该原则规定，若模型所使用的测量数据是进行加减运算，则以测量数据中小数位数最少的数据为基准，对所有测量数据进行修约；若对测量数据进行乘除运算，则基于测量数据中有效位数最少的数据，结果保留相同的有效位数．本研究实验中测量的数据为机器人末端变形和负载质量，两者在式(18)中进行乘除运算，所以基于最低有效位数进行修约，最终计算结果精度由数据的有效位数体现．测量数据的有效位数并不是只与测量精度有关，还与测量数据的量级有关．例如千分表的测量精度为10-3 mm，如果测量量级是10-2 mm，那么最终测量数据则在0.010～0.099 mm之间，数据的有效位数为两位．数据有效位数r、测量精度10-s、测量量级10-t之间的关系可以表示为s=t+r-1，(19)其中测量精度和测量量级的单位一致．从式(19)可以看出，在有效位数r不变的情况下，增加量级10-t，减小t可以降低精度要求s；同理，在测量精度10-s不变的情况下，通过增大量级可以增加结果的有效位数，即增加辨识精度．以式(19)为测量仪器的选用参考，在保证测量量级t相同的情况下，千分表的测量精度为10-3 mm，激光跟踪仪的测量精度为10-2～10-3 mm，采用千分表的测量精度s更大，能保留更多的有效位数r，因此理论上千分表能替代激光跟踪仪并能取得更好的辨识精度．2.2　实验平台及实验步骤如图5所示，刚度辨识实验平台由IRB6700-200/2.60型号机器人、3个带磁吸座的数显千分表、电子秤、负载法兰若干、末端法兰、滑轮、钢丝绳、加载平台、光学平台等组成；其中数显千分表测量精度为0.001 mm，电子秤测量精度为0.01 kg．10.13245/j.hust.238599.F005图5刚度辨识实验平台刚度辨识实验现场如图6所示，具体实验步骤如下：a. 安装滑轮装置，将定滑轮通过螺栓固定在光学平台上合适的位置，该位置要求适应于实验位姿，以防止实验时钢绳脱离滑轮；b. 机器人标定确定滑轮位置坐标，采取机器人标定工件坐标系的方式标定滑轮的中心位置；c. 安装测量法兰，将测量法兰通过螺栓安装于机器人的末端，在法兰直角处贴上测量用的标记点，法兰吊环上系有钢绳，钢绳经过滑轮装置连接负载平台；d. 调整机器人位姿，记录位姿数据，通过位姿数据及法兰模型可以知道吊环中心坐标即为施力点坐标，联合滑轮坐标计算出负载力方向；e. 安装千分表，将带有磁力座的数显千分表固定在光学平台上，使千分表和测量法兰三个面垂直接触，接触点位于法兰标记点，以保证重复实验测量位置相同，千分表应压入法兰侧面2～3 mm，再进行调零以保证测量时有足够的伸缩量；10.13245/j.hust.238599.F006图6刚度辨识实验现场图f. 测量负载质量，将负载轻放在负载平台上，尽量减少放置负载时的冲击，记录负载质量、加载后的千分表读数；g. 将负载轻轻地拿走，对机器人卸载，记录此时卸载后的千分表读数；h. 重复4次上述步骤f和步骤g，得到同一负载同一位姿条件下的4组重复实验数据；i. 重复3次上述步骤f～h，更改每次实验负载质量，得到3种负载同一位姿下的12组数据；j. 重复6次上述步骤d～i，更改每次实验位姿，得到3种负载6种位姿下的72组数据；k. 拆卸千分表、滑轮装置、负载平台、测量法兰，调整机器人回到初始位置，完成实验．2.3　实验验证关节刚度辨识实验由三种不同质量的负载及6种不同的位姿组成18种工况，每种工况进行4次重复实验，共计72组数据．如表2所示，此时滑轮坐标为(10.939 9，1 406.91，957.623)，位姿关节角为(90°，24°，20°，0°，50°，0°)，负载为7.80 kg，有效位数较低的测量值是变形，基本只能保证一到两位有效数字．为了使辨识结果更加精准，在选取实验数据时选用有效位数至少为两位的数据．通过增加实验的负载质量，提高变形的测量量级，使得最终计算的刚度保留两位有效数字．表中记录的4组X，Y，Z方向的变形包括加载后和卸载后的数据．对不考虑传动间隙和考虑传动间隙2种情况分别计算了关节刚度KA和KB，如表3所示，可以看到考虑传动间隙计算得到的各关节刚度KB均比未考虑传动间隙计算得到的关节刚度KA要大．为了确定2种方法辨识的刚度值的精度，进行验证实验．选择与辨识实验不同的位姿，实验位姿为(55°，30°，11°，0°，40°，10°)；同时，为了获得更多、更大量级的实验数据，本实验增加2组更大质量的负载28.70 kg和37.25 kg．10.13245/j.hust.238599.T002表2部分刚度辨识实验数据实验次数实验工况X1形变/mmY1形变/mmZ1形变/mm1加载0.0630.0050.001卸载0.0020.006-0.0092加载0.0650.011-0.004卸载0.0090.009-0.0133加载0.0620.011-0.006卸载-0.0020.004-0.0114加载0.0590.010-0.005卸载0.0000.008-0.01110.13245/j.hust.238599.T003表3传动间隙对关节刚度的影响关节刚度K1K2K3K4K5K6KA3.6004.0002.1000.1400.3700.011KB3.7006.7003.3000.3300.6100.014106N∙m/rad根据辨识实验得到考虑传动间隙的关节刚度KB和未考虑传动间隙的关节刚度KA，可以分别预测在本实验位姿、负载条件下机器人末端发生的变形，分析预测值与测量值的偏差，偏差的大小反映了辨识的精度．如图7和图8所示，分别展示了用KB和KA预测的变形和实际测量变形的对比，表4反映了预测值与实际值的相对误差．实验结果表明：未考虑传动间隙平均预测误差为0.026 mm，相对误差为17.77%；考虑传动间隙平均预测误差为0.018 mm，相对误差为11.00%．数据显示使用关节刚度KB的预测精度明显高于使用KA的预测精度，说明考虑传动间隙确实能提升关节刚度的辨识精度．10.13245/j.hust.238599.F007图7考虑传动间隙的机器人末端变形预测值10.13245/j.hust.238599.F008图8未考虑传动间隙的机器人末端变形预测值10.13245/j.hust.238599.T004表4机器人末端变形预测值与实际值相对误差变形方向消除传动间隙不消除传动间隙X7.468.95Y11.0017.77Z9.9413.11%与文献[17]采用激光跟踪仪所做的刚度辨识实验作对比，其仪器测量精度为0.015 mm，辨识对象为KUKA KR16型机器人．本研究辨识的刚度值从数量级和变化趋势来看，与其基本一致，文献[17]使用激光跟踪仪辨识出的关节刚度，并进行预测实验的预测值平均为0.77 mm，预测值与测量值误差平均为0.13 mm，相对误差为16.80%，与本研究采用千分表、不考虑传动间隙情况下辨识出的关节刚度预测误差17.77%相当．3 结论本研究针对工业机器人静态刚度辨识实验，提出考虑传动间隙的刚度理论模型，在实验中推导了测量值的有效位数、测量精度、测量量级之间的关系式，确定了以千分表为测量仪器的刚度辨识实验方案，并进行实验验证，得到以下结论：a. 采用千分表测量变形进行刚度辨识实验的预测误差为17.77%，与采用激光跟踪仪的精度16.80%相当，而千分表相较于激光跟踪仪具有显著的成本优势，因此在刚度辨识实验中千分表是激光跟踪仪很好的替代方法之一；b. 采用考虑传动间隙的关节刚度KB预测误差为11.00%，要小于不考虑传动间隙的关节刚度KA预测误差17.77%，考虑传动间隙对关节刚度辨识实验的辨识精度有明显提升．