随着先进制造技术的发展，制造产品和科学样件表面形貌与结构质量越来越高，而表面形貌与结构高精度测量对表面质量及其功能特性的保证具有重要意义．针对集成电路(IC)、微光学、微机电系统(MEMS)等微结构表面，目前主要的测量方法有垂直扫描白光干涉法、共焦显微法、变焦显微法和波长扫描干涉法[1]等．相比于其他测量方法在测量过程中都须要机械垂直扫描，波长扫描干涉法能够显著提高测量速度．波长扫描和干涉条纹分析是波长扫描干涉仪测量中两项关键技术，影响干涉仪的测量精度．波长扫描方法多种多样[2-4]，基于傅里叶变换的相位斜率法[5]是主要的波长扫描干涉仪条纹分析方法[4]．在采样范围内信号周期数较少时容易受到频谱泄漏的影响，导致测量精度不高是这种算法的主要问题．然而根据波长扫描干涉原理，对于被测表面上的每一点，采集的信号都是离散正弦信号．条纹分析算法就是求解正弦信号的频率来恢复光程差．在光程差固定的情况下，正弦信号的频率也就固定，若想进一步加快测量速度，则只能减少扫描范围，这样就会导致在扫描范围内所得到的信号周期数变少．另外，在扫描范围不变的情况下，当测量光程差变小即正弦信号频率变小时，干涉信号在采样范围内的周期数也会减少，因而容易受到频谱泄漏的影响，导致测量精度降低．因此，不管是为了减少扫描范围以提高测量速度还是提高在光程差较小时的恢复精度，都须要一种能够对频谱泄漏有较好抑制的正弦波频率估计算法．目前主流的正弦波频率估计算法为插值离散傅里叶变换(DFT)法，主要分为两点[6-7]、三点[8-10]和多点插值算法[11-12]，以及加不同的窗函数．由于本研究针对的信号在扫描范围内周期数很少，变换到频域表现为主瓣靠近0，因此多点插值算法不适用，同时二点插值算法的估计精度一般低于三点插值．另外通过对频谱泄漏产生的原因分析，窗函数主瓣宽度越窄，旁瓣衰减速度越快，越能抑制频谱泄漏对频率估计的影响．为此，本研究比较不同的窗函数参数之后，提出在波长扫描干涉仪中应用基于2阶最大旁瓣衰减窗的三点加权插值离散傅里叶变换算法[9]，来抑制频谱泄漏对频率估计的影响，进而保证测量精度．仿真与实验结果证明该算法在波长扫描干涉仪中有良好表现．1 算法基本原理1.1　测量原理本研究的波长扫描干涉仪系统如图1所示，系统由光源模块、控制模块和干涉模块三部分组成，卤素光纤光源发出的白光经过准直进入声光可调谐滤光器(AOTF)过滤成单色光，然后单色光进入干涉系统进行干涉，计算机通过控制声光可调谐滤光器驱动器发出的射频信号的频率来改变声光可调谐滤光器滤出光的波长，从而实现波长扫描．计算机在控制波长扫描的同时触发相机采集图像．10.13245/j.hust.230607.F001图1波长扫描干涉仪系统图对于采集得到图像上的每一点，光强I与波长的关系类似于正弦分布，如下式所示，图2(a)是一个具体的例子(图中：φ为相位；N为帧数)．10.13245/j.hust.230607.F002图2实测干涉信号和分离出的相位曲线Ixy(λ)=I0xy(λ)+I0xy(λ)vxy(λ)cos(4πhxy/λ)，(1)式中：λ为波长；I0xy为背景光强；vxy为条纹对比度；hxy为参考臂与测量臂距离差．根据声光可调谐滤光器的工作原理，输入光通过声光可调谐滤光器衍射后，一级衍射光的中心波长λ=αΔn(vs/fa)，(2)式中：α为取决于入射光束的入射角；Δn为入射光和衍射光在晶体介质中的双折射差；vs为超声波在晶体中的声速；fa为射频信号的频率．波数σ(1/λ)与射频信号的频率fa成正比，在扫频过程中控制射频信号频率线性变化就能控制波数σ线性变化．1.2　基于傅里叶变换相位斜率法将波数σ(1/λ)代入式(1)，可以看出相位与波数的关系为φ(σ)=4πhxyσ．(3)傅里叶变换相位斜率法的基本思路就是计算信号每点相位φ(σ)，进而计算hxy，具体的计算流程如图3所示，hxy=[1/(4π)](Δφ/Δσ)．(4)10.13245/j.hust.230607.F003图3基于傅里叶变换相位斜率法计算流程图将σ(1/λ)代入式(1)可表示为：Ixy(σ)=I0xy(σ)+I0xy(σ)vxy(σ)cos(4πhxyσ)=axy(σ)+cxy(σ)ej4πhxyσ+cxy(σ)e-j4πhxyσ;axy(σ)=I0xy(σ);cxy(σ)=I0xy(σ)vxy(σ)/2. (5)对式(5)进行傅里叶变换得FT(Ixy(σ))=A(f)+C(f-2hxy)+C*(f+2hxy)．对傅里叶变换后的信号在频域进行带通滤波得到C(f-2hxy)，然后对其进行傅里叶逆变换得IFT(C(f-2hxy))=cxy(σ)ej4πhxyσ．(6)然后对式(6)取自然对数得ln(cxy(σ)ej4πhxyσ)=ln(cxy(σ))+j4πhxyσ．(7)对式(7)取虚部就可以得到包含有表面高度信息的相位值，如图2(b)所示，φ(σ)=imag(ln(cxy(σ))+j4πhxyσ)=4πhxyσ．由于相位包裹在-π ~ π之间，因此在计算hxy之前还须要对相位进行解包裹处理，将解包裹的相位值(见图2(c))代入式(4)就可以计算出光程差．1.3　加窗加权插值DFT频率估计算法先将某一点的干涉光强信号表示为一个离散正弦序列如下式x(n)=Asin(2πfn+φ)    (n=0,1,…,N-1), (8)则通过求出f就可以计算出光程差h=f /(2Δσ)，(9)式中Δσ为波数的扫描间隔．求解光程差转换为求离散正弦信号频率f，f=v/N=(k0+δ)/N，(10)式中：v为在采样点数N内正弦信号的周期数；k0和δ(-0.5≤δ0.5)为v的整数和小数部分．频率估计的基本思路就是对小数部分进行精确估计．为了抑制频谱泄漏对频率估计的影响，通过对比不同窗函数的性能，选用最大旁瓣衰减窗(MSD)，其表达式如下w(n)=∑h=0H-1-1hahcos(2πh(n/N)) (n=0,1,…,N-1). (11)其中最大旁瓣衰减窗的系数ah如下式所示：a0=C2H-2H-1/22H-2;ah=C2H-2H-h-1/22H-3 (h=1,2,…,H-1) . (12)对信号加窗得到加窗信号xw(n)=x(n)*w(n)，对加窗信号做离散傅里叶变换得到Xw(k)，其表达式如下Xw(k)=A2jW(k-v)ejφ-W(k+v)e-jφ(k=0,1,…,N-1), (13)式中W(·)为窗函数w(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)，其中第二项是负频率项，当k0较大时可忽略．在计算出Xw(k)后，可通过k0=argmaxk=0,1,…,N/2(Xw(k))求得．在经典的三点插值DFT算法中首先通过下式确定比值α0，α0=Xw(k0)+Xw(k0-1)Xw(k0)+Xw(k0+1)；(14)然后可通过下式计算小数部分δ，δ=H(1-α0)/(1+α0)．(15)由负频率项引起的误差如下式所示Δδmax=2(k0+δ)δ2k0+δ∏h=1Hh2-δ2∏h=1H2k0+δ2-h2．(16)从式(16)可以看出：当k0比较小且δ不靠近0时误差Δδmax会较大，而这也正是在波长扫描干涉仪中想要提高测量速度或者提高靠近零光程差位置时的测量精度所须要解决的问题，因此本研究提出在波长扫描干涉仪中应用一种加窗加权插值DFT算法．先对式(14)加权得到α=Xw(k0)+aXw(k0-1)Xw(k0)+bXw(k0+1)．(17)式(17)中权重a，b的目的是减小负频率带来的干扰，即使式(16)的值最小化，且a，b的值只与k0和δ以及阶数H相关，如下式所示：a=(2k0-H+δ)/(2k0+H+δ-1); (18)b=(2k0+H+δ)/(2k0-H+δ+1)．(19)小数部分δ的精确估计由式(14)、(15)、(17)～(19)得到，如下式所示    δ0={-(2H-1)(bα+a)+[bα-a-2H(α-1)]2+4ab(2H-1)2α}/[2(bα-α-a+1)]. (20)通过式(9)、(10)和(20)即可计算出光程差的值．综上所述，加窗加权插值离散傅里叶变换法的计算流程如图4所示．10.13245/j.hust.230607.F004图4基于加窗加权插值离散傅里叶变换法计算流程图2 仿真测试与验证本节通过仿真分析，验证三点加权插值离散傅里叶变换法相比于另外两类方法，在采样范围内信号周期数较少时对于频谱泄漏更为有效抑制，从而获得更高测量精度的优越性．2.1　加高斯白噪声情况下仿真验证以下仿真通过调整信号频率，使得v值(采样范围内信号周期数，单位记为Bins)从1调整到15，且对于每一频率产生10个不同相位的信号(在区间[-π,π)均匀分布)，选出最大误差进行分析．图5显示了三种方法在对信号添加不同大小的高斯白噪声的频率最大相对误差emax．所加噪声分别为RSN=60，30，20，10 dB．从图5可以看出：不管在什么噪声水平下，当v值较小时，插值离散傅里叶变换算法的频率估计的相对误差要明显优于传统的基10.13245/j.hust.230607.F005图5不同噪声情况下三种算法的频率误差曲线于离散傅里叶变换相位法，同时可以看出相比于传统的基于离散傅里叶变换相位斜率法，插值离散傅里叶变换算法受噪声的影响比较大，当信号的信噪比低于30 dB时，插值离散傅里叶变换算法频率估计的相对误差大于1×10-3，因此在实际恢复测量过程中使用插值离散傅里叶变换算法时须要先对信号进行降噪处理．2.2　无噪声情况下仿真验证同时在没有噪声情况下进行仿真实验，结果如图6所示，显示了没有噪声情况下三种方法在频率范围内的最大相对误差emax．10.13245/j.hust.230607.F006图6无噪声情况下三种算法的频率误差曲线从图6可以看出：只有当v7时，传统的基于离散傅里叶变换相位斜率法的频率估计的相对误差才能小于1×10-3，而频率的相对误差换算到波长扫描干涉仪中就是光程差的相对误差，因此使用传统的基于离散傅里叶变换相位斜率法的表面恢复算法，只有当满足v7时，波长扫描干涉仪才能达到10 nm左右的恢复精度．而从图6可以看出：不管是经典的加窗插值离散傅里叶变换算法，还是加窗加权插值离散傅里叶变换算法，当v较大时都能获得较高的频率估计精度．2.3　信号预处理通过算法误差分析，插值离散傅里叶变换算法对信号信噪比要求较高，因此当对干涉信号计算时须要首先对信号进行预处理，主要包括非线性误差校正和基于奇异值分解(SVD)的信号降噪．2.3.1　非线性误差校正由于白光光源的光谱分布不均匀以及CMOS相机对不同波长的光吸收效率不一样，导致采集到的干涉信号会引入非线性的系统误差，本研究通过在扫频过程中只采集不同波长的参考光的图像，通过对每张图像的灰度值进行平均，获得实际测量过程中采集到的图像在波长扫描范围内的非线性曲线如图7所示．对图8(a)所示干涉信号进行非线性校正的结果如图8(b)所示，其中INor为归一化光强．10.13245/j.hust.230607.F007图7扫描范围内干涉信号非线性误差曲线10.13245/j.hust.230607.F008图8信号预处理结果2.3.2　基于SVD信号降噪SVD信号降噪的原理如下：a. 将一维信号构建为一个m×n阶矩阵H；b. 对矩阵H进行奇异值分解，得到信号的奇异值矩阵Q；c. 由于本研究的信号是单频正弦信号，且噪声的奇异值一般较小，因此奇异值分解去噪的操作就是去掉噪声信息对应的奇异值较小的部分，本研究通过选取前三个最大奇异值，将剩下的奇异值去除．再将选取的前三大奇异值矩阵相加然后重构为一维信号，就能获得降噪后信号．对图8(b)的非线性校正后的信号进行SVD降噪后的信号如图8(c)所示．3 实验测试本研究通过搭建波长扫描干涉仪采集到干涉图像，验证了当v值较小时加窗加权插值离散傅里叶变换法的恢复精度要明显优于传统的基于离散傅里叶变换相位法．3.1　平面镜测量图9是采集到平面镜的干涉图像后，通过两种恢复算法恢复出的表面形貌．通过对比图9两种算法的恢复结果可以明显看出：随着被测光程差的下降，反映到干涉信号就是扫描范围内信号周期数的减少，基于傅里叶变换的相位斜率法受到频谱泄漏的影响会有明显的计算误差，而基于加窗加权插值离散傅里叶变换法则对于频谱泄漏引起的误差有明显的改善．通过观察图9(a)，取虚线处截面高度值，当被测光程差低于4.8 μm，此时采样信号的10.13245/j.hust.230607.F009图9平面镜测量结果v＜2.8，基于傅里叶变换的相位斜率法由于频谱泄漏产生的计算误差明显增大，这也与本研究的仿真结果一致．3.2　单刻线测量图10是采集到单刻线的干涉图像后，通过两种恢复算法恢复出的表面形貌．通过分别在两种算法的恢复结果上均匀截取10条截面曲线，使用国家标准GB/T19067.1—2003(ISO5436—1:2000)中沟槽深度的评定方法，分别计算两种算法下10个位置(取虚线所示截面)的台阶高度值如图11所示．10.13245/j.hust.230607.F010图10单刻线测量结果10.13245/j.hust.230607.F011图11不同测量点单刻线深度值(两种算法恢复结果)通过对比两种算法单刻线深度的计算结果可以看出：传统的基于离散傅里叶变换相位斜率法在恢复过程中受到频谱泄漏的影响，导致测量范围内不同位置的沟槽深度计算结果波动很大(标准差为49.8 nm)，而加窗加权插值离散傅里叶变换算法的波动较小(标准差为11.0 nm)，进一步证明了加窗加权插值离散傅里叶变换算法当测量光程差较小时相比于传统的基于离散傅里叶变换相位斜率法有更高的计算精度．4 结语本研究通过波长扫描干涉仪中的条纹分析算法仿真及实验发现：当测量光程差较小时，即当扫描范围内信号周期数较小时，传统的基于离散傅里叶变换的相位斜率法受到频谱泄漏的干扰导致恢复的精度较差，针对这一问题，本研究提出在波长扫描干涉仪中应用加窗加权插值离散傅里叶变换法来抑制频谱泄漏以提高测量精度的方法．仿真与实验证明了该方法相比于传统的基于离散傅里叶变换的相位斜率法，当采样范围内周期数较少时能够对频谱泄漏有较好的抑制作用，当光程差较小时能够有较高的恢复精度．综上所述，在波长扫描干涉仪测量过程中，当测量光程差较小时，使用加窗加权插值离散傅里叶变换可以获得较高的计算精度；当光程差较大时，在保证计算精度的情况下可以适当缩小采样范围，进一步增大仪器的测量速度．