谐波传动装置因其具有传动精度高、承载力强、体积小、质量轻等优点[1]，被广泛应用于航空航天[2]、工业机器人[3]等领域．随着应用要求的提高，对谐波传动的啮合原理、齿廓设计、参数优化设计等已有大量研究．针对齿廓的研究，主要包括直线齿廓、渐开线齿廓[4]、摆线齿廓[5]、S型齿廓[6]、双圆弧齿廓[7]、三圆弧齿廓[8]等．研究表明双圆弧齿廓较其他齿廓传动性能更好，文献[9]采用遗传算法增加了双圆弧齿廓的啮合齿数与啮合深度；文献[10]通过对柔轮齿廓参数进行优化分析，增加了“双共轭”现象；文献[11]以“双共轭”现象程度与连续啮合为目标，对柔轮齿廓参数进行了多目标优化，保证了谐波传动的“双共轭”精度与连续啮合．但双圆弧齿廓依然存在设计经验依赖性强、刚轮凸齿廓不确定等缺点，以及1/3左右的轮齿处于未啮合状态，并且未分析柔轮结构参数对共轭特性的影响．本研究以减少对设计经验的依赖性、消除刚轮凸齿廓的不确定性、增加啮合区间为目标，提出结构参数驱动的谐波传动齿廓设计(选择椭圆弧作为中间曲线，文中简称椭圆弧齿廓设计)，以柔轮结构参数为输入，求解柔轮齿廓凸参数，再以柔轮凸齿廓共轭求刚轮齿廓，最后用刚轮凸齿廓共轭求柔轮凹齿廓．为进一步提高谐波传动的传动特性，以增大共轭区域Ⅰ和减少空白区域为目的，进行结构参数分析与优化，为谐波传动齿廓设计提供一种新的设计思路．1 椭圆弧齿廓设计本研究提出的椭圆弧齿廓设计流程如图1所示．根据结构参数(柔轮的模数、齿数、分度圆齿厚比、分度圆弧倾角、径向变形量系数、齿顶高系数、分度圆到中性层的距离)对齿廓参数求解，确定柔轮凸齿廓AB；根据改进运动学法求解与凸齿廓AB共轭的共轭齿廓Ⅰ和Ⅱ，用最小二乘法对共轭齿廓Ⅰ和Ⅱ进行椭圆拟合，得到刚轮的凹齿廓B1C1和凸齿廓A1B1；再根据改进运动学法求解与刚轮凸齿廓A1B1共轭的共轭齿廓Ⅲ，用最小二乘法对共轭齿廓Ⅲ进行椭圆拟合，得到柔轮凹齿廓BC．下面对结构参数驱动的谐波传动齿廓设计进行详细说明．10.13245/j.hust.238572.F001图1设计流程1.1　谐波传动的几何模型在谐波传动中，在负载和波发生器的作用下，柔轮变形为复杂的空间变形，为方便研究，在本质不变的情况下，满足以下基本假设：a. 柔轮变形前后中性层长度不变；b. 柔轮齿形不变，只有齿槽会发生改变；c. 柔轮轮齿视为刚体；d. 柔轮轴向变形可忽略．为量化谐波传动各个部分的位置关系与运动关系，分别建立如图2所示的坐标系，图中：坐标系S(X，O，Y)与波发生器固连，以波发生器中心为原点O，长轴为Y轴，短轴为X轴；坐标系S1(X1，O1，Y1)与柔轮轮齿固连，以柔轮轮齿对称轴为Y1轴，以柔轮中性层与Y1轴交点为原点O1，切线为X1轴；坐标系S2(X2，O2，Y2)与刚轮固连，以刚轮中心为原点O2，以刚轮轮齿对称轴为Y2轴，以Y2轴在原点O2的垂线为X2轴；φ为柔轮未变形端矢径与Y轴的夹角，φ1为O1点矢径与Y轴的夹角，φF为柔轮未变形端的转角，φH为波发生器的转角，Δφ为O1点矢径与Y2轴的夹角，β为Y1轴与Y2轴的夹角，w为径向变形，v为切向变形，u为法向转角，ρ为O1点的矢径，rm为柔轮变形前中性层曲线半径．不失问题的一般性，刚轮固定，以波发生器为输入，柔轮为输出．10.13245/j.hust.238572.F002图2谐波传动坐标系与转角关系图1.2　柔轮凸齿廓参数模型柔轮凸齿廓在坐标系(X1，O1，Y1)下的二维模型如图3所示，根据结构参数求出柔轮凸齿廓，在A点凸齿廓与齿顶圆相切，在B点凸齿廓与柔轮分度圆相交，γ为柔轮分度圆弧倾角，选择椭圆弧为中间曲线，Oa为凸齿廓标准椭圆的几何中心，ha为齿顶高，Sa为柔轮轮齿在分度圆处的齿厚，δh为柔轮分度圆到中性层的距离．10.13245/j.hust.238572.F003图3柔轮凸齿廓为量化柔轮凸齿廓，引入椭圆离心角θ，用参数方程来表征柔轮凸齿廓曲线，柔轮凸齿廓为：x1=-b1sin θ;y1=ya+a1cos θ. (1)在图3中，由几何关系可知，在A点ha+δh=ya+a1；(2)在B点(a1cos θ)/(b1sin θ)=-cotγ，(3)a1cos θ=Sa/2，(4)b1sin θ=b1-ha．(5)联立方程(1)～(5)解得柔轮凸齿廓的长半轴a1、短半轴b1、移距量ya、参数θ的初值θ1，则柔轮凸齿廓的径矢r1与法矢n1表示为：r1=[x1(θ),y1(θ),1]T;n1=[cos(π/2+ηa),sin(π/2+ηa),1]T;ηa=arctan(a1sin θ/(b1cos θ)), (6)式中θ∈(θ1,π/2)．1.3　刚轮齿廓求解根据齿轮啮合原理[12]，柔轮与刚轮相啮合的表面接触点满足nv=0，(7)式中：n为啮合点的公法线；v为啮合点的相对速度．在坐标系S2中式(7)被改写为：n2Tv2(1,2)=(W21n1)TdM21dtr1=n1TW21TdM21dtr1=0；(8)M21=cos βsin βρsin Δφ-sin βcos βρcos Δφ001；W21=cos βsin β0-sin βcos β0001；r2=M21r1．(9)将式(6)代入式(8)中，即可求得与柔轮凸齿廓共轭的共轭角度，将共轭角度代入式(9)即可求得与柔轮凸齿廓共轭的共轭齿廓Ⅰ和共轭齿廓Ⅱ．分别对共轭齿廓Ⅰ和共轭齿廓Ⅱ进行最小二乘椭圆拟合，得到刚轮两段齿廓的长轴、短轴、几何中心与长轴转角，为避免齿廓干涉，分别调整两段椭圆弧如图4所示，使共轭齿廓Ⅰ在椭圆弧内，共轭齿廓Ⅱ在椭圆弧外．10.13245/j.hust.238572.F004图4刚轮齿廓单侧调整调整后刚轮齿廓如图5所示，A1B1为刚轮凹齿廓，B1C1为刚轮凸齿廓，A1和C1为两椭圆切线斜率为0的点，B1为两椭圆的交点，(xf1，yf1)为刚轮凹齿廓椭圆中心点，αf1为刚轮凹齿廓椭圆长轴转角，(xa1，ya1)为刚轮凸齿廓椭圆中心点，αa1为刚轮凸齿廓椭圆长轴转角．10.13245/j.hust.238572.F005图5刚轮齿廓1.4　柔轮凹齿廓求解在坐标系S2中，刚轮凸齿廓表示为x2=xa1+a2cos θcos αa1-b2sin θsin αa1;y2=ya1+a2cos θsin αa1+b2sin θcos αa1,式中：θ的范围为(θa1，arctan((b2/a2)cotαa1))；θa1为两椭圆相交时θ的解．则刚轮凸齿廓的径矢r2与法矢n2表示为：r2=[x2,y2,1]T;n2=[cos(ηa1+αa1),sin(ηa1+αa1),1]T;ηa1=arctan(a2sinθ/(b2cosθ)). (10)与求解刚轮齿廓类似，柔轮与刚轮相啮合的表面接触点满足式(7)，在坐标系S1中，式(7)被改写成：n1Tv1(2,1)=(W12n2)TdM12dtr2=n2TW12TdM12dtr2=0；(11)M12=cos β-sin βρsinusin βcos β-ρcosu001；W12=cos β-sin β0sin βcos β0001；r3=M12r2．(12)将式(10)代入式(11)中，即可求得与刚轮凸齿廓共轭的共轭角度，将共轭角度代入式(12)即可求得与刚轮凸齿廓共轭的共轭齿廓Ⅲ．同理，对共轭齿廓Ⅲ进行最小二乘椭圆拟合，得到柔轮凹齿廓的长轴、短轴、几何中心与长轴转角，为避免齿廓干涉，调整椭圆弧，使共轭齿廓Ⅲ在椭圆外，完成柔轮齿廓设计，如图6所示，BC为柔轮凹齿廓，C点为柔轮凹齿廓椭圆切线斜率为0的点，B点为两椭圆的交点，(xf，yf)为柔轮凹齿廓椭圆中心点，αf为柔轮凹齿廓椭圆长轴转角．10.13245/j.hust.238572.F006图6柔轮齿廓2 计算实例及分析2.1　计算实例为研究椭圆弧齿廓谐波传动(以下简称椭圆弧齿廓)与双圆弧齿廓谐波传动(以下简称双圆弧齿廓)的区别，本研究选取椭圆波发生器，模数m=0.219 8，传动比i=80，柔轮齿数z1=160，最大径向变形量w0*=1.05 mm，齿厚比k=1.3，弧倾角γ=6°，齿顶高ha*=0.8 mm，分度圆到中性层的距离δh=0.41 mm，双圆弧齿廓额外输入参数柔轮内径Db=34 mm，凸圆弧半径系数ρa*=1.600，凹圆弧半径系数ρf*=1.621，齿根高系数hf*=0.9．采用文献[13]中的方法求出双圆弧齿廓参数如表1所示，表中ρa*为凸圆弧半径系数，ρf*为凹圆弧半径系数，(xa，ya)为凸圆弧中心点，(xf，yf)为凹圆弧中心点．采用第1节的齿廓设计方法求出椭圆弧廓参数如表2所示，因此椭圆弧齿廓的刚轮凸齿廓由柔轮凸齿廓唯一确定，相比双圆弧齿廓的刚轮凸齿廓由柔轮凹凸齿廓其中一条确定，消除了刚轮凸齿廓的不确定性．根据前文描述可知，椭圆弧齿廓较双圆弧齿廓输入参数少，减少了对设计经验的依赖．10.13245/j.hust.238572.T001表1双圆弧齿廓参数参数柔轮刚轮ρa*1.6001.607 1ρf*1.6211.602 8(xa，ya)(-0.200，0.353)(0.500，17.845)(xf，yf)(0.505，0.422)(-0.200，17.777)10.13245/j.hust.238572.T002表2椭圆弧齿廓参数参数柔轮刚轮aa*0.930 71.218 0ba*0.687 80.633 1αa/(°)90.0°102.8°(xa，ya)(0，0.362)(0.295，17.788)af*1.229 30.941 2bf*0.638 50.696 2αf/(°)102.5°89.3°(xa，ya)(0.296，0.366)(-0.001，17.784)t/mm0.100 9ha*0.800 00.798 3hf*1.324 11.320 42.2　共轭区域分析椭圆弧齿廓与双圆弧齿廓的共轭区域如图7所示，根据图7可知：两种齿廓的谐波传动在共轭区域Ⅰ均存在两点共轭现象，柔轮凸齿廓均存在二次共轭现象；其中，椭圆弧齿廓计算所得的共轭区域Ⅰ为[0°，3.668 0°]，共轭区域Ⅱ为[8.391 0°，90°]，双圆弧计算所得的共轭区域Ⅰ为[0.915 7°，10.13245/j.hust.238572.F007图7共轭区域对比4.108 5°]，共轭区域Ⅱ为[8.438 8°，57.082 3°]．椭圆弧齿廓的共轭区域的大小相比于双圆弧齿廓提升了64.5%，而且最大值和最小值可达90°和0°，使同时参与啮合的轮齿增多，对提高谐波传动的传动精度、扭转刚度、重合度及承载能力具有重要的意义．2.3　啮合侧隙分析本研究采取数值离散的方法将柔轮齿廓离散为1 000个点，求取当波发生器每转动1°时，每个柔轮齿廓点到刚轮齿廓的最短距离，得出椭圆弧齿廓与双圆弧齿廓的啮合侧隙j如图8所示．根据图8可知：在整个啮合过程中啮合间隙均大于0 mm，说明在啮合过程中没有发生齿廓干涉现象，证明了椭圆弧齿廓的合理性；以3 μm作为可能产生接触啮合的条件[14]，双圆弧啮合角度为[0°，56°]，椭圆弧啮合角度为[0°，88°]，再一次说明椭圆弧啮合区域更大，同时啮合的轮齿数更多．10.13245/j.hust.238572.F008图8啮合侧隙2.4　运动轨迹分析为更直观地反映双圆弧齿廓和椭圆弧齿廓的啮合状态，本研究通过改变波发生器的转角，模拟单个柔轮齿与刚轮之间的相对运动状态．当波发生器转动0°～180°时，得到双圆弧齿廓与椭圆弧齿廓柔轮单个轮齿相对于刚轮齿槽的运动轨迹分别如图9和图10所示．由图9可知双圆弧齿廓在啮合过程中柔轮同一齿会交替出现啮合与未啮合两种啮合状态，由图10可知椭圆弧齿廓在啮合过程中柔轮同一齿一直处于啮合状态，说明双圆弧齿廓只有部分柔轮齿啮合，而椭圆弧齿廓是柔轮全齿啮合，进一步证明了前文的结论．10.13245/j.hust.238572.F009图9双圆弧齿廓柔轮运动轨迹10.13245/j.hust.238572.F010图10椭圆弧齿廓柔轮运动轨迹3 结构参数优化设计3.1　优化目标设立根据图7可知：椭圆弧齿廓的共轭区域Ⅰ为[0°，3.668 0°]，共轭区域Ⅱ为[8.391 0°，90°]，在共轭区域Ⅰ和共轭区域Ⅱ之间还存在4.723 0°的空白区域，在该区域内没有共轭齿廓，为了实现柔轮与刚轮的连续共轭，则减少空白区域的范围为优化目标一．“两点共轭”现象是指在共轭区域Ⅰ上同一啮合角度柔轮与刚轮的一种啮合状态，此时柔轮凸齿廓与刚轮凹齿廓啮合，同时柔轮凹齿廓与刚轮凸齿廓啮合；“二次共轭”现象是指柔轮凸齿廓会先后与刚轮凹凸齿廓共轭．“两点共轭”与“二次共轭”合称为“双共轭”，根据文献[15]可知“双共轭”现象对提高谐波传动的扭转刚度和传动精度具有重要意义．根据图7可知椭圆弧齿廓的最大啮合角度可达90°，因此为了增强“双共轭”现象，就要增强“两点共轭”现象，则增加共轭区域Ⅰ的范围为优化目标二．3.2　参数规律分析在不改变柔轮模数和齿数下，空白区域和共轭区域Ⅰ的范围是由柔轮分度圆到中性层的距离δh、径向变形量系数w0*、柔轮弧倾角γ、柔轮分度圆齿厚比k为参数计算所得，因此须要研究δh，w0*，γ和k对空白区域和共轭区域Ⅰ的影响规律．3.2.1　单变量影响规律分析δh在区间[0，1]、w0*在区间[0，2]、γ在区间[0°，20°]、k在区间[1，2]对空白区域和共轭区域Ⅰ的影响规律如图11所示．10.13245/j.hust.238572.F011图11单参数影响规律根据图11(a)可知：随着δh的增大，空白区域越来越小，共轭区域Ⅰ越来越大，当δh＞0.51 mm时，不存在共轭齿廓．根据图11(b)可知：随着w0*的增大，空白区域越来越大，共轭区域Ⅰ越来越小，当w0*＜1.04时，不存在共轭齿廓．根据图11(c)可知：随着γ的增大，空白区域越来越大，共轭区域Ⅰ越来越小，当γ＜5.8°时，不存在共轭齿廓．根据图11(d)可知：随着k的增大，空白区域越来越小，共轭区域Ⅰ越来越大．根据图11可知：柔轮参数对共轭区域的影响都是单调的，而且空白区域最小值和共轭区域Ⅰ最大值都在共轭齿廓存在与不存在的交接处取得；k对空白区域和共轭区域Ⅰ的影响远小于其他几个参数；空白区域与共轭区域Ⅰ的变化趋势相反．3.2.2　多变量规律分析为研究δh，w0*和γ对空白区域与共轭区域Ⅰ大小的共同作用规律，以δh，w0*和γ为变量，对共轭区域Ⅰ及空白区域的影响规律如图12和图13所示，用黑色表征不存在共轭齿廓，在图12和图13中，分别取δh=0.1，0.3，0.5，0.7，0.9的切片图，w0*=10.13245/j.hust.238572.F012图12结构参数对共轭区域Ⅰ的共同影响10.13245/j.hust.238572.F013图13结构参数对空白区域的共同影响0.8，0.9，1.0，1.1，1.2的切片图，γ=0.8，0.9，1.0，1.1，1.2的切片图，存在共轭齿廓与不存在共轭齿廓的交界面(以下简称交界面)图．根据图12和图13可知：共轭区域Ⅰ和空白区域的大小随δh和w0*的变化规律与单参数规律分析结果相同，空白区域的大小随γ的变化规律与单参数规律分析结果相同；当w0*较小时，共轭区域Ⅰ的大小随γ的变化规律与单参数规律分析结果相同；当w0*较大时，共轭区域Ⅰ的大小随γ增大而增大，与单参数规律分析结果相反．根据图12和图13可知共轭区域Ⅰ的最大值与空白区域的最小值都存在于交界面上．根据图12(d)可知：在交界面上，共轭区域Ⅰ在一个值附近波动且这个值随γ增大而增大．根据图13(d)可知：在交界面上，空白区域只是在一个值附近波动．前两图对比分析可知，当共轭区域Ⅰ取极大值时，空白区域取得极小值．3.3　参数优化求解根据3.2节，通过优化参数δh，w0*和γ，先优化共轭区域Ⅰ，使其在区域Ω内大于一个目标值ϕ，再优化空白区域，求在区域Ω内空白区域的最小值．根据文献[13]，过大的γ会使齿廓弧长变短，过小的γ会增加加工中刀具的磨损量和减少共轭区域Ⅰ，因此初选γ=[10，15]．根据图12(d)，w0*初选[0.8，1.2]，δh初选[0.4，0.8]，目标值ϕ初选为13°．综上所述，建立共轭区域Ⅰ优化模型：f1(δh,w0*,γ)13;0.4δh0.8;0.8w0*1.2;10γ15. (13)根据式(13)的解集Ω，建立空白区域优化模型：min f2(δh,w0*,γ);δh,w0*,γ∈Ω. (14)本研究采用数值迭代来求解式(13)和(14)，在兼顾制造工艺下，求得当δh=0.63 mm，w0*=0.98，γ=13.9°时，共轭区域Ⅰ为13.560 2°，空白区域为0.613 7°；共轭区域Ⅰ增加了269.7%，空白区域减少了87.0%，总的共轭区域增加了4.8%．优化后大幅度增加了“两点共轭”区域，增加了“双共轭”区域，使同时参与啮合的轮齿达到99.3%，两点同时啮合的轮齿达到15.1%，使谐波传动的传动精度、扭转刚度、重合度及承载能力等得到进一步提升．4 结论本研究基于改进运动学法设计了椭圆弧齿廓，分析了其啮合特性与侧隙，进行了参数分析及优化，得到了以下结论．a. 采用结构参数求齿廓参数，减少了齿廓设计对经验的依赖；解决了刚轮凸齿廓存在的差异问题，保证了空载下连续的啮合区间和“双共轭”区域，提高了传动精度．b. 采用椭圆弧齿廓的共轭区域和啮合区间更大，最大可达90°，最小为0°，实现全齿啮合；同时在传动过程中，侧隙均小于1 μm，且不发生齿廓干涉．c. 共轭区域Ⅰ的最大值和空白区域的最小值均存在于交界面上，且当共轭区域Ⅰ取得极大值时，空白区域取得极小值．d. 经参数优化设计，共轭区域只存在0.613 7°的空白区域，同时参与啮合的轮齿达到99.3%，两点同时啮合的轮齿达到15.1%，使谐波传动的传动精度、扭转刚度、重合度及承载能力等得到进一步提升．