斜齿轮较直齿轮重合度高，具有传动平稳性好、结构紧凑、承载能力高等优点，使得斜齿行星齿轮系统在航空航天、汽车、船舶等领域中得到了广泛应用．由于不可避免的制造和安装误差、构件变形、齿轮副间隙等影响，系统无法实现行星轮扭矩的平均分配，导致行星机构承载能力、可靠性下降．保证系统行星轮扭矩的均匀分配是充分发挥其优越性的关键．文献[1]按照国际标准化组织(ISO)标准对行星齿轮静、动态均载系数定义进行了改进．静力学均载研究主要包括简化公式法、有限元法接触法、集中参数法、变形协调法等[2-5]，动力学均载主要研究啮合力、动载荷以及系统振动和噪声对均载性能的影响[6-7]．理论和实验研究表明：构件制造误差、安装误差、重力、弯矩、支撑方式、行星轮个数、齿面修形、构件浮动、齿圈柔性等与均载性能的发挥有直接关系[8-13]．以上研究对于该类齿轮系统均载设计有一定指导意义，但对轮齿几何特性分析不足，不适用于高精度的行星齿轮系统．安装误差、构件浮动、改变支撑刚度等实际上是改变了各齿轮副啮合齿对的初始齿面接触间隙即系统齿轮副的几何特性，进而影响系统的力学特性．因此，本质上还是须要从这些因素对系统各齿轮副接触间隙的影响为切入点，将几何分析与力学分析紧密联系起来研究系统的均载性能．齿面承载接触分析技术是联系齿面几何特性与力学分析的桥梁，其得到的静态承载变形和齿面静载荷及分布是衡量啮合性能的一个重要指标．目前，齿面承载接触分析的数值方法，主要是根据轮齿啮合过程中的力学平衡条件、载荷当量安装调整值、角位移协调原理、赫兹理论、有限元柔度系数的变形协调法等，按照一定的假设模拟轮齿啮合过程[14-16]，有的侧重力学分析，有些偏重几何分析，仅适用于单对齿轮副的啮合情况．尽管商用有限元分析软件可用于行星齿轮加载分析[17]，然而该方法需要精确的齿轮网格有限元模型和装配及合理的边界约束条件，无法直接得到构件的浮动量．行星传动各内(外)齿轮副存在力的耦合关系，构件浮动后行星轮间还存在接触间隙的耦合关系，因此传统的齿面承载接触分析数值方法不适用于行星齿轮系统的均载设计与分析．为此，针对斜齿行星传动系统，本研究提出一种考虑构件浮动特性的多体齿轮承载接触分析方法进行系统静力学均载分析，并获得具体安装误差条件下的径向浮动量与均载系数，为高精度斜齿行星齿轮传动系统的均载设计与分析提供参考．1 行星齿轮系统齿面几何接触分析齿面几何接触分析的基本原理为连续相切接触两齿面在同一坐标系中任意时刻都有公共接触点和公法线．通过该原理列出齿面几何接触分析方程，求解获得轻载下的轮齿齿面接触印迹及几何传动误差，可进一步计算得到啮合位置及啮合齿对的初始齿面接触间隙，为齿面承载接触分析计算提供数据．然而，行星齿轮系统中包含多个齿轮副，系统中各内(外)齿轮副接触点的位矢和法矢须要转化到统一的固定坐标系中，参考单对齿轮副齿面几何接触分析方法分别计算获得齿对的接触线法向间隙和几何传动误差．该几何传动误差须要能够反映各齿轮副啮合过程中齿对的相对齿间间隙，因此几何传动误差分别指行星轮相对太阳轮、齿圈相对行星轮，且各内(外)齿轮副的几何传动误差计算公式中的初始转角还必须相同．系统中构件数较多存在多个安装误差，为了便于计算，假设各行星轮无安装误差，则主要考虑太阳轮、齿圈参考坐标系相对统一固定参考坐标系的轴交角及中心距安装误差．系统各齿轮副啮合坐标系如图1所示，其中of-xfyfzf是以行星架旋转中心轴中点为原点的统一固定坐标系，其yf轴经过第1个行星轮局部参考坐标系ofpi-xfpiyfpizfpi(i=1，2，…，N，N为行星轮数)中心轴且与之平行．各行星轮局部参考坐标系沿行星架以旋转阵列形式均布．ofs-10.13245/j.hust.230612.F001图1行星齿轮系统齿轮副啮合坐标系xfsyfszfs和ofr-xfryfrzfr分别为太阳轮、齿圈局部参考坐标系；opi-xpiypizpi，os-xsyszs和or-xryrzr分别为行星轮、太阳轮及齿圈动坐标系，原点与各自的局部参考坐标系重合且绕其z轴旋转，转角分别为φpi，φ1和φr．El (l=r，s)分别为内、外齿轮副安装中心距，Δγl和ΔEl分别为内、外齿轮副的轴交角和中心距安装误差，图中Δγl未画出．2 构件径向浮动齿面承载接触模型以包含2个行星齿轮的系统为例，齿面过瞬时接触椭圆长轴的法截面如图2所示，轮齿变形前，某一啮合位置齿圈分别与行星轮1、行星轮2同时啮合的两对轮齿标记为齿对1、齿对2和齿对3、齿对4，太阳轮与行星轮1、行星轮2同时啮合的两对轮齿标记为齿对5、齿对6和齿对7、齿对8，且第i个齿对沿瞬时接触线离散为mi个点的接触，第j个离散接触点的齿面初始间隙为wij(i=1，2，…，8； j=1，2，…，mi)．某啮合位置不考虑构件浮动，在载荷P作用下轮齿发生弹性变形，变形后满足变形协调、法向力平衡、齿面非嵌入条件，不考虑构件浮动情况下的系统承载接触分析模型见文献[18]，这里不再赘述．10.13245/j.hust.230612.F002图2行星齿轮系统承载接触分析模型行星齿轮系中各行星齿之间载荷分配与构件浮动有很大关系．当行星轮作为浮动件受载均匀时，系统内(外)齿轮副法向力矢量构成等边多边形；反之，构成非等边多边形．由于行星轮浮动增加了机构的自由度，受载不均衡时即可自动寻找平衡位置(自动定心)，直至某啮合位置各内(外)齿轮副的法向力接近一致，此时，各齿轮副齿面间隙发生了变化；因此，当构件浮动时轮齿除了满足上述齿面承载接触分析条件外，还应考虑构件浮动后系统各接触齿对的接触间隙发生变化，进而满足各内(外)齿轮副法向力相等的条件．假设行星系统的支撑刚度足够大，可忽略其对轮齿初始接触间隙的影响，则构件浮动下内啮合副齿面承载接触方程为Fp+w+s=Ze+d;∑p1j+∑p2j+∑p3j+∑p4j=P;∑p1j+∑p2j=P/2;pmj0    (dmj=0);pmj=0    (dmj0),式中：s为径向浮动量引起的内齿轮副1和内齿轮副2离散接触点法向间隙变化量所组成的向量；w为同时啮合齿对的wij所组成的向量；s+w的数值通过给定太阳轮、齿圈的径向浮动量后，根据行星齿轮齿面几何接触分析计算获得；Pij和dij分别为瞬时啮合齿对i的接触线离散点j处的法向力、承载后的轮齿接触间隙，p和d为其组成的向量；F和e分别为瞬时啮合齿对接触线离散点的法向柔度矩阵、单位矩阵；Z为轮齿法向承载变形量．式中方程组含义依次为变形协调条件、力的平衡条件、径向浮动各行星轮法向力相等条件及轮齿接触非嵌入条件．同理，可以列出外啮合齿面承载接触分析方程．须要说明的是这里以太阳轮输入、齿圈输出、行星架固定，仅太阳轮和齿圈可径向浮动传动结构为例，进行多体齿面承载接触分析方程的推导．由于静力学分析中各齿轮副轮齿瞬时法向力始终平衡，因此本研究中承载接触分析方程同样适合齿圈或太阳轮固定而其他两构件作为输入输出和径向浮动的情况．构件浮动下多体齿面承载接触方程的求解较为困难，由于轴交角误差的影响很难确定径向窜动方向，因此可通过分步迭代的方法求解获得构件的浮动位移、齿面载荷及轮齿承载变形．求解思路为将齿圈(太阳轮)径向位移分解到沿统一固定坐标系的X和Y方向，先任意给定X方向的径向窜动位移大小，通过多体齿面承载接触分析方法计算各内(外)齿轮副在啮合位置径向窜动前后的法向力之差来确定初始窜动方向，进一步通过黄金分割法进行窜动量下多体齿面承载接触分析迭代，直至每次窜动量步长小于预设步长精度，则X方向的径向窜动位移确定．其次，根据上一步确定X方向径向窜动量，再次迭代确定Y方向径向窜动量．根据X和Y方向径向窜动量可合成齿轮轴心的径向窜动轨迹．构件浮动下多体齿面承载接触分析计算步骤如下．步骤1 根据系统齿轮副几何参数，建立太阳轮、行星轮、齿圈有限元模型，并计算各齿轮齿面网格节点柔度系数f；啮合位置标志Nt=0．步骤2 建立系统齿面几何接触分析模型，求解各齿轮副几何传动误差和接触线离散点法向间隙、单个齿啮入至啮出点数及各啮合位置同时啮合齿对数Ng．步骤3 计算Ng对齿的初始接触间隙w．步骤4 根据 f 插值计算Ng对齿沿齿面接触线离散点的法向柔度矩阵F．步骤5 根据齿面多体齿面承载接触分析方程求解一个啮合周期(5个位置)第Nt个啮合位置的承载变形及载荷分布；计算啮合位置各齿轮副法向力与理论均载法向力之差的最大值∆P；Nt=Nt+1．步骤6 判断∆P≤总啮合力的5%的条件是否满足？若不满足，则黄金分割法确定啮合位置的X和Y向径向窜动量，返回步骤2；若满足则进入下一步．步骤7 判断各啮合位置是否求解完毕，即是否满足Nt ≤5？若不满足，则返回步骤2；若满足则进入下一步．步骤8 输出不同啮合位置承载变形、载荷分布、均载系数及刚度、径向窜动量．本研究主要考虑太阳轮、齿圈构件浮动情况下的均载特性，当各行星轮不同安装误差导致各分支不均载时，须要同时考虑行星轮的浮动，即系统可简化为各行星轮径向浮动下多体承载接触分析模型，基本原理同上，但迭代过程更为繁琐．3 算例与分析以表1行星齿轮基本参数为例，行星架固定，太阳轮输入扭矩为1 500 N·m，安装误差ΔEr=0.005 mm，ΔEs=-0.005 mm，Δγs=Δγr=0.5′．太阳轮、齿圈无修形，行星轮齿条刀具齿廓、齿向进行微小的抛物线修形，形成点接触齿面以便进行齿面几何接触分析方程求解．行星轮个数N=4，则各内(外)齿轮副无啮合相位差．构件浮动下多体齿面承载接触分析仿真中，一个啮合周期分为5等份．10.13245/j.hust.230612.T001表1行星齿轮系统基本参数参数齿数模数/mm压力角/(°)螺旋角/(°)齿宽/mm齿顶高/mm太阳轮721.8123.0413.12251.8行星轮261.8123.0413.12251.8齿圈1241.8123.0413.12251.8a. 无径向浮动仅存在中心距安装误差时，各齿轮副几何传动误差(ψ)不同，但曲线形状相同，齿面接触痕线位置相同(见图3，x为齿宽方向，y为半径方向)．在中心距误差与轴交角误差综合作用下，接触迹线位置发生平移，几何传动误差相差较大且曲线形状不同；行星轮齿廓修形很小，因此各齿轮副基本为全齿面接触印痕(见图4)．内啮合齿轮副的最大几何传动误差绝对数值大小顺序依次为行星轮4行星轮1行星轮3行星轮2，渐开线齿轮副的几何传动误差数值与齿间间隙是线性关系，即传动误差数值越大则齿轮副的齿间间隙越大，而齿对的齿面间隙越大，承担的载荷越少，因此最大载荷分配系数(Ls)的变化规律与几何传动误差数值变化规律相反，即行星轮4行星轮1行星轮3行星轮2(见图5(a))．此外，啮合位置法向10.13245/j.hust.230612.F003图3仅中心距安装误差下齿面几何接触分析仿真10.13245/j.hust.230612.F004图4综合安装误差下齿面几何接触分析仿真10.13245/j.hust.230612.F005图5综合安装误差下瞬时载荷仿真(内啮合)力与理论均载法向力之差(∆Pn)进一步反映了各星轮承担载荷的情况，其绝对数值越大表明该星轮偏载越严重，∆Pn0表明较理论均载时承担载荷多，反之较理论均载时承担载荷少，因此内啮合中∆Pn的变化规律与啮合位置的均载系数变化规律是一致的(见图5(b))．全齿面载荷分布进一步反映了行星轮之间宏观载荷分布及单个轮齿全程齿面微观载荷的分布情况，宏观上内啮合副载荷分布大小依次为行星轮4行星轮1行星轮3行星轮2；微观上由于无修形，齿顶、齿根也承载且沿齿向有一定的偏载，特别是当分配载荷较小时(见图6)．10.13245/j.hust.230612.F006图6内啮合副综合安装误差下全齿面载荷分布仿真b. 综合安装误差下，通过构件浮动下多体齿面承载接触分析获得径向窜动量如图7所示．当无轴交角误差时，Y向理论窜动位移(dY)应等于5 μm，X向理论窜动位移(dX)应为0 μm；由于受轴交角误差的影响，因此X方向必然存在径向窜动量，其会影响Y向窜动量．太阳轮和齿圈的Y向径向位移绝对值基本在7 μm左右，这是符合物理模型的．由于啮合位置同时接触齿对数变化，因此径向窜动位移呈现周期性波动，当存在齿距误差时其幅值增大，高速时引起较大径向位移激励，易导致系统振动增大．10.13245/j.hust.230612.F007图7构件径向浮动量c. 综合安装误差下，径向浮动后各齿轮几何传动误差接近相同，即相对齿间间隙减小且基本相等，而几何传动误差曲线形状无变化(见图8)，可见构件径向浮动对某单个齿轮副的接触线法向间隙无影响．因此，当存在轴交角误差时，导致各齿轮副几何传动误差曲线形状不同，尽管构件浮动能很好地改善行星轮均载，但不能实现完全均载；而当仅考虑中心距误差影响时，由于各行星轮齿面印痕位置相同，且几何传动误差曲线形状相同，则径向浮动后几何传动误差完全重合，可以实现完全理想均载．10.13245/j.hust.230612.F008图8径向浮动下齿面几何接触分析仿真d. 径向浮动后的各内(外)齿轮副行星轮啮合位置的法向力与理论均载法向力之差最大值减小到400 N，即最大不均载系数为5%，各齿轮副承担载荷接近理论均载(见图9(a))．各内(外)齿轮副同一啮合位置所有齿轮副的齿面载荷之和等于总载荷，例如当齿面接触位置序号(n)取1，6，11时，载荷分配系数(Ls)之和等于1，其与物理模型规律是一致的(见图9(b))．可见构件浮动的均载过程实际上是各内(外)齿轮副相对初始齿面齿间间隙协调趋近一致的过程．10.13245/j.hust.230612.F009图9内啮合副径向浮动下啮合位置载荷仿真e. 径向浮动后内啮合行星轮均载系数从0.2～1.8变化到0.94～1.05，进一步趋近于理论均载系数1(见图9(c))．固定最小径向浮动间隙下，随载荷的增加行星轮均载性能逐渐改善(见图9(d))．径向浮动后行星轮全齿面载荷分布基本相等(见图10)，径向浮动仅保证各齿轮副间宏观载荷趋于相等，而单个齿轮副全齿面微观均载须要通过齿面修形实现．10.13245/j.hust.230612.F010图10内啮合副径向浮动下全齿面载荷分布仿真4 结论结合行星齿轮功率分流传动特点，提出构件浮动下多体齿面耦合承载接触分析数值方法，以安装误差、构件浮动对各齿轮副接触间隙的影响为切入点，进行静力学均载特性研究，得到主要结论如下．a. 该方法同时考虑内、外齿轮副啮合力及接触间隙的耦合特性，除了能够获得行星轮系各分支的载荷分配之外，还能够同时获得所有啮合齿对的齿面载荷分布．相比于目前最常用的行星轮系静动力学集中质量建模方法(集中力系模型)，本文方法是一种分布力系模型，具有一定先进性．b. 构件径向浮动后系统各齿轮副几何传动误差的曲线形状无变化，数值逐渐接近，可见构件径向浮动对某单个齿轮副的接触线法向间隙无影响，仅影响齿轮副的相对齿间间隙．构件浮动过程实际上是各内(外)齿轮副相对齿面初始齿间间隙逐渐协调、趋近一致的过程；构件浮动量和多载荷工况均载系数规律进一步验证了方法有效性．c. 径向浮动仅保证各齿轮副间的宏观载荷趋于相等，对于单个齿轮副须要通过齿面修形技术进一步保证齿面微观均载．d. 当存在轴交角误差时，导致各齿轮副的齿间间隙(几何传动误差)变化规律不同，尽管构件浮动能很好地改善均载，但不能实现完全均载；而当仅考虑太阳轮、齿圈中心距误差影响时，通过其径向浮动后，几何传动误差、齿面印痕完全重合，因此可以实现理想均载．