准确的舰船磁场反演是实现舰船磁隐身技术的关键，关系到舰船航行的生命力和战斗力，如何兼顾反演模型的简洁性和反演结果的正确性对舰船的反演及深度换算的实际应用有着重要意义．为了全面了解舰船在不同海洋区域、不同深度条件下的磁场分布，须要在测量数据的基础上对磁源目标进行建模，并对其他深度的磁场分布进行换算．根据测量数据对磁源目标进行有效反演是深度换算的基础，如何建立具有高稳定性的反演模型及如何评估反演所使用的磁场测量数据的正确性是本研究要解决的关键问题．数学模型的稳定能保证反演所得磁源的有效性，磁场数据的正确性能为深度换算的准确性和有效性提供保证．磁体模拟法通过利用一组等效磁源代替真实磁性目标，通过充分拟合磁场测量数据建立等效源模型，进而利用等效源模型正演实现舰船磁场的重构和转换[1]．国外利用等效源法进行舰艇磁场建模的研究相对较少，主要采用的方法有积分方程法、边界元法和广义多极技术[2-4]．国内采用等效源法对舰船磁场进行建模方面，多采用磁偶极子、均匀磁化的椭球体或磁偶极子与均匀磁化的椭球体混合的方法模拟磁源[5]．文献[6-9]以面磁荷为基础采用不同的算法进行优化计算．文献[10]基于磁单极子模型，通过正则化算法进行反演．文献[11]基于磁总场模量进行反演，提出了一种利用磁梯度张量数据估计磁化方向从而进行目标反演的方法．文献[12]利用磁梯度张量异常场数据进行待反演空间范围和目标磁化方向等参数的估计．文献[13]提出一种基于偶极子分布模式反演目标尺度特征的PCA算法，能对不同磁矩、不同姿态、不同尺度及不同形状的目标进行反演．文献[14]提出一种利用磁传感器阵列磁场差值的舰船磁场反演建模方法，实现了在有较大相关噪声环境中舰船磁场的反演建模．现有采用点磁荷这种简易模型的反演算法不容易兼顾磁场三分量之间能量分布相差较大的情况，容易导致部分分量拟合效果差，且仅在仿真计算中验证，未经过实验室船模验证及信号加噪验证．针对磁场等效源反演方法模型稳定性无法保证、磁场测量数据的正确性无法保证两个问题，本研究从点磁荷的建模理论出发，提出一种具有模型高稳定性的反演算法，从数学原理上解决超定方程的求解问题，保证算法稳定性，并提出一种基于T分布的磁场评估方法，求解多组磁场测量数据的置信区域，并进行磁场置信评估，最大程度保证测量数据的正确性．1 基于点磁荷的磁场反演模型推导假定空间中存在一个磁荷量为Q的点磁荷，其在某处的标量磁位ϕm和磁场强度H为ϕm=14πQr;H=Q4πrr3, (1)式中：向量r从点磁荷P指向场点S；r为点磁荷与场点之间的距离．点磁荷模型如图1所示，磁荷量为Q的点磁荷在坐标原点时满足[10]∇B=Q，(2)10.13245/j.hust.230001.F001图1点磁荷模型该点磁荷在空间产生的磁感应强度为B=μ04πQr3r，(3)式中μ0为真空磁导率．将点磁荷沿舰船纵向呈线状布置，测线数量为s，每条线上点磁荷数量为n，共含N=sn个点磁荷，设S的坐标为(xi,yi,zi) (i=1,2,⋯,N)．舰船周围包含M个传感器测量点(场点)，设场点P的坐标为(xj,yj,zj) ( j=1,2,⋯,M)．在场点P处产生的磁感应强度B=[Bxj,Byj,Bzj]，计算公式为Bxj=∑i=1NAx(Pi,Sj)Qi;Byj=∑i=1NAy(Pi,Sj)Qi;Bzj=∑i=1NAz(Pi,Sj)Qi;Ax(Pi,Sj)=μ04πxj-xir3;Ay(Pi,Sj)=μ04πyj-yir3;Az(Pi,Sj)=μ04πzj-zir3, (4)式中：Ax(Pi,Sj)，Ay(Pi,Sj)，Az(Pi,Sj)为每个点磁荷与每个场点之间的距离函数；Qi为第i个点磁荷的磁荷量；r=[(xj-xi)2+(yj-yi)2+(zj-zi)2]1/2．点磁荷阵列在所有场点产生的磁场可组成一个线性方程组B=AQ，(5)式中A为稀疏矩阵，具体表达式为B=(Bx1,By1,Bz1,Bx2,By2,Bz2,⋯,BxM,ByM,BzM)T；Q=(Q1,Q2,⋯,QN)T；A=ax11ax12⋯ax1Nay11ay12⋯ay1Naz11az12⋯az1N⋮axM1axM2⋯axMNayM1ayM2⋯ayMNazM1azM2⋯azMN．(6)通过解式(6)可得磁荷Qi，但实际测量中场点数常大于点磁荷数，即MN，此时待解方程为超定方程，可采用最小二乘法进行求解，将式(5)转化为最小泛函数      F=∑j=1M∑i=1NAx(Pi,Sj)Qi-Bxj2+∑j=1M∑i=1NAy(Pi,Sj)Qi-Byj2+∑j=1M∑i=1NAz(Pi,Sj)Qi-Bzj2. (7)为了解决超定方程解不稳定的问题，引入罚函数f=β∑i=1NQi2以制约原方程，则有F1=F+f=F+β∑i=1NQi2，(8)式中β为惩罚因子，为自定常量．根据物理实际，磁源的点磁荷总体分布应满足磁中性方程，即∑i=1NQi=0．(9)根据最小值原理∂F/∂Qi=0，结合式(7)，式(5)转化为(N+1)×(N+1)阶矩阵方程，011⋯11a11a12⋯a1N1a21a22⋯a2N⋮1aN1aN2⋯aNN0Q1Q2⋮QN=0b1b2⋮bN．(10)为了更好地表示矩阵方程中的系数，给出以下定义：Ax(Pi,Sj)=ηij;Ay(Pi,Sj)=λij;Az(Pi,Sj)=νij，则式(10)中的矩阵系数为aii=∑l=1Mηil2+∑l=1Mλil2+∑l=1Mνil2+α;aij=∑l=1Mηilηjl+∑l=1Mλilλjl+∑l=1Mνilνjl;bi=∑l=1MBxlηjl+∑l=1MBylλjl+∑l=1MBzlνjl. (11)通过加入惩罚因子α，将M×N的矩阵转化为(N+1)×(N+1)的方阵，解决了超定方程解不稳定的问题，使反演模型具有高稳定性，结合磁中性条件，进一步缩小Qi求解范围，简化运算．由式(11)可得出Qi，完成反演过程，结合式(4)即可建立磁场的正演模型，进行深度换算．2 自适应权重的最小均方误差的反演算法最小均方误差(MMSE)是一种最小化输出数据均方误差的模型，有助于使样本磁场数据与换算磁场数据尽可能接近[15]．假设B^为反演所得磁荷产生的磁场估计值，Bm为磁场测量值，e为估计误差，Zn为输入噪声．鉴于固定的舰船测量站多为南北航向的现状，By分量在实际测量中相较于Bx和Bz分量量级较小的情况占大多数；因此，为了提高By分量的拟合效果，提出一种自适应权重的最小均方误差反演算法(AW-MMSE)，对测量所得磁场的不同分量进行加权处理，反演过程如图2所示，具体步骤如下．10.13245/j.hust.230001.F002图2反演过程图a．计算测量所得磁场三分量Bx,m，By,m，Bz,m的能量分布Px，Py，Pz；b．根据能量分布进行自适应权重分配，假定三分量的权重因子为a，b，c，则a∶b∶c=Px∶Py∶Pz；c．将权重因子加入MMSE算法的代价函数中，则y的方程更新为y=(aAx-1Bx,m)+(bAy-1By,m)+(cAz-1Bz,m)+Zr；式中Zr为加入的随机噪声．d．估计误差e=B^-Bm=Gy-Bm；e．计算矩阵G．根据MMSE的原理，矩阵G应利用接收信号y的统计特性使MSE最小化，若y与e之间存在相关性，则可利用这种相关性来降低e的范数，因此，在最优点处，y与e之间无相关性，即E{yeH}=0．(12)对式(12)进一步推导可得E{eyH}=E{(Gy-Bm)yH}=E{GyyH-BmyH}=E{GyyH}-E{BmyH}=        GE{yyH}-E{BmyH}=0, (13)可得矩阵G为G=E{BmyH}E{yyH}-1．(14)实际系统中常常存在噪声，自适应权重的MMSE算法能在输入数据存在噪声时仍保持模型的稳定性，使误差最小化，并兼顾磁场三分量．3 模型验证3.1　实验模型搭建为了验证反演算法，采用三轴磁通门传感器对实验室典型船模的磁场进行测量，测量坐标系及点磁荷阵列布置如图3所示．船长L=4.2 m，船宽b=0.467 m，船模采用碳钢制造而成，相对磁导率约为140，船体厚度约为0.5 mm，船模在试验前于实验室中进行自然磁化，未经过磁性处理．建立测量坐标系oxyz，船中心处为原点o，x正方向沿船首纵向方向，y正方向沿船模左舷，z正方向垂直船模向下．点磁荷模拟阵列纵向布置在船模吃水线平面[16]，由三条线组成，每条模拟线沿纵向等距布置9个点磁荷，模拟线之间正横距为0.53b．10.13245/j.hust.230001.F003图3测量坐标系及点磁荷阵列布置图为了获取船模周围不同深度的磁场信号，将测量深度H分别设置为1.5b，2.0b和3.0b三个深度，为了简化实验，采用四个传感器(三个测量传感器，一个参考传感器)进行测量，测量传感器横向距离为0.53b，船模以从传感器上方匀速通过的方式逐点测量，三个测量传感器坐标分别为(0，-0.53b，H)，(0,0,H)，(0,0.53b,H)，测量范围为[-4.2，4.2] m，测量点间距为0.1 m，每种测量深度下共3条测线，每条测线上85个点，共255个测点．测得船模在1.5b深度的磁场分布如图4所示，图中l为正横距．10.13245/j.hust.230001.F004图4磁场分布图(1.5b)由磁场三分量实测数据可知：舰船龙骨下By的原始分布量级远小于正横两侧方向的磁场量级，能量相对其余两条测线十分小．3.2　基于点磁荷的反演及深度换算结果将某一深度的磁场分布作为学习样本，将其他深度的磁场分布作为检验样本，对本研究提出的反演算法进行验证．具体换算过程分为三部分：1.5b深度向1.5b，2.0b和3.0b深度的换算；2.0b深度向2.0b和3.0b深度的换算；3.0b深度向3.0b深度的换算．为了更好地表示反演精度，采用相对均方根误差对反演及换算效果进行判定，相对均方根误差代表了换算结果与测量数据之间的差异度．定义相对均方根误差为eB，Bm为测量值，Bcal为换算值，eB=∑i=1n(Bm-Bcal)2∑i=1nBm2×100%．(15)1.5b向2.0b深度By换算结果如图5所示．结果显示：采用AW-MMSE算法调整权重后，能实现磁场三分量的反演换算曲线的良好拟合，能量占比较小的By分量在进行权重分配后拟合精度较好．10.13245/j.hust.230001.F005图51.5b向2.0b深度By换算结果采用AW-MMSE算法得到的深度换算误差如表1所示．由表1可知：采用AW-MMSE算法后，磁场三分量的相对均方根误差皆小于10%，证明了算法的有效性．为了进一步验证算法的稳定性，在实测数据中加入10 dB的噪声，计算结果如表2所示．由表2可知：加入10 dB噪声后，磁场三分量的反演及换算精度有所下降，但是仍能保持在10%以内，进一步证明了算法的稳定性．10.13245/j.hust.230001.T001表1采用AW-MMSE算法的不同换算深度下相对均方根误差基准深度1.5b2.0b3.0bBxByBzBxByBzBxByBz1.5b2.63.13.71.62.45.10.33.54.92.0b———1.01.84.20.92.42.03.0b——————2.15.15.210.13245/j.hust.230001.T002表2加入10 dB的噪声地不同换算深度下相对均方根误差基准深度1.5b2.0b3.0bBxByBzBxByBzBxByBz1.5b4.15.34.03.93.35.81.74.15.32.0b———2.62.16.12.13.33.13.0b——————4.26.17.9综上所述，采用自适应权重的最小均方误差的反演算法能实现磁场Bx，By，Bz三分量在能量占比相差较大情况下的良好拟合，加入10 dB噪声仍能保证拟合精度在10%以内，证明了算法的有效性和稳定性．4 T分布的磁场置信区间评估方法反演及深度换算的正确有效是建立在输入的测量数据正确有效的基础上，实际磁场测量中，舰船可能会存在横摇纵倾、传感器噪声干扰、航向与理想航向对标不齐等情况，导致只采集一组磁场数据无法评估能否正确反映舰船真实的磁场分布，因此一般采集多组数据取平均以消除误差，但采集的组数人为主观影响大，若数据组中存在错误较大的数据，将导致获取的磁场分布与真实分布相差较大，影响反演及深度换算的正确有效性．本研究提出一种基于T分布的磁场置信区域评估方法，通过计算多组磁场分布的置信区域，得出可信度较高的磁场分布，有效评估磁场数据的可信度，为反演输入数据的筛选提供依据．4.1　基于T分布的磁场评估步骤T分布是一种统计分布．在磁场测量中，每测量一次能获得一组磁场分布，两次测量之间相互独立，因工程应用需求，测量总次数一般小于30次，属于小样本，因此本研究基于T分布原理求解磁场的置信区域，以获得多组磁场测量数据的置信区域，对磁场测量值进行有效评估．为了简化步骤，仅对舰船龙骨下方1.5b深度的一条测线的置信区域计算步骤进行介绍，其他测线求解方法相同．基于T分布原理的磁场评估算法步骤如下．步骤1　获得一定数量组别的磁场分布．假设舰船龙骨正下方1.5b深度处测线上包含M个等距测量点，在连续的时间窗下分别获取测量L(L30)组磁场数据．步骤2　若将测线上的每个测量点看作一个样本集，则一条测线上包含M个样本集，一个样本集内包含L个样本数据，组成一个L行M列待估计矩阵X=[X1,X2,⋯,XM]，其中，Xj=[xj1,xj2,⋯，xjl]T (j=1,2,⋯,M)．步骤3　计算矩阵X每列的样本均值Exj=X¯=1L∑l=1Lxjl，作为每列的总体均值μ．步骤4　计算矩阵X每列的样本方差Sj2=1L-1∑l=1L(Xjl-Exj)2，从而得总体方差Var(X¯j)=Sj2/L．步骤5　根据T分布的原理，可以得到矩阵每列的置信区间为(X¯j-tSj/L,X¯i+tSj/L)，其中t为置信参数．步骤6　根据步骤1~5计算得到每列样本对应的置信区间，即在经过L次测量后，M个测量点的置信区间，将M个置信区间连接，可得到磁场总体分布的置信区域，即可对磁场分布进行评估．设置信度选择为D，则在区域内的磁场分布有D的可信度符合舰船真实磁场分布．4.2　评估方法仿真验证为了复现4.1节中两大类误差导致的磁场偏差，采取以下步骤进行实验室模拟．a．由于船模体积大、质量重，难以模拟其横摇纵倾等船体晃动情况，因此在测量过程中，由船动变成传感器动，对传感器施加一定的小幅晃动，以模拟船体晃动情况下的磁场分布变化．b．除了在船模龙骨正下方摆放传感器外，将一部分传感器摆放在偏离龙骨地方，以模拟航向与传感器对标不准的情况．为了便于观察方法的有效性，取实验室船模龙骨下方深度1.5b深度的Bx测量值为例进行分析，共测量10组数据，龙骨下方测线区域为[-4.2，4.2] m，共127个等距测量点，得到10组分布．根据4.1节对10组数据进行计算，取置信度为95%，分别算得127个测量点的置信区间分布，将置信区间的上限和下限连接，构成的区域即为置信度为95%的磁场置信区域(蓝色区域)，将10组测量数据与置信区域比较得到图6．10.13245/j.hust.230001.F006图6磁场数据置信评估图由图6可知：10组数据幅值存在不同程度的偏差，个别分布甚至出现大幅度波动，说明上述两种误差对磁场测量真实性的影响显著，且无法通过肉眼评估哪组磁场最接近正确分布．由于船模龙骨下方Bx分布近似关于y轴对称，左右波峰的情况相同，因此根据左半边波峰和中间波谷进行磁场评估．蓝色区域为置信区域，绘制置信区域后可以轻易区分不同分布，左半波峰置信区域中包含的曲线有4，7和9，波谷置信区域包含的曲线有7和9．由此可推测，对于序号为7和9的磁场分布，有95%的概率符合舰船龙骨正下方1.5b深度处正确的磁场分布．通过船模实验验证了此方法对磁场评估有效，能从多组测量数据中得出磁场分布的置信区域，通过与测量数据对比能快速得出选定置信度下符合置信区域的磁场分布，从源头上最大程度保证反演中输入的磁场数据的正确性和有效性．5 结语为了保证舰船磁场反演模型的稳定性，在推导基于点磁荷的磁场反演模型基础上，针对实际固定站测量中By分量占比小、易造成拟合精度不高的问题，提出一种自适应权重的最小均方误差的反演算法，有效避免算法陷入局部最小，能实现磁场三分量的较好拟合，通过深度换算验证该方法无需遗传算法等智能算法的加入也能达到较好的换算精度，满足工程需要．同时为了保证反演所输入测量数据的正确性，提出一种基于T分布理论的磁场评估方法，结果显示：该方法能从10组测量数据中得出置信区域，选出其中两组符合95%置信度的磁场测量样本，最大程度从源头保证反演的正确性，也为磁场测量的评估提供了新思路．