耦合板结构在实际工程中的应用十分广泛，例如船舶结构、飞行器结构等．为使其达到实际应用环境的要求，在设计过程中须充分了解板结构耦合后的振动特性．针对耦合板动力学性能的研究有很多．Boisson等[1]基于波近似法针对L型、T型和交叉形式的耦合板结构的振动能量传递开展研究．Cuschier等[2]在此基础上将导纳功率流法应用在连接形式为L型的耦合板的振动响应分析当中．石先杰等[3]采用谱几何法表示板的弯曲振动位移和面内振动位移函数，从而求解得到耦合板结构的自由振动特性．蔡延年等[4]以L型耦合板结构为研究对象，建立功率流平衡方程，计算得到在扰动情况下耦合板的振动平均响应．王献忠等[5-7]基于回传射线矩阵法，针对任意角度连接的两中厚板构成的耦合结构，建立起该耦合板结构整体散射方程，进而得到耦合板结构的振动特性，同时利用缩聚传递函数法探究了含内部子结构圆柱壳的振动特性．王攀等[8]根据有限元-双模态方程法(FEM-DMF)，以L型典型耦合板为研究对象，验证了FEM-DMF法在复杂结构中的适用性．葛月等[9]基于任意角度耦合板结构和平面板假设，对特定入射角度波型在耦合边界处的能量传递特性和传递系数进行了研究．薛开等[10]采用改进傅里叶的方法对任意弹性边界条件下的耦合板进行自由振动分析．Meyer和Maxit[11]提出的基于导纳法的缩聚传递函数(CTF)方法，其核心思路是将结构从点耦合推广到线耦合，并给出一组用于求解耦合系统振动特性的缩聚函数．Cuschieri等[12]提出了子结构导纳法的概念，根据模态叠加法推导得到耦合结构弯曲振动时的输入和传递导纳的表达形式，基于输入、传递功率和机械导纳三者之间的关系，给出了L型耦合板振动问题中能量的传递特性．本研究采用基于缩聚传递函数法的混合算法，实现了任意角度连接板结构振动特性问题的求解．其核心思路是，通过模态叠加法和缩聚传递函数完成各个子结构的振动响应求解，进而实现耦合板的振动特性计算，通过与有限元计算结果比较，验证了方法的有效性．1 数值模型1.1　缩聚传递函数基本定义设Γ为子结构连接的耦合线，曲线横坐标s定位Γ上的点．选取一组N个正交函数{φn}1≤n≤N称为缩聚函数，常见满足缩聚函数的有门函数、指数函数及切比雪夫多项式函数等．本研究选取了形式比较简单的门函数和指数函数，当子系统未耦合时，耦合线Γ上受到大小为Fα的作用力，则φn与φm之间的缩聚传递函数Ynmα可以表示为Ynmα=Uα,φnFα,φm=Uα,φn，(1)式中：∙,∙为内积符号；矢量Uα为当子系统受到Fα时耦合线上节点的振动响应位移；Fα为子结构之间的耦合力；φm为Fα在每个方向上的分量；m为Fα的自由度个数．可以用n个缩聚函数的线性组合来表示Uα及Fα，有Uα(s)≃∑n=1Nunαφn(s)；(2)Fα(s)≃∑n=1Nfnαφn(s)，(3)式中：unα为子系统α的位移幅值；fnα为子系统α的力幅值．在耦合结构解耦后，未耦合子系统受到外部激励和耦合线上节点力的共同作用，根据线性叠加原理，缩聚位移可以表示为unα=u˜nα+∑m=1NYnmαfmα,  (4)式中u˜nα为未耦合子系统仅受外力作用时的自由缩聚位移．1.2　模态叠加法图1为耦合板结构计算模型，图中：F(t)为耦合板所受外载荷；A为激励点；lx1和lx2分别为板a和板b的长度；ly为板a和板b的宽度；γ为两板之间的耦合角度．10.13245/j.hust.239463.F001图1耦合板结构计算模型对于子系统α，其动力学方程可表示为MαU¨α+CαU˙α+KαUα=F0α，(5)式中：Mα，Cα，Kα和F0α为子系统α的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵及载荷向量，a,b分别代表子结构a和子结构b(α∈a, b)．将无阻尼系统的模态作为基底，通过坐标转换的方法解耦式(5)，通过减少自由度的数量简化求解．通过对耦合板的自由振动模态进行分析，获取到结构的特征值及固有振型为ωn2MαΦn=KαΦn，(6)式中：ωn为系统的固有频率；Φn为对应的固有振型矩阵．因此，可以将频率响应写为以下模态线性组合的形式，即Uα=∑n=1NmaΦnΦn，(7)式中：Nm为选取的α的振型阶数；hn为第n阶振型坐标．在模态坐标系下将动力学基本方程即式(5)进行解耦．由于各模态振型矩阵向量具有正交性，因此可以得到模态质量矩阵Mr、模态复刚度矩阵Kr*及模态外力矩阵Ir，则第n阶振型坐标为hn=(Kr*-ω2Mr)-1Ir．(8)将式(8)带入式(7)中求解得到子结构在局部坐标系下的位移响应．1.3　混合计算方法基于缩聚传递函数法的动力分析混合算法将耦合板结构在连接处进行解耦，根据式(7)计算得到局部坐标系下a和b的位移响应．引入与耦合角度有关的旋转矩阵，子结构a局部坐标系与整体坐标系保持一致，局部坐标系响应结果转换到整体坐标系响应结果的转换矩阵可表示为T=cos γ0-sin γ000010000sin γ0cos γ000000cos γ0-sin γ000010000sin γ0cos γ．(9)耦合连接处的任意点，均应满足位移转角的连续性和力的平衡条件，即Ua(s)=TUb(s);Fa(s)+TFb(s)=0,                   (10)式中：Ua(s)和Ub(s)分别为a和b的响应位移；Fa(s)和Fb(s)分别为a和b的节点耦合力．解耦后的各子系统满足无源线性系统的叠加原理，用缩聚函数的线性组合来表示耦合线上任意位置相对应的响应位移及耦合力，式(10)转化为una=Tunb;fna=-Tfnb,       (11)式中：una和unb分别为a和b的缩聚位移；fna和fnb分别为a和b的缩聚函数力．将式(2)~(4)代入到式(11)，可得耦合板连接处的耦合力求解方程为(Ya+TYbT-1)Fc=TU˜b-U˜a，(12)式中：Ya和Yb分别为板a与板b的缩聚传递矩阵；Fc为两子结构之间的耦合力．由式(12)解得耦合力，则板a上任意点Ma的振动响应U(Ma)和板b上任意点Mb的振动响应U(Mb)可表示为U(Ma)=U˜a(Ma)+YaFc;U(Mb)=TU˜b(Mb)-TYbFc, (13)式中U˜a(Ma)和U˜b(Mb)分别为点Ma与点Mb的未耦合子系统仅受外力作用时的振动响应．其均方速度级可表示为Lv=10lg(v2/v02)，(14)式中：v为节点法向振动速度；v0为速度基准值，空气中可取5×10-8 m/s．2 方法验证为验证提出的基于缩聚传递函数法的混合计算方法适用于任意角度连接板的受迫振动，分别选择门函数和指数函数[9]作为缩聚函数，利用Matlab编程求解不同形式连接的耦合板的振动，并与ABAQUS有限元法计算结果进行对比，有限元法中的材料参数、网格划分及激励位置与Matlab中保持一致．2.1　L型板振型响应L型板的参数为：lx1=0.5 m；lx2=0.5 m；ly=1 m；厚度h=0.01 m．两板材料参数值保持一致，其中弹性模量参数E=210 GPa，泊松比μ=0.3，阻尼损耗因子η=0.01，密度ρ=7 800 kg/m3．耦合板纵向对边为自由边界，横向两边为简支边界，即y=0和y=ly处边界为简支．L型板的连接线尺寸具体参数如下：长度为1 m；厚度为0.01 m；极限频率flim=2 kHz；为保证结果收敛，选择N=10．L型板γ=π/2，板a位于z=0平面中，取激励为横向单位正弦力，激励频率范围为10~2 000 Hz，激励点在A1(0.25，0.50，0.00)位置处．选择L型板的板b上的B1(0.50，0.50，0.25)作为考查点，计算其振动响应，如图2所示．10.13245/j.hust.239463.F002图2L型板激励点和考察点位置图3分别给出了L型板不同位置处的振动响应对比结果，图中：e为法向位移实部；f为频率．无论缩聚函数是门函数，还是指数函数，计算结果与FEM(有限元方法)计算结果均符合较好，最大误差出现在位移曲线的峰值位置，使用门函数、指数函数集作为缩聚函数的最大误差分别不超过0.8%和0.2%．10.13245/j.hust.239463.F003图3L型板法向位移图4给出了本文方法与FEM计算的L型板均方振速级结果对比曲线，图中β1为均方速度级．通过对比均方振速的结果曲线可以发现：除了峰值处误差稍大外，其余结果符合较好，验证了本文方法求解L型板动态响应的精度．10.13245/j.hust.239463.F004图4L型板均方速度级2.2　T型板振动响应为进一步验证本文方法的适用性，选取T型板结构作为研究对象，如图5所示．T型板的参数如下：lx1=1 m；lx2=0.5 m；ly=1 m；h=0.01 m；γ=π/2；E=210 GPa；μ=0.3；η=0.01；ρ=7 800 kg/m3．板a位于z=0平面中，激励为横向单位正弦力，频率范围为10~2 000 Hz，在A2(0.25，0.50，0.00)处．耦合板横向两边为简支边界，即y=0和y=ly处边界为简支，纵向对边为自由边界．选择板b上的B2(0.50，0.50，0.25)作为考察点，为保证结果收敛，选取N=10．10.13245/j.hust.239463.F005图5T型板激励点和考察点图6给出了激励点和考察点的法向位移对比结果．两种函数计算的法向位移曲线与FEM计算结果符合良好，误差分别在1%和0.3%以内．图7给出了T型板的均方振速计算结果对比图，响应曲线符合较好，进一步验证了本文方法同样适用于T型板振动响应预报．10.13245/j.hust.239463.F006图6T字型板法向位移对比10.13245/j.hust.239463.F007图7T型板均方速度级2.3　十字型板振动响应为进一步验证本文方法的有效性和适用性，计算如图8所示十字型板结构模型振动响应，并与有限元结果进行对比．10.13245/j.hust.239463.F008图8十字型板结构模型十字型结构参数如下：lx1=1 m；lx2=1 m；ly=1 m；h=0.01 m；γ=π/2．板a位于z=0平面中，激励力为横向单位正弦力，频率范围为10~2 000 Hz，在A3(0.25，0.50，0.00)处．耦合板横向两边为简支边界，即y=0和y=ly处边界为简支，纵向对边为自由边界．选择板b上的B3(0.50，0.50，0.25)作为考察点，分析其振动特性．对于该十字型板，为保证结果收敛，选取N=10．图9给出了十字型板激励点和考察点的法向位移曲线，法向位移对比误差分别在0.6%和0.2%以内．10.13245/j.hust.239463.F009图9十字型板法向位移对比图10给出了均方振速级结果对比曲线，可以看出：门函数和指数函数计算得到的结果与FEM方法求解得到的结果符合良好，说明了本文方法计算十字型板结构振动的有效性．10.13245/j.hust.239463.F010图10十字型板均方速度级3 计算结果分析选取2.1节中的L型板模型作为研究对象，选择指数函数集作为缩聚函数，分析耦合角度和激励点位置对耦合板结构振动特性的影响．3.1　耦合角度对耦合板振动特性的影响图11给出了耦合板在两板耦合角度分别为π/3，π/2和3π/4时的振动响应曲线，图中β2为法向速度级．可以看出：在低频段，不同耦合角度下耦合板结构的均方振速曲线基本重合；随着频率的增大，不同耦合角度下耦合板激励点的速度响应曲线开始分离，考察点的速度响应差别更大，结构的均方振速峰值出现的位置发生改变，这是由于耦合角度的变化会改变板与板之间的弯曲波、纵波及剪切波的传播路径．从总体来看，在低频段，耦合角度对耦合板结构振动影响较小，在高频段，响应曲线峰值位置发生偏移，耦合角度对耦合板结构振动影响较为明显．图11耦合角度对耦合板振动的影响10.13245/j.hust.239463.F11a110.13245/j.hust.239463.F11a23.2　激励点位置对耦合板振动特性的影响图12给出了激励点分别在A1(0.25，0.50，0.00)、A4(0.10，0.50，0.00)和A5(0.45，0.50，0.00)时耦合板结构的振动响应曲线．可以发现：当激励点在不同位置时，由于未改变耦合板自身的动力学特性，仅会引起被激励模态的变化，因此激励点位置改变对耦合板整体均方振速影响不大．针对该耦合板而言，无论激励点在何处，其响应的共振峰位置改变较小，只是对应的均方振速幅值有所差别．图12激励点位置对耦合板振动的影响10.13245/j.hust.239463.F12a110.13245/j.hust.239463.F12a24 结语a．本文方法具有良好的准确性和适用性，可以有效解决任意连接角度板结构的振动响应预报问题．b．本文方法能够拓展至多耦合线多子结构，可以应用于更加复杂的耦合结构，解决多子结构的动力学问题．c．本文方法适用于任意耦合结构的振动响应分析，可建立子结构缩聚传递函数库，对于同子结构部分无须重复计算．