面齿轮传动具有重合度大、承载能力强、传动平稳、空间要求小、质量轻等优点，被广泛应用于直升机传动系统中．而面齿轮-行星传动兼具有面齿轮传动和行星传动的优点，应用前景更加广阔．齿轮传动系统在运转过程中产生的振动与噪声是影响系统的使用寿命、可靠性的关键因素．在齿轮动力学领域，国内外学者在动力学建模、动力学方程求解、动态特性分析、动力学优化设计、固有频率分析、振动与噪声控制等方面做了大量研究．近年来，国内外学者对齿轮系统的固有频率做了较为深入的研究．文献[1]研究了一般复合行星齿轮的固有频率和振动模式对惯性和刚度参数的敏感性．文献[2]建立了两级行星齿轮机构的扭转动力学模型，求解得到系统整体模型的固有特性，并将振动形式分为三类．文献[3]建立了电磁行星齿轮传动系统的动力学模型，分析了该系统的固有频率变化和固有频率对系统参数的敏感性．文献[4]实验观察并通过数值分析更详细地研究了行星齿轮的固有频率的分类和模态特性的交换．文献[5]通过实验和有限元的方式对两个直齿轮啮合时的固有频率进行了分析．文献[6]计入内齿圈柔性，建立了行星传动刚柔耦合动力学模型，并对该系统的自由振动进行了分析和实验验证．文献[7]采用有限元的方式建立了行星传动系统的刚-柔耦合动力学模型，研究了刚-柔耦合模型的固有频率分布规律．文献[8]建立了多级行星齿轮系统的纯扭转动力学模型，分析该系统的固有频率和耦合振型对参数的敏感性．文献[9]采用集中质量方法建立了行星齿轮传动系统碰撞振动分析模型，分析了系统的振动形式和啮合力的波动．文献[10]建立了弹性边界柔性直齿内齿圈的振动分析模型，并对其固有特性进行了研究．文献[11]研究了采煤机截割传动系统的固有频率以及不同重根时的振动形式，对系统的模态动能和模态应变能进行了分析．文献[12]研究了人字齿轮行星传动系统的固有频率特性．文献[13]建立了面齿轮分汇率系统的动力学模型，对其动力学均载特性进行了分析．文献[14]建立了面齿轮-行星传动串联系统的静力学模型，研究了其静力学均载特性．上述文献主要是针对行星传动系统进行研究，对面齿轮系统固有频率的研究较少，主要是由于面齿轮为新型传动构型，且国内对面齿轮的研究起步相对较晚．本研究对面齿轮-行星传动串联系统展开研究，进行系统动力学建模，固有频率、振动模式和模态能分析及刚度和质量参数对系统固有频率的影响分析．1 系统动力学模型面齿轮-行星传动串联系统主要是由面齿轮系统和行星系统两部分经过中间轴串联而成．功率从3个直齿轮输入，通过直齿轮与面齿轮的啮合完成第一级的减速，面齿轮(上)通过中间轴与太阳轮连接后将功率传递给行星系统后由行星架输出，完成第二级减速．如图1所示，将齿轮啮合处和轴的支撑处弹性变形用弹簧刚度表示，不计齿间的摩擦力和齿侧间隙的影响，运用集中参数法建立该系统的平移-扭转耦合动力学模型．图1中：Kl，Ku，Ksi，Ks，Kr和Kpi分别为面齿轮(下)支撑刚度、面齿轮(上)支撑刚度、第i(i=1，2，3)个直齿轮支撑刚度、太阳轮支撑刚度、内齿圈支撑刚度和第i个行星轮支撑刚度；Klsi，Kusi，Kspi和Krpi分别为面齿轮(下)与第i个直齿轮啮合刚度、面齿轮(上)与第i个直齿轮啮合刚度、太阳轮与第i个行星轮啮合刚度及内齿圈与第i个行星轮啮合刚度；Clsi，Cusi，Cspi和Crpi分别为面齿轮(下)与第i个直齿轮啮合阻尼、面齿轮(上)与第i个直齿轮啮合阻尼、太阳轮与第i个行星轮啮合阻尼及内齿圈与第i个行星轮啮合阻尼；elsi，eusi，espi和erpi分别为面齿轮(下)与第i个直齿轮啮合误差、面齿轮(上)与第i个直齿轮啮合误差、太阳轮与第i个行星轮啮合误差及内齿圈与第i个行星轮啮合误差；ol-xlylzl，ou-xuyuzu，osi-xsiysizsi，os-xsyszs，or-xryrzr和opi-xpiypizpi分别为面齿轮(下)坐标系、面齿轮(上)坐标系、第i个直齿轮坐标系、太阳轮坐标系、内齿圈坐标系、第i个行星轮坐标系．10.13245/j.hust.210105.F001图1系统平移-扭转耦合动力学模型面齿轮(下)的运动微分方程为mlx¨l-∑i=1N(Flsi+Dlsi)cos αlssinAi+Klxl=0;mly¨l+∑i=1N(Flsi+Dlsi)cos αlscosAi+Klyl=0;mlz¨l+∑i=1N(Flsi+Dlsi)sin αls+Klzzl=0;Jlθ¨zl-∑i=1N(Flsi+Dlsi)rlcos αls+Kltθzl=-T1,式中：ml和Jl分别为面齿轮(下)的质量和转动惯量；xl，yl，zl和θzl分别为面齿轮(下)在x，y，z轴方向的平移振动位移和绕z轴的扭转振动角度；Flsi和Dlsi分别为面齿轮(下)与直齿轮啮合的啮合力和阻尼力；αls为面齿轮(下)与直齿轮的啮合角；Ai为第i个齿轮的位置角；Kl，Klz和Klt分别为面齿轮(下)在径向和轴向的支撑刚度及扭转刚度；rl为面齿轮(下)分度圆半径；T1为面齿轮(下)输出扭矩．面齿轮(上)的运动微分方程为mux¨u+∑i=1N(Fusi+Dusi)cos αussinAi+Kuxu=0;muy¨u-∑i=1N(Fusi+Dusi)cos αuscosAi+Kuyu=0;muz¨u-∑i=1N(Fusi+Dusi)sin αus+Kuzzu=0;    Juθ¨zu-∑i=1N(Fusi+Dusi)rucos αus+Kutθzu+Kust(θzu-θzs)=0,式中：mu和Ju分别为面齿轮(上)的质量和转动惯量；xu，yu，zu和θzu分别为面齿轮(上)在x，y，z轴方向的平移振动位移和绕z轴的扭转振动角度；Fusi和Dusi分别为面齿轮(上)与直齿轮啮合的啮合力和阻尼力；αus为面齿轮(上)与直齿轮的啮合角；Ku，Kuz和Kut分别为面齿轮(上)在径向、轴向方向的支撑刚度及扭转刚度；Kust为中间轴的扭转刚度；ru为面齿轮(上)分度圆半径；θzs为太阳轮绕z轴的扭转振动角度．直齿轮的运动微分方程为    msix¨si-(Fusi+Dusi)cos αus+(Flsi+Dlsi)cos α+Ksixsi=0;    msiz¨si+(Fusi+Dusi)sin αus-(Flsi+Dlsi)sin αls+Ksizsi=0;Jsiθ¨ysi+(Fusi+Dusi+Flsi+Dlsi)rbsi+Ksitθysi=T0,式中：msi和Jsi分别为第i(i=1，2，3)个直齿轮的质量和转动惯量；xsi，zsi和θysi分别为第i个直齿轮在x，z轴方向的平移振动和绕y轴的扭转振动；Ksi和Ksit分别为直齿轮在径向方向的支撑刚度和扭转刚度；rbsi为第i个直齿轮的基圆半径；T0为输入扭矩．太阳轮的运动微分方程为    ms(x¨s-2wcy˙s-wc2xs)+∑i=1N(Fspi+Dspi)sin(αsp-Bi)+Ksxs=0;    ms(y¨s+2wcx˙s-wc2ys)+∑i=1N(Fspi+Dspi)cos(αsp-Bi)+Ksys=0;Jsθ¨zs+∑i=1N(Fspi+Dspi)rbs+Kstθzs+Kust(θzs-θzu)=0,式中：ms和Js分别为太阳轮的质量和转动惯量；xs和ys分别为太阳轮在x，y轴方向的平移振动位移；wc为行星架角速度；Fspi和Dspi分别为太阳轮与行星轮啮合时的啮合力和阻尼力；αsp为太阳轮与直齿轮的啮合角；Bi为第i个行星轮的位置角；Ks和Kst分别为太阳轮径向支撑刚度以及扭转刚度；rbs为太阳轮的基圆半径．行星轮的运动微分方程为   mpi(x¨pi-2wcy˙pi-wc2xpi)-(Fspi+Dspi)sin(αsp-Bi)+(Frpi+Drpi)sin(αrp+Bi)-KpiXcpix=0;   mpi(y¨pi+2wcx˙pi-wc2ypi)-(Fspi+Dspi)cos(αsp-Bi)-(Frpi+Drpi)cos(αrp+Bi)-KpiXcpiy=0;   Jpiθ¨zpi-(Fspi+Dspi)rbpi+(Frpi+Drpi)rbpi=0,式中：mpi和Jpi分别为第i个行星轮的质量和转动惯量；xpi，ypi和θzpi分别为行星轮在x，y轴方向的平移振动位移和绕z轴的扭转振动角度；Frpi和Drpi分别为内齿圈与行星轮啮合时的啮合力和阻尼力；Kpi为行星轮径向支撑刚度；rbpi为行星轮的基圆半径．内齿圈的运动微分方程为    mr(x¨r-2wcy˙r-wc2xr)-∑i=1N[(Frpi+Drpi)sin(αrp+Bi)]+Krxr=0;    mr(y¨r+2wcx˙r-wc2yr)+∑i=1N[(Frpi+Drpi)cos(αrp+Bi)]+Kryr=0;    Jrθ¨zr-∑i=1N(Frpi+Drpi)rbr+Krtθzr=0,式中：mr和Jr分别为内齿圈的质量和转动惯量；xr，yr和θzr分别为内齿圈在x，y轴方向的平移振动位移及绕z轴的扭转振动角度；Kr和Krt分别为内齿圈径向支撑刚度和切向支撑刚度；rbr为内齿圈基圆半径．行星架的运动方程为mc(x¨c-2wcy˙c-wc2xc)+∑i=1NKpiXcpix+Kcxc=0;mc(y¨c+2wcx˙c-wc2yc)+∑i=1NKpiXcpiy+Kcyc=0;Jcθ¨zc+∑i=1NrcKpiXcpi0+Kctθzc=-T2,式中：mc为行星架质量；xc，yc和θzc分别为行星架在x，y轴方向的平移振动及绕z轴的扭转振动；Kc和Kct分别为行星架径向支撑刚度和切向支撑刚度；rc为行星架半径；T2为行星架输出扭矩．2 固有特性分析2.1　特征方程求解利用运动方程可以得到简化的自由振动方程，从而对系统的振动模态进行分析，忽略科式惯性力和离心惯性力以及内外激励，运动方程可以简化为无阻尼自由振动方程MX¨+KX=0，式中：M为质量矩阵；X为位移矩阵；K为刚度矩阵．方程的特征值问题为(K-wn2M)φn=0，(1)式中：wn为第i阶固有频率；φn为对应的振型矢量，n=1，2，…，35．通过特征方程求解得到重根数为1的固有频率为0，454，944，1 150，1 230，1 730，3 428，5 085，5 176，9 146 Hz；重根数为2的固有频率为1 121，1 136，1 260，1 705，1 923，2 290，2 391，3 290，4 747，5 149，5 340 Hz；重根数为3的固有频率为4 284 Hz．系统的1~35阶固有频率为0，454，944，1 121，1 121，1 136，1 136，1 150，1 230，1 260，1 260，1 705，1 705，1 730，1 923，1 923，2 290，2 290，2 391，2 391，3 290，3 290，3 428，4 284，4 284，4 284，4 747，4 747，5 085，5 149，5 149，5 176，5 340，5 340，9 146 Hz．系统的参数如表2所示．10.13245/j.hust.210105.T001表2传动系统的参数参数面齿轮直齿轮太阳轮行星轮内齿圈齿数141209030150模数/mm44444啮合角/(°)2525252525质量/kg18.871.3820.172.346.39转动惯量/(kg•m2)1.094 00.001 40.380 00.004 70.600 0径向刚度/(GN•m-1)11111切向刚度/(GN•m-1)00001 2.2　系统振动模式分析对系统的振型矢量进行分类，可以得到系统的振动模式．振动模式可以反映各构件的振动情况，有利于分析系统的动态特性．面齿轮-行星传动串联系统的振动模式分为四类：面齿轮扭转-轴向振动，中心构件扭转振动模式；面齿轮平移振动模式；中心构件平移振动模式；直齿轮平移振动模式．其中，中心构件指的是太阳轮、内齿圈和行星架．下面对这四种振动模式进行分析．面齿轮扭转-轴向振动，中心构件扭转振动模式对应所有一重根固有频率和部分二重根固有频率，面齿轮只在扭转和轴向方向发生振动，直齿轮在平移和扭转方向均有振动，中心构件只在扭转方向发生振动，行星轮在平移和扭转方向均有振动．面齿轮平移振动模式对应部分二重根固有频率，面齿轮只在平移方向发生平移振动，直齿轮在平移和扭转方向均有振动，行星轮系不发生振动．中心构件平移振动模式对应部分二重根固有频率，面齿轮系不发生振动，行星轮系中心构件只发生平移振动，行星轮在平移和扭转方向均有振动．直齿轮平移振动模式对应三重根固有频率，只有直齿轮发生平移振动，其他构件不发生振动．2.3　模态能分析模态能包括模态应变能和模态动能，模态应变能反映的是构件形变的大小，模态动能反映的是构件振动的剧烈程度．通过对模态能进行分析，可以一定程度上反映出系统的振动特性．构件平移振动产生的应变能Uj=Kj(xj2+yj2)/2     (j=l,u,s,p1,p2,p3,r,c);Kj(xj2+zj2)/2    (j=s1,s2,s3),式中l，u，s，p1，p2，p3，r，c，s1，s2和s3分别代表面齿轮(下)、面齿轮(上)、太阳轮、行星轮1、行星轮2、行星轮3、内齿圈、行星架、直齿轮1、直齿轮2和直齿轮3．构件轴向振动产生的应变能Ujz=Kjzzj2/2    (j=l,u)，构件扭转振动产生的应变能Ujθ=Kjtθzj2/2    (j=l,u,s,p1,p2,p3,r,c);Kjtθyj2/2    (j=s1,s2,s3).构件平移振动产生的动能Ej=mϕλi(xj2+yj2)/2    (j=l,u,s,p1,p2,p3,r,c);mjλi(xj2+zj2)/2    (j=s1,s2,s3),式中λi为特征值．构件轴向振动产生的动能Ejz=mjλizj2/2    (j=l,u)．构件扭转振动产生的动能Ejθ=Jjλiθzj2/2      (j=l,u,s,p1,p2,p3,r,c);Jjλiθyj2/2     (j=s1,s2,s3).图2和3为阶数n=1~35时系统模态应变能和模态动能．可以看出：面齿轮在6~11阶固有频率时具有较大的模态应变能和模态动能；直齿轮在21~25及30~32阶具有较大的模态应变能和模态动能；太阳轮在4，5阶具有较大的模态应变能和模态动能；行星轮在16~19，27，28，33，35阶具有较大的模态应变能和模态动能；内齿圈在14~16，27和28阶具有较大的模态应变能和模态动能；行星架在27，28，33和34阶具有较大的模态应变能和模态动能．构件在这些阶次的固有频率振动时发生了相对较大的形变，振动比较剧烈．10.13245/j.hust.210105.F002图2系统模态应变能10.13245/j.hust.210105.F003图3系统模态动能2.4　系统参数对固有频率的影响分析系统参数对固有频率的影响可以预测系统的振动特性，为系统参数在设计时避开敏感区域提供依据．固有频率主要与系统的刚度和构件质量有关，因此就刚度和质量对固有频率的影响进行分析．限于篇幅，仅研究几种对固有频率影响较大的系统刚度和构件质量．图4~7为系统的刚度对应的固有频率(w)的影响，图中曲线从右至左依次为1~35阶．如图4所示，随着面齿轮和直齿轮啮合刚度(Kfs)的增大，第21~23阶固有频率先是不断增大，然后基本不再发生变化；第24~28阶固有频率先是基本不变，然后不断增大，增大到一定程度后不再发生变化；第29~34阶固有频率不断增大．其余阶次的固有频率受到的影响很小．10.13245/j.hust.210105.F004图4面齿轮和直齿轮啮合刚度对固有频率的影响10.13245/j.hust.210105.F005图5直齿轮径向支撑刚度对固有频率的影响10.13245/j.hust.210105.F006图6行星轮径向支撑刚度对固有频率的影响10.13245/j.hust.210105.F007图7行星架径向支撑刚度对固有频率的影响如图5所示，随着直齿轮径向支撑刚度的增大，第29阶固有频率先是不断增大，然后基本不再发生变化；第30~34阶固有频率不断增大；第35阶固有频率先是基本不变然后不断增大；其余阶次的固有频率受到的影响很小．如图6所示，随着行星轮径向支撑刚度的增大，第30~35阶固有频率不断增大，然而33~35阶固有频率的增速有所放缓，其余阶次的固有频率受到的影响很小．如图7所示，随着行星架径向支撑刚度的增大，第33阶固有频率不断增大，增大到一定程度后基本不再发生变化；第34阶固有频率不断增大，第35阶固有频率先是基本不变，然后不断增大；其余阶次的固有频率受到的影响很小．由图4~7可以看出：传动系统的刚度主要影响高阶固有频率，且随着刚度的增大，系统的固有频率增大．图8~10为构件的质量对固有频率的影响，图中曲线从右至左依次为1~35阶．10.13245/j.hust.210105.F008图8直齿轮质量对固有频率的影响如图8所示，随着直齿轮质量的增大，第21~23，29~34阶固有频率不断减小；第24~28阶固有频率先是基本不变，然后不断减小；其余阶次的固有频率受到的影响很小．如图9所示，随着行星轮质量的增大，第12~20和24~34阶固有频率不断减小；其余阶次的固有频率受到的影响很小．10.13245/j.hust.210105.F009图9行星轮质量对固有频率的影响10.13245/j.hust.210105.F010图10行星架质量对固有频率的影响如图10所示，随着行星轮质量的增大，第24，25阶固有频率先是基本不变，然后不断减小；第27，28，33~35阶固有频率不断减小，到一定程度后基本不再发生改变；其余阶次的固有频率受到的影响很小．由图8~10可以看出：随着构件质量的增大，系统的固有频率减小，尤其是高阶固有频率减小明显．3 结论建立了面齿轮-行星传动串联系统的动力学模型，对系统的固有频率、振动模式、模态能及参数对固有频率的影响进行了分析，得出如下结论．a. 面齿轮-行星传动串联系统平移-扭转耦合动力学模型的固有频率重根数有3种，即一重根、二重根和三重根．b. 面齿轮-行星传动串联系统的振动模式分别为面齿轮扭转-轴向振动、中心构件扭转振动模式，面齿轮平移振动模式，中心构件平移振动模式和直齿轮振动模式．c. 模态应变能越大，表示构件变形越大；模态动能越大，表示构件振动越剧烈．d. 分析了啮合刚度、支撑刚度、扭转刚度和构件质量对固有频率的影响，可从中获知固有频率，从而调整系统的设计参数，为系统避开共振区提供依据．