我国粤港澳大湾区、长三角、环渤海湾等沿海经济发达地区常开展一些在天然海相沉积软土上吹填疏浚淤泥的填海造陆工程，以达到缓解城市用地紧张和扩展港口航道的目的．为了满足承载力和沉降的要求，须对吹填淤泥进行加固处理，吹填土和天然软土会形成一种上软下硬的双层软土地基体系[1]．双层土的固结理论一直是岩土工程领域的一个重要研究方向．文献[2]研究了荷载随时间任意变化和起始孔压沿深度方向非均布的情况，用分离变量法求解了几种典型情况下双层地基的一维固结解析解，并讨论了不同定义下平均固结度的计算问题．文献[3-6]对双层地基一维固结理论进行了分析，但同时考虑边界的透水性能和荷载的时变性质的研究仍须进一步加强．考虑到港口码头、机场跑道、储油罐等特殊场地作业时产生的循环荷载[7-8]和因砂垫层排水能力不良而形成的部分透水边界[4,9]等因素的耦合影响，文献[10]率先推导了半透水边界下成层Gibson地基有效应力和沉降的解答，分析了压缩性随深度变化时矩形和三角形等波形的周期荷载对固结性状的影响．文献[11]针对土体的流变性做了类似的研究．文献[12]用叠加原理对任意循环荷载作用下双层地基的解答做了补充，但半透水边界条件形式复杂，求解过程较为繁琐且对边界排水能力的反映不够直观．文献[13-14]提出了连续排水边界，该边界的孔压随时间的增长呈指数消散趋势，从而弥补了Terzaghi边界孔压突变的不足，而且能够模拟各种排水性能边界时的工况，包括上下边界不对称的情况．文献[15]在此基础上利用有限元分析了成层地基的固结性状，文献[16]直接推导出了恒载作用下成层地基的孔压解答．文献[17]给出了上下边界对称时线性荷载作用下双层地基孔压的解析解．文献[18-21]基于连续排水边界做了深入的研究，但大都是针对单层地基的，综合考虑变荷载和土体成层性的研究仍然很少．本研究综合考虑了连续排水边界、变荷载作用及土体的成层性三个因素，推导了任意时变荷载作用下双层饱和土有效应力和总沉降的解答，并以正弦波荷载为例分析了边界参数、加载周期和土层厚度分布对双层土一维固结性状的影响．1 双层地基的一维固结解答1.1　双层地基的固结方程与定解条件连续排水边界条件下双层软土地基的计算模型如图1所示．图中：q(t)为施加在上下边界处的时变均布荷载，t为时间；z为深度；H为土层总厚度，H=h1+h2；hi，ki，mvi和Esi分别为为第i层土的厚度、竖向渗透系数、体积压缩系数和压缩模量．土中孔隙流体的重度取γw=10 kN/m3．10.13245/j.hust..F001图1连续排水边界下双层软土地基的计算模型图1中上下边界均为连续排水边界[15]，参考Terzaghi一维固结解答中孔压的指数项形式，将双层地基的边界条件进一步改写为上边界u1(0,t)=q(t)exp(-αcv1t/H2)；(1)下边界u2(H,t)=q(t)exp(-βcv2t/H2)，(2)式中：u1(0，t)和u2(H，t)分别为上下半层土的超孔隙水压力；cvi(i=1,2)为第i层土的竖向固结系数；α和β为边界参数，可由室内试验或实测数据反演得出，值越大，表示边界的透水性能越好．除了荷载形式以外，本研究的假设与Terzaghi一维固结理论中的假设一致．根据有效应力原理Δσi'(z,t)=q(t)-ui(z,t)，(3)可得双层地基的固结方程和求解条件分别为固结方程∂Δσi'(z,t)∂t=cvi∂2Δσi'(z,t)∂z2；(4)初始条件Δσi'(z,0)=0；(5)边界条件Δσ1'(0,t)=q(t)(1-e-αcv1t/H2)，(6)Δσ2'(H,t)=q(t)(1-e-βcv2t/H2)；(7)连续性条件Δσ1'(z,t)z=h1=Δσ2'(z,t)z=h1，(8)k1∂Δσ1'(z,t)∂zz=h1=k2∂Δσ2'(z,t)∂zz=h1，(9)式中Δσi'(z,t)为第i层土的有效应力增量．1.2　任意时变荷载作用下的解答对式(4)两边分别作关于t的拉普拉斯变换，再结合式(5)，得Δσi'(z,t)的拉普拉斯变换Γi(z,s)的通解为Γi(z,s)=Ci1eriz+Ci2e-riz，(10)式中：ri=s/cvi，s为复变量；Ci1和Ci2为待求解的参数．分别对式(6)~(9)进行拉普拉斯变换，并联立求解可得C11=2φ2(s)/D-Aφ1(s)/D;C12=(1+A/D)φ1(s)-2φ2(s)/D;     C21=(1+ab)e(r1-r2)h1C11/2+(1-ab)e-(r1+r2)h1C12/2;     C22=(1-ab)e(r1+r2)h1C11/2+(1+ab)e-(r1-r2)h1C12/2, (11)将式(11)代入式(10)，化简便得Γi(z,s)=φ1(s)ϕi1(s)+φ2(s)ϕi2(s)，(12)式中：a=k1/k2；b=mv1/mv2；φ1(s)=Γ1(0,s)；φ2(s)=Γ2(H,s)；A=2ch(r2h2)-absh(r2h2)e-r1h1；D=4sh(r1h1)ch(r2h2)+4abch(r1h1)sh(r2h2）；ϕ11(s)=4absh(r2h2)ch(r1h1-r1z)+ch(r2h2)sh(r1h1-r1z)/D;ϕ12(s)=4sh(r1z)/D；ϕ21(s)=4absh(r2H-r2z)/D；                ϕ22(s)=4sh(r1h1)ch(r2z-r2h1)+         abch(r1h1)sh(r2z-r2h1)/D．利用卷积定理对式(12)作拉普拉斯逆变换，便可得到固结方程式(4)的通解Δσi'(z,t)=Δσ1'(0,t)*L-1ϕi1(s)+Δσ2'(H,t)*L-1[ϕi2(s)]. (13)对于ϕ11(s)∼ϕ22(s)的拉普拉斯逆变换，可利用几种常用的数值方法[6]进行反演．结合留数法和一种复平面数值反演方法进行求解L-1ϕij(s)=∑k=1nResϕij(sk)eskt    (i,j=1,2)，(14)式中：Resϕij(sk)eskt为ϕij(s)eskt在sk处的留数；s1,s2,…,sn为ϕij(s)的全部奇点，亦即参数式D的全部零点tanh(r1h1)+abtanh(r2h2)=0.(15)式(15)为复平面上的超越方程，有无穷多个解，设这些解为s1,s2,…,sn．采用文献[22]中的复数域的数值解法进行求解，则式(14)变为L-1ϕij(s)=∑n=1∞DsnRijesnt，(16)式中：Dsn=2cv1sn/(h1D0)；            D0=(ab+ζd)sh(λnh1)sh(λn*h1)+(1+       ad)ch(λnh1)ch(λn*h1)；R11=absh(λn*h1)ch(λnh1-λnz)+ch(λn*h1)sh(λnh1-λnz);R12=shλnz； R21=absh(ζλnh1+λn*h1-ζλnz)；                   R22=sh(λnh1)ch(ζλn)(z-h1)+             4abch(λnh1)shζλn(z-h1),λn=sn/cv1；λn*=ζdλn，ζ=r2/r1，d=h2/h1，d=H/h1．将式(16)代入式(13)中，即可得到基于连续排水边界条件的任意时变荷载作用下双层饱和软土地基的一维固结解答    Δσi'(z,t)=∑n=1∞Dsnesnt(Ri1+Ri2)∫0tq(τ)e-snτdτ-∑n=1∞DsnesntRi1∫0tq(τ)e-(α*+sn)τdτ-∑n=1∞DsnesntRi2∫0tq(τ)e-(β*+sn)τdτ, (17)式中：α*=αcv1/H2；β*=βcv2/H2．1.3　瞬时恒载作用下的解答将q(t)=q0代入式(17)中，便可得到瞬时恒载作用下双层地基有效应力增量的解答    ΔσAi'(z,t)=q0∑n=1∞DsnRi1esnt-1sn+e-α*t-esntα*+sn+q0∑n=1∞DsnRi2esnt-1sn+e-β*t-esntβ*+sn, (18)则瞬时恒载作用下双层地基的总沉降为    ΔHA= q0∑n=1∞Dsnλnesnt-1sn+e-α*t-esntα*+sn∙(mv1Q11+mv2Q21)+esnt-1sn+e-β*t-esntβ*+sn∙(mv1Q12+mv2Q22), (19)式中：Q11=absh(λnh1)sh(λn*h1)+ch(λnh1)ch(λn*h1);      Q12=ch(λnh1)-1;Q21=ch(λn*h1)-1/ζ;              Q22=[ab(1-ch(λn*h1))ch(λnh1)-        sh(λnh1)sh(λn*h1)]/ζ.1.4　正弦波荷载作用下的解答目前在变荷载作用下饱和土体一维固结理论的研究中，循环荷载的形式主要包括正弦波荷载、梯形循环荷载、三角形循环荷载和矩形循环荷载[7-8]．选取正弦波荷载进行分析，其他荷载形式均可照例开展研究．正弦波荷载的表达式为q(t)=q0[1+sin(ωt)]，(20)式中ω为加载频率，加载周期为T=2π/ω．将式(20)代入式(17)，即得正弦波荷载作用下双层地基的一维固结解答，即ΔσBi'(z,t)=ΔσAi'(z,t)+q0∑n=1∞Dsn[(Ri1+Ri2)Y-Ri1Yα-Ri2Yβ], (21)式中：           Y=ωesnt-snsin(ωt)+ωcos(ωt)ω2+sn2;Yα=ωesnt-(α*+sn)sin(ωt)+ωcos(ωt)e-α*tω2+(α*+sn)2 ;Yβ=ωesnt-(β*+sn)sin(ωt)+ωcos(ωt)e-β*tω2+(β*+sn)2.正弦波荷载作用下双层地基的总沉降为    ΔHB=ΔHA+q0mv1Dsnλn(Y-Yα)Q11+(Y-Yβ)Q12+q0mv2Dsnλn(Y-Yα)Q21+(Y-Yβ)Q22. (22)2 解答的退化验证2.1　双层地基的退化令a=b=1，便可将双层地基退化为单层地基，此时ξ=r2/r1=1．为了方便计算，取h1=H即h2=0，则d=0，d*=H/h1=1，则只须取上半部土层进行退化验证．再设k1=k，mv1=mv，cv1=cv，式(15)便变为sh(r1H)=0，其复数根为sn=-(nπ)2cv/H2   (n=0,1,⋯)．(23)将式(23)分别代入式(18)和(21)，便可分别将基于连续排水边界的瞬时恒载及正弦波荷载作用下双层地基的解答退化为单层地基的解答，即    ΔσA1'(z,t)=q01-H-zHe-α*t-zHe-β*t+q0∑n=1∞2α*(e-α*t-esnt)nπ(α*+sn)sinnπzH-q0∑n=1∞(-1)n2β*(e-β*t-esnt)nπ(β*+sn)sinnπzH; (24)    ΔσB1'(z,t)=ΔσA1'(z,t)+q01-H-zHe-α*t-zHe-β*tsin(ωt)-q0∑n=1∞2[1-(-1)n]nπY*sinnπzH+q0∑n=1∞2nπYα*-(-1)nYβ*sinnπzH, (25)式中：Y*=ωsnesnt+ω2sinωt-ωsncosωtω2+sn2;    Yα*=ωsnesntω2+(α*+sn)2+(ω2+α*2+α*sn)sinωt-ωsncosωtω2+(α*+sn)2e-α*t;    Yβ*=ωsnesntω2+(β*+sn)2+(ω2+β*2+β*sn)sinωt-ωsncosωtω2+(β*+sn)2e-β*t.可以看到：式(24)与文献[14]中的解答一致，说明本研究所得瞬时恒载作用下双层地基的解答可成功退化为单层地基下的解答．2.2　边界和荷载的退化若α,β→∞，则可将连续排水边界条件下的解答退化为传统透水边界条件下的解答．对于正弦波荷载，取α,β→∞，其解答式(25)变为    ΔσB1'(z,t)=ΔσA1'(z,t)+q0sinωt+2q0π∑n=1∞1-(-1)nnY*sinnπzH. (26)式(26)即为正弦波荷载作用下双面透水时单层地基的一维固结解析解．再令ω=0，便可将正弦波荷载作用下的解答退化为瞬时恒载作用下的解答，式(26)变为ΔσB1'(z,t)=q01-4π1nsinnπzHe-(nπ)2cvt/H2，(27)式(27)即为Terzaghi一维固结解析解，进而说明所得解答退化成功．利用所得解答的计算程序来进一步验证其正确性．计算时采用的土体参数如表1所示，同时取ω=0，即循环荷载退化为瞬时恒载．10.13245/j.hust..T001表1土体参数土体情况土层厚度/m渗透系数/(μm•d-1)压缩模量/MPa单层土108.642.0双层土上半层下半层558.648.642.02.0图2为t=10，100 d时，本解答与文献[14]的对比．图中：Δσ'为有效应力增量；q0为荷载．从图2中可以看出：固结时间变化时，本解答均与文献[14]的解答完全一致，说明正弦波荷载作用下双层地基的解答成功退化为瞬时恒载作用下单层地基的解答，即验证了本解答的正确性．当α=β=1×104时，本解答与Terzaghi解答完全一致，说明α=β=1×104时可视作边界完全排水，也证明连续排水边界可退化为完全透水边界．此外，从t=10 d到t=100 d的过程中，Terzaghi解答中边界处的有效应力增长始终不变，而本解答和文献[14]解答中边界处的有效应力均有一个增长的过程，表明连续排水边界条件下解答的连续性更好．10.13245/j.hust..F002图2本解答与文献[14]的对比3 参数分析由式(21)和(22)可知：除各层土的固结系数cv1和cv2(即渗透系数和压缩模量)外，正弦波荷载作用下双层土的一维固结性状还与上下排水边界的边界参数α和β、各层土的厚度及正弦波荷载的加载周期T(即加载频率ω)有关．双层土的土体参数选取如下：土层总厚度H=10 m，渗透系数k1=5k2=8.6×10-4 m/d，压缩模量Es1=0.2Es2=2 MPa，q0=100 kPa，则固结系数cv1=cv2=0.172 8 m2/d．由土体参数可知：上下两层土的固结系数相等，上层土的渗透性和压缩性均比下层土更高．3.1　边界参数当分析边界参数α和β对双层地基固结规律的影响时，固定下边界参数β=10不变，同时取上下土层厚度h1=h2=5 m即d=1、加载周期T=20 d及不同α/β值进行分析．图3为不同连续排水边界条件下，分别考虑瞬时恒载和正弦波荷载作用，上半部土层的中间平面z=2.5 m处有效应力增量随时间的变化曲线．从图3可以看出：在3种不同的排水边界下，恒载作用下的有效应力均是随时间单调增长至稳定不变的，最终增长量为外荷载．而在正弦波荷载作用下，有效应力都是随时间振荡增长至稳定状态，并以恒载时的最终增长量为中心作正弦波动，且振荡的幅度随时间逐渐增大至稳定不变．此外，α/β越大，即边界的排水能力越强，有效应力的增长就越快，也越快达到稳定状态，但在固结前期振荡的幅度也越大，稳定状态时振荡的幅值不受影响．10.13245/j.hust..F003图3z=2.5 m处有效应力增量随时间的变化曲线图4为3种连续排水边界条件、2种荷载作用下，下半部土层的中间平面z=7.5 m处有效应力随时间的变化曲线．对比图4和图3可知：相同边界条件和荷载作用下各深度处有效应力增长的时变规律基本一致．不过，2种荷载条件下，α/β变化引起的z=2.5 m处有效应力变化的幅度均比z=7.5 m处更明显，而且固结时间较短时z=7.5 m处的有效应力甚至可认为不受α/β的影响．当β不变时，α/β变化实际上仅有α变化，即仅上边界的排水性能发生变化．上述发现说明上边界的排水能力对上半部土层固结的影响更大，对下半部土层的影响较小，在固结初期甚至没有影响．出现这个现象可能有两种原因：一是上半层土距离上边界更近，改变单个边界的排水性能并非会在全固结过程都引起整个土层的有效应力发生改变，这说明单个边界排水能力变化的影响是有时间效应的且仅在某一深度范围内；二是上层土的渗透性和压缩性更高，对边界排水能力增强的响应更快、更明显．10.13245/j.hust..F004图4z=7.5 m处有效应力增量随时间的变化曲线图5为不同边界条件下双层土的总沉降(ΔH)随时间的变化曲线．从图5(a)中看出：总沉降与有效应力的时变规律基本一致，边界的排水性能不影响土中应力和总沉降的最终状态，但性能增强可使土体的固结更快达到稳定状态，不过在固结前期会使总沉降的起伏波动更大、沉降量也更大．若双层地基上下土层的压缩特性差异较大且区域性明显，则边界排水能力加强可能会在固结前期引发更严重的不均匀沉降．10.13245/j.hust..F005图5不同边界下双层土总沉降随时间的变化曲线图5(b)为上下边界排水性能互换时的两种边界条件下总沉降随时间的变化曲线．α=20，β=10说明上边界的排水能力优于下边界，α=10，β=20表示下边界排水更快．可以看到：上边界的排水性能更好时，沉降更快达到稳定状态，表明加快靠近渗透性和压缩性更高土层一侧边界的排水可更快完成固结．3.2　加载周期图6为当α/β=1，d=1时不同加载周期(T)正弦波荷载作用下双层土的总沉降随时间的变化曲线．对比3条曲线可知：不同加载周期下沉降的振荡不同步，而且随着加载周期的增大，总沉降振荡的幅值也在增大，即最大沉降量增大．不过，总沉降达到稳定状态的时间和稳定状态的平均值都不受加载周期的影响．10.13245/j.hust..F006图6不同加载周期下总沉降随时间的变化曲线3.3　土层厚度分布图7为当α/β=1，T=20 d时，正弦波荷载作用下不同土层厚度分布的双层土地基总沉降随时间的变化曲线．图中有3组不同的土层厚度分布，其中d=h2/h1,d=3(h2=3h1)说明渗透性和压缩性更低的下半层土较厚．从图7中可以看到：土层的厚度分布对总沉降振荡幅度没有影响；虽然3组土体的上下土层的固结系数都相同，但是d=3时土体达到稳定状态的时间最短且在稳定状态下的沉降量也最小，说明减小渗透性和压缩性更高一侧土层的厚度更利于双层地基沉降的控制．10.13245/j.hust..F007图7不同土层厚度分布下双层土地基总沉降随时间的变化曲线4 结论分别给出了基于连续排水边界条件的任意荷载和正弦波荷载作用下双层饱和软土地基有效应力和总沉降的解答，并将所得解答进行了退化验证．结合算例，对正弦波荷载作用下饱和双层土的一维固结性状进行了参数分析，所得结论如下．a. 边界的排水性能不影响土中应力和总沉降的最终状态．但边界的排水能力越强，固结前期土体的总沉降越大、沉降的起伏波动也越剧烈．当排水能力增强的边界与渗透性和压缩性更高的土层相邻时，总沉降的波动更明显．b. 加载周期不影响总沉降达到稳定状态的时间和稳定状态时的平均值，但加载周期越大，最大沉降量也越大．c. 土层的厚度分布不影响总沉降的振荡幅度，但渗透性和压缩性更低一侧土层的厚度越大，土体就越快达到稳定状态，在稳定状态时的沉降量也越小．