机器零部件间的间隙在外激励作用下会引起机械装置发生碰撞冲击振动[1-5]．近年来，国内外众多学者利用理论分析、模拟仿真和实验验证等方法对碰撞振动系统进行了广泛的研究．文献[6]研究了四维映射系统的周期倍化分岔和Hopf分岔参数临界值的代数判据．文献[7]建立了碰撞振动系统环面分岔的研究方法，研究了共振态下碰撞振动系统的分岔和开折行为，分析了环面失稳及其通向混沌的道路．文献[8]研究了一类三自由度碰振系统的激变和阵发性，通过李雅普洛夫指数分析了拟周期-拟周期阵发性的分岔机制．文献[9]研究了一类两自由度碰撞振动系统周期运动的擦边和滑动等非光滑分岔行为，并揭示各种光滑和非光滑分岔之间的转迁现象．文献[10]研究了两尺度效应下系统的簇发振荡模式，分析了系统穿越分界面时的簇发振荡行为．胞映射方法是研究非光滑动力系统全局特性的有效工具．基于胞映射方法的思想，一些学者先后提出简单胞映射[11]、图胞映射[12]等改进型胞映射方法，并在定量和定性分析非光滑动力系统全局动态特性方面取得了大量的成果．文献[13]基于胞映射思想，运用拉回积分等分析手段，提出了一种非光滑系统吸引子和吸引域的胞映射计算方法．文献[14]探讨了几类改进型胞映射方法的研究进展及其在随机动力学领域的运用成果．碰撞振动系统大多为含多参数和不同类型约束的系统，而现有研究多基于含同类型约束或仅考虑单个参数变化的系统．为更全面地分析碰撞振动系统的动力学行为，本研究建立了一类单自由度含弹性和刚性两种不同约束的碰撞振动系统的动力学模型，并通过多参数协同仿真方法和简单胞映射方法，对系统周期运动在参数域内的分布及相邻周期运动之间的相互转迁规律进行了分析．1 系统的动力学模型图1所示为单自由度含不同类型约束碰撞振动系统的力学模型．质量为M的振子由阻尼系数为C的线性阻尼器和刚度为K1的线性弹簧相连接，在简谐激振力Psin(ΩΤ+τ)的作用下沿水平方向振动，式中：P简谐激振力的振幅；Ω为简谐激振力的频率；T为时间；τ为相位．以系统的静平衡位置为空间坐标的原点建立坐标系，振子M的位移为X，振子左侧固定一个刚度为K2的弹性约束，弹性约束面与振子的间隙为B2；振子右侧固定一个刚性约束，刚性约束与振子的间隙为B1．由于弹性约束和刚性约束的存在和碰撞的产生，系统会表现出复杂的非光滑动力学行为．10.13245/j.hust.210102.F001图1单自由度含不同类型约束碰撞振动系统力学模型系统无量纲运动微分方程为     x¨+2ζx˙+x=sin(ωt+τ)   (-b2xb1);     x¨+2ζx˙+(1+μk)x=sin(ωt+τ)-μkb2   (x≤-b2);     x˙+=-rx˙-    (x=b1), (1)式中：x˙-和x˙+为振子与刚性约束碰撞前后的瞬时速度；r为刚性碰撞恢复系数；x=XK1/P；ζ=C/2K1M；ω=Ω/Ω0，Ω0为振动系统的固有频率，Ω0=K1/M；b1=K1B1/P；b2=K1B2/P；μk=K2/K1．方程的通解为    x(t)=e-η(t-t1)(c3cosωd2(t-t1)+c4∙sinωd2(t-t1))+A2sin(ωt+τ0)+D2cos(ωt+τ0)   (-b2xb1);    x(t)=e-η(t-t3)(c1cosωd1(t-t3)+c2∙sinωd1(t-t3))+A1sin(ωt+τ0)+D1∙cos(ωt+τ0)-μkb2/(1+μk)    (x≤-b2);    x˙+=-rx˙-,x=b1    (t=t2),式中：ωd1=1+μk-ζ2；ωd2=1-ζ2；τ0为初相位，可通过系统的初始边界条件求得；η=ζ；c1，c2，c3和c4为积分常数，可以由系统的初始条件确定；t1为振子脱离左侧弹性约束的时间；t2为振子与右侧刚性约束接触的时间；t3为振子进入左侧弹性约束的时间；A1，A2，D1和D2为振幅常数，A1=(1+μk-ω2)/(1+μk-ω2)2+(2ζω2)2,D1=-2ζω/(1+μk-ω2)2+(2ζω2)2,A2=(1-ω2)/(1-ω2)2+(2ζω2)2,D2=-2ζω/(1-ω2)2+(2ζω2)2.2 系统Poincaré映射及稳定性分析通过建立Poincaré映射研究系统周期运动的稳定性，Σn，Σp+和Σq+分别代表定相位面、左侧弹性碰撞截面和右侧刚性碰撞截面，Σn=(x,x˙,θ)∈R2×S1,θ=mod(ωt,2π/ω);Σp+=(x,x˙,θ)∈R2×S1,x=-b2,x˙+0;Σq+=(x,x˙,θ)∈R2×S1,x=b1,x˙+0, (2)式中：R2为2维实数空间，R为实数集；S为相位．定相位面用于统计系统周期运动的周期数；碰撞截面用于统计振子与左右两侧约束面的碰撞次数．选择截面Σp+建立系统的Poincaré映射．根据系统Poincaré映射的线性化矩阵在不动点处的特征值，可判断相应周期运动的稳定性．若两个特征值都位于单位圆内，则相应的周期运动是稳定的；若特征值穿越单位圆，则可以根据特征值穿越单位圆的数量和位置来判断分岔的具体类型．3 相邻基本周期运动的转迁规律分析为研究系统周期运动分布类型及其转迁规律，将间隙b1和b2作为研究对象．取系统参数ζ=0.1，ω=0.5，μk=10，b1∈[0.1,2.0] ，b2∈[0.1,2.0]．系统在(b1,b2)参数平面内周期运动分布如图2所示．图2(b)~(e)是图2(a)的局部细化图．符号n-p-q中n为激励周期数，p和q分别为振子与左右侧约束面的碰撞次数．用PF表示倍周期分岔，IPF表示逆倍周期分岔，SN表示鞍结分岔，GR表示擦边分岔，CI表示振子在约束面上的颤振运动，BC表示系统发生边界激变．为了便于表述振子在不同约束面出现的擦边分岔的类型，作如下定义：将振子与左侧约束面擦边出现的擦边分岔定义为系统的第一类擦边分岔，用GR1表示；将振子与右侧约束面擦边出现的擦边分岔定义为系统的第二类擦边分岔，用GR2表示；将振子与两侧约束同时擦边定义为第三类擦边分岔，用GR3表示．10.13245/j.hust.210102.F002图2系统在(b1,b2)参数平面内周期运动分布3.1　相邻周期运动间的基本转迁规律分析1-p-q可通过第一类、第二类和第三类擦边分岔分别转迁为1-(p+1)-q，1-p-(q+1)和1-(p+1)-(q+1)周期运动；而1-(p+1)-q，1-p-(q+1)和1-(p+1)-(q+1)周期运动则可通过鞍结分岔转迁为1-p-q周期运动．擦边和鞍结分岔的分岔点不在同一位置，导致转迁过程不可逆，这样在相邻周期运动转迁过程中就会形成由这两个相邻周期运动构成的多态共存区：在靠近1-p-q周期运动一侧，多态共存区的边界线为鞍结分岔曲线；而在靠近1-(p+1)-q，1-p-(q+1)和1-(p+1)-(q+1)周期运动一侧，多态共存区的边界线为擦边分岔曲线．b2变化时，1-p-q与1-(p+1)-q周期运动之间的转迁符合下述规律：b2↓:1-(p+∞)-q←GR1⋯←GR11-(p+1)-q←GR11-p-q;b2↑:1-(p+∞)-q→SN⋯→SN1-(p+1)-q→SN1-p-q．b1变化时，1-p-q与1-p-(q+1)周期运动之间的转迁符合下述规律：b1↓:1-p-(q+∞)←GR2⋯←GR21-p-(q+1)←GR21-p-q;b1↑:1-p-(q+∞)→SN⋯→SN1-p-(q+1)→SN1-p-q．a. 选取b2=1.8和b1∈0.22,0.65为例，具体分析1-p-q与1-p-(q+1)周期运动之间的转迁过程．图3为基本周期运动1-0-2和1-0-4转迁的分岔图，图中的分岔曲线用不同颜色的线条表示，以便观察不同参数处吸引子共存现象．在b1由大减小的过程中，当b1=0.613 315 76时，系统由1-0-2周期运动经第二类擦边分岔转迁为1-0-3周期运动，第二类擦边周期运动的相图如图4所示．10.13245/j.hust.210102.F003图31-0-2和1-0-4转迁的单参分岔图10.13245/j.hust.210102.F004图4第二类1-0-2擦边周期运动相图在b1由小增大的过程中，当b1=0.616 530 29(系统雅可比矩阵特征值λ1=1.000 837 43，λ2=0.641 267 93)时，系统由1-0-3周期运动经鞍结分岔转迁为1-0-2周期运动．为了进一步研究多态共存区内不同吸引子及其吸引域的分布情况，选取初态域Ω=(x,x˙)|-0.257 4x0.26,0.600 6x˙1.2，将初域态划分为1 000×1 000个状态胞．当b1=0.614 938 52时系统同时存在1-0-2和1-0-3两个不同的周期吸引子共存，吸引域分布如图5所示．10.13245/j.hust.210102.F005图5b2=1.8时定相位面Σn上的吸引域分布b. 选取b1=0.495 0和b2∈[0.4,0.75]为例，分析1-p-q与1-(p+1)-(q+1)周期运动的转迁过程，图6为系统的分岔图，在b2由大到小变化的过程中，当b2=0.610 204 26时1-1-2周期运动经第三类擦边分岔转迁为1-2-3周期运动，擦边周期运动相图如图7所示；在b2增大的过程中，当b2=0.684 977 53时(也即λ1=1.000 841 32，λ2=0.322 623 49)，系统发生鞍结分岔，导致1-2-3周期运动转迁为1-1-2周期运动．10.13245/j.hust.210102.F006图6b1=0.495 0时系统分岔图10.13245/j.hust.210102.F007图7第三类1-1-2擦边周期运动相图选取初态域Ω=(x,x˙)|-1x1.18,-1x˙-0.2，将初域态划分为1 000×1 000个状态胞，对应的吸引域如图8所示．结合图6和图8可以看出：由于相互转迁方式不可逆，因此在相邻周期运动间会出现由相邻周期运动构成的多态共存区多态共存区．10.13245/j.hust.210102.F008图8b1=0.495 0时定相位面Σn上的吸引域3.2　相邻周期运动间含过渡区的转迁规律分析由于倍周期分岔的出现，在相邻基本周期运动之间转迁时，1-(p+1)-q和1-p-(q+1)周期运动会转迁为2i-2i(p+1)-2iq和2i-2ip-2i(q+1)周期运动；而1-p-q基本周期运动会经擦边分岔直接转迁为2-2p-(2q+1)或2-(2p+1)-2q周期运动，这样在相邻的基本周期运动间会形成具有相似周期运动分布规律的过渡区．在1-p-q周期运动与1-(p+1)-(q+1)周期运动之间进行转迁时，1-p-q与1-(p+1)-(q+1)周期运动不仅会经倍周期分岔转迁为2i-2i(p+1)-2i(q+1)和2i-2ip-2iq(i≥1)周期运动，1-p-q还会经鞍结分岔直接转迁为混沌运动．过渡区内的周期运动分布图如图2(c)和(e)所示，图2(d)为图2(c)的局部细化图．a. 在图2(c)所示的参数区域内，选取b2=1.395 1和b1∈[0.442,0.582]为例，具体分析1-p-q与1-p-(q+1)周期运动之间经过渡区的转迁过程．图9(a)为1-1-3与1-1-4周期运动之间相互转迁时的分岔图，图9(b)为图9(a)的局部细化图．10.13245/j.hust.210102.F009图9系统单参分岔图当b1双向变化时，具体转迁过程如下：    b1↑:1-1-4→PF2-2-8→PF⋯→PF混沌→SN3-3-11→SN混沌→BC4-4-15→SN2-2-7→SN1-1-3;    b1↓:1-1-4←IPF2-2-8←IPF⋯←IPF混沌←SN3-3-11←混沌←GR24-4-15←GR22-2-7←GR21-1-3.结合图9(b)，当b1减小时系统在b1=0.551 2处，1-1-3周期运动发生擦边分岔转迁为2-2-7周期运动，发生第二类擦边分岔的相图(如图10所示)；当b1增大时在b1=0.551 8处，2-2-7周期运动发生鞍结分岔，系统特征值为λ1=1.000 145 92,λ2=0.235 848 95．由于发生擦边分岔和鞍结分岔的分岔点不在同一位置，这样在转迁的过程中就会形成由1-1-3和2-2-7两个稳定周期运动共存的多态共存区．在b1=0.551 5处两稳定周期运动吸引域分布图如图11所示．10.13245/j.hust.210102.F010图10第二类1-1-3擦边周期运动相图10.13245/j.hust.210102.F011图11b1=0.551 5时定相位面Σn上的吸引域b. 在图2(d)所示的参数区域内，选取b1=0.328 2和b2∈(1.415,1.665)为例，分析1-p-q与1-(p+1)-(q+1)周期运动之间经过渡区的转迁过程．图12为周期运动1-0-3与1-1-4相互转迁的分岔图．10.13245/j.hust.210102.F012图12b1=0.328 2时系统单参分岔图b2变化时转迁过程如下：b2↓:1-1-4←IPF⋯←IPF混沌←SN2-1-7←混沌←SN1-0-3;b2↑:1-1-4→PF⋯→PF混沌→2-1-7→SN混沌→BC1-0-3.由于转迁过程不可逆，因此当b2=1.493 5时存在由混沌运动与1-0-3周期运动组成的多态共存区，其吸引域分布如图13所示．10.13245/j.hust.210102.F013图13b1=0.328 2时定相位面Σn上的吸引域4 结论以一类单自由度含不同类型约束的碰撞振动系统为研究对象，通过建立Poincaré映射，对系统的稳定性及分岔进行了研究．在间隙b1和b2协同变化下进行数值仿真，并结合胞映射方法得到了系统周期运动的分布和相邻周期运动间的转迁规律．a. 在间隙b1或b2减小过程中，系统存在三类擦边分岔，基本周期运动1-p-q通过此三类擦边分岔可转迁为不同的周期运动：第一类擦边分岔可实现1-p-q向1-(p+1)-q周期运动的转迁；第二类擦边分岔可实现1-p-q向1-p-(q+1)周期运动的转迁；第三类擦边分岔可实现1-p-q向1-(p+1)-(q+1)周期运动的转迁．当间隙b1或b2增大时，1-(p+1)-q，1-p-(q+1)和1-(p+1)-(q+1)周期运动可分别通过鞍结分岔转迁为1-p-q周期运动．由于发生擦边分岔和鞍结分岔的位置不同，导致转迁过程不可逆，因此系统会存在由相邻周期运动组成的多态共存区．b. 倍周期分岔和边界激变的出现，导致相邻基本周期运动间进行转迁时，会经过由复杂周期运动组成的过渡区．过渡区内的复杂周期运动主要通过以下方式形成：1-p-q周期运动经倍周期分岔转迁为2i-2ip-2iq(i≥1)；1-p-q周期运动经擦边分岔转迁为2-2p-(2q+1)或2-(2p+1)-2q周期运动；1-p-q周期运动经鞍结分岔转迁为混沌运动．系统经历含有周期运动共存的过渡区，导致转迁过程不可逆，过渡区内存在周期运动与混沌运动共存的多态共存区．