作为二支决策的延伸，三支决策的概念在实际决策问题中更具有可应用性．文献[1]对三支决策的理论提出了统一描述．三支决策中三分而治的思想可应用于不同的学科和领域[2-6]．三支概念分析是三支决策理论与形式概念分析相结合产生的一种用于知识发现的理论．文献[7]对三支概念分析提出了一个统一的描述．基于三支决策中三分思想可知，三支概念分析要表达的是共同拥有的特征和共同不拥有的特征，每个三支概念的外延或者内涵是由正域和负域两部分构成．三支概念分析对于数据处理的优越性，使得这一理论得到了越来越多的关注，并且在人工智能、医疗决策、数据挖掘[8-12]等领域中得到了广泛应用．模糊集合论[13]是用来表达模糊性概念的集合，集合的元素是须考察的对象及反映它的模糊概念，建立适当的隶属函数，通过模糊集合的有关运算和变换对模糊对象进行分析．模糊集合论研究的是有关非精确的现象[14-17]，而在实际问题中，存在着许多亦此亦彼的模糊现象．对此，文献[18]提出模糊形式的三支概念分析，将三支概念分析的思想与模糊集合理论相结合，解决了对象与属性之间的模糊关系问题．面对模糊和复杂不确定的信息时，模糊三支概念分析能够充分地表达模糊概念．然而，模糊三支概念分析是在三支概念分析基础上发展的，要保证外延和内涵是共同拥有的或者共同不拥有的，这样在获得概念时需很大的计算量．在实际问题解决中，只须讨论对象(属性)共同拥有的属性(对象)集或者对象(属性)共同不拥有的属性(对象)集，无须反过来验证，这种单向思维与经典半概念[19-21]的思想一致．经典半概念理论在形式概念分析发展中已受到越来越多的关注[22-23]．受模糊三支概念分析的启发，本研究将三支决策、模糊集合论及经典半概念理论相结合，提出一种新的提取信息的方法——面向对象的模糊三支半概念．基于经典半概念中单向讨论对象与属性的关系，模糊三支半概念的提出不仅能够降低求解概念的复杂性，同时也能表示对象集共同拥有和共同不拥有的属性，推动三支决策和形式概念分析的发展．1 预备知识1.1　模糊三支概念定义1[13,18] 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，其中：G为所有对象构成的集合；M为所有属性构成的集合；I~为定义在G×M的模糊集．若(x,a)∈I~，则有0≤μ(x,a)≤1，μ(x,a)称为对象x关于属性a的隶属度．定义2[18] 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景．给定阈值α，X,Y⊆G，A,B⊆M，ϕ(X)和ϕ(A)分别为X和A上的模糊集．μA(x)称为对象x关于模糊集A的隶属度，μX(a)称为属性a关于对象集X的隶属度：ϕ(X)={(xi,μA(xi)),xi∈X};ϕ(A)={(ai,μX(ai)),ai∈A};μA(x)=μa1(x)⋂μa2(x)⋂⋯⋂μan(x);μX(a)=μx1(a)⋂μx2(a)⋂⋯⋂μxn(a)．则定义在X和A上的一对模糊三支算子⋅为X⋅=(X*¯,X*¯•);A⋅=(A*¯,A*¯•)．关于⋅的逆算子⋅为(ϕ(X),ϕ(Y))⋅={a∈M|a∈ϕ(X)*¯,a∈ϕ(Y)*¯•};(ϕ(A),ϕ(B))⋅={x∈G|x∈ϕ(A)*¯,x∈ϕ(B)*¯•},式中：*¯为模糊正算子，X*¯={(a,μ(X,a))|a∈M,∀x∈X,μ(x,a)≥α};A*¯={(x,μ(X,a))|x∈G,∀a∈A,μ(x,a)≥α};ϕ(X)*¯={a|a∈M,∀x∈X,μ(x,a)≥α};ϕ(A)*¯={x|x∈G,∀a∈A,μ(x,a)≥α}.将运算*¯•称为模糊负算子：X*¯•={(a,μ(X,a))|a∈M,∀x∈X,μ(x,a)α};A*¯•={(x,μ(X,a))|x∈G,∀a∈A,μ(x,a)α};ϕ(X)*¯•={a|a∈M,∀x∈X,μ(x,a)α};ϕ(A)*¯•={x|x∈G,∀a∈A,μ(x,a)α}.定义3[18] 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景．给定阈值α，X⊆G，A,B⊆M．若X⋅=(ϕ(A)，ϕ(B))，且(ϕ(A),ϕ(B))⋅=X，则(X，(ϕ(A)，ϕ(B)))称为面向对象的模糊三支概念，简称模糊OE-概念．X为模糊OE-概念的外延；(ϕ(A),ϕ(B))为模糊OE-概念的内涵．引理1[18] 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景．给定阈值α，对象子集X,X1,X2⊆G,对于模糊正算子，则有X1⊆X2⇒X2⋅⊆X1⋅．引理2[18] 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，OEFL(G,M,I~)为在K~=(G,M,I~)下生成的所有模糊OE-概念的集合．对于任意的(X,(ϕ(A)，ϕ(B)))，(Y,(ϕ(C)，ϕ(D)))∈OEFL(G,M,I~)定义二者的偏序关系为(X,(ϕ(A),ϕ(B)))≤(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))⇔X⊆Y⇔(ϕ(C),ϕ(D))⊆(ϕ(A),ϕ(B)),式中：(X,(ϕ(A),ϕ(B)))为(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))的子概念；(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))为(X,(ϕ(A),ϕ(B)))的超概念．若上确界和下确界定义为：(X,(ϕ(A),ϕ(B)))∧(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))=(X⋂Y,((ϕ(A),ϕ(B))⋃(ϕ(C),ϕ(D)))⋅⋅);(X,(ϕ(A),ϕ(B)))∨(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))=((X⋃Y)⋅⋅,(ϕ(A),ϕ(B))⋂(ϕ(C),ϕ(D))),则OEFL(G,M,I~)在偏序关系下是完备格，称为模糊OE-概念格．1.2　经典半概念定义4[19] 给定一个形式背景K=(U,V,R),其中：非空集合U为对象集；非空集合V为属性集；R为U与V之间的一个二元关系．若x∈U,a∈V,则对象x具有属性a当且仅当(x,a)∈R或xRa．在形式背景K=(U,V,R)中，X⊆U,A⊆V,算子定义如下X*={a|a∈V,∀x∈X,(x,a)∈R}．若X*=A，则称(X,A)为∩-半概念．X为∩-半概念(X,A)的外延；A为∩-半概念(X,A)的内涵．2 模糊三支半概念2.1　模糊三支半算子定义5 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，给定阈值α，X⊆G,A⊆M．定义在X上的模糊三支半算子X→=(X*¯,X*¯•)，式中：X*¯={(a,μ(X,a))|a∈M,∀x∈X,μ(x,a)≥α}；X*¯•={(a,μ(X,a))|a∈M,∀x∈X,μ(x,a)α}．结合经典半概念与经典形式概念的相关性可知：半概念中定义的算子与形式概念中的算子是一致的，这恰好验证了每一个经典形式概念都是经典半概念，但反之不成立的结论．本研究定义的模糊三支半算子也是在模糊三支算子定义中考虑一半．2.2　三支半概念定义定义6 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，给定阈值α，X⊆G,A,B⊆M,ϕ(A)为A上的模糊集，若X→=(ϕ(A),ϕ(B)),则称(X,(ϕ(A)，ϕ(B)))为面向对象的模糊三支半概念，简称模糊OE-半概念．对比模糊OE-概念和模糊OE-半概念，可以发现模糊OE-概念一定是模糊OE-半概念，反之则不成立．这也验证了经典形式概念分析与经典半概念之间的规律．运用例子进一步解释模糊OE-半概念，为了对比模糊三支概念与模糊三支半概念，例子中的形式背景数据来源于文献[18]．例1 给定K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，如表1所示．取阈值α=0.6，对象集G={1,2,3}表示3个小球．属性集M={a,b,c}表示小球大的、红色、光滑3个特征．10.13245/j.hust.210211.T001表1模糊形式背景序号abc10.760.820.4320.310.690.3830.270.310.76设X={1,2}⊆G，根据定义5，运用模糊三支半算子，可得X*¯={(b,0.69)},X*¯•={(c,0.38)}，(12,({(b,0.68),(c,0.38)}))为模糊OE-半概念．通过定义6，可求出K~=(G,M,I~)中的全部模糊OE-半概念．由表1得到的模糊OE-半概念的外延和内涵如表2所示．10.13245/j.hust.210211.T002表2面向对象的模糊三支半概念变量内涵外延OE1(M，M)∅OE2({(a，0.76)，(b，0.82)}，{(c，0.43)})1OE3({(b，0.68)}，{(a，0.31)，(c，0.38)})2OE4({(c，0.76)，{(a，0.27)}，(b，0.31)})3OE5({(b，0.69)}，{(c，0.38)}){1，2}OE6(∅，∅){1，3}OE7(∅，{(a，0.27)}){2，3}OE8(∅，∅)G表2中OEn为在模糊背景K~=(G,M,I~)下得到的第n个模糊OE-半概念，其中n=1,2,⋯,8．对比文献[9]中的表3，发现模糊OE-半概念的数量比模糊OE-概念的数量多，原因是所讨论的面向对象的模糊三支半概念是单向思想，仅考虑基于对象集的共有特征和共无特征，不用反过来验证所得属性集是否被对象集所共有，根据所得模糊OE-半概念，可以更快速简便地对小球进行分类．2.3　模糊OE-半概念的性质定义7 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，OEFSL(G,M,I~)为在K~=(G,M,I~)下生成的所有模糊OE-半概念的集合．对于任意的(X,(ϕ(A),ϕ(B)))，(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))∈OEFSL(G，M,I~)，定义二者的偏序关系为(X,(ϕ(A),ϕ(B)))≤(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))⇔X⊆Y,(ϕ(C),ϕ(D))⊆(ϕ(A),ϕ(B)),式中：(X,(ϕ(A),ϕ(B)))为(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))的子概念；(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))为(X,(ϕ(A),ϕ(B)))的超概念．定理１ 设K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，OEFSL(G,M,I~)为在K~=(G,M,I~)下生成的所有模糊OE-半概念的集合．对于任意的(X,(ϕ(A),ϕ(B)))，(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))∈OEFSL(G，M,I~)，上确界和下确界分别为：(X,(ϕ(A),ϕ(B)))∧(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))=(X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•));(X,(ϕ(A),ϕ(B)))∨(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))=(X⋃Y,((X⋃Y)*¯,(X⋃Y)*¯•));OEFSL(G,M,I~)在定义7中给出的偏序关系下是一个完备格，称为模糊OE-半概念格．证明 分两个步骤来证明．a. 证明(X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•))是(X,(ϕ(A),ϕ(B))),(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))的下界．因为(X,(ϕ(A),ϕ(B)))，(Y,(ϕ(C)，ϕ(D)))∈ OEFSL(G,M,I~),X⋂Y⊆X,X⋂Y⊆Y,根据引理1可得(X⋂Y)⋅⊇X⋅,(X⋂Y)⋅⊇Y⋅．由定义7，可得：(X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•))≤(X,(ϕ(A),ϕ(B)));(X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•))≤(Y,(ϕ(C),ϕ(D))),所以(X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•))是下界．b. (X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•))是(X,(ϕ(A)，ϕ(B)))，(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))的最大下界．设任意(Z,(ϕ(M),ϕ(N)))∈OEFSL(G,M,I~),且(Z,(ϕ(M),ϕ(N)))是下界，根据偏序关系可知：Z⊆X,Z⊆Y;(ϕ(M),ϕ(N))⊇(ϕ(A),ϕ(B));(ϕ(M),ϕ(N))⊇(ϕ(C),ϕ(D))．则有：Z⊆X⋂Y;(ϕ(M),ϕ(N))⊇((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•);(Z,(ϕ(M),ϕ(N)))≤(X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•)).综上所述，(X⋂Y,((X⋂Y)*¯,(X⋂Y)*¯•))是下确界．同理，可证明(X⋃Y,((X⋃Y)*¯,(X⋃Y)*¯•))是(X,(ϕ(A),ϕ(B))),(Y,(ϕ(C),ϕ(D)))的上确界．2.4　构造模糊OE-半概念格的算法算法1 模糊OE-半概念格的生成输入 K~=(G,M,I~)，阈值α输出 OEFSL(G,M,I~)步骤1 根据给定的模糊形式背景K~，求出对象集G的幂集ρ(G)．步骤2 对于任意的X∈ρ(G)，根据定义5，求出X→=(X*¯,X*¯.)．步骤3 根据定义6，求出所有的模糊OE-半概(X,(X*¯,X*¯.))．步骤4 根据定理1构建OEFSL(G,M,I~)．定理1说明算法1的正确性，利用例2验证算法1的有效性．例2 给定K~=(G,M,I~)为一个模糊形式背景，见表1．步骤1 对于K~=(G,M,I~),G={1,2,3}，有ρ(G)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},G}．步骤2 由定义5得到全部模糊OE-半概念：(∅*¯,∅*¯.)=(M,M)；({1}*¯,{1}*¯.)=({(a,0.76),(b,0.82)},{(c,0.43)});({2}*¯,{2}*¯.)=({(b,0.69)},{(a,0.31),(c,0.38)});({3}*¯,{3}*¯.)=({(c,0.76)},{(a,0.27),(b,0.31)});({1,2}*¯,{1,2}*¯.)=({(b,0.69)},{(c,0.38)}),({1,3}*¯,{1,3}*¯.)=(∅,∅),({2,3}*¯,{2,3}*¯.)=(∅,{(a,0.27)});(G*¯,G*¯.)=(∅,∅)．步骤3 根据定理1，生成模糊OE-半概念格，如图1所示．10.13245/j.hust.210211.F001图1模糊OE-半概念格算法1描述了构造面向对象的模糊三支半概念格的方法．面向对象的模糊三支半概念将三支决策、经典半概念及模糊集理论结合起来，单向地考虑了内涵的正域和负域，并结合模糊集表示．模糊OE-半概念(12,({(b,0.69)},{(c,0.38)}))所表示的信息是1，2号小球关于属性b的隶属度均大于0.6，说明1，2号小球在很大程度上具有属性b，即1，2号小球均是红色；同时，1，2号小球关于属性c的隶属度均小于0.6，说明1，2号小球在很大程度上具有属性c，即1，2号小球是不光滑的．类似地，可以得到对象集的任意子集之间的对比．对算法1进行复杂度分析．a. 算法1取决于步骤1和步骤2．步骤1求出对象集的幂集，复杂度为O(2G)，步骤2根据定义的算子求出共同拥有和共同不拥有的属性集，时间复杂度为O(|M|)．算法1的复杂度为O(2G+|M|)．文献[6]中的三支概念分析的构建算法，复杂度是O(2G+M)．O(2G+M)=2G2M．由于2M≫|M|，因此O(2G+M)=2G2M≫O(2G+|M|)．b. 例2中|G|=|M|=3，所以算法1的复杂度为O(23+3)=O(11)，三支概念分析的复杂度为O(23+3)=O(26)，O(26)O(23+3)．三支半概念在构建方面比三支概念节省时间．由例2可知：在模糊形式背景下，模糊三支半概念的数量大于模糊三支概念的数量．这是因为考虑共同拥有和共同不拥有的属性集时只进行单向运算，既节省了时间，也将对象集的任一子集进行了分析，对数据信息处理的更全面．面向对象模糊三支半概念在数据处理和知识提取等领域有很大潜力．3 结语在实际数据处理和信息提取中，面对的信息背景并非是经典的0-1背景，也存在只须单向讨论共同拥有和共同不拥有的属性集情况．将三支概念分析、模糊集和经典半概念理论结合，提出面向对象的模糊三支半概念．该概念能够有效处理实际应用中模糊形式背景下的数据，单向考虑更符合实际意义．与模糊三支概念分析相比，面向对象的模糊三支半概念的求解更简单，计算量小．事实上，面向对象的模糊三支半概念在数据挖掘、人工智能等很多领域都具有广泛的应用．面向属性的模糊三支半概念也可以得到相应结论．