随着社会发展对能源的需求以及化石能源的枯竭，利用风能、核能、太阳能等绿色清洁能源已经成为未来发展的主流方向[1]．而斯特林发电机作为一种高效的外燃式热功转换机械，具有广泛的能源适用性，能利用各类能源并将低品位的能源转化为高品位的电能[2]，因此引发了广泛的关注．斯特林发电机按照传动机构可以分为曲柄连杆斯特林发电机和自由活塞斯特林发电机(free piston stirling generator，FPSG)[3]．FPSG取消了复杂的曲轴连杆结构，其结构简单、噪声和振动小、可靠性高、寿命长，此外还拥有热电效率高、自启动等优点，应用前景十分广泛[4]．根据FPSG内两个活塞的布置方式可将其分为α，β和γ型[5]，其中β型相对于其他两种结构更为紧凑，能量密度也更大[6]，是本研究考察的类型．虽然FPSG的结构简单，但因为配气、动力活塞运动相对独立及两活塞均受压力波作用，导致了热、动力学的强耦合[7]，其动力学相对于曲柄连杆斯特林发电机的动力学更为复杂，特别是启动问题．近年来，许多文献利用不同的分析模型和优化方法对FPSG进行建模和设计[8-10]．主要集中在热、动力学模型方面，通过对热、动力学模型的研究达到结构设计或者优化的目的[11-12]．对热力学模型的研究主要集中于提升发电机的输出功率和效率，而动力学模型研究的关注重点为配气活塞和动力活塞的运动情况、系统的运行频率和启动时的震荡情况等[13]．为方便计算，部分文献利用Schmidt等温模型作为热力学模型部分，用于耦合动力学模型[14]．文献[15]中利用了等温模型耦合动力学模型，建立了配气活塞和动力活塞的线性模型．利用该模型获得了关于FPSG动力学的预测．模拟与实验中两个活塞的工作频率和振幅较为相符，误差分别为10%和40%．文献[16]考虑了壳体的振动，提出了一个具有三个自由度的FPSG模型，用于预测稳定运行的热力学条件．此外，基于循环稳定运行准则，获得了FPSG主要参数的数学表达式．文献[17]基于等温模型对β型FPSG进行了线性动力学分析，对振动系统进行建模，通过对线性特征值根轨迹的绘制对FPSG进行设计．此外开发了基于线性模型和非线性模型确定FPSG动态性能的方法．上述文献利用状态空间法对FPSG系统进行分析，着重研究了配气、动力活塞的振动情况以及FPSG的设计参数是否满足启动条件，但并未进行启动温度的研究．一台设计合理的FPSG应当具有良好的自启动特性[18]，而启动温度是其重要参数，决定了能够利用热源的品味．启动温度与许多参数有关，例如充气压力、活塞板弹簧刚度、振动系统动质量、阻尼系数、外负载等．基于上述背景建立了包含热力学和动力学的自由活塞斯特林发电机模型，并对其进行线性化处理．首先使用根轨迹技术，根据系统不稳定性的判定方法预测FPSG的启动温度；接着分析配气活塞板簧刚度和外负载对启动温度的影响；最后搭建实验测试系统实验验证模型的可靠性．1 动力学模型的建立图1为β型FPSG的示意图，其中图1(a)为FPSG的结构示意图，图1(b)为配气活塞和动力活塞的受力示意图．β型FPSG的动力、配气活塞同轴布置于同一气缸中，将工作腔划分为膨胀腔和压缩腔．在两个活塞的运动时气体工质通过加热器、回热器和冷却器在两个腔体之间周期性振荡．10.13245/j.hust.210313.F001图1β型自由活塞斯特林发电机示意图(a) 结构示意图 (b) 受力示意图1—膨胀腔；2—加热器；3—回热器；4—冷却器；5—压缩腔；6—直线电机；7—缓冲腔．若不考虑壳体的振动对发电机运行的影响，动力活塞和配气活塞的运动均受到气体、弹簧和阻尼产生的力，其受力平衡方程分别为mpx¨p=-(Ap-Ar)(p-p0)-kpxp-Cpx˙p；(1)mdx¨d=-Ar(p-p0)-kdxd-Cdx˙d，(2)式中：mp和md分别为动力活塞和配气活塞质量；Cp和Cd分别为动力活塞和配气活塞阻尼；xp和xd分别为动力活塞和配气活塞位移；ẋp和ẋd分别为动力活塞和配气活塞速度；ẍp和ẍd分别为动力活塞和配气活塞加速度；kp和kd分别为动力活塞和配气活塞板簧刚度；Ap，Ad和Ar分别为动力活塞、配气活塞与配气活塞杆的截面面积；p0为充气压力；p为运行压力．式(1)中的动力活塞阻尼Cp包括动力活塞运动产生的机械阻尼与因安培力产生的电磁阻尼Cf，电磁阻尼计算公式为Cf=B2l2/(Qout+r)，式中：B为气隙磁场强度；l为切割磁感线长度；Qout为外负载；r为线圈内阻．假设工质为理想气体，热力学部分采用等温模型，求得发电机工作腔体压力为p=MRVhTh+VETE+VrTr+VCTC+VkTk-1，式中：M为气体质量；R为理想气体常数；Vh，VE，Vr，VC，Vk分别为加热器、膨胀腔、回热器、压缩腔和冷却器的体积；Th，TE，Tr，TC，Tk分别为上述部件的温度．膨胀腔体积VE和压缩腔体积VC变化与配气活塞和动力活塞的运动相关，Veo与Vco分别为配气活塞和动力活塞处于平衡位置时的膨胀腔和压缩腔平衡体积，即：VE=Veo-Adxd；VC=Vco+(Ad-Ar)xd-(Ap-Ar)xp．线性化处理压力表达式，有：C1=∂p∂VE=-MR1TEVhTh+VeoTE+VrTr+VcoTC+VkTk-2；C2=∂p∂VC=-MR1TCVhTh+VeoTE+VrTr+VcoTC+VkTk-2；p-p0=[C2(Ad-Ar)-C1Ad]xd-C2(Ap-Ar)xp．为方便计算，将式(1)和(2)转化为x¨p=Sppxp+Spdxp+Dppx˙p+Dpdx˙p；x¨d=Sdpxp+Sddxp+Ddpx˙p+Dddx˙p，式中：Sdp=(Ar/md)C2(Ap-Ar)；Dpd=0；Sdd= -kd/md-(Ar/md)[C2(Ad-Ar)-C1Ad]；Ddp=0；Spp=-kp/md+[(Ap-Ar)/md]C2(Ap-Ar)；Ddd=-Cd/md；Spd=[(Ap-Ar)/mp](C2(Ad-Ar)-C1Ad) ，C1和C2分别为相对于膨胀腔体积和压缩腔体积变化的线性压力变化系数；Dpp=-Cd/mp．将上述动力学方程转换为状态空间的形式为x˙s=Asxs，模型状态向量xs=[x˙p,x˙d,xp,xd]T．最终获得了特征矩阵的形式为As=DppDpdSppSpdDdpDddSdpSdd10000100，通过分析As矩阵的特征值可以获得特征根．若该矩阵拥有两个或两个以上实部为正值的共轭根，则配气、动力活塞满足起振条件，即发电机能够启动．FPSG的启动往往需要热端与冷端达到一定的温差，基于上述方法可以绘制出热端温度变化的根轨迹图，进而研究不同参数变化对发电机启动温度的影响．在发电机有启动能力的前提下，升高热端温度会使该矩阵特征根的实部从负值逐渐变为正值．而当温度升高至某数值会使得根的实部为零，则该温度为临界温度，将其定义为启动温度(T)，即热端温度大于或等于该温度时，发电机进入不稳定状态，发电机开始运行．2 FPSG启动温度模拟研究这里采用中国科学院理化技术研究所研发的实验样机，其设计充气压力为4.2 MPa，热/冷端温度为分别为800和283 K．配气活塞与动力活塞的截面面积均为706.9 mm2，配气活塞杆的截面面积为38.5 mm2．动力活塞的质量为0.48 kg，配气活塞和动力活塞的机械阻尼均为10 N•s/m，配气活塞的板簧刚度为21.6 N/mm．将热端温度Th作为变量，利用根轨迹技术绘制出热端温度变化的根轨迹，同时考虑不同参数(外负载Qout和配气活塞板簧刚度kd)下，热端温度变化的根轨迹图．该矩阵有4个根，左侧两个根为非主导极点，具有较大的负实部，导致瞬态响应迅速消失，对系统的影响很弱，故FPSG的行为主要由右侧的根即主导极点决定[18]．后面提到的根均指主导极点，若主导极点的实部为正值，即主导极点位于s平面的右侧，说明该系统处于不稳定状态，发电机能够启动．主导极点的虚部为运行频率．热端温度在FPSG启动中起到非常重要的作用，图2绘制了实验样机在外负载为100 Ω的条件下，热端温度从300 K升高至800 K矩阵的根轨迹图．由图2可知：当热端温度从300 K升至800 K时，特征根从左半平面进入右半平面．而当温度为516 K时，根位于临界线x=0上，即处于临界状态．说明随着热端温度的升高发电机系统变得更加不稳定，当温度升高至516 K时发电机启动．10.13245/j.hust.210313.F002图2热端温度为300~800 K的根轨迹图3绘制了配气活塞板弹簧刚度分别为14.5，21.6和28.0 N/mm三种情况时发电机热端温度从300 K升高至800 K的根轨迹，此时FPSG的充气压力为4.0 MPa，外负载为100 Ω．当热端温度从300 K升至800 K时，三种配气活塞板簧刚度下的特征根均跨越了临界线，从左半平面进入右半平面．模拟计算出三种情况下当热端温度分别为510，516和542 K时，特征根实部为零，即发电机处于临界启动状态．可见启动温度与配气活塞板簧刚度呈现正相关的关系．此外配气活塞板簧刚度的增加使得特征根的虚部增加，则FPSG启动时的运行频率增加，由68.65 Hz提高至77.50 Hz．10.13245/j.hust.210313.F003图3不同配气活塞板簧刚度下热端温度为300~800 K的根轨迹图4绘制了外负载分别为90，100，110和120 Ω时，FPSG的热端温度从300 K升高至800 K的根轨迹，此时发电机的充气压力为3.5 MPa，配气活塞板弹簧刚度为21.6 N/mm．由图4可知：外负载越大，相同的热端温度下根的实部越大，则启动温度越低．模拟计算获得上述负载条件下FPSG的启动温度分别为595，577，563和551 K，说明了FPSG的启动温度与负载呈现负相关的关系．此外，负载的增加小幅减小了根的虚部，则FPSG启动时的运行频率小幅下降，频率分别为73.20，72.92，72.73和72.58 Hz．10.13245/j.hust.210313.F004图4不同外负载下热端温度为300~800 K的根轨迹3 FPSG启动温度实验研究为验证上述模型的可靠性，搭建实验测试系统，详情见文献[4]．在外负载为100 Ω情况下对实验样机进行测试．图5为发电机在恒定加热功率下热端温度(Th)与输出功率(Pout)随时间即采样次数(n)的变化关系(实验系统每5 s采样一次)．10.13245/j.hust.210313.F005图5实验中实验样机的热端温度和输出功率的变化由图5可知：实验中实验样机持续吸收外部加热的热量，热端温度快速上升，当温度升至543 K左右时，发电机启动．启动后样机进行热电转换，热端温度上升速率明显减缓．当样机稳定运行，热端温度基本保持不变，此时系统达到了热平衡．实验测试的启动温度为543 K高于模拟的516 K，这是因为模型忽略了发电机穿梭热损失、轴向导热损失等内部的热损失及外部的辐射热损失，导致计算的温度值偏低．FPSG稳定运行时输出功率存在小幅波动，这是水冷机组间接性启动的工作特性导致冷端温度小幅波动造成的．图6为在14.5，21.6和28.0 N/mm三种配气活塞板簧刚度下，模拟和实验的启动温度(T)和运行频率(f)对比图．从图6可知：当配气活塞板簧刚度从14.5 N/mm增加至28.0 N/mm时，实验测试的实验样机的启动温度也由520 K升高至599 K，运行频率从66.05 Hz升高至73.15 Hz，该变化规律与模拟结果完全一致．但是随着配气活塞板簧刚度的增加，二者启动温度的误差由10 K增加到了57 K，频率的误差从3.9%增大至5.9%．因为模型为理想模型，忽略了多种热损失，例如热端头与环境的辐射热损失.而随着配气活塞板簧刚度的增加，实验测试中样机的启动温度上升，热端头的温度上升，使得热端头与环境的热交换损失一定幅度增加，但模拟中并未考虑该损失部分，导致了模拟和实验结果误差增大．并且实验样机是人工装配，也会引入一定的实验误差．10.13245/j.hust.210313.F006图6不同配气活塞板簧刚度下模拟和实验的启动温度、频率对比图7为在90，100，110和120 Ω四种外负载(Qout)下模拟和实验的启动温度(T)以及频率(f)对比图．从图7可知：当外负载从90 Ω增加至120 Ω，实验测试的样机的启动温度从700 K降低至609 K，发电机的运行频率从70.45 Hz降低至70.01 Hz，与模拟结果的变化规律一致．但可以明显发现：随着外负载的增加，其模拟和实验的启动温度误差从90 Ω的105 K减小至120 Ω的58 K，而频率误差从90 Ω的3.9%降低至120 Ω的3.67%．这是因为实验中随着外负载的减小，发电机的启动温度上升，导致热端头温度上升，热端头与环境的热损失进一步加剧，因此实验中须达到更高的温度才能启动发电机．但是模拟中没有考虑热端头与环境的换热，导致误差增加．同时该预测温度模型较为理想化，忽略了发电机的内部损失，导致实验与模拟结果存在一定的误差．此外，根据FPSG的配气活塞杆穿过动力活塞的孔的结构可知发电机对两个活塞的同轴度要求很高．这对加工工艺和装配技术无疑是很大的挑战．而每次装配无法保障机械阻尼与模拟设置值一致，故导致存在一定的误差．10.13245/j.hust.210313.F007图7不同外负载下模拟和实验的启动温度与运行频率对比4 结论为确定FPSG的启动温度，建立了一个包含热力学和动力学的FPSG模型，对其进行线性化处理．利用根轨迹技术并依据系统不稳定性预测发电机的启动温度．运用模型分析了实验样机的启动温度以及配气活塞板簧刚度和外负载对启动温度的影响．搭建了实验测试系统进行测试，并将模拟结果和实验结果进行对比分析．实验结果表明：发电机的启动温度和运行频率均随配气活塞板簧刚度的增加而升高，随外负载的增大而降低，规律与模拟结果一致．但由于模型忽略了热端损失，模拟和实验存在误差．并且随着热端温度的升高，热端损失增加，误差随之增大．模型预测的频率误差不超过5.9%．该模型能够对未来FPSG的启动温度的研究提供指导．