涡旋压缩机是先进容积式压缩机，因其具有微振低噪、高效节能等特点[1]，目前被广泛应用于各类气体压缩、空调及制冷等领域[2]．涡旋盘是涡旋压缩机的核心零部件，是影响压缩机性能的关键因素，对性能优异的变截面涡旋盘进行优化设计以提高压缩机性能，一直是研究的重点[3]．LIU等[4]基于协同优化方法成功提高了涡旋盘的能效比；陈进等[5]利用共享小生境技术的非劣优选遗传算法对涡旋盘型线进行了优化，提高了压缩机的行程容积比；王立存等[6]基于多学科优化设计提高了压缩机的压缩比；刘涛等[7]利用Matlab遗传算法工具箱对变截面组合型线的连接点进行了优化，提高了压缩机的行程容积．由上述文献可知：目前变截面涡旋盘的优化设计是以几何性能为优化目标的单目标优化设计．然而，仅以几何性能最优为目标设计的变截面涡旋盘虽然提高了压缩机的容积效率，但其上承受了较大的气体力，降低了压缩机工作时的稳定性，过大的轴向力还会导致涡旋盘的径向泄漏量增加，降低了力学性能[8]．为使变截面涡旋盘兼具较好的几何性能和力学性能，以力学性能指标轴向力和几何性能指标内容积比作为变截面涡旋盘的优化设计综合目标，构建自适应第二代非支配排序遗传算法(second-generation non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA-Ⅱ)，快速准确寻求由基圆渐开线和高次曲线组成的变截面涡旋盘多目标优化的Pareto最优解集，将优化结果与传统变截面涡旋盘进行比较分析，验证该设计与优化方法的可行性及优越性．1 优化模型1.1　涡旋盘型线的表达在笛卡尔坐标系中，先根据微分几何理论用曲率中心(xc,yc)、曲率半径ρ和切向角φ表示连续光滑的涡旋线，再利用法向等距线法[9]生成由基圆渐开线和高次曲线组成的的各段基线方程如下所示．φ∈[0,φ1)时，圆渐开线基线方程为：x1=xc1(φ)-ρ1(φ)sin φ;y1=yc1(φ)-ρ1(φ)cos φ.φ∈[φ1,φ2)时，高次曲线基线方程为：x2=xc2(φ)-ρ2(φ)sin φ;y2=yc2(φ)-ρ2(φ)cos φ.φ∈[φ3,φ3+π)时，补充段圆渐开线基线方程为：x3=xc3(φ)-ρ3(φ)sin φ;y3=yc3(φ)-ρ3(φ)cos φ.对应段基线的曲率中心(xci,yci) (i=1,2,3)为：xci(φ)=-ρi'(φ)cos φ;yci(φ)=ρi'(φ)sin φ.根据共轭曲线啮合原理，将曲率半径ρ表示为ρ1(φ)=aφ;ρ2(φ)=b0+b1φ+b2φ2+b3φ3;ρ3(φ)=cφ,式中：a为基圆半径；b0，b1，b2，b3为高次曲线控制参数；c为最大展弦控制参数．为了满足基线的连续性和光滑性条件，曲率半径还存在以下约束ρ1(φ1)=ρ2(φ1);ρ1'(φ1)=ρ2'(φ1);ρ2(φ2)=ρ3(φ3);ρ2'(φ2)=ρ3'(φ3),式中：φ1为圆渐开线最大展角(又称连接点)；φ2为型线的最大展角；φ3为补充段最大展角．图1为在齿头部分采用了双圆弧修正．图中：α为渐开线发生角；ϕ为双圆弧修正展角；λ为修正圆弧中心角；R为修正大圆弧半径；r为修正小圆弧半径；γ为修正角．10.13245/j.hust.210312.F001图1双圆弧修正几何关系1.2　目标函数1.2.1　轴向气体力的计算轴向气体力过大，动静涡旋盘会发生脱离，从而使径向泄漏量增加，因此轴向气体力越小，越有利于提高涡旋压缩机的力学性能．轴向气体力为Fa(θ)=∑i=13piAi+ps[A4(0)-A4]   (θ∈(0,θ*));p3A3+p1A2+ps[A4(0)-A4]   (θ∈[θ*,2π]),式中p3，p2和p1分别为对应工作腔的压力，具体为pi(θ)=ps(A4(0)/Ai(θ))κ    (i=2,3),ps(A4(0)/A2(θ*))κ    (i=1),其中：θ为曲轴转角；θ*为开始排气角；ps为吸气压力；κ为气体的等熵指数；Ai为对应工作腔的横截面积，如图2所示，由内到外依次称为第一工作腔、第二工作腔、第三工作腔和吸气腔．10.13245/j.hust.210312.F002图2变截面涡旋盘工作腔1—第一工作腔；2—第二工作腔；3—第三工作腔；4—吸气腔．根据法向等距线及母线理论计算工作腔横截面积，计算过程如下：a. 完全由高次曲线组成的吸气腔的横截面积为A4(θ)=2Ror[Lh+ρ2'(φ2-2π-θ)-ρ2'(φ2-θ)]，(1)式中：Ror为回转半径；Lh=∫φ2-2πφ2-θ(x2')2+(y2')2dφ．b. 由高次曲线和圆渐开线线组成的第三工作腔的横截面积为A3(θ)=2Ror[Lh+Lc+ρ2'(φ2-2π-θ)-ρ2'(φ2-θ)], (2)式中Lc=∫φ1-θφ1(x1')2+(y1')2dφ．c. 由圆渐开线和修正圆弧组成的第二工作腔的横截面积为A2(θ)=(a2/3)[(3π-θ-α)3-(2π-θ+α)3+(ϕ+π+α)3-(ϕ+π-α)3]-a2(π-4α)-2Am,式中Am=(a2/6)[(ϕ+π+α)3-(ϕ+α)3]+(1/2)a2π -λ(R2-r2)/2．d. 完全由修正圆弧组成第一工作腔的横截面积为A1(θ)=(R2-r2)(θ'-sinθ')，(3)式中θ'=(5/2)π-γ-λ．1.2.2　内容积比的计算内容积比是衡量大排量涡旋盘性能的重要指标之一，内容积比越大，则证明涡旋盘的容积效率越高．这里内容积比为ε=(A4(0)/A2(θ*))κ．(4)1.2.3　目标函数的确定采用最小值优化方法，将θ=θ*时的涡旋盘所受最大轴向气体力最小和内容积比倒数最小作为目标函数，即min F(x)=[f1(x),f2(x)]，其中：f1(x)=Fa(θ*)；f2(x)=1/ε．1.3　设计变量和约束函数通过对上述型线及目标函数的解析构成形式进行分析，确定了相互独立且能完全反映其他设计参数的设计变量：最大展弦控制参数c、连接点φ1和修正圆弧中心角λ，即X=[x1,x2,x3]T=[c,φ1,λ]T．考虑到涡旋压缩机通常应用在家用空调和汽车空调等空间有限的地方，因此将动静涡旋盘的最大啮合直径D的范围限定为100  mm≤D≤200 mm．考虑到涡旋盘几何形状对工作腔组成的影响，结合式(1)和(2)将连接点φ1的范围限定为2.0π≤φ1≤2.5π．考虑到齿头型线修正仅针对基圆渐开线，结合式(3)和图1几何关系将修正角γ的范围限定为0γπ/2．2 优化算法2.1　传统的NSGA-ⅡNSGA-Ⅱ是第二代非支配排序遗传算法，它不须要确定各子目标之间的权重，排除了人为因素干扰，同时它是基于Pareto最优理论，采用了精英保留策略对非支配排序产生的个体f1进行保存，并引入拥挤度比较算子作为排序后的同层次中f2的胜出标准，较其他优化算法能够更加快速准确地寻求Pareto最优解[10]．NSGA-Ⅱ流程如下．步骤1 初始化参数并随机生成初始种群．步骤2 对父代种群进行交叉、变异和越界处理生成子代总群，并将父代和子代种群合并生成新种群．步骤3 对新种群进行非支配排序并计算聚集距离．从排序后的种群挑选出非支配个体，根据聚集距离确定构成当代最优种群．步骤4 终止条件判定，若达到最大遗传代数则将结果输出为Pareto最优解，反之则返回步骤2．NSGA-Ⅱ采用了固定的交叉率和变异率，当样本数量(即种群规模和遗传代数)较少时容易使所求得的最优解分布不均匀，样本数量过多时则会降低算法的效率[11]．对此，引入了可以根据种群的进化状态来进行自我调节的交叉算子和变异算子，以提高算法的效率和最优解的分布均匀度．2.2　自适应NSGA-Ⅱ在种群进化的过程中，若采用较小的交叉率和变异率则种群很难产生优秀新个体；若采用较大的交叉率和变异率，容易破坏优秀个体使算法陷入局部收敛．鉴于此，适当降低了优势个体的交叉率和变异率以确保优势个体基因遗传下一代；增大了劣势个体的交叉率和变异率改善劣势基因，丰富优良解的多样性．构建的自适应交叉的表现形式为Pc=Pc1-(Pc1-Pc2)(fave-fc)fave-fmin    (fc≤fave);Pc1    (fcfave),式中：Pc为交叉算子，Pc1=0.9，Pc2=0.6；fmin为当代种群中f1最小值；fave为当代种群中f1平均值；fc为当前要交叉的两个个体间较大f1值．构建的变异算子的表现形式为Pm=Pm1-(Pm1-Pm2)(fave-fm)fave-fmin    (fm≤fave);Pm1    (fmfave),式中：Pm为变异算子，Pm1=0.001，Pm2=0.01；fm为当前要变异个体的f1值．图3为利用经典测试函数DTLZ1[12]对传统的NSGA-Ⅱ(其中Pc=0.7，Pm=0.005)与构建的自适应NSGA-Ⅱ进行测试比较，测试样本数相同即种群规模均为20，遗传代数均为200．从图3可以看出：构建的自适应NSGA-Ⅱ的收敛效率更高且结果分布更加均匀．10.13245/j.hust.210312.F003图3算法测试比较3 实例分析传统型变截面涡旋盘部分基本参数为：基圆半径a=3 mm；回转半径Ror=3.6 mm；齿高h=40 mm；连接点φ1=2π；型线最大展角φ2=4.5π；补充段最大展角φ3=6.5π；修正角λ=0.3π；工作温度t=35 ℃；吸气压力ps=0.101 3   MPa；气体等熵指数κ=1.19．采用Matlab软件编制程序，进行优化设计参数求解．规定种群规模为60，每个染色体的长度为32位(二进制)，终止遗传代数为200．图4为利用自适应NSGA-Ⅱ算法对由基圆渐开线和高次曲线组成的变截面涡旋盘进行优化求解得到的Pareto最优前沿可视图．从Pareto最优解集中选取了3个最优解涡旋盘，分别为优化型A、优化型B和优化型C．10.13245/j.hust.210312.F004图4涡旋盘Pareto最优前沿可视图为定量描述在压缩过程中轴向气体力随主轴转角的变化情况，利用Matlab软件对上述3种涡旋盘进行轴向气体力动态模拟并对压缩阶段进行线性拟合分析轴向气体力的变化率，三种优化型涡旋盘的力学性能如表1所示．从表1数据可以得到：在极差方面，C型涡旋盘的比A型和B型分别增加了36.36%和22.06%；在轴向力变化率方面，C型涡旋盘的比A型和B型分别增加了42.14%和29.21%．综上可以得到：轴向气体力越大则其极差和变化幅度也越大，涡旋盘上的载荷波动就越大．10.13245/j.hust.210312.T001表1涡旋盘力学性能类型开始排气角/radFa/N轴向力变化率/(N•rad-1)最小最大极差A优化型1.511408.395495.71087.31547.140传统型1.020419.502512.07392.57151.777B优化型1.508485.178592.110106.93257.669传统型1.020492.447598.580106.13362.775C优化型1.396639.994777.199137.20581.469传统型1.020655.147792.244137.09787.113将上述三种优化型涡旋盘和文献[13]中传统型变截面涡旋盘在相同基圆半径、回转半径、齿高、工作温度和最大展角下的力学性能进行比较，如表1和图5所示．图中三种优化型涡旋盘由于排气角的后移，在排气过程中气体力会在一段时间内略微大于传统型涡旋盘，但在危险截面(即齿头处)的最大轴向气体力均小于对应的传统型涡旋盘．对比表1中数据可以得到：优化型A的最大轴向气体力和气体力变化率分别比传统型A减少了3.20%和8.96%；优化型B的最大轴向气体力和气体力变化率分别比传统型B减少了1.08%和8.13%；优化型C的最大轴向气体力和气体力变化率分别比传统型C减少了1.90%和6.48%．涡旋盘倾覆力矩受轴向与切向气体力合力及齿高影响，其中切向力的大小正相关于压强和齿高，由于齿高为常量且优化型涡旋盘的涡旋腔内压强减小，气体合力减小，因此倾覆力矩是减小的．可见优化后的涡旋盘的工作稳定性和力学性能较传统型涡旋盘均有所提高．10.13245/j.hust.210312.F005图5优化型和传统型涡旋盘轴向力对比表2为优化型和传统型涡旋盘的几何性能比较，表中C为行程容积．由表2可得：优化型A的内容积比比传统型A提高了5.37%，行程容积减少了7.74%；优化型B的内容积比比传统型B提高了6.64%，行程容积减少了5.88%；优化型C的内容积比比传统型C提高了3.35%，行程容积减少了5.75%．内容积比增大而行程容积减小，根据式(4)和铣削的减材制造特点可以得到：优化型涡旋盘能够充分地利用加工材料，提高了材料的利用率．综上可得：优化后的涡旋盘的几何性较传统型涡旋盘有所提高．10.13245/j.hust.210312.T002表2涡旋盘几何性能类型c/mmD/mmφ1/radλ/radεC/mm3A优化型2.521106.5997.1372.3565.81074.039传统型—106.5996.2802.5105.51480.250B优化型3.067128.8586.9132.3587.00086.642传统型—128.8586.2802.5106.56492.051C优化型4.264177.7456.8652.4019.109111.144传统型—177.7456.2802.5108.814117.924图6为优化型变截面涡旋盘与传统变截面涡旋盘的齿头型线比较．优化型涡旋盘与未修正涡旋盘相比，优化型涡旋盘齿头部分厚度变大，结合表2中数据可以发现：齿头越厚则修正中心角越大，能够承受的气体力也越大；优化型与传统型涡旋盘相比，压缩气体需要更大的主轴转角到达排气口以得到更高的内容积比，这与前述结论一致．10.13245/j.hust.210312.F006图6齿头型线比较综合所有分析可得：新变截面涡旋盘在保证较高容积效率的同时降低了倾覆力矩；在材料和工作温度相同的情况下，较低的气体压力和较厚的齿头则提高了涡旋盘的抗载荷冲击能力．因此利用本文方法可以得到几何性能和力学性能均较优越的新变截面涡旋盘．4 结论提出了自适应NSGA-Ⅱ、综合考虑力学性能和几何性能的变截面涡旋盘多目标优化设计方法．构建了自适应交叉算子和变异算子，不仅提高了NSGA-Ⅱ的效率和最优解的分布均匀度，而且准确高效地求解出了变截面涡旋盘多目标优化问题的Pareto最优解集．从定量的角度将Pareto最优解集中的涡旋盘和传统涡旋盘的性能指标在相同基本参数条件下进行对比和分析，结果显示：优化型涡旋盘较传统型涡旋盘内容积比最高提升了6.64%，轴向力及其随主轴转角的变化率最大减小了3.2%和8.96%，表明提出的优化方法可以得到力学性能和几何性能均比传统变截面涡旋盘优越的新变截面涡旋盘．工程设计人员可以依据使用要求和工况条件，从Pareto最优解集中选择相应的优化型涡旋盘，该方法具有一定的工程应用价值．