变压器用于电能传输、电压/电流变换及阻抗变换，是最基础的一种电气设备，也是电路与电机学课程的重要讨论对象．电路理论使用互感耦合电路来描述变压器，通过一次侧和二次侧电压、电流的关系，得到其传输特性[1-2]．电机学则通常基于磁路原理，使用主磁通、漏磁通等概念，利用磁动势平衡关系和电压平衡关系建立数学模型[3-5]．这两种方法都以端口特性为关注要点，不太涉及变压器的电磁场本质．从事变压器和电机设计的研究人员虽然经常须进行电磁场的计算[6-8]，但主要关心局部的场特性及相关工程问题，很少从场的角度去关注变压器的整体理论模型．上述两种模型都可以得到变压器电磁功率和能量的传递结果，画出功率传输路线图，但均未涉及能量的传输机制．一些经典的电机学教科书都指出：变压器中从一次侧到二次侧的能量传输是依靠主磁通实现的，漏磁通不传输能量．本研究讨论如何从电磁场的角度看待这个问题．在电磁场理论中，按照普遍接受的观点，电磁能量的传输是依照坡印亭定理所描述的，通过空间电场、磁场相互作用实现，坡印亭矢量S=E×H表示单位时间内穿过空间某截面单位面积的能量，其中E和H分别为电场强度和磁场强度．按照这一理论，电路中的能量传输不是通过导线内部，而是通过导线周围的空间，以电磁场相互作用的方式实现[9]．尽管能量无论是通过导线内部传输还是通过导线周围的空间传输，不会影响按下开关点亮灯泡，但是基于共同物理基础的模型有更大的泛化能力，能够帮助研究者在面临更加复杂的问题时做出正确的解释、预测和选择．例如能量空间传输的理论可以解释微波炉对食物的加热，而导线传输理论就完全无能为力．对变压器电磁场本质进行深入讨论，有助于认识和理解变压器与电机领域出现的一些不同于传统形式的全新磁路结构，包括近年来蓬勃发展的无线能量传输技术的原理和现象[10-12]，以及含法拉第屏蔽的射频等离子体源中的电磁能量传输特性[13]．本研究基于电磁场理论讨论变压器中的能量传输机制．借助一个简化的变压器模型，以场路结合并对照的方式，通过理论分析和数值验证，讨论变压器中磁场与感应电场分布、能量分布的特点，揭示变压器能量传输的机制，并讨论有功功率和无功功率的传输，给出坡印亭矢量的空间分布图像，以期建立一个直观的认识．1 基本模型图1为一个简化的铁心变压器示意图，图中：N1和N2分别为一次侧与二次侧绕组的匝数；RL为二次侧负载，铁心相对磁导率为μr．设：变压器在垂直于纸面方向无限长；空间的磁场和电场在z方向是均匀的；材料都是线性的，只讨论正弦稳态电路；采用相量形式，一次侧与二次侧的电流、电压相量分别为I˙1，I˙2，U˙1，U˙2；Φ˙0为铁心中主磁通相量．采用上述模型主要是为了便于讨论，且不影响结论的正确性．为了对理论分析进行验证并绘制场图，计算时各几何参数取值为：磁路平均长度a=300 mm；高度b=200 mm；宽度为t=25.33 mm．因为z方向只须考虑单位长度，所以取磁路深度l=1 m．线圈宽度c=20 mm，高度h=120 mm，线圈与铁心间距d=10 mm．数值计算时取μr=1×104，理论分析时将其设为无限大．取绕组匝数N1=N2=N=100；一次侧与二次侧的损耗电阻R1=R2=0.1 Ω．取工作频率为f=50 Hz，角频率ω=2πf=314 rad/s．为观察磁场分布情况，在铁心中取路径p1-p2-p3-p4-p1；在空气中取路径p5-p6．m1和m2分别为铁心中一次侧绕组p1-p2、二次侧绕组p3-p4的中点；m3为空气路径p5-p6的中点，如图1(b)所示．10.13245/j.hust.210401.F001图1简化的铁心变压器模型利用有限元软件计算得到绕组自感L1=L2=L=3.341 6 H，互感M=3.325 7 H，感抗X0=ωL=1 049.8 Ω，耦合系数k=0.995 25，漏抗Xσ=(1-k)X0=4.986 6 Ω．负载RL被设为纯阻性，计算时分别取100 kΩ，100 Ω和0.01 Ω．3个阻值分别代表变压器的三种工作状态：100 kΩ远大于绕组感抗X0，用于模拟二次侧开路；100 Ω为适中负载，远小于X0，同时远大于漏抗Xσ，用于模拟变压器的正常工作条件，该条件下变压器可近似视为理想变压器；0.01 Ω远小于漏抗Xσ，用于模拟二次侧短路[14]．设一次侧电压U˙1=100 V(有效值相量)，利用等效互感耦合电路得到不同负载下端口的电压、电流值[14](见表1)．10.13245/j.hust.210401.T001表1变压器端口电压、电流相量RL/ΩU˙2/VI˙1/AI˙2/A1×10599.520-0.000 j0.001-0.095 j0.001-0.000 j1×10298.350-9.774 j0.979-0.192 j0.984-0.098 j1×10-20.002-0.100 j0.210-10.030 j0.210-9.981 j2 变压器的磁场分布采用有限元方法计算不同负载阻抗下变压器的磁场．图2给出了两条路径上的磁通密度B的分布，图中s为路径上离开起点的距离．四个角点p1，p2，p3和p4的磁场比较异常，是因为拐角处磁通向内侧集中的缘故，不必关注，只看曲线其他部分即可．表2给出了m1，m2和m3的磁场数值，表中H为磁场强度．10.13245/j.hust.210401.F002图2典型负载阻抗下铁心、空气路径上磁通密度分布10.13245/j.hust.210401.T002表2几个关键点的磁场值RL/Ωm1m2m3B/mTH/(A•m-1)B/mTH/(A•m-1)B/mTH/(A•m-1)1×105176.814.07175.813.990.0538.91×102178.014.17175.013.920.15119.21×10-2195.115.5316.01.2710.318 206.0结果显示空气路径上的磁密(漏磁通)与二次侧负载密切相关．随着典型负载阻抗RL减小，漏磁逐渐变得显著(见表2中m3的磁场数值)．当二次侧短路(RL=0.01 Ω)时，漏磁磁密甚至可以超过二次侧铁心中的磁密．可见变压器“漏磁通可以忽略不计”的确切含义是：当变压器工作于正常负载范围时，漏磁通与主磁通相比可以忽略不计，而不是指它的绝对值很小可以忽略不计．超出了正常工作范围，漏磁通甚至相对值也可能不是很小．图3给出了不同RL下H的分布．当二次侧接近开路(RL=100 kΩ)时，空气中的H最小，但也要比铁心中的H大很多，如图3(a)所示．随着负载阻抗的减小和二次侧电流的增大，空气中的H急剧增大，如图3(b)所示．当二次侧短路时，空气中H变得非常之大，比正常工作时高出若干个数量级，如图3(c)所示．10.13245/j.hust.210401.F003图3典型负载阻抗下铁心、空气路径磁场强度分布3 变压器中的储能电路中的理想变压器元件既不储能，也不耗能，但实际的变压器既消耗能量也储存一定的能量．变压器储能以磁场能量为主，故本文计算中忽略电场能量．从电路的角度，变压器中储存的能量(一个周期内的平均值)可以表示为W=[I12L1+I22L2-2Re(I˙1I˙2*)M]/2，(1)式中：I1和I2为电流相量的有效值；Re(·)为对复数取实部；(·)*为复数共轭．固定一次侧电压U˙1=100 V，由式(1)得到当负载阻抗RL=100 kΩ，100 Ω和0.01 Ω时，W分别为15.17，30.63，1 596.45 mJ．二次侧短路时储能特别大，是因为假定一次侧电压固定，导致短路时的电流非常大．从场的角度，电磁能量储存在包括铁心和空气在内的全部空间范围内．在一个周期内，磁场能量的平均值为W=∫V12H˙∙B˙*dV，式中H˙和B˙为H和B的相量形式．作为验证，采用有限元法计算了三种典型负载阻抗下铁心与空气中的储能，结果如表3所示，表中：Wc为铁心储能；Wa为空气储能．当RL=100 kΩ时，铁心储能与空气储能之比约等于300，显示在二次侧开路状态下，能量主要储存在铁心中．但是当RL=0.01 Ω时，这一比值下降到约1/300，显示二次侧短路状态下，能量主要储存在空气中．当中等负载(RL=100 Ω)作为正常变压器使用时，铁心储能与空气储能相当．这些数据是针对图1所示的结构和本文设定参数下得出的，对于一般的变压器不一定成立；但随着负载阻抗减小，铁心中的平均磁通下降，空气储能所占比例增大是肯定的．表3中的有限元结果，铁心与空气储存的总能量Wc+Wa，与使用式(1)得到的总能量W结果是一致的，验证了有限元分析的正确性和场、路模型的一致性．10.13245/j.hust.210401.T003表3采用有限元方法得到变压器储能RL/ΩWc/mJWa/mJW/mJWc/Wa1×10515.120.0515.17290.7691×10214.9815.6830.660.9551×10-25.701 595.181 600.880.0044 变压器中的能量传输4.1　空气中的能量传输分析根据坡印亭定理，能量传输须要电场与磁场的共同作用．变压器中的电场相当复杂，作为定性分析，可以只考虑铁心中的磁通(主磁通)在空间产生的感应电场．假定变压器工作于正常工作条件(即近似满足理想变压器条件)，忽略损耗、漏磁等因素，铁心中的主磁通可以表示为Φ˙0=-U˙1/(jωN)．设变压器在x方向的长度远大于y方向的，则感应电场可以近似认为是均匀的．图4为空间电场与磁场的近似计算图(未画出绕组)，图中：C1为感应电场积分回路；C2为安培积分环路；l为内部空间的高度．在图4(a)中，应用法拉第电磁感应定律得到∮C1E˙∙dl=-jωΦ˙0，式中E˙为E的相量形式．考虑到回路C1在铁心外侧i3-i4段上E˙为零，i2-i3和i4-i1段上E˙与积分路径垂直，故得到i1-i2段上E˙=-jωΦ˙0ez=U˙1ez/N1．(2)注意Φ˙0是变压器在z方向单位长度(即i1-i2段长度为1 m)的磁通量，所以有式(2)成立．10.13245/j.hust.210401.F004图4空间电场与磁场的近似计算在上述假设下，空气中的漏磁场H也只限于铁心围成的内部空间，且可以近似认为是均匀的．如图4(b)所示(二次侧未画出)，应用安培环路定律于回路C2，有∮C2H˙∙dl=N1I˙1．由于铁心内部H≈0，因此在空气区j1-j2段上漏磁场H˙=-N1I˙1ey/l．(3)由式(2)和式(3)得到复坡印亭矢量S˜=E˙×H˙*=U˙1I˙1*ex/l．(4)图5给出了空间电场E、磁场H和坡印亭矢量S的示意图．图中显示坡印亭矢量确实是在空间由变压器的一次侧流向二次侧．总的传输复功率可以由坡印亭矢量对传输路径的横截面积分得到，即P˜=∫S˜∙dA．(5)将式(4)代入式(5)，由于S˜在横截面上是均匀的，横截面在深度方向取单位长度，因此总的传输复功率为P˜=S˜∙l×1=U˙1I˙1*．(6)该功率正好等于变压器一次侧从电网获取的功率．这个结果清楚地表明变压器中的能量是以坡印亭矢量的形式在空间传播的．式(6)表明变压器一次侧获得的能量全部传输到二次侧，出现这个结果是因为本研究在理论分析中做了理想化处理，忽略了变压器的自身损耗和绕组的漏感．更精确的讨论见有限元算例．10.13245/j.hust.210401.F005图5变压器中的磁场、感应电场与坡印亭矢量4.2　铁心中的能量传输分析对于铁心，若假定磁导率无限大，则铁心内部H为零，没有能量的存储和传播．若考虑铁心磁导率是一个很大但有限的数值，忽略漏磁，磁场强度H与主磁通方向一致，即沿x方向有H˙=B˙0ex/(μrμ0)=Φ˙0ex/(μrμ0A)，式中：A为铁心横截面积；B˙0=Φ˙0/A为铁心中的磁通密度．计算铁心中的E˙．假定铁心中磁感应强度B˙0是均匀的．图6为上磁轭横截面，在图6所示坐标系中，由于外侧表面E˙y=0=0，因此应用法拉第电磁感应定律可以得到铁心内的感应电场E˙(y)=jωB˙0yez．注意到式中y0，因此该式与式(2)是相容的．10.13245/j.hust.210401.F006图6计算铁心中的坡印亭矢量由此得到铁心中的复坡印亭矢量为S˜=E˙×H˙*=-jωB02yey/(μrμ0)．(7)式(7)表明：铁心中的能量沿着y方向，即沿着垂直于铁心表面的方向进入铁心，如图6所示．显然这些能量不会从一次侧传输到二次侧．式(7)还显示：铁心中的复坡印亭矢量是一个纯虚数，它表示一个周期内进出铁心的平均功率为零．这是因为假定铁心是完全线性、无损的．这部分功率是变压器无功功率的一部分．若铁心磁导率趋于无穷大，H趋于零，则这部分功率也趋于零．而若考虑铁心损耗(包括磁滞损耗和涡流损耗)，则复坡印亭矢量实部将不为零，对应着一个周期内进入铁心内部的功率平均值不为零．将图5给出的变压器能量传输图像与电路中的能量传输图像做一对照．图7是电磁场教科书中给出的一个简单直流电路的能量传输示意图[9]．对比图5和图7(a)，充分体现了电路与磁路的对称性．在电路中，导线传输电流，但不直接传输能量；电流在空间产生磁场，磁场与导线之间的电场作用得到坡印亭矢量，能量在导线周围的空间中传输．在变压器磁路中，铁心传输主磁通，但不直接传输能量；主磁通在空间产生感应电场，感应电场与空间的磁场(漏磁)作用得到坡印亭矢量，能量在铁心周围的空间中传输．与图7(b)对应的磁路能量传输得更清晰完整的图像将在数值算例中给出．10.13245/j.hust.210401.F007图7直流回路中的能量传输图像4.3　有限元数值验证取一次侧电压U˙1=100 V(有效值)，采用有限元计算，得到典型负载阻抗下复坡印亭矢量实部与虚部的空间分布如图8所示．实部对应有功功率，虚部对应无功功率．将图8与图7(b)对照，可见磁路的能量传输图像与电路的能量传输图像是完全对称的．有两点值得指出．其一，在忽略铁耗的情况下，有功功率不经过铁心也不进入铁心(见图8(a))；无功功率进入铁心，但方向与铁心表面垂直，不会沿着铁心传播(见图8(b))．其二，有功功率在空间衰减很少，几乎全部进入二次侧绕组；无功功率在传输过程中不断减小．10.13245/j.hust.210401.F008图8坡印亭矢量的空间分布(RL=100 Ω)在距离一次侧和二次侧对称的中心截面，即图8所示的yoz平面上，对坡印亭矢量进行积分，可以得到一次侧向二次侧传输的总功率(见式(5))．坡印亭矢量面积分的实部对应着二次侧消耗的有功功率P，包括二次侧绕组自身损耗和负载电阻的损耗．基于电路模型，得到二次侧消耗的有功功率为P=I22(RL+R2)，式中I2为二次侧电流有效值．两种方法的计算结果对比见表4，可以看到基于空间坡印亭矢量的有限元计算结果与电路理论的结果是一致的．坡印亭矢量面积分的虚部对应着一次侧向二次侧传输的无功功率Q．Q反映了空间电磁能量在一个周期内的变化情况，从电路的角度，二者关系可以表示为Q=2ωW．由于W是由两侧绕组共同产生的，因此无法区分无功功率是一次侧还是二次侧的贡献．本例中，考虑空间的对称性，可以认为穿过中心截面的无功功率等于总无功功率的一半．两种方法的计算结果对比如表5所示，可以看到基于空间坡印亭矢量的有限元计算结果与电路理论的结果也是一致的．10.13245/j.hust.210401.T004表4典型负载下二次侧消耗的有功功率RL/ΩP/W基于坡印亭矢量基于电路理论1×1050.100.101×10297.7597.781×10-210.9510.9610.13245/j.hust.210401.T005表5典型负载下传向二次侧的无功功率RL/ΩQ/var基于坡印亭矢量基于电路理论总无功功率之半1×1054.764.771×10210.269.621×10-2501.23502.954.4　两个更加贴近实际的例子上述讨论都是基于图1所示的简化变压器模型，该模型一次侧与二次侧绕组在物理空间中有明确的界限．实际变压器中，为提高耦合系数，一次侧与二次侧的绕组通常交错叠放绕制或者同轴绕制，很难在空间上截然分开．4.4.1　交错绕制的绕组首先考虑一个交错绕制的例子．如图9所示，一次侧与二次侧绕组的导线交错缠绕在铁心上，为简单起见，仍然只考虑二维结构，并假定绕组只有一层．计算参数：铁心宽度为20 mm；相对磁导率为1×104；导线截面为2 mm×2 mm．计算得到单匝平均电感为0.041 888 H，耦合系数k=0.999 992．施加I1=1 A，单匝负载电阻为0.5 Ω，忽略导线电阻．采用有限元方法计算空间磁场和坡印亭矢量．数据处理和图形绘制采用Matlab完成．10.13245/j.hust.210401.F009图9一次侧与二次侧绕组交错缠绕在铁心上导线附近H的分布如图10所示，从中可以看到漏磁场的分布情况．坡印亭矢量的图像如图11所示，图中清晰地显示：坡印亭矢量的实部(即有功功率流)从一次侧导线通过周围的空间传输到二次侧导线(见图11(a))；铁心不传递有功功率，它只吸收无功功率(见图11(b))．无论是磁场分布还是坡印亭矢量的分布，其特点跟前述简化模型的分析结果是完全一致的．10.13245/j.hust.210401.F010图10绕组交错绕制产生的H分布10.13245/j.hust.210401.F011图11绕组交错绕制的S分布须指出：本研究给出的图像中，所有传输到二次侧的能量都指向了绕组和导线，但这个不代表实际情况，因为模型中没有包括功率从二次侧进一步向负载传输的过程．负载的作用是通过定义二次侧电流来体现的，可以等价地想象为一个分布式的负载均匀作用在绕组的每一段导线上．表现在坡印亭矢量的图像上，看起来就是全部功率都被二次侧绕组和导线吸收了．4.4.2　同轴绕制的绕组对同轴绕制的情况只给出定性说明．同轴绕组如图12所示，一次侧与二次侧绕组同轴缠绕在方形铁心外部．设铁心μr→∞，绕组均匀密绕覆盖整个铁心表面．空间被分为4个区域：0为铁心区；1为铁心与二次侧绕组间隙；2为二次侧与一次侧间隙区域；3为一次侧以外区域．以上绕组之间的间隙区域2是必须存在的，无论理论上还是实践上，双侧的电流都不能完全重合在一起．10.13245/j.hust.210401.F012图12绕组同轴叠绕时空间各部分的E，H和S结合图12，各区域电磁场分析如下．a. 在铁心区0，B0不为零，由于μr→∞，因此H0为零；此空间磁通为主磁通．由于H0为零，因此坡印亭矢量为零，此空间不传输能量．b. 在铁心与二次侧间隙区域1，根据H的连续性条件，可知H1=H0=0，从而B1也为零．由于H1为零，因此坡印亭矢量为零，此空间也不传输能量．c. 在绕组之间的间隙区域2，H2不为零，因此B2也不为零．此区间由主磁通产生的E2如图12(b)所示．该区域既有H，也有E，得到S=E2×H2，能量从一次侧传输至二次侧．d. 在绕组之外的区域3，H3为零，B3为零．由于磁场强度H3为零，因此坡印亭矢量为零，不传输能量．通过以上分析可见：在理想情况下(μr→∞)，只有在绕组之间的区域2，才有H不为零，使得S=E×H存在，能量得以传输．这个区域的磁通只与一次侧(或者二次侧)电流交链，为漏磁通．在其他区域，虽然存在E，但是由于H都为零，因此都没有能量的传输．在非理想情况下，只要铁心μr≫1，可以证明：在0区和1区，电场相位与磁场相位相差π/2，复坡印亭矢量为纯虚数，只传输无功功率；在2区，复坡印亭矢量实部、虚部均不为零，同时传输有功功率和无功功率；在铁心以外区域3，磁场为零，没有功率传输．5 结语一般来说，电路(包括磁路)理论是建立在电磁场理论的基础之上，电路方法是对电磁场问题的一种简化处理方式．电路方法的一些结论能够让我们用一种较为熟悉的语言去理解电磁场的一些概念，但在寻求电磁现象的物理解释时，应当回到电磁场理论上来．本研究基于电磁场的能量传输理论(坡印亭定理)，分析了变压器中电磁能量的传输机制，指出：从场的角度理解，变压器中的能量是以空间坡印亭矢量的形式传输的；铁心中的主磁通不传输能量，其作用是在空间产生感应电场；感应电场与空间的漏磁场相互作用形成坡印亭矢量，因而漏磁场在能量传输中扮演关键角色．在传统变压器理论中，使用主磁通与漏磁通讨论变压器问题，具有直观方便的优点．但这两个概念仅在变压器工作于正常范围时有效，即：变压器设计良好，耦合系数k接近于1；负载阻抗适中，远大于变压器损耗电阻值和漏抗值，同时远小于绕组电抗值．对超出正常工作范围，如变压器二次侧开路或者短路等特殊应用场合，以及类似于无线能量传输这样的场合，这两个概念会变得模糊．此时，基于电磁场理论建立的直接模型会更加适合．