图像是人类获得信息的重要载体之一，但是现实世界中的图像在获取和传输过程中通常会因为各种原因而受到干扰，进而影响人们从中获取和传递信息[1-3]．图像去噪的目的是指从被噪声污染的图像中恢复出干净图像，如何有效去除图像噪声一直是热门的科研问题．在现有对图像去噪问题的研究中，基于图像非局部自相似(NSS)先验[4]的算法被广泛应用．NSS先验表明自然图像中存在许多重复的纹理与结构，自然图像在一定区域内存在一批相似的图像块．非局部均值(NLM)[5]与3维块匹配滤波(BM3D)[6]等基于NSS先验的去噪算法在图像去噪领域产生了较大的影响．研究发现将图像非局部相似块以列向量形式构成的矩阵具有低秩特性[7]，因而可以考虑利用低秩先验信息进行图像去噪．将NSS先验与低秩矩阵恢复算法相结合成为另一种图像去噪的研究思路，即通过对图像相似块组成的矩阵进行低秩矩阵恢复，通过恢复出噪声图像中的低秩结构达到图像去噪的目的．文献[8]提出核范数最小化(NNM)算法，利用核范数近似秩函数来构建低秩去噪模型，通过奇异值软阈值求解来恢复低秩矩阵实现图像去噪，然而该算法对奇异值同时均等减去一个固定的阈值，忽略了各奇异值具有不同物理意义的事实．针对此问题，文献[9-10]提出加权核范数最小化(WNNM)算法，通过对奇异值赋予不同的权重来改善去噪性能．由于易求解和去噪效果好的特点，众多基于低秩矩阵恢复的图像去噪算法都以WNNM为基础进一步展开研究．文献[11]在WNNM的基础上结合彩色图像三通道特点，提出多通道加权核范数最小化(MCWNNM)的彩色图像去噪算法；文献[12-14]考虑图像局部结构信息，在WNNM去噪模型基础上引入全变分(TV)范数来保持图像的局部细节信息；文献[15]通过使用秩残差估计来解决低秩矩阵恢复问题，利用最小化秩残差逼近低秩矩阵达到图像去噪目的；文献[16]将WNNM模型中的核范数替换为伽马范数，提出基于伽马范数最小化的图像去噪算法．虽然WNNM算法考虑到奇异值的物理特性对奇异值赋予不同的权值，但是仍存在对奇异值惩罚不准确的问题，进而直接影响图像去噪效果．针对这一问题，本研究提出一种基于自适应加权低秩矩阵恢复的图像去噪算法，通过自适应加权策略来准确有效地恢复出原始图像的低秩矩阵部分，达到去噪目的．不同于其他方法，本研究引入Gerschgorin圆盘估计方法来估计图像相似块矩阵的秩，利用估计的秩信息设计自适应权重对奇异值以不同程度的惩罚，能够更加准确有效恢复原始图像中的低秩结构．在大量的图像去噪实验中，通过与同类的主流算法进行主观与客观评价，本算法均能够表现出优秀的去噪性能．1 低秩矩阵恢复模型低秩矩阵恢复是指当低秩矩阵或具有低秩属性的矩阵中某些元素被破坏后，自动识别出被破坏的元素并恢复出原矩阵的方法．低秩矩阵恢复分为低秩矩阵分解(LRMF)[17]和秩最小化两大类．LRMF方法是在一定的数据保真度下寻找一个矩阵X尽可能地接近Y，同时矩阵X能够分解成两个低秩矩阵的乘积．LRMF是一类非凸问题，难以求解．秩最小化方法也是一个非凸优化问题，但核范数最小化可以凸近似代替秩最小化实现低秩矩阵恢复，被广泛用于低秩矩阵恢复算法中．NNM的近似求解问题可表示为L^=argminLY-LF2/2+τL*，(1)式中：L*=∑iσi(L)为矩阵L的核范数，其中σi(L)为第i个奇异值；∙F为F范数．在图像去噪任务中，Y与L分别代表噪声图像矩阵和去噪后图像矩阵．文献[18]已经证明核范数近似问题(NNP)，通过对奇异值采取软阈值操作，可得闭环解，即L^=U𝒮τ[Σ]VT，(2)式中：U和V分别为左、右奇异矩阵；Σ=diag({σi}1≤i≤min(m,n))；𝒮τ[Σ]ii=sgn(σi)max(σi-τ,0)为基于参数τ的软阈值算子，其中τ用于控制稀疏程度；L^为L的最优解(近似解)，L=UΣVT为矩阵L的奇异值分解形式．为了使矩阵的秩最小，该方法的一个主要限制是对所有奇异值同时且均等地最小化，并没有考虑到奇异值本身的物理意义，即图像信息基本保留在较大的奇异值中．为了提高NNM的灵活性，文献[9-10]提出加权核范数最小化方法．矩阵L的加权核范数定义为LW,*=∑i=1ωiσi(L)，(3)式中ωi为分配给σi(L)的非负加权．加权核范数最小化模型为L^=argminLY-LF2/2+τLW,*．(4)与NNM相比，WNNM极大提高了核范数的灵活性，使得低秩矩阵恢复得更加精准，因此在图像去噪任务中取得了更好的去噪性能．加权核范数最小化模型通过对奇异值进行加权软阈值[10]操作，得到的最优解为L^=U𝒮τw[Σ]VT，其中𝒮τw[Σ]=sgn(σi)max(σi-τωi,0)为加权软阈值算子．2 自适应加权低秩矩阵恢复模型WNNM模型因其优良的性能在近年来被广泛应用，但是这一类方法中权重取决于经验上选择的一个正则化参数，并与低秩矩阵的秩相关，对于不同的任务通常须要反复调节参数．针对这一问题，本研究提出一种自适应加权模型，能够在通过观测数据本身自适应地加权，并准确有效恢复出低秩矩阵．如前所述，在低秩矩阵恢复问题中，低秩矩阵的秩是一个非常重要的参数．在某些场景中，该参数已知，但是在绝大部分的场景中，该参数未知．为了解决低秩矩阵的秩未知这一问题，引入Gerschgorin盘估计[19]的思路来估计低秩矩阵的秩．根据文献[20]可知：在噪声环境中，传感器阵列接收到的信号M同样可以表示为低秩信源信号矩阵L和稀疏噪声信号矩阵S的和．秩为r的矩阵M的协方差矩阵RM可以定义为RM=MMT．(5)对RM进行特征值分解得RM=URMΣRMURMH，(6)式中：URM=[u1,u2,⋯,um]为特征向量构成的矩阵；ΣRM=diag(λ1,λ2,⋯,λm)为特征值构成的对角阵；H表示共轭转置．在无噪环境中RM秩为r，但在真实环境中由于噪声影响，RM秩为m(m≫r)．为准确估计低秩矩阵的秩r，引入Gerschgorin盘理论．首先，划分协方差矩阵，即RM=RM1RRHRmm，(7)式中RM1∈R(m-1)×(m-1)为通过删去RM的最后一行和最后一列得到．对矩阵RM1进行特征值分解可得RM1=UM1Σ1UM1H，(8)式中：UM1=[q1',q2',⋯,qm-1']为矩阵RM1特征向量矩阵；Σ1=[λ1',λ2',⋯,λm-1']为矩阵RM1特征值矩阵．定义一个酉变化矩阵U∈Rm×mUUH=I为U=UM1001，(9)则协方差矩阵经过酉变换之后为RT=UHRMU=Σ1UM1HRRHUM1Rmm=λ1'00⋯0ρ10λ2'0⋯0ρ200λ3'⋯0ρ3⋮⋱000⋯λm-1'ρm-1ρ1*ρ2*ρ3*⋯ρm-1*Rmm, (10)式中ρi=qi'HR．利用Gerschgorin盘理论估计矩阵RT的特征值，前(m-1)个Gerschgorin盘的半径为ri=ρi=qi'HR，(11)因此第i个Gerschgorin盘的半径ri直接取决于qi'HR的大小．若qi'为稀疏空间的特征向量，则第i个Gerschgorin盘半径即稀疏盘半径，将显著减小并趋于零；若qi'为低秩空间的特征向量，则第i个Gerschgorin盘半径即低秩盘半径，将不为零且大于稀疏盘的半径．因此，通过启发式决策规则估计秩为R(k)=rk-D(n)m-1∑i=1m-1ri，(12)式中：k=1,2,⋯,m-2；D(n)为调整因子，是一个与n相关的常数．从k=1开始计算R(k)，当R(k)首次为负时，低秩矩阵的秩为r=k-1．如前所述，不同奇异值应被赋予不同权重，且希望权重无须通过手动反复调节．结合提出的低秩矩阵秩估计算法，本研究提出一种基于秩估计的自适应加权低秩矩阵恢复模型，即L^=argminLY-LF2/2+λLWL,*，(13)式中WL=diag({ωL,i}1≤i≤minm,n)．与之前方法不同，该模型的权重是基于秩估计算法在迭代过程中确定的，且使得奇异值得以不同程度地收缩调整．由于奇异值是以非负降序排列的，因此为使最优低秩矩阵L^的秩等于目标秩，希望通过软阈值算子求解之后得到的低秩矩阵的第r个奇异值大于零，而第r+1个奇异值小于零，并在求解过程中尽可能减少低秩矩阵受到的干扰．结合前面提出的秩估计算法，若在最后一次迭代中低秩矩阵的估计秩为r，则将权重WL设置为ωL,i=σr+1(Y)λσi(Y)2．(14)本研究所提模型与WNNM算法相比，能够通过观测矩阵自适应设定权重且不须要将参数进行手动调节，并能够使得恢复出的低秩矩阵的秩等于目标秩．3 图像去噪算法将上述自适应加权低秩矩阵恢复模型应用于图像去噪任务，详细步骤为：将大小为M×N的图像Y划分为n个尺寸为d×d的图像块yi，然后在尺寸为L×L的搜索窗口中搜索出m个与当前图像块yi最相似的图像块，并将每个图像块按列展开堆叠成相似块矩阵Yj，所有的相似块矩阵称为组[21]，通过上述自适应加权低秩矩阵恢复模型对所有相似矩阵组进行求解恢复出低秩结构，即可达到图像去噪的目的．对于每一组相似块矩阵Yj求解则有如下优化问题，即L^j=argminLjYj-LjF2/2+λLjWL,*．(15)对于最小化问题(15)，通过加权软阈值算法可以得出闭式解为σi(L^j)=max(σi(Yj)-λωL,i,0)．(16)由式(14)给出的权重，再结合式(16)，可得出最后的奇异值闭式解为σi(L^j)=σi(Yj)-σr+1(Yj)2σi(Yj)    (i≤r);0    (ir). (17)式(17)提供了估计出低秩矩阵L^j的解，最后通过组合所有组矩阵{L^j}in来得到去噪后图像L．在实际去噪过程中，可以通过进行多次迭代上述去噪过程来获取更好的图像结果．完整的基于秩估计自适应加权低秩矩阵恢复去噪算法总结在算法1中．算法1 基于自适应加权低秩矩阵恢复的去噪算法步骤1 输入噪声图像Y；步骤2 初始化参数L^0=Y,Y0=L；步骤3 从k=1到迭代最大值开始循环；步骤4 进行迭代正则化，即Yk=L^k-1+δ(Y-L^k-1)；步骤5 从Yk中找到相似块组合Yj；步骤6 从式(12)中估计秩r；步骤7 从式(17)中恢复出L^j；步骤8 重组所有L^j得到去噪图像L^k，返回步骤3循环；步骤9 达到循环最大值即结束．4 实验结果与分析为了验证本研究提出的自适应加权低秩矩阵恢复算法在图像去噪任务上的有效性，选用标准图像库与Berkeley数据集[22]中的图片进行实验测试，并使用峰值信噪比(PSNR，PSNR)和结构相似性(SSIM，ΩSSIM)两个指标与同类型的经典算法BM3D[6]，NNM[4]，WNNM[10]，RRC[15]，NLH[23]和DNcnn[24]进行定量评价与分析．所有对比算法的代码都来自于原作者．实验参数设置如下：搜索窗口L×L为30×30；噪声标准差为μn≤30，30μn≤50，50μn≤75和μn75的带噪图像；图像块yi尺寸d×d分别设置为6×6，7×7，8×8和9×9；搜索相似块个数m分别为70，90，120和140；算法迭代次数分别为8，10，12和14．选用标准数据库的测试图像如图1所示，分别对所有图像添加均值为0、标准差μn为30，50，75和100的高斯噪声来生成噪声测试图像．图2为所有对比算法与本算法在13张测试图像上的平均PSNR与SSIM随着噪声强度的变化曲线．表1与表2中列出了不同测试图像的PSNR与SSIM具体数值，其中最好的结果用粗体标出．10.13245/j.hust.230240.F001图1用于去噪算法对比的测试图像10.13245/j.hust.230240.F002图2不同算法所得PSNR与SSIM平均值随噪声方差的变化曲线10.13245/j.hust.230240.T001表1不同算法在不同噪声强度下的PSNR对比算法μnLenaBoatBeaconCabinGorillaLake平均值NNM3030.1527.8231.2326.7721.2726.1627.235027.7425.3928.2424.5220.7423.2624.987525.9323.8525.1622.2219.4920.5422.8610024.4122.4822.9520.5818.9419.2421.43BM3D3031.2629.1232.7329.1324.6628.1729.185029.0526.7830.1326.2522.4825.6126.717527.2625.1226.8823.5221.1823.0324.5010025.9523.9723.8021.2019.7820.5322.54WNNM3031.4329.2432.8229.5424.7528.3429.355029.1226.9730.5227.5822.6026.1327.157527.6225.7328.9926.2421.3824.4225.7310026.2024.1027.7225.1420.4923.1924.47RRC3031.6729.6932.5829.4924.5928.2829.385029.3827.2030.4927.4422.5326.1727.207527.5225.6128.9025.9421.0124.3425.5510026.3124.5027.7124.9220.1723.1024.45NLH3031.4529.4532.7429.5024.7028.2229.345029.2827.3530.5527.5422.1625.8827.137527.6325.7527.1226.2420.8624.3225.3210026.4224.6727.8825.2220.2823.2624.62DNcnn3031.7329.9832.8329.6824.8228.3529.565029.2527.2330.5927.5322.6926.0827.227518.7318.5219.3119.3817.3618.7618.6810013.9514.0214.3714.6113.6414.3414.15本算法3031.4629.3732.7529.5124.7328.3129.355029.2327.2530.6127.5622.6026.1127.227527.6425.7329.1426.2021.3924.5025.7710026.4324.6127.9225.1620.5423.2824.66dB10.13245/j.hust.230240.T002表2不同算法在不同噪声强度下的SSIM对比算法μnLenaBoatBeaconCabinGorillaLake平均值NNM300.805 90.825 90.891 80.802 30.637 30.863 90.804 5500.759 20.698 70.827 50.703 40.539 80.755 10.714 0750.752 60.633 40.765 50.634 20.412 80.636 40.639 11000.688 90.598 30.729 10.593 60.349 00.585 80.590 8BM3D300.910 00.887 00.814 40.861 10.841 00.903 20.869 4500.865 00.817 50.867 30.779 00.706 30.840 80.812 6750.813 90.746 50.813 70.702 50.562 10.766 30.734 11000.766 80.690 20.764 40.641 50.456 50.696 10.669 2WNNM300.917 10.913 60.917 30.881 20.846 20.906 40.896 9500.865 10.849 30.865 70.807 90.721 10.848 90.826 3750.832 00.799 00.832 90.765 10.630 20.797 40.776 11000.788 00.751 80.797 00.717 20.525 00.743 60.720 4RRC300.874 80.864 90.861 70.793 40.687 60.783 40.810 9500.833 00.772 90.825 40.728 30.567 60.728 80.742 6750.792 10.718 40.797 10.667 80.426 00.669 60.678 51000.764 80.684 00.776 80.635 40.340 10.628 80.638 3NLH300.867 70.839 70.862 70.805 80.707 90.784 00.811 3500.828 70.773 30.831 00.737 60.524 00.715 70.735 0750.792 50.724 00.799 30.697 60.404 60.666 30.680 71000.764 10.687 40.777 20.651 80.353 40.630 90.644 1DNcnn300.876 90.854 10.870 20.810 00.737 00.794 10.823 7500.830 00.789 30.828 80.740 10.612 20.736 20.756 1750.215 00.334 50.180 10.254 80.334 50.292 50.268 51000.095 90.126 00.073 80.119 70.200 30.151 90.127 9本算法300.913 20.905 00.915 80.880 70.847 30.904 10.894 3500.868 00.869 40.870 50.815 10.734 90.847 90.834 3750.830 10.798 20.836 30.767 50.637 00.795 10.777 41000.791 70.754 40.805 20.723 40.538 50.747 10.726 7由表1与表2可知：NNM算法去噪性能表现不明显，因为其对奇异值采用相同程度的惩罚，导致低秩矩阵恢复不准确；BM3D算法去噪性能相对一般，随着噪声水平的增加，去噪性能明显下降；RRC算法在部分场景中表现出不错的去噪性能，随着噪声水平的增加，RRC算法去噪性能明显下降．因为该算法须要提前估计出低秩矩阵，当图像被大噪声破坏时，估计矩阵的准确性降低，导致该算法去噪性能失效；WNNM算法的去噪性能相比其他算法都有较好的效果，但是WNNM算法须要通过调整经验参数来适用于不同场景的图片．NLH算法在大部分测试图像中表现出较好的PSNR数值，但是SSIM指标随着噪声增加，性能下降明显．此外，在部分图像中，NLH算法效果欠佳，须要不断调整预先设定的超参数来进行优化．基于深度学习的DNcnn算法在噪声强度较小时获得了较高PSNR指标，但随着噪声强度增大，PSNR及SSIM指标均迅速下降，不及所对比的方法包括本算法．另外，深度学习算法性能过度依赖于训练数据，而本算法无此限制．本算法在大多数情况下评价指标取得最优值，在部分情况没有取得最高值也取得了次优值．随着噪声强度的增加，从图2可知：其他算法性能明显下降，本算法仍然能保持较好的去噪效果．当噪声水平为μn=100时，相比其他对比算法本算法的PSNR分别平均提高3.22，2.12，0.18，0.21，0.04和10.51 dB．由此可知：本研究所提算法相比其他算法，在不同噪声水平情况下都有较好的去噪性能．图3展示了Berkeley数据集Starfish图像在μn=50情况下不同算法的去噪结果的视觉效果，框中展示了局部细节放大后的视觉效果，可见WNNM，RRC与本算法对于噪声的消除都具有很不错的效果，但是WNNM去噪后的图像存在许多细节丢失与纹理伪影现象．RRC相比WNNM减少了此类现象，但是对于细节部分也未能很好地保留，并且从图3中可以看出部分区域产生了过度平滑，导致部分细节信息的丢失．NLH算法在整体表现出较好的去噪性能，但是局部区域存在部分模糊与不清晰．相比之下，本算法能够在有效去除噪声的同时较好地保留图像边缘、纹理等细节信息．10.13245/j.hust.230240.F003图3Starfish图像去噪效果对比此外，考虑将所提模型用于含真实噪声图像的去噪，通过实验来验证本算法对不同类型噪声的适用性．由于此时图像的噪声水平未知，实验中采用文献[25]的方法对图像噪声水平进行估计，估计出噪声标准差μn，从而确定本算法的相关参数，包括图像块尺寸d×d、搜索相似块个数m和算法迭代次数．图4展示了对于两幅典型的含真实噪声图像(Eyes和Plate)的去噪对比效果，从中可以看出：经典的BM3D算法去噪结果仍然存在些许噪声，WNNM算法产生了过度平滑，导致图像模糊及一些细节信息的丢失，NLH算法作为专门针对含真实噪声图像的去噪算法表现出较好的去噪效果，本算法从视觉效果上与NLH算法相当．10.13245/j.hust.230240.F004图4含真实噪声图像的去噪结果图像对比为了更客观比较，表3列出了不同算法对这两幅图像进行去噪所得结果图像的PSNR(PSNR)和SSIM(QSSIM)指标，可见专门针对含真实噪声图像去噪的NLH算法效果最好，而本算法的PSNR和SSIM指标仅次于NLH算法，且与NLH算法相当接近．综上所述，本算法能有效去除图像中未知的真实噪声，较好地保留纹理细节部分，取得良好的视觉效果．10.13245/j.hust.230240.T003表3含真实噪声图像的去噪结果PSNR与SSIM对比算法EyesPlatePSNR/dBQSSIMPSNR/dBQSSIMBM3D36.610.976 537.790.953 4WNNM40.390.986 134.650.975 8NLH40.560.992 540.680.991 2本算法40.470.987 240.650.988 65 结语针对传统低秩矩阵恢复的去噪算法对低秩矩阵秩约束不强、恢复效果差导致图像去噪效果不佳的问题，本研究提出一种基于自适应加权低秩矩阵恢复的图像去噪算法．该算法并没有刻意针对某一类型的噪声去设计特定的方法，而是基于图像数据本身，结合图像的NSS先验信息进行图像去噪，故对于含多种噪声混合的图像理论上仍具有较好的去噪效果．在合成含噪图像上的实验结果表明：与现有的经典去噪算法相比，本算法在不同噪声强度下具有更好的去噪性能，尤其在高强度噪声水平(方差为100)时，本算法的平均PSNR为24.66 dB，平均SSIM为0.726 7，能在有效去除噪声的情况下更好地保留原图像信息．此外，在真实含噪图像中，本算法也取得了较好的去噪效果．未来的研究计划将低秩先验与深度学习算法相结合，通过少样本学习降低算法对训练数据的依赖，并提升算法的泛化能力．