反应扩散系统(RDSs)的稳定性分析是近年来的重要研究课题．物理学、材料科学、医学和生态学等领域中存在大量扩散现象，如热传导现象[1]、新冠疫情传播[2]及捕食系统中存在的合作狩猎现象[3]等，这些现象都可归结为RDSs[4]．现实中RDSs可能存在时滞因素，这些因素会导致系统不稳定和性能变差．文献[5]指出某些时滞项足以改变反应扩散系统结构．因此，DRDSs的稳定性研究具有重要的理论价值和现实意义[6-7]．DRDSs一般处于给定的某个空间区域，如果在区域每个位置每个时刻都施加控制，那么将导致控制成本过高而不利于操作．间歇控制[8]只须在部分时间内对系统施加控制而减少系统能耗、机器损耗，边界控制[1,9-17]只须在系统边界施加控制而在空间上节省了成本，所以它们都易于实施并成为DRDSs的常用控制策略．为了能够兼顾间歇控制和边界控制的优点，文献[11]设计了非周期的间歇边界控制器，文献[12-13]设计了间歇边界控制器和基于观测器的间歇边界控制器．但是上述间歇边界控制只对其中一侧边界进行控制，没有考虑易于控制的另一侧边界，即没有充分利用易于操作的双侧边界信息．当分析DRDSs的稳定性时，采用单侧边界控制的文献[1,9-15]占多数，选择双侧边界控制的文献[16-17]占少数，使用双侧间歇边界控制的文献更为少见．双侧间歇边界控制不仅具备间歇边界控制的优点，而且比单侧间歇边界控制更有效地控制边界，使得系统收敛速度更快．通常设计的边界控制器要求空间域中的所有状态信息都是完全可用，然而在许多情况下，由于经济或物理条件的限制，很难获得所有状态信息．针对此问题，可设计观测器来估计系统状态[12-13]．因此，当分析DRDSs的稳定性时，基于状态依赖或观测器的双侧间歇边界控制的研究是开放的．本研究借鉴文献[12]的研究，提出双侧间歇边界控制，用于当状态信息可用时系统的指数型稳定性分析，当状态信息不完全可用时，设计基于观测器的双侧间歇边界控制，使得系统达到指数型稳定．1 预备知识1.1　模型描述设N为自然数集，E为单位矩阵，AT为矩阵A的转置，sym(A)表示A+AT,A≤0（0）表示矩阵A为对称半负定(正定)的；*表示矩阵非对角线部分的转置．设L2(0,1)为[0，1]上的平方可积函数空间，对于ϕ(x):[0,1]→Rn∈L2(0,1)，ϕ(x)2=∫01ϕT(x)ϕ(x)dx∞，Wm,2  ([0,1];Rn)为经典的Sobolev空间，对于w(x)∈Wm,2  ([0,1]；Rn)，其范数为wWm,22=∫01∑j=0m(w(j)(x))Tw(j)(x)dx．考虑以下反应扩散系统，即    yt(x,t)=Dyxx(x,t)+f(y(x,t),yx(x,t),y(x,t-τ(t)));yx(x,t)x=0=U1(t);yx(x,t)x=1=U2(t);y(x,s)=φ(x,s)(s∈[-τ,0]), (1)式中：x∈[0,1]为空间变量；t≥0为时间变量；y(x,t)∈Rn为系统状态向量；φ(x,s)为初始函数；yt(x,t)≜∂y(x,t)∂t；yxx(x,t)≜∂2y(x,t)∂x2；yx(x,t)≜∂y(x,t)∂x；D为对称正定的扩散矩阵．设f:Rn×Rn×Rn→Rn为光滑的，τ(t)为时变时滞且满足0≤τ(t)≤τ,τ˙(t)≤ τ¯1(τ和τ¯为已知常数），U1(t)∈Rn和U2(t)∈Rn分别为t时刻系统在边界x=0和x=1的控制输入．为了简写，令y≜y(x,t),yτ≜y(x,t-τ(t))．注1 当D=E,f(yx,y,yτ)=a(x)y+byτ时，系统退化为文献[15]的系统(3)；当f(yx,y,yτ)=f(y)时，系统退化为文献[12]中的系统(1)；当f(yx,y,yτ)= (A+ΔA(x,t))y(x,t)时，系统退化为文献[12]中的系统(22)．因此，系统(1)具有一般性，本研究主要结果可推广并应用到文献[12，14-15，18]的系统．1.2　相关假设和理论假设1 f(0,0,0)=0．对任意的y1,y2,y1τ，y2τ∈Rn，存在η1,η2,η30，使得以下不等式成立，即f(y,1y1x,y1τ)-f(y,2y2x,y2τ)2≤η1y1x-y2x2+η2y1τ-y2τ2+η3y1-y22.假设2 2Dη1E．注2 文献[19]对DRDSs的适定性进行了研究．因此，在满足假设1和假设2的前提下，本研究假定系统(1)关于初始条件和边界条件存在唯一解．定义1 若对任意的φ(x,s)∈L2(0,1)，存在常数M≥1和γ0,使得系统(1)的解y(x,t)满足y(∙,t)2≤Msup-τ≤s≤0φ(∙,s)2e-γt,则称系统(1)是指数稳定的．引理1(Poincaré不等式)[12] 若z∈W1,2([0,1] ；Rn)满足z(0)=0或z(1)=0，则当H0时，有∫01zT(x)Hz(x)dx≤4π2∫01(z'(x))THz'(x)dx．引理2[20] 若z(t)在[-τ,+∞)上为非负连续函数，并且满足：a．α1α20，ξ=α1+α30；b．对∀t∈[-τ,+∞),n∈N,∃ω0，0m1，使得：    z˙(t)≤-α1z(t)+α2z(t-τ(t))(nω≤t(n+m)ω);    z˙(t)≤α3z(t)+α2z(t-τ(t))((n+m)ω≤t(n+1)ω).c．μ为方程g(h)=h-α1+α2ehτ=0的唯一正解，且ψ=μ-ξ(1-m)0，则有z(t)≤sup-τ≤s≤0z(s)e-ψt．2 主要结论2.1　基于状态依赖的双侧间歇边界控制本研究借助文献[12]的间歇边界控制的设计思想，提出在双侧边界x=0和x=1交替切换的控制策略，从而设计了包括单侧边界控制器U1(t)和U2(t)在内的双侧间歇边界控制器U(t)，即U1(t)=-K1∫01y(x,t)dx-K2y(0,t)(t∈T1),0 (t∈T2);U2(t)=0 (t∈T1),-K3∫01y(x,t)dx-K4y(1,t)(t∈T2), (2)式中：T1=[nω,(n+k)ω),T2=[(n+k)ω,(n+1)ω)，n∈N；K1,K2,K3,K4∈Rn×n为控制增益；0k1和k1=1-k分别为控制器对边界x=0和x=1进行控制的时间比例；ω0为控制周期．当t∈T1时，U(t)=U1(t)；当t∈T2时，U(t)=U2(t)．注3 当U1(t)=0,U2(t)≠0 (U1(t)≠0,U2(t)=0)时，该双侧间歇边界控制器(2)退化为单侧间歇边界控制器[12-13]．当k→0时，控制器(2)退化为单侧连续边界(x=1)控制器U2(t)=-K3∫01y(x,t)dx-K4y(1,t)[14]；当k→1时，控制器(2)退化为单侧边界(x=0)控制器U1(t)=-K1∫01y(x,t)dx-K2y(0,t)．对系统(1)进行稳定性分析．定理1 在假设1和假设2下，若存在矩阵K1,K2,K3,K4,正数η1,η2,η3,k,μ,ξ和ω满足条件：(B1):Ξ1=Ω11Ω12*Ω22≤0;(B2):Ξ2=Ω11'Ω12'*Ω22'≤0;(B3):η1η2,μ为方程g(h)=h-η1+η2ehτ=0的唯一正解，且ξ=η1+η3,ψ=μ-ξ(1-k)0，其中Ω11=(1+η1+η3)E+sym(D(K1+K2));Ω12=sym(-DK2)-K1TD;Ω22=0.25η1π2E-0.5π2D+sym(DK2);Ω11'=E-sym(D(K3+K4));Ω12'=sym(DK4)+K3TD;Ω22'=0.25η1π2E-0.5π2D-sym(DK4),则在控制器(2)的作用下，系统(1)是指数稳定的．证明 利用状态向量y(x,t)构造李雅普诺夫泛函V(t)=∫01yT(x,t)y(x,t)dx，则V˙(t)=2∫01yTytdx=2∫01yT(Dyxx+f(yx,y,yτ))dx．(3)由假设1和2yTz≤yTy+zTz可得2yTf(y,yx,yτ)≤yTy+fT(y,yx,yτ)⋅f(y,yx,yτ)≤(1+η3)yTy+η1(yx)Tyx+η2yτTyτ. (4)当t∈T1时，令y¯=y¯(x,t)=y(x,t)-y(0,t)，则y¯(0,t)=0,y¯x=yx．利用分部积分法，系统(1)的边界条件，假设2和Poincaré不等式可知2∫01yTDyxxdx+η1∫01(yx)Tyxdx=2yTDyxx=0x=1-∫01(yx)T(2D-η1E)yxdx≤-2yT(0,t)D(-K1∫01y(x,t)dx-K2y(0,t))-0.25π2∫01y¯T(x,t)2D-η1Ey¯(x,t)dx=∫01[2yTD(K1+K2)y-2y¯TD(K1+K2)y-2yTDK2y¯+y¯T(2DK2-0.5π2D+0.25η1π2E)y¯]dx. (5)由式(3)～(5)可知    V˙(t)≤∫01{yT[(1+η1+η3)E+2D(K1+K2)]y-yT(K1TD+2DK2)y¯-y¯T(DK1-2DK2)y+y¯T(0.25η1π2E+2DK2-0.5π2D)y¯}dx-η1∫01yTydx+η2∫01yτTyτdx=∫01(yTy¯T)Ξ1(yTy¯T)Tdx-η1∫01yTydx+η2∫01yτTyτdx≤-η1V(t)+η2V(t-τ(t)). (6)当t∈T2时，令y¯(x,t)=y(x,t)-y(1,t)，则y¯(1,t)=0和y¯x=yx．利用分部积分法，同上可得2∫01yTDyxxdx+η1∫01(yx)Tyxdx≤∫01[-2yTD(K3+K4)y+2y¯TD(K3+K4)y+2yTDK4y¯+y¯T(0.25η1π2E-2DK4-0.5π2D)y¯]dx. (7)结合式(3)～(4)及(7)可得V˙(t)≤∫01(yTy¯T)Ξ2(yTy¯T)Tdx+η3∫01yTydx+η2∫01yτTyτdx≤η3V(t)+η2V(t-τ(t)). (8)根据引理2，由条件(B3)，式(6)和(8)可得V(t)≤sup-τ≤s≤0V(s)e-ψt,即y(x,t)2≤sup-τ≤s≤0φ(x,s)2e-ψt．因此，在控制器(2)作用下系统(1)是指数稳定的．注4 由条件(B3)易知：在一个控制周期ω内对边界x=0进行控制的时间比例k有一个下界，即k1-μ/(η1+η3)；一个周期内切换到边界x=1进行控制的时间比例k1有一个上界，即k1μ/(η1+η3)．2.2　基于观测器的双侧间歇边界控制当只能获取部分系统状态信息时，本研究提出基于边界输出的观测器，即y^t(x,t)=Dy^xx(x,t)+f(y^(x,t),y^x(x,t);y^(x,t-τ(t)))+L(y^(i,t)-y(i,t));y^x(x,t)x=0=U1(t);y^x(x,t)x=1=U2(t);y^(x,s)=φ^(x,s)(s∈[-τ,0]), (9)式中：t≥0,x∈[0,1]；y^≜y^(x,t)∈Rn为y(x,t)的估计值；L∈Rn×n为观测增益；i(i=0,1)为观测器空间变量x的边界值，并满足i=0 (t∈T1);1 (t∈T2).设y*≜y*(x,t)=y(x,t)-y^(x,t)为估计误差，令Y≜Y(x,t)=(yT(x,t),y*T(x,t))T;φ˜(x,s)=φ(x,s)-φ^(x,s);Φ(x,s)=(φT(x,s),φ˜T(x,s))T,则可得以下增广系统，即Yt=D¯Yxx+F(Y,Yx,Yτ)+L¯Y(i,t);Yxx=0=U¯1(t);Yxx=1=U¯2(t);Y(x,s)=Φ(x,s)(s∈[-τ,0]), (10)式中：t≥0;x∈[0,1];Yτ=Y(x,t-τ(t));Φ(x,s)为初始函数；Y(i,t)=Y(0,t) (t∈T1),Y(1,t) (t∈T2);F(Y,Yx,Yτ)=(fT(y,yx,yτ),fT(y,yx,yτ)-fT(y^,y^x,y^τ))T;D¯=diag{D,D};L¯=000L;U¯1(t)=ET0TTU1(t);U¯2(t)=ET0TTU2(t)．根据系统的边界状态向量、观测器观测得到的状态估计值和控制器(2)的设计思想，提出以下双侧间歇边界控制器：U1(t)=-K1∫01y^(x,t)dx-K2y(0,t) (t∈T1),0 (t∈T2); (11)U2(t)=0 (t∈T1),-K3∫01y^(x,t)dx-K4y(1,t) (t∈T2).定理2 在假设1和假设2下，若存在矩阵K1,K2,K3,K4,L,正数η1,η2,η3,k,μ,ξ和ω满足条件：(B˜1):Θ1=Π11Π12*Π22≤0;(B˜2):Θ2=Π11'Π12'*Π22'≤0;(B˜3):η1η2,μ为方程g(h)=h-η1+η2ehτ=0的唯一正解，且ξ=η1+η3,ψ=μ-ξ(1-k)0，其中Π11=(1+η1+η3)E+sym(D¯(K¯1+K¯2)+L¯),Π12=-sym(D¯K¯2)-K¯T1D¯-L¯T,Π22=0.25η1π2E-0.5π2D¯+sym(D¯K¯2),Π11'=E-sym(D¯(K¯3+K¯4)-L¯),Π12'=sym(D¯K¯4)+K¯3TD¯-L¯T,Π22'=0.25η1π2E-0.5π2D¯-sym(D¯K¯4),K¯1=K1-K100,K¯2=K2000,K¯3=K3-K300,K¯4=K4000,则在控制器(11)作用下，系统(1)是指数稳定的．证明 利用向量Y=(yT(x,t),y*T(x,t))T构造泛函V(t)=∫01YTYdx，则V˙(t)=2∫01YT(D¯Yxx+F(Y,Yx,Yτ)+L¯Y(i,t))dx. (12)由假设1和2yTz≤yTy+zTz可得2YTF(Y,Yx,Yτ)≤(1+η3)YTY+η1(Yx)TYx+η2YτTYτ. (13)当t∈T1时，令Y¯=Y¯(x,t)=Y(x,t)-Y(0,t),易知Y¯x=Yx和Y¯(0,t)=0．利用分部积分法、系统(10)的边界条件、假设2和Poincaré不等式可知2∫01YTD¯Yxxdx+η1∫01(Yx)TYxdx=2YTD¯Yxx=0x=1-2∫01(Yx)TD¯Yxdx+η1∫01(Yx)TYxdx≤∫012YTD¯(K¯1+K¯2)Y-2Y¯TD¯(K¯1+K¯2)Y-2YTD¯K¯2Y¯+Y¯T(2D¯K¯2-0.5π2D¯+0.25η1π2E)Y¯]dx. (14)由式(12)～(14)可得V˙(t)≤∫01{YT[(1+η1+η3)E+2D¯(K¯1+K¯2)+2L¯]Y-YT(2D¯K¯2+K¯1TD¯+L¯T)Y¯-Y¯T(2D¯K¯2+D¯K¯1+L¯)Y+Y¯T(2D¯K¯2-0.5π2+0.25η1π2E)Y¯}dx-η1∫01YTYdx+η2∫01YτTYτdx=∫01YTY¯TΘ1YTY¯TTdx-η1∫01YTYdx+η2∫01YτTYτdx≤-η1V(t)+η2V(t-τ(t)). (15)当t∈T2时，令Y¯(x,t)=Y(x,t)-Y(1,t)，易知Y¯(1,t)=0和Y¯x=Yx．利用分部积分法，同上可知2∫01YTD¯Yxxdx+η1∫01(Yx)TYxdx≤∫01[-2YTD¯(K¯3+K¯4)Y+2Y¯TD¯(K¯3+K¯4)Y+2YTD¯K¯4Y¯-Y¯T(2D¯K¯2+0.5π2D¯-0.25η1π2D¯)Y¯]dx. (16)由式(12)～(13)及(16)可得V˙(t)≤∫01(YTY¯T)Θ2(YTY¯T)Tdx+η3∫01YTYdx+η2∫01YτTYτdx≤η3V(t)+η2V(t-τ(t)). (17)根据引理2，由条件(B˜3)、式(15)和(17)可得V(t)≤sup-τ≤s≤0V(s)e-ψt,容易得到y(x,t)2≤sup-τ≤s≤0φ(x,s)2e-ψt．因此，在控制器(11)作用下系统(1)是指数稳定的．3 仿真与验证例1 为简化计算，考虑一维非线性时变时滞反应扩散系统，即    yt(x,t)=0.6yxx(x,t)+0.001yx(x,t)+0.1arctan y(x,t)+0.3y(x,t-τ(t));yx(x,t)x=0=U1(t);yx(x,t)x=1=U2(t);    y(x,s)=0.6sin(2.3πx)cos(5s)(s∈[-0.4,0]), (18)式中：t0;x∈(0,1);τ(t)=0.3+0.1cos t；τ=0.4;τ¯=0.1．系统(18)采用双侧间歇边界控制器(2)．显然，该系统是时变时滞热传导方程，反映长度为1 m的细杆的热传导情况，y(x,t)表示在x处t时刻的温度，人工热源施加在x=0.5 m处．在细杆两侧施加人工冷却源使得细杆温度迅速下降到零解．当设置控制器(2)的控制时长时，令k=0.7,ω=0.05，并假设在一个控制周期内U1(t)的工作时间约为U2(t)工作时间的2.3倍．根据定理1和LMI工具包得到K1=-1.679,K2=-3.493,K3=0.551,K4=1.956,η1=0.728，η2=0.053，η3=1.125，μ=0.659，ψ=0.1030．由定义1可得在控制器(2)作用下系统(18)是指数稳定的．图1显示了系统(18)在没有控制作用下是不稳定的，图2说明在双侧间歇边界控制作用下系统是指数稳定的．图3直观展示了设置在双侧边界x=0和x=1的控制器(2)从0～8 s交错工作的情况．U1(t)为边界x=0的控制器状态向量的负矩阵，而U2(t)反映边界x=1的控制器状态，这与在细杆两端都设置冷却源得到的状态符合．10.13245/j.hust.230424.F001图1无控制器控制作用下系统(18)的y(x,t)的时空演化图10.13245/j.hust.230424.F002图2控制器(2)作用下系统(18)的y(x,t)的时空演化图10.13245/j.hust.230424.F003图3双侧间歇边界控制器(2)(包括U1(t)和U2(t))此外，本研究采用相同的控制条件和参数分别单独对边界x=0或x=1进行控制，并与没有控制器作用以及在双侧间歇边界控制器(2)控制下的系统状态的范数进行对比，得到图4．由图4可知：当无控制器作用时，施加热源的系统状态值迅速上升，最终上升到正无穷大．在U1(t)和U2(t)或者双侧间歇边界控制器(2)的作用下，系统状态能迅速收敛到零解，进而反映了系统状态收敛到零解的速度．10.13245/j.hust.230424.F004图4系统(18)的状态向量y(x,t)的范数从图(4)还可以得到：系统在控制器(2)作用下的收敛速度明显快于在单侧间歇边界控制器U1(t)或U2(t)作用下的收敛速度，充分说明双侧间歇边界控制器对系统的控制效果明显优于单侧间歇边界控制器对系统的控制效果．其主要原因为：a．双侧间歇边界控制器(2)的工作时间是U1(t)和U2(t)的工作时间总和，足够有效的控制时间更易于实现系统稳定；b．控制器(2)充分利用了双侧边界信息对系统双侧边界进行间歇控制，而U1(t)和U2(t)仅基于系统单侧边界信息进行间歇控制．例2 当系统状态信息不完全已知时，考虑系统(18)、观测器(9)和基于观测器的双侧间歇边界控制器(11)，观测器初值为y^(x,s)=cos(2πx)sin(3s),s∈[-0.4,0.0]．先取k=0.6,ω=0.05，接着通过LMI工具包计算得到K1=-1.406,K2=-5.699,K3=1.145，K4=5.600,L=-2.634,η1=0.226 0,η2=0.000 5，η3=0.297 0,μ=0.226,ψ=0.017．所以，由ψ0和定义1可知：在控制器(11)作用下，系统(18)是指数稳定的．图5可视化了系统(18)的估计误差y*(x,t)，并说明了观测器(9)是有效的．10.13245/j.hust.230424.F005图5系统(18)的估计误差y*(x,t)的时空演化图4 结语本研究提出双侧间歇边界控制和基于观测器的双侧间歇边界控制，解决了一类时滞反应扩散系统的指数型稳定性问题．这两种控制策略是对已有单侧边界控制的推广，所给结果更具一般性．在系统状态信息都可获取的前提下，设计的双侧间歇边界控制器(2)确保了系统(1)指数型稳定，同时也证明了系统稳定的充分条件．不同于传统分布式控制器，本研究设计的双侧间歇边界控制器只须控制系统双侧边界，并在部分时间段内工作，因此双侧间歇边界控制器不仅节省控制系统的时空成本，而且比单侧间歇边界控制器更能充分利用双侧边界状态信息控制系统，在实际应用中是一种经济、高效和实用的控制器，克服了常用的分布式控制系统成本过高不利于应用及单侧间歇边界控制没有充分利用双侧边界信息的不足．基于系统状态的不完全信息，本研究根据观测器获取的状态估计值和边界状态信息设计了双侧间歇边界控制器(11)，并证明了系统(1)指数型稳定．因此，基于观测器的双侧间歇边界控制器减小了控制器对系统状态信息的依赖性，在实际应用中具有更加宽广的发展前景．数值模拟表明：所提出的双侧间歇边界控制器的有效工作时间比单侧间歇边界控制器的更久，双侧间歇边界控制器更能充分利用双侧边界信息，在双侧间歇边界控制作用下系统收敛到零解的速度更快，进而系统更易于实现稳定，说明双侧间歇边界控制明显优于单侧边界控制．