全闭环位置伺服驱动系统，通常由电机、联轴器、轴承、丝杠、螺母及工作台等组成，使用直线光栅尺作为位置反馈元件以获取期望的高精度位置控制性能．相比使用电机编码器作为位置反馈的半闭环伺服驱动系统，全闭环的开环截止频率远低于半闭环，而且驱动系统的传动机构并非理想刚体，存在弹性、间隙等非线性因素[1]，当实现期望的高带宽位置控制时，全闭环位置控制更容易引发谐振[2]，限制伺服驱动系统的响应性能．因此，改善谐振问题对提高全闭环伺服控制性能和保证系统安全、稳定运行具有重要意义．通常在伺服驱动系统中谐振的抑制方法主要有被动抑制方法和主动抑制方法．其中，被动抑制方法使用如低通滤波器[3]及陷波器[3-5]等，即在速度控制器后串入信号滤波器，去除转矩或电流指令中的相应谐波分量，避免激发谐振模态．这类方法实现简单，当谐振频率处于高频段时，效果较好．然而，当谐振频率处于低频段时，较大的相角滞后会限制伺服响应带宽．此外，由于存在传动间隙，机械谐振频率和幅值受间隙宽度影响，会在较大范围内漂移，导致陷波器算法失效．相对地，主动抑制通常采用观测器方法和状态反馈控制方法．目前，用于谐振抑制的观测器方法主要有高通滤波器[6-8]和扰动观测器(DOB)[6,9-10]．高通滤波器方法从反馈通道中提取相应的谐振成分，通过转矩指令补偿谐振频率分量．然而，当谐振频率较低时，由于谐振分量与有效转矩指令会产生频率混叠，可能会在抑制谐振的同时降低伺服响应速度，不适用于抑制低频机械谐振．扰动观测器是将外部负载包括谐振转矩视为一种扰动，借助基于机理模型设计的观测器对其进行重构，并采用低通滤波器去除高频噪声，从而进行状态变量补偿．当忽略间隙时，其本质是一种状态反馈控制方法．文献[11]对比了比例积分(PI)及积分比例(IP)控制策略对柔性耦合谐振的抑制效果，提出了状态反馈控制方法，通过提取系统中状态变量进行电流补偿，此类方法可认为是通过增大系统阻尼来抑制谐振．状态反馈控制研究可依据补偿所用状态反馈变量的个数分为单变量反馈控制[3,12-14]及多变量反馈控制[2,15]．由于单变量反馈结构简单，现有研究多采用单变量反馈控制，然而单变量反馈控制结构系统的设计因极点难以配置存在一定局限性．文献[2,15]采用多变量反馈控制，即采用“电机及负载转角差的比例-微分-微分”进行补偿．此类方法的控制参数多，且采用两级微分，量化噪声及影响不能忽视．在全闭环伺服控制的应用中，可用的状态变量主要有电机加速度[3,12-13]、扭转转矩[13]、电机及负载转速差、电机及负载转角差[15]及工作台速度等．其中，电机加速度及转矩须要借助如龙伯格观测器[16]或扰动观测器进行重构，这会引起控制响应滞后，而电机和负载的位置及速度可由电机编码器与工作台光栅尺直接获得．由于实际系统包含弹性和间隙，在速度环和位置环中会分别引发机械谐振和极限环振荡．本研究通过对复杂的机电系统进行建模和谐振问题分析，设计一种基于状态反馈的控制方法，选用表征电机和负载的速度及转角状态变量的速度差进行反馈补偿，采用极点半径及阻尼的自由配置，减少过多的参数设置；同时，考虑到全闭环位置控制引起的极限环振荡频率通常相对较低(不超过反谐振频率)，将陷波器处理置于位置控制器后，减小极限环影响，在保持高响应的同时可进一步改善系统控制性能．最后通过仿真及对比实验，验证了所设计方法的有效性．1 全闭环伺服控制谐振问题分析伺服控制系统的传动关系通常可以采用如图1所示的二质量体结构进行动力学建模．将电机轴、丝杠及联轴器转换为一次侧等效惯量，记为J1；而螺母及工作台等效为二次侧惯量，记为J2；Ks和Cs分别为等效传动刚度和阻尼系数；b为等效传动间隙．10.13245/j.hust.230789.F001图1二质量体系统结构示意图由图1得到如图2所示二质量体系统控制模型，图中：B1和B2分别为两侧的黏滞摩擦系数；Tc1和Tc2为两侧的库伦摩擦转矩；Te为电机输出的电磁力矩；Ts为轴系扭转力矩，受到一次侧和二次侧角度差(θ1-θ2)和速度差(ω1-ω2)的作用．10.13245/j.hust.230789.F002图2含间隙、摩擦的二质量体模型不考虑间隙影响，根据动力学原理，可得：Te(t)-Tc1=J1dθ12dt2+B1dθ1dt+Ts(t);Ts(t)=Ks(θ1-θ2)+Csdθ1dt-dθ2dt;Ts(t)-Tc2=J2dθ22dt2+B2dθ2dt. (1)忽略黏滞阻尼，由式(1)可得ω1Te=1(J1+J2)s⋅J2s2+KsJ1J2(J1+J2)s2+Ks. (2)由式(2)可得到反谐振频率ωARF及谐振频率ωNTF，定义R=J2/J1为惯量比，且有：ωARF=12πKsJ2;ωNTF=ωARF1+R．(3)由式(3)可知机械谐振的频率主要由传动刚度Ks及惯量比R决定．传动部件(如联轴器等)弹性的差异，会导致机械谐振频率可能分布于低、中及高多个频段．另外，传动系统中不可避免地存在传动间隙，也须要分析间隙对谐振频率的影响．采用近似法[17]分析，在一个振荡周期内，对间隙所导致分段弹性力进行分段积分，然后进行平均可以得到含间隙的非线性刚度近似表达式，即K(a)=2Ksarccos baπ-2Ksb1-b2a2aπ, (4)式中：a为谐振频率处谐振幅值；K(a)为间隙等效的刚度．由K(a)表达式可知：等效轴向刚度主要受间隙影响，当b=0时，K(a)=Ks，系统的刚度变为线性刚度；当b0时，间隙会引发谐振频率的飘移，刚度随着b和a的增大而减小．对机械参数如表1所示的二质量体系统在不同间隙下的特性进行仿真分析．系统施加的转矩电流指令为调频脉冲扫频Chirp信号(幅值为额定电流的20.8%，频率f范围为0~900 Hz)．不同间隙下对应电机速度响应输出的幅值Am如图3所示．10.13245/j.hust.230789.T001表1全闭环伺服控制系统机电与控制参数变量参数值电流环控制、逆变器开关周期/μs62.5位置环、速度环控制周期/μs125电机额定电流/A4.8转矩常数/(N∙m∙A-1)0.41定子电阻/Ω1.866 5定子电感/mH1.59J1/(kg∙m2)1.618×10-4J2/(kg∙m2)1.734×10-4Ks/(N∙m∙rad-1)1 150谐振对频率/Hz(408，590)2b/μm3.5螺距/mm5电机编码器分辨率/m-1223光栅尺分辨率/m-15.12×10710.13245/j.hust.230789.F003图3含间隙的二质量体系统的电机速度频谱由图3可知：间隙会使机械谐振对频率向下漂移，验证了式(4)分析．当谐振频率落于系统速度环伺服带宽内时，会引发转速谐振，当伺服系统进行全闭环控制时，这一非线性问题的影响变得更加复杂，会在高位置增益时导致工作台出现明显的极限环振荡．实际中通常只能通过降低伺服响应，牺牲速度和位置控制性能以满足运行稳定的要求，而且仅依赖机械弹性谐振特性使用如陷波器方法改善系统控制特性也存在较大难度．2 谐振抑制策略分析与设计采用“比例-比例积分-比例积分”控制方式的“位置环-速度环-电流环”三环串级PI架构广泛应用于伺服控制中．本研究以此为基础，提出利用状态反馈提高系统阻尼及处理速度指令频率特性的方法提高系统响应性能的设计思路．具体控制结构如图4所示．10.13245/j.hust.230789.F004图4全闭环伺服控制结构在传统的三环结构中，电流环带宽远高于速度环，可以用转矩系数kt代替，kp为位置控制器比例增益．kv和ki为速度PI控制器的比例和积分系数．采用转角差及速度差进行转矩指令补偿，可建立如图4中所示的反馈补偿控制结构，设k1和k4为状态反馈PI控制器的比例和积分系数，但由于直接采用转角差变量(θ1-θ2)会引入量化噪声，因此选用滤波处理后的转速差(ω1-ω2)的积分代替，Tf为一阶滤波系数．在应用速度差PI状态反馈控制基础上，进一步设计陷波器实现前向抑振．不同于一般将陷波器作用到速度控制器的输出，本研究将陷波器串联到位置控制器后，用来去除速度指令极限环振荡频率成分，设ωn为陷波中心频率，A和B分别为陷波宽度和深度参数．2.1　基于速度差的PI状态反馈补偿控制设计当忽略摩擦及间隙等因素，由图4采用速度差的PI状态反馈控制可以得到进行状态变量补偿后速度响应传递函数为ω1/ωref=kt(kvs+ki)(J2s2+Ks)/[J1J2s4+(kvkt+k4kt)J2s3+(J1Ks+J2Ks+k1ktJ2+kiKskt)s2+kvKskts+kiKskt]. (5)由于阻尼可以反映谐振峰值的大小，而极点半径的大小可以反映响应速度的快慢，因此通过将闭环极点配置在合适的位置(一般将阻尼配置在0.5~1.0)可以实现较好的谐振抑制效果．为了简化问题分析，考虑对式(5)进行等阻尼等半径的极点配置处理(四阶特征方程的解配置在一对共轭极点上)，即将特征方程配置成如下形式，即Δ(s)=s4+4ζω0s3+(2+4ζ2)ω02s2+4ζω03s+ω04, (6)式中：ζ为阻尼系数；ω0为特征角频率．令k4=xkvKs(x反映速度反馈系数与速度增益的比值，此处引入是为了方便求解方程)，可以得到：4ζω0=kvktJ1(1+xKs)；(7)ω02+4ζ2ω02=kikt+k1kt+KsJ1+KsJ2；(8)4ζω03=kvktKsJ1J2；(9)ω04=kiktKsJ1J2．(10)对比式(7)及式(9)，可以得到ω0=KsJ2(1+xKs)．(11)由式(7)及ω0可以得到kv=1kt4ζω0J11+xKs．(12)由式(10)可以得到ki=J1J2ω04ktKs．(13)由kv，ki，ω0及式(8)，可以得到ζ=(1+xKs)[J1+(1+k1kt/Ks)J2]Ks+14+4xKs．(14)将ζ及ω0代入到式(7)，可以得到x={-[(1+k1kt/Ks)R-2ζ2]±[4ζ2(ζ2+1)-R(1+k1kt/Ks)]}/{Ks[1+(1+k1kt/Ks)R]}, (15)且须满足R≤4ζ2(ζ2+1)1+k1kt/Ks．(16)观察式(11)、式(14)及式(16)可知：在一定范围内，该控制结构可以实现对极点的任意配置．由式(16)可知：解均存在，即在一定范围内通过确定极点半径及阻尼即可求得速度环控制系数kv和ki，以及状态反馈控制器系数k1和k4．2.2　前向抑振陷波器设计前向抑振陷波器采用双线性二阶滤波器，作用于位置环输出之后，对速度指令进行处理，其离散传递函数形式为H(z)=b0+b1z-1+b2z-2a0+a1z-1+a2z-2．(17)离散化系数为θc=2πfc/fs;α=sinθc/(2Q);a0=1+α;a1=-2cos θc;a2=1-α;b0=1;b1=-2cos θc;b2=1, (18)式中：fs为速度环采样频率；fc为陷波频率；Q为品质因数，通常取0.50~0.99．3 仿真与实验结果分析为验证理论分析的有效性，除所提算法外，同时采用传统串级PI控制算法进行对比．实验平台如图5所示，主要由永磁同步电机、联轴器、轴承、滚珠丝杠、螺母、导轨、滑块、直线光栅尺及工作台等组成．其中，弹性联轴器和滚珠丝杠实现从旋转到直线运动转换，而低摩擦滑块用于支撑工作台，使其沿轴向移动．10.13245/j.hust.230789.F005图5全闭环伺服控制系统物理实验平台3.1　仿真结果分析在Matlab/Simulink环境下搭建全闭环伺服控制仿真系统，并以离散模型构建系统的伺服控制部分．采用磁通电流id*≡0的交流电机矢量控制策略，所设计的工况对应如表1所示机电参数，其中存在中频谐振点．系统施加的速度指令V为三角波(输入幅值为1 000 r/min、频率为5 Hz)．本研究通过速度增益的调整结果反映响应性能，通过最大速度响应误差Verr的变化来反映系统响应速度，并选用速度响应误差中谐振频率处的功率来反映谐振抑制效果，得到不同方法的性能差异比较结果．当速度环增益优化设置为0.244 A/(r∙min-1)，积分时间为0.008 s时，传统串级PI响应结果如图6所示，图中Vref和Vfed分别为指令速度和反馈速度．10.13245/j.hust.230789.F006图6串级PI控制速度激励及响应仿真波形在串级PI基础上，采用基于速度差的PI状态反馈补偿，状态反馈控制比例系数取0.1 A/(r∙min-1)，积分系数为1 A/r，此时可将速度增益调整至0.33 A/(r∙min-1)，仿真结果如图7所示．10.13245/j.hust.230789.F007图7速度差PI反馈控制速度激励及响应仿真波形两种控制策略的最大速度误差及谐振频率处的功率谱特性如表2所示．其中，单边功率谱的谐振功率定义为P=10lg(A(ω)2/N2)，(19)式中：A(ω)为速度偏差经FFT变换后的幅值；N为采样点数．10.13245/j.hust.230789.T002表2速度误差及谐振功率仿真结果控制策略最大速度误差/(r∙min-1)谐振功率/dB串级PI24.24.55速度差PI反馈20.1-1.80由对比可知：基于速度差的PI反馈补偿控制策略能够在减小谐振幅值的同时，提高系统速度增益．进一步在全闭环位置控制下给定S型曲线位置指令P，最大速度为0.01 m/s，对应电机转速为120 r/min，最大加速度为0.1 m/s2．采用传统的串级PI结构(位置增益取100 Hz)的全闭环伺服控制响应结果如图8所示，图中Pref和Pfed分别为指令位置和反馈位置．图8(b)中负载工作台速度响应存在明显谐振，速度波动的幅值有±20 r/min．10.13245/j.hust.230789.F008图8串级PI控制位置激励及响应仿真波形当采用基于速度差PI反馈补偿控制(位置增益取100 Hz)时，仿真结果如图9所示．10.13245/j.hust.230789.F009图9速度差PI反馈控制位置激励及响应仿真波形对比图8和图9可知：由于间隙和弹性环节在全闭环伺服控制中引入谐振，因此在应用基于速度差的PI反馈补偿控制后，谐振明显减小，速度波动的幅值降低到约±8 r/min．为了抑制因高位置增益引发的谐振，通过对速度指令进行频谱分析，获取谐振的频率特性，然后采用本研究所提出的陷波器处理方案，设置中心频率为260 Hz，品质因数为0.9，位置增益可提高至150 Hz，仿真结果如图10所示．10.13245/j.hust.230789.F010图10本研究控制方法位置激励及响应仿真波形对比以上结果可知：采用本研究所设计的控制方案，在提高位置增益的同时可以进一步有效抑制谐振，速度波动的幅值降低到±2 r/min以内，但极限环振荡的影响仍然存在．3.2　实验结果分析全闭环伺服驱动平台的控制部分采用以数字信号处理器(DSP)TMS320F28335为核心的全数字化方案实现．图5所示实验平台的机械特性如表1所示，可等效为二质量体工况，其物理模型的频域特性如图11所示(具有中、高频谐振点)．10.13245/j.hust.230789.F011图11物理实验平台模型的频率特性施加三角波速度指令(输入幅值为1 000 r/min、频率为5 Hz)，在传统串级PI控制结构中优化速度控制增益，避免系统激励出机械谐振，可将速度增益设定在0.15 A/(r∙min-1)，积分时间为0.008 s，此时系统速度响应实验结果如图12所示．10.13245/j.hust.230789.F012图12串级PI控制速度激励及响应实验波形当采用基于转速差的PI反馈补偿控制方案时，可将速度控制增益设定在0.20 A/(r∙min-1)，积分时间为0.008 s，其中状态反馈控制的比例系数为0.04 A/(r∙min-1)，积分系数为2 A/r，电机侧速度响应实验结果如图13所示．10.13245/j.hust.230789.F013图13速度差PI反馈控制速度激励及响应实验波形此时，两种控制策略的最大速度误差及谐振频率处的功率谱特性对比结果如表3所示．由所示结果可知：基于速度差的PI反馈补偿控制能在减小谐振功率的同时，将速度增益由0.15 A/(r∙min-1)加大到0.20 A/(r∙min-1)，进一步提升伺服响应速度．10.13245/j.hust.230789.T003表3速度误差及谐振功率实验结果控制策略最大速度误差/(r∙min-1)谐振功率/dB串级PI47.12.67速度差PI反馈35.1-3.97在全闭环位置控制下，当给定如前所示S型曲线位置指令时，传统的串级PI的全闭环伺服响应实验结果如图14所示，速度波动的幅值最大有±50 r/min，其中优化的位置增益取100 Hz．10.13245/j.hust.230789.F014图14串级PI控制位置激励及响应实验波形采用速度差PI反馈补偿控制，位置增益取100 Hz，响应结果如图15所示．10.13245/j.hust.230789.F015图15速度差PI反馈控制位置激励及响应实验波形对比以上结果可知：使用基于速度差的PI反馈补偿控制后能够减小谐振，速度波动的幅值降低到约±10 r/min．为了进一步抑制因位置增益增大而引发的谐振，首先对速度指令进行频谱分析，获取全闭环伺服控制下的谐振频率，然后在本研究设计的控制方案中设置宽度为10%，深度为40%，中心频率为300 Hz的陷波器，进行前向抑制控制，当位置增益提升至150 Hz时，位置与速度响应实验结果如图16所示．由图可知：在采用本研究所设计的控制方案后，速度波动的幅值降低到±1 r/min以内，在进一步提高位置增益的同时，能够有效抑制谐振现象．10.13245/j.hust.230789.F016图16本研究控制方法位置激励及响应实验波形4 结语本研究提出一种全闭环伺服控制方案及其设计方法，采用基于速度差的状态反馈补偿控制和在位置控制器后施加陷波器对速度指令进行前向抑振处理，改善了谐振现象对系统性能的影响，通过仿真和实验验证了所设计全闭环伺服控制方法的有效性．结果表明：该控制方案能有效抑制谐振，并进一步提升速度和位置增益，改善控制性能．