航空运输作为立体交通的重要组成部分，以其便捷、高效的运输特点逐渐成为长途旅客、紧急物流的首要选择．由机场、航线构成的运输网络作为运输系统的载体，承载着整个运输系统的正常运行，因此分析网络拓扑和研究网络鲁棒性，对航空运输的管理和调度具有重大意义．近年来，复杂网络理论逐渐应用于交通领域，并以图论和统计的方法研究交通网络的演化与运作，有关网络拓扑和鲁棒性分析也成为了一个研究热点．将航空运输网络抽象为复杂网络，其结构的复杂性吸引了众多学者的关注．分析多区域的航空网络特征，得出各区域航空网络兼具小世界网络、无标度网络的典型特征[1-2]．YAO等[3]运用K-Core法研究“一带一路”航空网络的层级特征，得到一个19层的网络结构模型．DONG等[4]用相对熵定义两个节点的关联度，分析节点间的连接关系．任广建等[5]用相对熵理论分析上海管制区域航空网络，观察攻击前后网络平均距离与集聚系数的变化．赖强等[6-7]将复杂网络理论应用于城市公交网络，就其鲁棒性评估与优化提出了一套系统的研究范式．闫玲玲等[8]基于度和集聚系数提出综合性节点重要性指标，在航空网络鲁棒性实验中取得较优效果．以上研究在航空网络的拓扑结构和鲁棒性分析方面贡献了巨大的成果，但大多分离地研究网络拓扑结构与鲁棒性．QIAN等[9]在长三角航空网络研究中表示，分析网络拓扑能更好地理解网络行为，从而更好地研究网络动力学现象，如健壮性、弹性或传播过程．本研究建立国内航空网络模型，首先对网络的拓扑特征进行分析；然后基于网络结构特点提出三元组相对量测度，采取多种攻击策略进行鲁棒性仿真，同时引入最大连通子图相对大小、网络效率指标与其对比分析；最后提出更一般的结构鲁棒性测度方法，即相对熵测度，并基于网络最大节点强度、最大加权边介数等攻击策略对网络进行攻击仿真，分析网络结构鲁棒性．1 航空网络模型构建本航线数据共包含186个城市机场，1.5×104余次航班信息．应用复杂网络方法，将机场所在城市抽象为节点，城市间的航线抽象为边，航线实际距离作为边的权重，构建一个无向加权网络[1]．国内航线网络示意图如图1所示．基于所建网络模型，计算网络拓扑特征指数：节点数为186；边总数为1 715；平均度为18.44；平均路径长度为2.056；平均集聚系数为0.735；网络直径为4．国内航空网络拥有较小的平均路径长度和较大的集聚系数，存在典型的小世界网络特性，约85%机场通过一次转航可达．10.13245/j.hust.240501.F001图1国内航线网络示意图2 航空网络结构鲁棒性鲁棒性是指控制系统在一定(结构、大小)的参数摄动下，维持其某些性能的特性，用以表征控制系统对特性或参数扰动的不敏感性．网络鲁棒性分析是对网络中的节点或边进行一定比例的移除，并计算移除过程中鲁棒性评价指标的变化情况．在航空网络鲁棒性分析中，可以将气象因素、突发事件等导致的机场故障或航线中断看作网络节点(边)遭受攻击并失效[10]．随机攻击是指对网络中节点(边)进行随机的连续移除，蓄意攻击是指对网络中节点(边)按重要性进行移除[11]．2.1　三元组测度与攻击策略由网络拓扑分析可知：国内航空网络具有高的集聚系数，使得网络内部出现较多的三元组结构，即节点的邻居之间也存在较多的连接．为定量的描述这种结构对网络鲁棒性的影响，定义一种三元组结构相对量指标，用以衡量网络攻击过程中航线网络的结构鲁棒性．三元组结构即节点、边所组成的三角形链接，可视为符号网络中三元组边关系均为正值的平衡结构情况[12]．如图2所示，a网络中包括3个三元组，分别为(1，2，3)，(1，3，5)，(3，4，5)；攻击节点4，三元组减少1个，如b网络所示；对b网络中边(1，3)进行攻击后，c网络中5个节点无法构成三角形链接，没有三元组存在．三元组相对量定义为攻击后的三元组数量与网络初始状态下三元组数量之比，在攻击过程中三元组相对量反映网络结构与初始网络结构的保持程度；同时，将边三元组数定义为一条边所参与的三元组数目，如边(1，3)在b网络中参与两个三元组．10.13245/j.hust.240501.F002图2三元组结构攻击示意图三元组鲁棒性实验，在节点攻击上采取度中心性(degree centrality，DC)[13]、特征向量中心性(ei-genvector centrality，EC)[14]、K-Core(KC)[15]、集聚系数(accumulation coefficient，AC)[16]、介数中心性(betweenness centrality，BC)、接近中心性(closeness centrality，CC) 6种节点重要性算法，对网络节点按重要性递减进行攻击，并增加随机(random，ran)攻击；在边攻击上，采取随机攻击、最大边介数攻击、最小三元组边攻击和最大三元组边攻击(每次均攻击三元组数目最大的边)．为观察三元组相对量测度对国内航空网络鲁棒性的反映力，引入最大连通子图相对大小、网络效率评价指标与之对比．2.2　相对熵测度与攻击策略相对熵(RelativeEntropy)，称为KL散度，是一种描述变量P与Q概率分布差异大小的方法[5,17]．若P(x)和Q(x)是x取值的两个离散概率分布，则P对Q的相对熵定义为D(P||Q)=∑[P(x)log(P(x)/Q(x))]．根据信息论中相对熵的定义，D(P||Q)表示用概率分布Q(x)来拟合真实分布P(x)所产生的信息消耗，因此相对熵总是非负的，有D(P||Q)≥0．由上可知：相对熵表示两个随机分布的差异时，分布越相似，其值越小；分布差异越大，相对熵的值则越大．因此，使用相对熵理论，基于节点度、集聚系数提出度分布相对熵、集聚系数分布相对熵，对国内航空网络遭受扰动时的度分布与集聚系数分布进行描述，用以测度航空网络的结构变化情况，即结构鲁棒性．度分布相对熵表示第m次节点(边)删除后，其度分布Pm(K)与原始网络度分布P0(K)的相对熵，可表征网络连接结构的变化，定义如下D(P0(K)||Pm(K))=∑P0(k)log[P0(k)/Pm(k)]，式中：P0(k)为网络初始状态下，节点度值为k的概率；Pm(k)为网络在第m次攻击后节点度值为k的概率；K取值为所有的度值．集聚系数分布相对熵表示第m次节点(边)删除后，集聚系数分布Pm(C)与原始网络集聚系数分布P0(C)的相对熵，定义如下D(P0(C)||Pm(C)=∑P0(c)log(P0(c)/Pm(c))，式中：P0(c)为网络初始状态下节点集聚系数为c的概率；Pm(c)为网络在第m次攻击后集聚系数为c的概率．网络节点的集聚系数为[0,1]上的任意值，为实现离散区间统计，这里将[0,1]分为124个区间，由此集聚系数区间c可表示为h124,h+1124，h∈[0,123]，进而统计网络节点在每个集聚系数区间的分布概率；C为所有c的集合．基于节点最大度、最大边介数对网络进行蓄意攻击，使用随机攻击进行对比；考虑到线路长短对节点、边重要性的影响，因此在节点度、边介数的基础上提出节点强度和加权边介数攻击，以模拟出更符合实际的鲁棒性实验．节点i的强度定义为与该节点所连接的边权之和，计为Si，Si=∑j∈HiWij，式中：Hi为节点i的邻居节点集；Wij为节点i与节点j之间的边权．加权边介数则是在边介数的基础上乘以此边的权重．此处将网络边、节点的攻击比例设定为0.1；因随机攻击具有一定的波动性，故取5次攻击的平均指标值．3 结构鲁棒性分析3.1　三元组鲁棒性分析使用7种策略对网络节点进行攻击，鲁棒性指标如图3所示，图中：α为节点攻击比例；B为三元组相对量；T为最大连通子图相对量；F为网络效率．从图3的3种鲁棒性指标来看：网络均对随机攻击展现更好的鲁棒性，K-Core攻击对网络的影响力稍小，其余攻击策略的指标值均相似；节点攻击时，三元组相对量指标的变化趋势与最大连通子图的相对大小、网络效率指标具有相似性；指标间的相似性源于三元组相对量指标，同时反映了网络的度与集聚系数，即可达性．因此，对于网络节点攻击，三元组相对量指标不仅反映了网络内部三元组结构的变化，而且也呈现了网络的连通性与运输效率．10.13245/j.hust.240501.F003图3多策略节点攻击下各鲁棒性指标对网络边进行最大边介数攻击(between)、随机攻击及最大三元组边攻击(max-tri)，鲁棒性指标如图4所示．为探究3个鲁棒性指标间的关系，设置最小三元组边攻击，如图5所示．由图4可知：最大三元组边攻击对网络三元组结构破坏力最大，对最大连通子图、网络效率指标的影响最小．在图5中，最小三元组边攻击对网络三元组结构破坏力最小，但对于最大连通子图与网络效率，则显示出极强的破坏性．仿真表明：对网络进行边攻击时，三元组相对量指标与连通子图、网络效率指标呈现反向特性，即在三元组相对量指标中影响力较大的攻击策略，在连通子图、网络效率中表现为更小影响力；这种反向特性则是较大三元组边的可替代路径多，因而出现破坏性延迟，较小三元组边可替代路径少，对攻击敏感性更高．因此该指标在衡量三元组结构的同时，从反向呈现了网络连通与效率方面的鲁棒性．10.13245/j.hust.240501.F004图4边攻击下各鲁棒性指标10.13245/j.hust.240501.F005图5最小三元组边攻击下各鲁棒性指标3.2　相对熵鲁棒性分析对航空网络节点采取随机攻击、最大度攻击(max-DC)、最大节点强度攻击(max-NT)，相对熵指标如图6所示．对网络边进行随机攻击、最大边介数攻击(max-BC)、最大加权边介数攻击(max-ET)，相对熵指标如图7所示．图中：HD为度相对熵；HJ为集聚系数相对熵．10.13245/j.hust.240501.F006图6节点攻击下各相对熵指标10.13245/j.hust.240501.F007图7边攻击下各相对熵指标由图6可知：面对节点攻击时，随机攻击对网络的度分布和集聚系数分布影响均较小，最大度攻击与最大节点强度攻击对网络结构的改变量较大，网络中度越大的节点对网络的结构影响越大．综上可知：网络在面对随机攻击时最大限度地保持了原网络的结构，但对于蓄意攻击的结构鲁棒性较差，并且网络对某些节点所处的状态表现出高敏感性．从图7(a)中度相对熵曲线变化可知：相比于随机攻击，最大边介数攻击与最大加权边介数攻击对网络结构的破坏力更强．由图7(b)知：在边攻击过程中，网络集聚系数相对熵整体呈现增大趋势，即大部分边的删除使现网络结构偏离原结构；最大边介数攻击与随机攻击对网络结构的破坏力较大；最大加权边介数攻击对网络集聚系数相对熵影响较小，网络表现出一定的结构鲁棒性．综上，最大边介数攻击对网络邻居间的连接关系破坏力更强，而最大加权边介数攻击与随机攻击对网络邻居间连接结构的破坏力较弱．3.3　测度适应性分析所提出的三元组相对量测度、相对熵测度主要用于研究航空网络的结构鲁棒性，并分析网络结构与功能的关系．下面对其测度在其他网络的适应性问题做如下讨论．不同的网络具有不同的微观结构，三元组相对量测度主要针对航空网络的内部中微结构而提出，用于研究航空网络的结构鲁棒性，因此更适用于这类高集聚系数的网络结构分析，如航空网络、社会网络等；若研究其他网络，则须根据网络的相对结构，进行类似分析．相对熵测度根据网络的度与集聚系数而提出，从网络的基本特征出发研究网络的结构鲁棒性，因而对其他网络均具有适应性，可作为一般性测度指标分析网络结构．因指标构造的一般性，也可将这种测度指标扩展到网络的其他特征进行研究．4 结语本研究提出了三元组测度与相对熵测度，用以衡量航空网络的结构鲁棒性，并引入最大连通子图相对大小和网络效率指标进行比较分析．仿真表明，航空网络在两种测度中表现出不同的结构鲁棒性．在节点攻击中，两种测度指标均对随机攻击具备较好的结构鲁棒性，而对蓄意攻击则表现出脆弱性；在边攻击中，介数攻击对网络三元组结构破坏力较弱，但对网络的度分布与集聚结构展现较大的破坏力．分析网络结构与功能的关系可知，三元组测度不但能呈现网络结构的变化，也反映整个网络的连通性与运输效率；最小三元组边攻击比最大边介数攻击对网络功能指标表现出更大的影响力．在网络的日常运维中，不但要关注重要航站与航线，而且应维护好最小三元组边所在航线，从而能使航空网络展现出更好的运输性能．