张拉整体结构具有传力路径简洁、造型轻盈的特点，在建筑结构和其他诸多领域得到了广泛应用．索穹顶结构是张拉整体概念在建筑结构中最成功的一种应用形式，并于1988年应用于汉城体操馆．20世纪90年代，工程师Levy将联方网格引入到脊索中，设计了Levy型索穹顶，并建成了世界上最大的索穹顶结构——乔治亚穹顶．Geiger型和Levy型也是目前应用与研究最广泛的两种索穹顶构形．此后，学者们对索穹顶的形状拓扑进行研究[1-4]，提出了多种新型索穹顶，如：袁行飞等[5]提出的Kiewitt型索穹顶，董石麟等[6]提出的巢型索穹顶，张爱林等[7]提出的脊杆环撑索穹顶，冯越等[8]提出的马鞍形索穹顶．董石麟等[9]还对几类基本形式的索穹顶进行了组合，得到了混合I型和混合II型索穹顶．闫翔宇等[10]对混合型索穹顶进行了找力分析并研究了不同边界条件对其力学性能的影响，苏延[11]对混合型索穹顶进行了内力优化和施工分析．上述各类新构形的提出和研究，丰富了索穹顶的体系形式，但新结构的拓扑设计仍缺乏一般性的方法和思路．本研究提出一种具有普适性的索穹顶结构参数化构形方法，通过构形参数的选择可快速建立混合型索穹顶结构模型．进一步对不同构型参数的混合型索穹顶结构性能进行对比分析，在验证构形方法有效性的同时，对结构拓扑进行优化，为混合型索穹顶的工程应用提供技术支撑．1 索穹顶参数化构形方法索穹顶的构形具有几何对称性，可由其平面布置和立面布置唯一确定．工程中较为常见的Geiger型、Levy型和Kiewitt型索穹顶的立面形式在保证压杆不接触的前提下具有明确、简洁的传力路径，保证结构内力自平衡，在减小质量、增加刚度方面具有优势[12]．该立面形式的索穹顶可以拆解为各圈脊索、斜索、竖杆和环索，以及中心竖杆或内拉环．1.1　参数化表示方法C=[c0,c1,…, cn]T∈R(n+1)×1表示索穹顶结构脊索和斜索的分布方式，式中：n为索穹顶环索的圈数；c0为索穹顶结构中心的布置方式，值为1表示中心设竖杆，值为0则表示中心设内拉环；ci (i=1,2,…,n)为从内到外各圈斜索和脊索的连接方式，ci=1表示该圈脊索和斜索的布置方式为Geiger型，此时脊索和斜索连接的两圈节点数相同，节点径向相对分布，脊索和斜索沿径向布置，连接相对的节点；ci=2表示该圈脊索和斜索的连接方式为Levy型，此时脊索和斜索连接的内外两圈节点数相同，节点径向相错分布，脊索和斜索斜向布置，从一个节点出发同时连接径向相对位置相邻的两个节点；ci=3表示该圈脊索和斜索的布置方式为Kiewitt型，此时外圈节点数多于内圈，其中位于平面对称轴上的节点径向布置，位于对称轴上的脊索和斜索径向布置，其余区域内的节点环向等距分布，相应的脊索和斜索斜向布置．根据以上定义，一个设中心竖杆和3圈环索的的Geiger型索穹顶的拓扑可以表示为C=[1,1,1,1]T，一个设中心竖杆和4圈环索的Levy型索穹顶的拓扑可以表示为C=[1,2,2,2,2]T，一个设内拉环和5圈环索的Kiewitt型索穹顶的拓扑可以表示为C=[0,3,3,3,3,3]T．1.2　结构构造特点采用1.1节的构形方法可设计出各类不同拓扑布置的索穹顶．从平面布置的角度看，新结构可以视作Geiger型、Levy型和Kiewitt型索穹顶对应部分的组合，故称为混合型索穹顶．如图1(a)中所示C=[1,2,1,2]T的混合型索穹顶，第一、三圈脊索和斜索为径向布置，第二、四圈脊索和斜索的布置为三角化型布置．图1(b)为C=[1,1,2,2]T的混合型索穹顶，第一、二圈脊索和斜索为径向布置，第三、四圈脊索和斜索的布置为三角化型布置．10.13245/j.hust.240163.F001图1混合型索穹顶的平面构成对于一个圈数为n、环向等分数为k的混合型索穹顶，可以通过构形参数C快速确定结构中各类构件的数量．假设结构构形参数C的元素c1,c2,……,cn中包含p个1和q个2，那么该索穹顶结构由kn根普通竖杆(与中心竖杆区别)、(p+2q)k根脊索、(p+2q)k根斜索和kn根环索组成．每根竖杆的上下节点均至少连接3根拉索．2 不同构形参数的混合型索穹顶性能Geiger型索穹顶除中心竖杆外，其余竖杆的上节点仅连接3根共面的拉索，面外刚度较差，因此在工程中须通过布置斜向构造索或膜面谷索等措施提高其面外刚度．Levy型索穹顶中，将Geiger型索穹顶沿径向布置的脊索和斜索分岔为两根，增加了结构的面外刚度，但同时也增加了斜索和脊索的长度，并使脊索和斜索的数量翻倍，大大增加了结构的用钢量．有必要探索不同构形参数的混合型索穹顶的静动力性能．2.1　结构参数应用参数化构形方法设计了4个混合型索穹顶，对其进行结构性能分析，并与传统的Geiger型索穹顶进行对比．结构均具有图2所示的立面尺寸，环向等分数为8，构形参数的取值分别为C1=[1,2,1,2]T，C2=[1,2,2,1]T，C3=[1,1,1,2]T，C4=[1,1,2,2]T，C5=1,1,1,1T．10.13245/j.hust.240163.F002图2结构立面尺寸(m)结构的平面布置如图3所示，其中图3(e)为传统的Geiger型索穹顶，其余为混合型索穹顶．10.13245/j.hust.240163.F003图3结构平面布置结构的索选取极限抗拉强度为1 770 MPa、弹性模量为196 GPa的材料，杆选取屈服强度为345 MPa、弹性模量为206 GPa的材料．构件的截面选取满足各拉索的预应力水平不超过极限抗拉强度的30%，各压杆的预应力水平不超过屈服强度的50%的最小截面，其中压杆考虑失稳问题，构件的截面积如表1所示．10.13245/j.hust.240163.T001表1索穹顶结构的构件截面积构件类型分组C1C2C3C4C5拉索JS1JS2JS3JS4XS1XS2XS3XS4HS1HS2HS33 1502 4505 7708 3206016911 6002 3401 0501 6002 3402 6902 1204 3109 1605256011 0503 0109651 3803 0103 9404 5905 7708 3208391 2601 6002 3401 3801 6002 3403 1503 7503 9409 5906019659652 6901 0501 2602 6904 3105 0306 0407 4608391 3801 6002 3401 4501 8402 690压杆SG1SG2SG3SG424 60012 70014 50021 40023 00011 70015 20020 40027 80013 10014 50021 60024 60011 70014 50023 20029 00013 70015 20018 100mm2结构的初始预内力模态采取二次奇异值分解法确定，为使5个结构的用钢量和动力特性具有可比性，通过设计预内力大小，使得结构在1.0 kN/m2的均布荷载作用下节点最大位移接近．2.2　静力性能分析使用有限元软件ANSYS分析5个结构在静力荷载作用下的性能．根据规范，以结构最大跨度的1/250为节点最大位移限值．面荷载取1.0 kN/m2，各圈分别均匀施加于各竖杆上节点．分析结果如表2所示．10.13245/j.hust.240163.T002表2结构参数和静力分析结果构型参数中心竖杆预内力/kN结构最大位移/mm最大位移跨度比单位面积用钢量/(kg∙m-2)C1-1 450173.31/32919.185C2-1 250171.81/33216.027C3-1 850170.91/33319.346C4-1 450171.91/33120.992C5-2 000172.81/33014.919在相同的静力荷载作用下，5个结构的最大位移介于170.9~173.3 mm之间，最大位移跨度比介于1/333~1/329之间，均小于规范要求的1/250，表明结构具有较好的竖向刚度．2.3　动力性能分析使用Matlab软件中命令V,D=eig(KT,M)可以得到结构的各阶自振频率组成的对角矩阵D和对应的振型组成的矩阵V，其中KT为结构的切线刚度矩阵，M为结构的质量矩阵．图4给出了5个结构的前15阶频率(f)，m为振动模态阶数．频率越低，说明结构约束该阶振型的刚度越差，失稳越容易发生．对比可知，混合型索穹顶的各阶频率均高于Geiger型索穹顶．10.13245/j.hust.240163.F004图45个结构前15阶自振频率进一步分析振型和频率可以得到：混合型索穹顶的各阶振型均与Geiger型索穹顶的某一更高阶振型相似，相似振型对应的频率也十分接近；而Geiger型索穹顶的各阶振型，仅有部分能在混合型索穹顶中找到相似的振型．这是由于混合型索穹顶部分布置了斜向的脊索和斜索，对节点的约束与对应的Geiger型索穹顶相比更加充分，从几何拓扑上避免了部分振型的发生．而混合型索穹顶的各阶振型，在Geiger型索穹顶中同样缺少对其的约束，因此在Geiger型索穹顶中会出现相似的振型．频率反映了结构在振型方向上的刚度，本算例中的混合型索穹顶与Geiger型索穹顶在部分几何拓扑具有相似之处，因此相似的振型具有接近的频率，如图5和6所示．10.13245/j.hust.240163.F005图5混合型索穹顶振型对比10.13245/j.hust.240163.F006图6Geiger型索穹顶振型对比如图5(a)、6(a)所示，C2=[1,2,2,1]T的混合型索穹顶的第1阶振型与Geiger型索穹顶的第1阶振型均为结构最外圈环索连接的竖杆下端整体环向转动，两者对应的频率分别为1.488和1.436 Hz，而其他的混合型索穹顶中没有出现相似振型．原因是索穹顶结构的约束在外周，C2=[1,2,2,1]T的混合型索穹顶构形参数的最后一个元素是1，其与Geiger型索穹顶的最外圈环索连接竖杆的每个节点仅有外侧的一根径向脊索和斜索连接，受约束不足，而其他的混合型索穹顶构形参数的最后一个元素是2，最外圈环索连接竖杆的每个节点由两根斜向的脊索和斜索连接，约束充分，避免了该振型的出现．如图5(b)、5(c)和图6(b)所示，C1=[1,2,1，2]T，C3=[1,1,1,2]T的混合型索穹顶的第1阶振型与Geiger型索穹顶的第二阶振型均为结构中间圈环索连接的竖杆下端整体环向转动，三者对应的频率分别为1.854，1.854和1.836 Hz，而C2=[1,2,2,1]T和C4=[1,1,2,2]T的混合型索穹顶中没有出现相似振型．原因是：前3个结构构形参数的第3个元素是1，而后两个结构构形参数的第3个元素是2．如图5(d)、5(e)和图6(c)所示，C3=[1,1,1，2]T和C4=[1,1,2,2]T的混合型索穹顶的第1阶振型与Geiger型索穹顶的第5阶振型均为结构最内圈环索连接的竖杆下端整体环向转动，三者对应的频率分别为2.602，2.607和2.488 Hz，而C2=[1,2,2,1]T和C1=[1,2,1,2]T的混合型索穹顶中没有出现相似振型．原因亦为：前3个结构构形参数的第2个元素是1，而后两个结构构形参数的第2个元素是2．总结5个结构的振型和频率可以得到：混合型索穹顶的设计应遵循“加强短板”的原则，构形参数C中的元素2应尽量布置在靠后位置，以避免对应Geiger型索穹顶的低阶振型出现．通常构形参数中的元数2越多，结构的动力性能越好，但是在靠前位置布置多个元素2的优先级应低于在靠后位置布置元素2，如C2=[1,2,2,1]T与C3=[1,1，1,2]T的混合型索穹顶相比，构形参数中的元素2更多，但其前6阶低阶频率整体低于后者，后者的动力性能更加优秀．3 工程实例模拟分析3.1　穹顶结构为验证第2节得到结论的有效性，同时考察混合型索穹顶动力性能的优越性，选取实际工程案例鄂尔多斯伊旗索穹顶建模对比分析．该穹顶是我国第一个大型索穹顶工程，结构跨度71.2 m，采用Geiger型索穹顶结构．算例选取鄂尔多斯伊旗索穹顶结构对应的立面尺寸，如图7所示．10.13245/j.hust.240163.F007图7鄂尔多斯伊旗索穹顶结构对应的立面布置(m)3.2　结构参数选取Geiger型索穹顶，混合型索穹顶和添加构造索的Geiger型索穹顶进行建模分析．结构布置两圈环索，环向等分数为20．根据第2节的讨论结果，混合型索穹顶的构形参数选为C=[1,1,2]T，在增加用钢量有限的情况下能够保证结构的面外刚度，避免出现对动力性能影响最大的对应Geiger型索穹顶的第一阶振型．结构的索选取极限抗拉强度为1 670 MPa、弹性模量为1.96×105 MPa的材料，杆选取屈服强度为345 MPa、弹性模量为2.06×105 MPa的材料．前两个结构采取第2节算例中的截面和预内力设计方法，构件的截面积如表3所示，后一个结构直接在Geiger型索穹顶的各圈竖杆处布置在预应力态下无内力的构造索，如图8所示，构造索统一选用截面积为4 120 mm2的钢索．设计得到的混合型索穹顶单位面积用钢量为17.857 kg/m2，Geiger型索穹顶和添加构造索的Geiger型索穹顶的单位面积用钢量分别为17.601和18.966 kg/m2．10.13245/j.hust.240163.T003表3索穹顶结构的构件截面积构件类型分组C=[1，1，2]TC=[1，1，1]T拉索JS1JS2JS3XS1XS2XS3HS1HS2GZS2 3403 1502 6901 0501 6001 3805 0307 1302 3403 3005 0301 0501 8402 4505 0307 4604 120压杆SG1SG2SG332 40010 40015 60033 00010 60015 600mm210.13245/j.hust.240163.F008图8Geiger型索穹顶构造索的布置3.3　静力性能分析使用有限元软件ANSYS分析结构在静力荷载作用下的性能．面荷载取1.0 kN/m2，各圈分别均匀施加于各竖杆上节点．结构参数和静力分析结果如表4所示，在静力荷载作用下，混合型索穹顶的中心竖杆出现最大位移197.7 mm，约为结构最大跨度71.2 m的1/360，满足规范要求．Geiger型索穹顶和添加构造索的Geiger型索穹顶出现的最大位移均为195.6mm，出现在中心竖杆处，约为结构最大跨度的1/364，满足规范要求．10.13245/j.hust.240163.T004表4结构参数和静力分析结果C布置构造索中心竖杆预内力/kN结构最大位移/mm最大位移跨度比单位面积用钢量/(kg∙m2)[1，1，1]T否-3 100195.61/36417.601[1，1，1]T是-3 100195.61/36418.966[1，1，2]T否-3 000197.71/36017.8573.4　动力性能分析3个结构的前15阶频率如图9所示，在Geiger型索穹顶中布置构造索对结构动力性能影响有限，除第1阶频率明显增大，结构的第2~13阶频率与Geiger型索穹顶相差不大．混合型索穹顶在几何拓扑上与Geiger型索穹顶有根本的区别，低阶频率均明显高于Geiger型索穹顶，体现了构形参数C布置合理的混合型索穹顶动力特性的优越性．10.13245/j.hust.240163.F009图93个结构前15阶频率如图10所示，Geiger型索穹顶的第1阶振型是结构外圈环索连接的竖杆下端整体环向转动，而其他两个结构没有出现相似的振型，混合型索穹顶的第1阶振型是内圈环索连接的竖杆下端整体环向转动，添加了构造索的Geiger型索穹顶的第1阶振型则是结构的两圈环索整体发生了转动，但是对应的频率得到了提高．对比3个结构的振型和频率可知：混合型索穹顶的拓扑和添加构造索的措施均避免了Geiger型索穹顶第1阶振型的出现，且前者更加有效．10.13245/j.hust.240163.F010图10不同结构的第1阶振型4 结论a．将索穹顶结构的拓扑关系参数化表达，提出混合型索穹顶构形方法，与传统结构设计方法相比，优化的变量不局限于结构尺寸，使得结构形式更加多样．所提构形方法设计的混合型索穹顶对称、美观，能够保持稳定，具有可行的自应力模态．b．静力分析结果表明混合型索穹顶刚度大，在1.0 kg/m2的面荷载作用下，节点位移满足规范中对柔性大跨度屋面结构的要求，可以应用于工程实践中．c．探索了混合型索穹顶构形参数C对索穹顶动力性能的影响，分析了混合型索穹顶与对应Geiger型索穹顶在自振频率和振型分布的特点和联系，得到构形参数C最优的布置方法，即混合型索穹顶的设计应遵循“加强短板”的原则，构形参数C中的元素2应尽量布置在靠后位置．d．算例分析表明：构形参数C布置合理的混合型索穹顶能够有效解决Geiger型索穹顶面外刚度不足的问题，效果与添加构造索相比更加明显．与对应的Levy型索穹顶相比，混合型索穹顶减少了拉索的数量，降低了构件制作、张拉的成本，更加节省材料．