渐开线齿轮当前在市场上仍占据主导地位，但随着科技的发展，各种装备对齿轮传动系统高承载的需求不断提高，渐开线齿轮的部分弊端逐步显现，齿面点蚀甚至胶合等问题在土压平衡盾构机和采煤机等大型装备中日益突出[1]．为满足现代装备的发展需求，研究人员一直致力于非渐开线齿形的开发及推广．非渐开线齿形中，双圆弧齿轮是一种比较经典的高承载齿轮．Litvin等[2]、Wen等[3]、姜碧琼等[4]完成了双圆弧齿轮的齿面接触分析、应力计算、载荷分配计算．Yao等[5]进行了内啮合双圆弧螺旋锥齿轮副设计，并将其应用于章动减速器．近年又逐步出现了一些新型非渐开线齿轮．贵新成等[6]通过分析圆弧啮合线位置及数学表达，提出了一种具有高重合度的新型内啮合复合摆线齿轮副，并进行了有限元仿真和光弹实验测试．Peng等[7]基于齿轮滑动率提出了一种由渐开线内齿轮和二次曲线齿廓外齿轮组成的点啮合内齿轮副，并进行了啮合效率计算和磨损程度测试实验．Hlebanja[8]研究了一种啮合线为曲线的S型齿轮，并进行了中心距误差敏感性分析．Jia等[9]基于曲线啮合线设计了一种高承载新型圆柱齿轮．孙强等[10]基于正弦曲线齿条刀具提出了一种能够实现凹凸接触啮合的新型齿轮，并开展了新型齿轮的有限元计算．Koide等[11]计算了正弦齿轮的齿面闪温和啮合效率，认为正弦齿轮比渐开线齿轮有更好的啮合性能．Liang等[12]设计了一种齿廓由两段圆弧和一段渐开线组合而成的新型非渐开线齿轮．Wang等[13]基于圆弧啮合线设计了一种大重合度内啮合齿轮，并通过数控方法完成内啮合齿轮样件加工．文献[14-16]通过理论分析和实验研究证明了S型齿轮比渐开线齿轮有更大的承载能力、更长的使用寿命和更高的啮合效率．基于以上分析，可以看出S型齿轮是一种综合啮合性能优良、具有一定潜在应用价值的新齿形．关于S型齿轮的研究并不多，且大多为外啮合S型齿轮，内啮合S型齿轮的设计理论还不够完善．为设计和研发新型高承载凹凸接触S型齿轮行星轮系，本研究进行了新型内啮合S型齿轮的设计和接触特性研究．基于S型齿廓插刀和加工运动关系，推导了新型内啮合S型齿轮齿面方程，建立了参数化新型内啮合S型齿轮设计模型，并参考了渐开线内啮合齿轮干涉检测方法，对设计的内啮合S型齿轮啮合副进行了干涉检测．基于轮齿接触分析(TCA)和承载轮齿接触分析(LTCA)，对设计的内啮合S型齿轮在不同修形量和安装误差下的几何接触特性和加载接触特性进行深入分析，从理论上验证了新型内啮合S型齿轮啮合传动的可行性．1 新型内啮合S型齿轮设计1.1　内啮合S型齿轮齿面设计刀具齿廓如图1所示，图中：Xn0，Yn0，On0分别为渐开线刀具加工中的固定坐标系坐标和原点；Xa0，Ya0，Oa0分别为渐开线刀具上的坐标系坐标和原点；Xn1，Yn1，On1分别为S型刀具加工中的固定坐标系坐标和原点；Xa1，Ya1，Oa1分别为S型刀具上的坐标系坐标和原点．10.13245/j.hust.230778.F001图1刀具齿廓基于S型的刀具齿廓和加工运动关系，可以得到S型外齿轮齿面．图中S型的刀具齿廓切削刃由AB和BC两段曲线组成，曲线AB和BC关于坐标原点呈半对称结构．坐标系Sa1中刀具S型齿廓曲线方程可表示为ya1=apm[1-(1-xa1/m)nc]    (xa1≥0);-apm[1-(1+xa1/m)nc]  (xa10), (1)式中：m为齿轮模数；ap和nc为S型曲线参数．坐标系St1中，刀具的位置矢量表示为rt1=    [M]t1,a1[u1, apm[1-(1-u1/m)nc], l1, 1]T(u1≥0);    [M]t1,a1[u1, apm[1-(1+u1/m)nc], l1, 1]T(u10), (2)式中u1和l1为刀具齿面参数．单位法向矢量可表示为nt1=∂rt1∂u1∙∂rt1∂l1∙∂rt1∂u1∙∂rt1∂l1-1．(3)基于啮合原理，S型外齿轮齿面Σ1可表示为r1(u1, l1, θ1)=[M]1,t1rt1(u1, l1);n1=[L]1,t1nt1;f(u1, l1, θ1)=∂r1∂u1×∂r1∂l1∙∂r1∂θ1=0, (4)式中：[M]1，t1为从坐标系Sa1到S1的转换矩阵；[L]1,t1为其中的转动子矩阵；r1和n1为S型外齿轮齿面的位置矢量和单位法向矢量；u1，l1和θ1为外齿轮齿面参数．1.2　S型内齿轮上节中通过齿条刀具可以得到S型外齿轮，在此以S型外齿轮齿廓为插刀齿廓，基于S型插刀和加工运动关系，得到S型内齿轮齿面．根据啮合理论，S型内齿轮齿面Σ2可表示为r2(u2, l2, θ2)=[M]2,t2rt2(u2, l2);n2=[L]2,t2nt2;f(u2, l2, θ2)=∂r2∂u2×∂r2∂l2⋅∂r2∂θ2=0, (5)式中：rt2和nt2分别为S型插刀的位置矢量和单位法向矢量；[M]2，t2表示从坐标系St2到S2的转换矩阵；[L]2，t2为其中的转动子矩阵；r2和n2为S型内齿轮齿面的位置矢量和单位法向矢量；u2，l2和θ2为内齿轮齿面参数．内啮合齿轮易出现干涉问题，因此完成齿面设计后，还须要进行干涉检查．通常内啮合齿轮传动干涉主要有齿廓重叠干涉、径向干涉和过渡曲线干涉，检查方法可参见文献[17]．由于S型齿轮在进入和退出啮合时凹凸接触，故本研究在这三种干涉检查的基础上，新增加了曲率干涉检查．2 齿面修形及仿真分析2.1　S型齿轮齿面修形设计本研究只对外齿轮进行齿廓修形和齿向修形，修形曲线由两段二阶抛物线和一段直线组成[9]．将旋转投影面沿齿高、齿向方向均匀划分为m×n网格点阵，由修形曲线计算网格节点的修形量δij(x，y)，再通过3次B样条曲面对节点数据拟合得到光滑的修形曲面，其与理论齿面的关系为x=Rx2+Ry2;y=Rz, (6)式中Rx，Ry，Rz为理论齿面位置矢量的坐标分量．本研究采用修形量曲面与理论齿面旋转投影面叠加的方式构造修形齿面，其位置矢量可表示为R1r(u1, l1)=δ(x, y)n1(u1, l1)+ R1(u1, l1)．(7)修形齿面法向矢量可表示为     n1r=∂R1∂u1+∂δ∂u1n1+∂n1∂u1δ×∂R1∂l1+∂δ∂l1n1+∂n1∂l1δ, (8)式中：R1和n1分别为理论齿面位矢和法矢；u1和l1分别为理论齿面参数；R1r和n1r分别为修形齿面位矢和法矢；δ为修形量．2.2　轮齿接触分析和承载接触分析通过轮齿接触分析可以对空载下的齿轮副啮合过程进行仿真分析；通过承载接触分析可以对负载下的齿轮副啮合过程进行仿真分析[18-19]．轮齿接触分析计算过程中，两齿轮须要满足以下连续接触条件，rf1(u1, l1, θ1, ϕ1)=rf2(u2, l2, θ2, ϕ2);nf1(u1, l1, θ1, ϕ1)=nf2(u2, l2, θ2, ϕ2). (9)由于nf1=nf2=1，因此式(9)可得到五个独立的标量方程，取一系列ϕ1为输入量，求解其余五个未知量，可得到两齿面的所有接触点，进而确定齿轮副的齿面接触印痕．在轮齿接触分析计算中，可以人为给定齿轮副的安装误差Δγ．进行承载接触分析首先要通过Matlab编程计算参数化的三维网格模型节点坐标；然后将计算得到的节点坐标导入Abaqus软件中，得到三维有限元网格模型；最后运用Abaqus进行承载接触分析计算仿真[20]．3 算例分析以下算例所选用的新型内啮合S型齿轮外齿轮和内齿轮齿数分别为29和79，齿顶高和齿根高系数分别为1.00和1.25，齿形设计参数nc取2，法向模数取2.25 mm，压力角取18°，螺旋角取20°，齿宽取28 mm．完成内啮合齿轮副齿面设计后，首先进行齿廓重叠干涉、径向干涉和过渡曲线干涉校核，在此基础上进一步进行曲率干涉检查．图2为啮合接触干涉检查的计算结果，图中：K为诱导法曲率；N为啮合点的位置编号．可以看出内啮合S型齿轮副两齿面上有21个啮合点，在每个啮合位置诱导法曲率有两个极值点，最大诱导法曲率和最小诱导法曲率皆为负值．根据计算结果可知设计的新型内啮合S型齿轮不发生啮合接触干涉．综合以上干涉检查可以判定，本研究设计的新型内啮合S型齿轮工作齿面接触良好，无干涉发生，可以实现正常啮合传动．10.13245/j.hust.230778.F002图2啮合点处的相对法曲率图3为齿面修形后S型内齿轮在不同安装误差下的齿面接触印痕，齿廓修形和齿向修形均在全齿面进行，最大修形量均为10 μm，图中：h为齿高；l为齿长．从图3可以看出：齿廓修形后随着安装误差增大，齿面接触印痕逐步沿齿廓方向发生上下偏移；齿向修形后随着安装误差增大，齿面接触印痕逐步沿齿向方向发生左右偏移．10.13245/j.hust.230778.F003图3齿面修形后S型内齿轮在不同安装误差下的齿面接触印痕为了分析新型内啮合S型齿轮的承载接触特性，本研究基于新型齿轮三维网格模型在Abaqus中完成了承载接触分析．三维网格为八节点六面体C3D8R单元，在内啮合S型齿轮齿高方向工作齿面和过渡曲线上分别取32和6个节点，齿向方向取16个单元，齿厚方向取4个单元．设置齿轮副泊松比为0.29，弹性模量为208.6 GPa，施加在外齿轮上的转矩为134 N·m，齿根弯曲应力为小轮的齿根弯曲应力．图4和图5分别为内啮合S型齿轮在不同齿向修形量和载荷下的承载传动误差，齿向两端修形量相等，齿向不修形长度为0，图中：δ为承载传动误差；ϕ为小轮转角．图4为内啮合S型齿轮在齿向修形量为0，5，10，15，20 μm情况下的承载传动误差变化曲线，其峰值随修形量的增大而增大，幅值随齿向修形量的增大而减小．图5为内啮合S型齿轮载荷为134，268，402 N·m情况下的承载传动误差变化曲线，其峰值和幅值均随载荷的增大而增大．10.13245/j.hust.230778.F004图4不同齿向修形量下内啮合S型齿轮承载传动误差对比10.13245/j.hust.230778.F005图5不同载荷下内啮合S型齿轮承载传动误差对比图6为内啮合S型齿轮和渐开线内啮合齿轮在无修形标准安装下的应力变化曲线，图中σ和σb分别为齿面接触应力和齿根弯曲应力．图6(a)中内啮合S型齿轮和渐开线内啮合齿轮齿面的最大接触应力分别为556 MPa和604 MPa，内啮合S型齿轮齿面上的最大接触应力与渐开线内啮合齿轮相比低9%．图6(b)中内啮合S型齿轮和渐开线内啮合齿轮齿根部位的最大弯曲应力分别为76 MPa和83 MPa，内啮合S型齿轮齿根部位的最大弯曲应力与渐开线内啮合齿轮相比也低9%．综上所述，在相同设计参数下，内啮合S型齿轮的最大应力均低于渐开线齿轮的最大应力．10.13245/j.hust.230778.F006图6无修形无误差时S型齿轮和渐开线齿轮应力对比图7为新型内啮合S型齿轮应力随齿向修形量的变化曲线，图7(a)中修形量为5，10，15，20 μm的工况下最大接触应力分别为474，533，581，620 MPa．齿向修形后，轮齿进入啮合和退出啮合区域，接触应力下降，齿面中间区域接触应力增大．图7(b)中四种修形量下最大弯曲应力分别为84，95，105，113 MPa，齿向修形后内啮合S型齿轮受到的最大齿面接触应力和齿根弯曲应力均随修形量的增大而增大．10.13245/j.hust.230778.F007图7无误差时内啮合S型齿轮副应力随修形量的变化图8给出当安装误差为2′时，不同齿向修形量下的应力计算结果，图8(a)中未修形工况下，最大接触应力为906 MPa，与标准安装相比增大了63%．当齿向修形量分别为5，10，15，20 μm时，与标准安装相比分别增大56%，5%，1%，0%，可见齿向修形可以减小误差敏感性．图8(b)中未修形工况下，齿根最大弯曲应力为125 MPa，与标准安装相比增大了64%，齿向修形后四个修形量对应的最大弯曲应力分别为119，101，116，121 MPa．从计算结果可以看出：当修形量为5 μm时，最大齿根弯曲应力增加幅度较大．综合对比四种修形下的计算结果，可以发现在10 μm的修形量下修形效果最好．图9为当齿向修形量为10 μm时，不同安装误差下的应力计算结果，可以看出当安装误差为2′和4′时，较标准安装最大接触应力分别增加了5%和57%，最大弯曲应力分别增加了6%和22%．当安装误差为-2′和-4′时，较标准安装最大齿面接触应力分别增加了7%和25%，最大弯曲应力分别增加了19%和56%．10.13245/j.hust.230778.F008图8有误差时内啮合S型齿轮副应力随修形量的变化10.13245/j.hust.230778.F009图9不同误差下修形内啮合S型齿轮副应力对比4 结论针对S型齿廓的优良啮合特性及其潜在价值，本研究设计了一种新型内啮合S型齿轮，并对其啮合特性进行了分析，可得到以下结论．a. 本研究设计的新型内啮合S型齿轮可实现参数化设计，不产生根切和干涉等，工作齿面接触良好，可以实现正确啮合传动．b. 基于轮齿接触分析和轮齿加载接触分析，研究了内啮合S型齿轮计入齿向修形和安装误差的几何接触特性和加载接触特性．c. 当齿轮轴线由于安装误差产生偏斜时，齿向修形可以缓解齿轮啮合对安装误差的敏感性，避免齿轮在啮合过程中产生过大的偏载．d. 设计的新型内啮合S型齿轮可为下一步设计新型凹凸接触S型齿轮行星轮系提供支持．