随着工业技术不断发展和完善，针对工业设备的故障检测越来越受到重视[1-2]．齿轮传动系统在航空航天领域和机器人领域中占有重要地位[3-4]．在齿轮传动系统中，当齿轮啮合产生极端的应力集中时，工作过程中的齿轮可能产生裂纹并且不断延伸，导致齿轮时变啮合刚度(TVMS)降低．因此，可以通过时变啮合刚度降低的幅度来估算齿轮的损伤程度．齿轮的啮合刚度通常用有限元方法计算[5-6]，但是齿轮副的有限元模型须要进行网格细化，从而获取详细的几何模型，导致计算时间过长．然而解析模型作为替代方法得到的结果可以与有限元方法结果保持良好的一致性，且计算时间较短．本研究根据所提出的解析模型，采用能量法计算齿轮的时变啮合刚度．关于直齿轮的解析模型仍处于改进之中，文献[7]在弹流润滑的基础上提出了一种考虑粗糙度接触刚度和油膜刚度的混合直齿轮时变啮合刚度模型．文献[8]提出了一种考虑了齿轮体耦合柔性和齿面误差影响的时变啮合刚度计算模型，并通过有限元法验证了该模型的有效性．工作中的齿轮出现裂纹会降低承载在齿轮上的有效厚度，文献[9]提出的裂纹解析模型可以更加准确地计算齿轮时变啮合刚度．文献[10-11]分析了面齿轮-行星传动系统的动力学均载特性及啮合刚度对系统固有频率的影响．文献[12]推导了一种基于网格刚度时间周期的裂纹长度检测方法，对齿轮动力学模型进行仿真，采用时域和频域提取的统计指标对裂纹扩展水平进行评价．综上所述，含裂纹故障的直齿轮时变啮合刚度计算与动力学分析仍处于探索之中，裂纹模型仍有多种形式有待开发，且裂纹与其他故障耦合对时变啮合刚度有着深远影响．本研究对三种裂纹类型进行对比，从沿齿厚深度、裂纹扩展角度和沿齿宽长度来分析不同类型裂纹对齿轮时变啮合刚度的影响，给出了不同类型裂纹情况下齿轮的传递误差和载荷分配比；发现裂纹会降低齿轮传动系统的稳定性，增大齿轮之间的传动误差，使其承载能力下降；并建立6自由度平移-扭转动力学模型，采用时频分析方法揭示啮合频率、时间与幅值三者的耦合关系，获取了含裂纹齿轮传动系统的动态响应特性．1 含裂纹齿轮时变啮合刚度1.1　齿轮时变啮合刚度的能量法建模图1所示含裂纹的非均匀悬臂梁模型中，裂纹长度q与齿轮轮廓曲线及裂纹底部和齿轮尖端连接的限制线称为失效区(该区域在图中用红色填充线表示)．齿轮中储存的轴向压缩能、弯曲能、剪切能Uj ( j=a，b，s)为[13-14]Uj=F2/(2Kj), (1)式中Kj(j=a，b，s)分别为齿轮接触点的啮合力F作用下的轴向压缩刚度、弯曲刚度与剪切刚度．Fa=Fsin αm;Fb=Fcos αm;M=Fbl-Fah, (2)式中：Fa为齿轮啮合力沿纵坐标分力；αm为齿轮啮合角；Fb为齿轮啮合力沿横坐标分力；M为相对于宽度为l处的横截面力矩；l为宽度；h为啮合点到齿中线的距离．齿轮接触点的啮合力F可分解为垂直于齿厚的分力和沿齿厚的分力，并计算图1中相对于宽度为l处的横截面力矩．10.13245/j.hust.239084.F001图1齿轮齿根含裂纹的非均匀悬臂梁模型在啮合过程中，两齿的赫兹接触刚度沿整个作用线是恒定的，1/Kh=4(1-v2)/(πWE)，(3)式中：v为泊松比；W为齿宽；E为弹性模量．根据式(1)和(2)可知，轮齿轴向压缩刚度、弯曲刚度和剪切刚度为[10-13]1Ka=∫0dsin2αmAlEdl;1Kb=∫0d(lcos αm-hsin αm)2IlEdl;1Ks=∫0d1.2cos2αmAlGdl, (4)式中：G为剪切模量；Al和Il为距离齿轮啮合点l处的截面面积与截面惯性矩．又有：Al=(hq+hl)dW;Il=[(hq+hl)3dW]/12, (5)式中hl与hq为图1中阴影部分dl以齿中线为界限与齿轮轮廓和失效区的长度．齿轮的时变啮合刚度还会受到圆角基础挠度的影响，将其运用于弹性圆环，通过假设齿根圆处线性和恒定应力的变化，推导出反映于齿轮体所引起的齿形偏差δf与基体刚度Kf为：δf=Fcos2 αm(L*uf2/Sf2+M*uf/Sf+P*+P*Q*tan2 αm)/(EW); (6)1/Kf=δf/F,  (7)式中各参数定义参见文献[9]及图2．10.13245/j.hust.239084.F002图2圆角基础挠度的几何参数由式(4)~(7)可得到一对齿啮合时的单齿时变啮合刚度为Kt1=1Kh+∑i=p,g1Kai+1Kbi+1Ksi+1Kfi-1，(8)式中下标p和g分别表示主动轮和从动轮．在有两对齿啮合的情况下，对第二对齿进行重复计算可以得到Kt2，K=Kt1+Kt2，(9)式中K为齿轮啮合的综合时变啮合刚度．1.2　齿宽方向裂纹的时变啮合刚度计算模型齿根裂纹不仅会沿齿厚加深，在齿宽方向也会有不同的扩展形式．图3所示A-A为裂纹处横切面，当裂纹沿齿宽方向扩展时将其看作抛物线．当裂纹扩展长度小于整个齿宽时，裂纹长度计算模型为10.13245/j.hust.239084.F003图3裂纹沿齿宽方向扩展模型q(z)=q(L-z)/L  (z∈0-L);0  (z∈L-W), (10)式中L为裂纹沿齿宽长度．当裂纹扩展至整个齿宽时，q(z)=[(q2-qe2)/W]z+qe2, (11)式中qe为贯穿齿轮尾部的裂纹长度．1.3　不同类型裂纹对时变啮合刚度的影响齿轮传动系统中直齿轮副基本参数如下：主动轮齿数为27，从动轮齿数为40；主动轮和从动轮的其他参数相同，模数为2 mm，齿宽为20 mm，泊松比为0.28，齿顶高系数为1，顶隙系数为0.25，分度圆压力角为20°，弹性模量为2.1×105 N/mm2，将裂纹设置在主动轮第一对齿上．基于上述建立的齿轮裂纹解析模型，先分析贯穿形裂纹(裂纹沿齿宽方向完全贯穿，qe=q，如图3所示)，裂纹倾斜角α=75°，分析齿根裂纹的深度对齿轮时变啮合刚度的影响．如图4所示，使沿齿厚方向裂纹深度q=0.0～2.0 mm，间隔为0.4 mm．随着裂纹深度增大，齿轮的时变啮合刚度减小．10.13245/j.hust.239084.F004图4贯穿形裂纹齿轮时变啮合刚度设置裂纹倾斜角分别为α=75°和α=65°，如图510.13245/j.hust.239084.F005图5不同裂纹倾斜角度下齿轮时变啮合刚度所示，对比发现在相同的齿厚裂纹深度下，裂纹倾斜角越大刚度降低越明显，且当裂纹深度q=2 mm时，降低最为明显．裂纹倾斜角增大导致齿轮的失效区面积增大，从而减小齿轮的时变啮合刚度．分析发现当裂纹倾斜角α=75°时，q=1.5 mm和q=2.0 mm沿齿宽方向裂纹长度L=0～20 mm，间隔为5 mm的相同长度变化下的齿轮时变啮合刚度如图6所示，研究发现裂纹深度越大，相同沿齿宽方向裂纹长度下齿轮的时变啮合刚度越小．10.13245/j.hust.239084.F006图6不同齿宽裂纹长度下齿轮时变啮合刚度1.4　不同类型裂纹对载荷分配的影响载荷分配比(pls)是衡量齿轮承载能力的重要指标，能够直观描述齿轮在故障下承载能力的变化[13]．如图7(a)所示，在α=65°和α=75°，相同裂纹深度下啮合齿的载荷分配比不同，且第二个双齿啮合区的载荷分配比变化幅度较大，在单齿啮合区的载荷分配比为1，因为此时只有含裂纹的一对齿在啮合，刚度之比为1．随着裂纹的增大，双齿啮合区的载荷分配比逐渐减小且变化幅度增大，这是因为齿轮的失效区范围逐渐增大，使含裂纹齿轮的承载能力下降，证明裂纹会减小齿轮的使用寿命，并降低齿轮传动系统质量．图7(b)为在q=1.5 mm和10.13245/j.hust.239084.F007图7不同裂纹情况下载荷分配比q=2.0 mm的情况下，沿齿宽方向裂纹长度对载荷分配比的影响与图7(a)相似．1.5　不同类型裂纹对传递误差的影响传递误差(Et)是描述齿轮传动不平稳性的参数，一对齿轮在啮合过程中齿廓上的啮合点都应存在于齿轮的啮合线上．传递误差会使齿轮啮合偏离啮合线，从图8(a)可看出裂纹的存在导致传递误差增大，且在相同裂纹深度下，裂纹倾斜角越大，齿轮之间存在的传递误差也越大．在图8(b)中可以看出当具有相同的齿宽裂纹长度时，裂纹深度越大传递误差也会越大，因为齿轮的时变啮合刚度不断降低，使传递误差也增大．10.13245/j.hust.239084.F008图8不同裂纹情况下传递误差2 传动系统裂纹动力学建模2.1　传动系统故障振动响应基于上述含裂纹直齿轮副的时变啮合刚度，建立如图9所示6自由度直齿圆柱齿轮传动系统的动力学模型mpx¨p+Cpxx˙p+Kpxxp=Kδ+Cmδ˙;mpy¨p+Cpyy˙p+Kpyyp=-(Kδ+Cmδ˙);mgx¨g+Cgxx˙p+Kgxxp=-(Kδ+Cmδ˙);mgy¨g+Cgyy˙g+Kgyyg=Kδ+Cmδ˙;Ipθ¨p=(Kδ+Cmδ˙)Rp+Tp;Igθ¨g=-(Kδ+Cmδ˙)Rg-Tp;δ=yp-yg-(Rpθp-Rgθg)-e(t), (12)式中：mp和mg分别为主动轮和从动轮的质量；Ip和Ig分别为主动轮与从动轮的转动惯量；Kpx和Kpy为主动轮在x，y方向的径向刚度；Kgx和Kgy为从动轮在x，y方向的径向刚度；Cpx和Cpy为主动轮在x，y方向的径向阻尼；Cgx和Cgy为从动轮在x，y方向的径向阻尼；K为时变啮合刚度；Cm为齿轮阻尼系数；Tp和Tg为施加在主动轮和从动轮上的扭矩；Rp和Rg为主动轮和从动轮的基圆半径；θp和θg为主动轮和从动轮扭转角方向线位移．施加在主动轮上的扭矩Tp=75 N∙m，且10.13245/j.hust.239084.F009图96自由度动力学模型Cm=2ξK[Rp2Rg2IgIp/(Rp2Ip+Rg2Ig)], (13)式中ξ为啮合阻尼比，ξ=0.03~0.17．综合啮合误差e(t)=ejsin(ωmt)，(14)式中：ej为啮合误差幅值；ωm为与啮频对应的圆频率．将前文和表1所示的参数，以及健康齿轮时变啮合刚度与裂纹故障时变啮合刚度等，代入动力学方程(12)中，采用龙格-库塔迭代方式求解齿轮的动力学方程，得到如图10所示的主动轮y轴方向振动位移(VD)的时域分析．10.13245/j.hust.239084.T001表1齿轮动力学模型参数参数主动轮从动轮质量/kg0.320.74转动惯量/(10-4 kg∙m2)1.256.09轴承的径向刚度/(108 N∙m-1)6.566.56轴承阻尼/(103 N∙s∙m-1)1.851.85图10(a)为健康齿轮时变啮合刚度得出的沿y轴方向的振动位移，图10(b)和(c)为含有不同类型裂纹齿轮沿y轴方向的振动位移．通过对比发现当齿轮出现裂纹时，图10中的初始位置、0.03 s及0.06 s附近会出现振动位移增大现象，呈现周期性循环，这些位置为含裂纹齿对相互啮合时所展现的振动状态；表明齿轮裂纹的出现会增大齿轮啮合过程中在y轴方向的振动，破坏齿轮传动系统工作的稳定性，产生噪音．10.13245/j.hust.239084.F010图10主动轮振动位移图11为上述振动位移的频谱分析，频域图从频率和幅值两方面阐述位移振动的响应变化，且与健康齿轮相比含裂纹的齿轮幅值在2倍啮频2fm1处均有增大，在裂纹越大的情况下波动越明显．10.13245/j.hust.239084.F011图11主动轮y轴方向振动位移频域图2.2　传动系统损伤信号统计为了更好地模拟在不同齿裂情况下的振动信号，采用多种不同类型的统计指标．许多基于时域波形的简单信号检测在机械故障检查中仍有较为广泛的应用，这其中最为简单的就是测量总体振动水平信号的均方根值，表现为信号的一种平均值．峭度是一个对信号较为敏感的参数，能较好地适应机械损伤产生的脉冲信号．与峭度相似，统计矩参数Sr具有与峭度相似的优点，对杂散振动敏感度低，在不同载荷和速度下更稳定．统计矩参数Sa对虚假振动信号的敏感度低于峭度，对脉冲信号的敏感性高于Sr．图12为采用图10中含裂纹的振动位移信号，通过均方根值、峭度、统计矩参数Sr和Sa计算得到的对裂纹敏感程度(γ)的统计指标，获取了4种信号指标的百分比数据．研究表明随着裂纹不断增大导致齿轮失效区面积增大，时变啮合刚度不断减小，从而导致齿轮的振动位移信号增大，统计指标敏感度的值越高．从图12中得出峭度对裂纹的敏感程度最高．10.13245/j.hust.239084.F012图12不同类型裂纹的敏感程度指标3 结论a. 本研究通过能量法计算直齿圆柱齿轮的时变啮合刚度，建立单侧裂纹解析模型分析在不同类型裂纹下的时变啮合刚度．在齿厚裂纹深度相同的情况下，随着裂纹扩展角增大时变啮合刚度减小；在齿宽裂纹长度相同的情况下，随着齿厚裂纹深度增大，时变啮合刚度减小．b. 将健康齿轮与含裂纹齿轮时变啮合刚度代入一级齿轮副动力学模型中，得出含不同类型裂纹齿轮在y轴方向的振动位移信号．采用时频分析方法处理振动位移信号，对比发现：随着齿轮时变啮合刚度降低，在降低处的振动位移明显增大，并发生周期性变化．c. 对裂纹齿轮副振动位移信号进行统计分析，通过分析齿轮副振动信号，诊断评估齿轮的损伤程度．运用均方根值、峭度、统计矩参数Sr和Sa四种统计方法对振动位移信号灵敏性进行分析，结果表明峭度的百分比数值最高，对齿轮裂纹故障表征最为灵敏，这为齿轮传动系统的智能故障诊断奠定了基础．