变双曲圆弧齿线(VH-CATT)圆柱齿轮是一种新型的机械传动零件[1]，相比传统的渐开线直齿轮和斜齿轮，变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的齿线为一段圆弧，具有啮合性能好、重合度大、无轴向力、承载能力强、传动效率高、传动更加平稳等优点[2]．国内研究者对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的成形理论、加工误差、齿面几何特性、润滑特性、接触特性及接触应力计算等方面做了大量研究[3-7]，但针对这种齿轮的啮合刚度和传动误差的研究很少，而啮合刚度和传动误差随啮合轮齿对数的交替变化是齿轮系统产生振动和噪声的主要激励因素[8-9]，因此精确计算变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度和传动误差可为其动力学特性研究和工业化应用奠定理论基础．在齿轮时变啮合刚度和传动误差计算方面，国内外研究者针对直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮和弧齿锥齿轮做了大量研究．李亚鹏等[10]在石川公式(即简化轮齿齿形，通过求解接触点沿啮合线方向的变形量来计算啮合刚度)的基础上引入了齿轮基体变形的影响；Chen等[11]又进一步综合考虑了齿轮体结构耦合效应和齿廓偏差，计算了直齿圆柱齿轮的啮合刚度和静态传动误差．还有研究者从能量的角度对啮合刚度进行了分析，Yang等[12]提出了势能法并将其应用在求解有效刚度上，张荣华等[13]在势能法的基础上分析了齿廓磨损对行星齿轮啮合刚度的影响．采用有限元法可更加精确地分析齿面变形和轮齿载荷分布情况，唐进元等[14-15]提出了基于有限元方法的静传递误差计算的概念模型与力学模型，并提出了弧齿锥齿轮时变啮合刚度计算方法．邓效忠等[16]根据齿面承载接触分析技术提出了传动误差的计算方法，并预测了行星轮系的传动误差随扭矩变化趋势．魏静等[17]改进了弧齿锥齿轮时变啮合刚度的计算方法，采用单个节点啮合刚度计算单齿时变啮合刚度，总结了不同负载下的时变啮合刚度和传动误差变化规律，进一步提高了计算精度．变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的齿面较为复杂，在啮合过程中齿面接触区域大小会随啮合齿对数发生变化，且在接触区域内各位置的弹性变形量均不相等，因此很难通过理论推导来准确计算该齿轮的时变啮合刚度．本研究基于有限元加载接触分析提出了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度计算方法，对齿轮副的啮合过程进行准静态有限元分析，综合考虑了接触区域内各位置的受力和变形情况，分析了不同载荷和齿线半径对实际重合度、时变啮合刚度和传动误差的影响，分析结果可以应用于变双曲圆弧齿线圆柱齿轮系统动力学分析．1 变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的数字化模型变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的加工方法与准双曲面锥齿轮的加工方法类似，由安装在旋转主轴上的大刀盘和齿坯之间的展成运动完成加工．图1所示为该齿轮的成形原理及对应坐标系，S1(x1，y1，z1)为刀具静坐标系，Sc(xc，yc，zc)为与刀盘固联的动坐标系，Sk(xk，yk，zk)为齿轮工件的静坐标系，下标k(=p，g)分别表示主动轮和从动轮，Sd(xd，yd，zd)为与齿轮工件固联的动坐标系．10.13245/j.hust.239213.F001图1变双曲圆弧齿线圆柱齿轮大刀盘铣削加工坐标系在文献[5-6]的基础上，将刀具切削刃在动坐标系Sc中的位置矢量和单位法矢分别表示为    rk(c)(uk)=-(±uksin α+RT∓πm/4)ic+ukcos αkc; (1)nk(c)=cos αic∓sin αkc，(2)式中：m为模数；uk为从刀刃上任意点沿切削刃方向到参考点的位移；α为刀具的压力角；RT为名义刀盘半径(也称齿线半径)；“±”分别表示刀具的内、外刃，内刃统一取上部符号．刀具在静坐标系S1下的回转面位置矢量和法矢分别表示为rk(1)(uk,θk)=M1c(θk)rk(c)(uk)；(3)nk(1)(θk)=L1c(θk)nk(c)，(4)式中：θk为刀具位置角；M1c和L1c为由动坐标系Sc到静坐标系S1的坐标变换矩阵．为了实现连续切向传动，啮合点必须满足啮合条件[3]nk(1)⋅vck=0，(5)式中vck为啮合点处齿轮与刀具的相对速度．通过上述计算可得到变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿面位置矢量和单位法矢为rk(d)(uk,θk,φk)=Mdk(φk)Mk1rk(1)(uk,θk);nk(d)(θk,φk)=Ldk(φk)Lk1nk(1)(θk), (6)式中：φk为齿轮工件的旋转角度；Mdk，Mk1，Ldk，Lk1为相应的坐标变换矩阵．通过上述方程可知该齿轮齿面为由刀具参数uk，θk和齿轮转角参数φk表示的成形包络面．建立一对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副数字化模型，变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副基本参数如下：齿轮1和齿轮2的齿数分别为21和29，其他参数相同(模数m=4 mm，压力角α=20°，齿宽B=80 mm，刀盘半径RT=200 mm，弹性模量E=203 GPa，泊松比 μ=0.3)．上述参数代入齿面方程，可计算得到该参数下的齿面点云数据，将点云数据导入三维建模软件中，进行曲面拟合、缝合、阵列、布尔运算等一系列操作后，可建立如图2所示的齿轮副精确数字化模型．10.13245/j.hust.239213.F002图2变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副的精确数字化模型2 时变啮合刚度和传动误差模型2.1　变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度齿轮单齿啮合刚度[18]的一般表达式为kn=Fn/un，(7)式中：Fn为作用在齿廓曲线上的法向接触力；un为单对齿啮合的综合弹性变形．在实际啮合过程中Fn和un的值均为时变值，故计算时应考虑多齿啮合时的齿间载荷分配对单齿啮合刚度的影响．轮齿的综合弹性变形主要包括三部分：由于局部赫兹接触产生的接触弹性变形uH，轮齿弯曲产生的轮齿接触位置的位移ub，以及轴承、轴和支撑结构的变形对接触点位置的影响uf．本研究只考虑uH和ub[15]，从而得到un=uHp+uHg+ubp+ubg．(8)目前研究中大多采用齿面法向接触合力与平均弹性变形量之比[15]计算单齿啮合刚度kn，或将齿面接触区域视为一段接触线[19-20]，忽略了齿廓方向的法向接触力分布和弹性变形．变双曲圆弧齿线圆柱齿轮接触椭圆区域内各位置的变形量均不相同，若采用弹性变形量的平均值或仅考虑啮合点处的弹性变形量来计算单齿啮合刚度，存在较大误差．本研究将齿面离散为网格单元，在网格节点处引入图3所示的单个节点啮合刚度[17]，考虑接触椭圆内所有节点的法向接触力和弹性变形，将单个节点的啮合刚度分别叠加得到两齿轮的单齿啮合刚度，则任意节点i的啮合刚度ki和单齿啮合刚度为ki=fi/uni；(9)kp=∑i=1ski；(10)kg=∑i=1ski，(11)式中：fi为作用于节点i的法向接触力；uni为节点i的综合弹性变形；kp和kg分别为主动齿轮和从动齿轮的单齿啮合刚度；s为工作齿面上接触椭圆区域内的节点数量．变双曲圆弧齿线圆柱齿轮中截面齿廓为渐开线，其余截面齿廓为均匀变化的双曲线包络线[21]的特征决定了齿面为复杂曲面，采用有限元方法进行力学分析，较为精确地获得考虑齿间载荷分配影响的齿面节点法向接触力fi和综合弹性变形量uni，接触椭圆边界由节点法向接触力fi是否为0确定．齿轮副在1个啮合周期内某一啮合转角下，存在n对齿接触，第j(1≤j≤n)对轮齿接触对的综合啮合刚度表达式为kj=kpkg/(kp+kg)．(12)齿轮副的多齿综合啮合刚度表达式为K=∑j=1nkj．(13)10.13245/j.hust.239213.F003图3接触椭圆区域法向接触力和弹性变形量2.2　变双曲圆弧齿线圆柱齿轮传动误差在实际啮合过程中，齿轮受承载变形、安装误差、齿面磨损等诸多因素的影响，从动轮并不能按照理想状态运动，从动轮实际转角与理论转角在啮合过程中存在一定差值，该差值即为传动误差，变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副的传动误差计算公式[22]为Δφ=φ2-(z1/z2)φ1，(14)式中：φ1和φ2分别为主动轮和从动轮从起始位置绕自身轴线的转角；z1和z2分别为主动轮和从动轮的齿数．变双曲圆弧齿线在标准安装下无载荷传动误差为0，因此式(14)可直接用于承载传动误差的计算．3 时变啮合刚度计算3.1　有限元计算精度验证由于已经有非常成熟的方法计算直齿圆柱齿轮的时变啮合刚度，且很多文献中给出了时变啮合刚度回归公式，为了验证本文计算方法的准确性，将该方法应用于前述参数下的一对标准直齿圆柱齿轮时变啮合刚度计算，并和已有回归公式[23]计算结果进行对比．详细计算过程见文献[23]，计算得到刚度曲线对比如图4所示．10.13245/j.hust.239213.F004图4直齿轮时变啮合刚度曲线对比从图4可看出：本文提出的变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的时变啮合刚度计算方法所得出的结果与文献[23]中的结论基本一致，在啮入啮出位置的啮合刚度值和单、双齿啮合区的周期上存在较明显的差异，这是由于文献[23]的回归公式中未考虑齿轮轮齿的边缘接触和受载变形后的实际重合度所导致的．由此可见，本文所采用的计算方法具有一定的科学性和有效性，能够更准确地描述齿轮传动的啮合过程，获得更准确的变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度．3.2　变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的接触特性根据前述参数建立变双曲圆弧齿线圆柱齿轮有限元模型．为了减少运算量，同时避免边缘刚体耦合约束对计算结果的影响，将全齿模型简化为如图5(a)所示的5齿模型，网格划分采用六面体非协调单元(C3D8I)，选取Standard/static和general求解器，主动轮和从动轮齿面之间建立“面-面”接触对，且两齿轮均仅保留参考点沿轴线旋转的自由度，从动轮的转矩设定为1 500 N·m，完成上述前处理参数设置后进行有限元加载接触分析．变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副在无误差装配下理论接触点位于齿宽中截面(B=0)处[6]．由于齿面接触存在弹性变形，因此点接触扩展为细长椭圆接触，且理论接触点位于椭圆几何中心．通过上述有限元分析，得到该齿轮副加载下的齿面瞬时接触区域为如图5(b)所示的空间椭圆．10.13245/j.hust.239213.F005图5变双曲圆弧齿线圆柱齿轮5齿有限元模型椭圆长轴所在曲线随齿面的旋转投影后沿齿宽B和齿高h的分布如图6所示．凸齿面接触椭圆长轴投影曲线开口向下，其曲率由齿顶向齿根呈减小趋势，齿顶接触椭圆长轴投影曲线曲率最大，齿根曲率最小．凹齿面接触椭圆长轴投影曲线开口方向与凸齿面相反，曲率变化趋势与凸齿面相同．10.13245/j.hust.239213.F006图6接触椭圆长轴在齿面的投影变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副在啮合过程中的接触印痕如图7所示，接触区域均为空间椭圆，单齿啮合区接触椭圆长度大于双齿啮合区．该齿轮副啮入位置的理论接触点位于从动轮凹面齿顶部分，该位置接触椭圆长轴曲线仅有中心部分位于齿面内；啮出位置的理论接触位于主动轮凸面齿顶部分，接触椭圆长轴曲线仅有两端部分位于齿面内．因此，该齿轮副在啮入和啮出过程中主动轮和从动轮的齿顶位置均会出现接触椭圆不完整的边缘接触，导致齿顶位置应力集中，易发生崩顶失效，这与文献[24]关于弧齿圆柱齿轮的失效实验结果一致，印证了本研究有限元分析的正确性．10.13245/j.hust.239213.F007图7接触印痕及边缘接触3.3　齿面网格节点接触力与弹性变形量采用上述有限元分析前处理参数，设置法向接触力为场变量输出，通过有限元后处理可得到如图8(a)所示的齿面法向接触力(F)云图．在主动轮和从齿轮的转动轴线上分别建立与齿轮相对静止的随动坐标系，将分析结果分别转换到随动坐标系下，从而消除刚体位移，得到如图8(b)所示的齿面各节点的弹性变形量．10.13245/j.hust.239213.F008图8有限元分析后处理结果提取主动轮和从动轮3号齿齿面在不同啮合位置的接触椭圆内齿面节点法向接触力fi，并计3号齿啮入时刻主动轮转角为0°，可得到如图9所示的分布规律．当主动轮转角为0.25°~0.30°时，齿轮位于单齿啮合区，其余位置为双齿啮合区．单齿啮合区内仅有一对轮齿参与啮合，因此该区域的齿面法向接触力数值和沿齿宽方向的作用长度均大于双齿啮合区．非啮入啮出位置的法向接触力随齿轮转角的增大呈现出减小的趋势，且沿齿轮中截面对称分布，最大值位于中截面处．在啮入和啮出位置由于边缘接触而导致法向接触力发生突变，且啮入突变峰值略大于啮出突变峰值．10.13245/j.hust.239213.F009图9齿面法向接触力提取主、从动轮3号齿接触椭圆内齿面各节点的综合弹性变形量uni，可得到如图10所示的分布规律．主动轮轮齿综合弹性变形量随齿轮转角增大呈现出增大趋势，这是因为主动轮轮齿在啮合过程中由赫兹接触产生的弹性变形基本保持不变，而其弯曲变形呈增大趋势．因从动轮的啮合过程与主动轮相反，故从动轮的变化趋势与主动轮相反．主动轮和从动轮在单齿啮合区的综合弹性变形量及沿齿宽的分布范围均大于双齿啮合区，且关于中截面对称分布，最大值位于中截面处，啮入、啮出位置弹性变形量变化较平稳．10.13245/j.hust.239213.F010图10齿面节点综合弹性变形3.4　变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度通过上述方法得到节点法向接触力fi和节点综合弹性变形量ui，由式(9)可以计算出主动轮和从动轮齿面单个节点啮合刚度ki，其分布规律如图11所示．节点啮合刚度关于齿轮中截面对称分布，沿齿宽方向呈下凹形状分布，中截面的节点啮合刚度最小，且随着转角增大主动轮呈减小趋势，从动轮呈增大趋势，啮合刚度为零的位置表示未参与接触．由式(10)和(11)可计算出主动轮和从动轮不同啮合位置的单齿啮合刚度kp和kg，其变化规律如图12所示，随转角变化趋势与节点啮合刚度趋势一致，单齿啮合区的单齿啮合刚度大于其余啮合位置的啮合刚度．啮入时主动轮和从动轮单齿啮合刚度持续增大；啮出时主动轮单齿啮合刚度变化出现波动，从动轮单齿啮合刚度持续减小．10.13245/j.hust.239213.F011图11齿面节点啮合刚度10.13245/j.hust.239213.F012图12主动轮和从动轮单齿啮合刚度由式(12)可以计算出啮合过程中单对轮齿的时变啮合刚度kj(以下简称为单齿啮合刚度)，其曲线如图13所示．单齿啮合刚度曲线随着转角的增大呈现先增大后减小的拱形趋势，轮齿啮入和单双齿交替位置的刚度存在过渡变化，啮出时发生微量突变．单齿啮合区的啮合刚度趋于平稳且大于其余啮合位置的啮合刚度．10.13245/j.hust.239213.F013图13单对齿时变啮合刚度由式(13)计算双齿啮合刚度时须要根据齿轮实际重合度对单齿啮合刚度进行平移．通过测出单齿实际参与啮合的时间T和相邻两齿啮入(或啮出)的时间差Δt，可以计算出实际重合度ε[15]为ε=T/Δt．(15)第n对齿的单齿时变啮合刚度曲线可由图14中的曲线向右(或左)平移nΔα得到，Δα=φ1/ε，(16)式中φ1为主动轮某一齿从啮入到啮出的转角．根据式(13)对各对轮齿的单齿时变啮合刚度进行叠加，可得到如图14所示的双齿综合时变啮合刚度曲线．刚度曲线呈周期性变化，单齿啮合区的啮合刚度稳定且小于双齿啮合区的刚度，使得齿轮产生周期冲击振动．单齿-双齿啮合过渡位置的啮合刚度变化较平稳，双齿-单齿啮合过渡位置的啮合刚度存在波动且变化较陡峭，表明该齿轮啮入时啮合刚度变化较平稳，啮出时存在一定的刚度冲击，而由图5可知标准直齿圆柱齿轮在单双齿交替位置的啮合刚度发生突变，表明标准直齿圆柱齿轮在啮入和啮出时均有较大的刚度冲击．10.13245/j.hust.239213.F014图14双齿综合时变啮合刚度4 时变啮合刚度和传动误差敏感性4.1　载荷对时变啮合刚度和传动误差的影响载荷会对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的接触区域、实际重合度和啮合周期产生影响，因此啮合刚度曲线会随载荷发生变化．为分析载荷对时变啮合刚度的影响，给从动轮分别施加500，1 000，1 500 N∙m三种载荷，齿线半径为200 mm，进行有限元分析，计算得到实际重合度如表1所示随载荷增大而增大．这是由于载荷增大导致齿面的弹性变形量增大，从而使得实际啮合线增长，变形后相邻轮齿的法向齿距减小，进而导致实际重合度增大．10.13245/j.hust.239213.T001表1不同载荷下齿轮实际重合度负载/(N∙m)5001 0001 500重合度1.7061.7881.794计算各个工况下的刚度曲线如图15所示，时变啮合刚度曲线呈周期性变化．不同载荷作用下，时变啮合刚度曲线变化规律相同，且随载荷增大而增大．啮入过程刚度变化存在“过渡区”，随着载荷的增大，啮入刚度变化更加陡峭，啮出刚度冲击增大．齿轮的啮合周期也随增大载荷而增大，其中双啮合区增大，单齿啮合区减小．10.13245/j.hust.239213.F015图15不同载荷下时变啮合刚度分别计算不同载荷下非啮入啮出区的单、双齿啮合区平均刚度和刚度差及单、双齿啮合区平均刚度比值，见表2．随着载荷的增大，齿轮基体变形增大，使得平均刚度增大，双-单齿刚度差也增大，双-单齿啮合区的啮合刚度比值产生较小的波动，表明变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度对载荷有较好的稳定性．10.13245/j.hust.239213.T002表2不同载荷下齿轮时变啮合刚度均值参数负载/(N∙m)5001 0001 500双齿区/(MN∙m-1)664.438831.724966.514单齿区/(MN∙m-1)496.137630.007728.175刚度差/(MN∙m-1)168.301201.717238.339双单齿刚度比1.3391.3201.32710.13245/j.hust.239213.F016图16不同载荷下传动误差在有限元分析结果中分别提取各个时间主动轮和从动轮的实际转角值，由式(14)可计算得到不同载荷下变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的传动误差，如图16所示，传动误差随主动轮转角呈“M”形周期变化，其值为负值，表示从动轮在啮合过程中存在滞后现象．单齿啮合区传动误差大于双齿啮合区，啮入位置传动误差随主动轮转角增大而减小，啮出位置传动误差随主动轮转角增大而增大．随着载荷的增大，传动误差增大，整条传动误差曲线位于小载荷传动误差曲线的下方，滞后现象更加显著，传动误差波动范围增大，传动误差周期也随之增大，其中双啮合区增大，单齿啮合区减小．传动误差周期与上述时变啮合刚度周期一致，验证了分析结果的合理性．4.2　齿线半径对时变啮合刚度和传动误差的影响齿线半径RT作为变双曲圆弧齿线圆柱齿轮区别于其他传统圆柱齿轮的几何参数，取值直接影响该齿轮周向齿厚、接触区域和啮合周期，因此刚度曲线也会受齿线半径影响．为分析齿线半径对时变啮合刚度的影响，分别取200，350，500 mm三种齿线半径，载荷为1 500 N∙m，进行有限元分析，计算得到实际重合度见表3，实际重合度随齿线半径的增大呈现先增大后减小的趋势，且均大于相同参数下标准直齿圆柱齿轮的实际重合度．这是由于齿面实际啮合区长度随齿线半径的增大呈现先增大后减小的变化趋势，进而影响了齿轮轴面重合度．10.13245/j.hust.239213.T003表3不同齿线半径下齿轮实际重合度齿线半径/mm200350500重合度1.7941.8481.818计算各个齿线半径下的刚度曲线如图17所示，随着齿线半径的增大时变啮合刚度随之增大，啮出刚度也出现了较为明显的“过渡区”，且当齿线半径为350 mm时啮入、啮出区刚度变化最为平缓．齿线半径大小也对齿轮的啮合周期产生影响，随着载荷的增大，变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的啮合周期先增大后减小．10.13245/j.hust.239213.F017图17不同齿线半径下时变啮合刚度分别计算不同齿线半径与直齿轮非啮入啮出位置的单、双齿啮合区平均刚度、刚度差及双、单齿啮合区平均刚度比值(见表4)．随着齿线半径的增大，变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的平均刚度随之增大，双-单齿刚度差也随之增大，双-单齿刚度之比呈先减小后增大的变化趋势，且均小于直齿轮，表明变双曲圆弧齿线圆柱齿轮刚度激励小于相同工况下的直齿圆柱齿轮．10.13245/j.hust.239213.T004表4不同齿线半径下齿轮时变啮合刚度均值参数齿线半径/mm200350500双齿区/(MN∙m-1)966.5141 477.3471 731.003单齿区/(MN∙m-1)728.1751 129.9081 198.694刚度差/(MN∙m-1)238.339347.439532.309双单齿刚度比1.3271.3071.444计算不同齿线半径下的传动误差如图18所示，传动误差曲线变化规律整体相似．随着齿线半径的增大，传动误差减小，滞后现象减弱，传动误差波动范围减小，周期先增大后减小．不同齿线半径对传动误差的变化趋势有较大影响，齿线半径为200 mm和500 mm的单、双齿啮合区传动误差均随主动轮转角的增大呈先减小后增大的拱形变化趋势，且曲线变化平稳；而齿线半径为350 mm的单、双齿啮合区传动误差均随主动轮转角的增大而增大，曲线变化较陡峭．较小的齿线半径可以降低啮入刚度冲击，但齿线半径不宜选取过小，过小的齿线半径会降低该齿轮的重合度和刚度均值，进而影响齿轮传动的平稳性．三种齿线半径下时变啮合刚度的分布范围变化较大，表明齿线半径对该齿轮刚度激励的影响较大，同时对齿轮的载荷分配也有较大影响．10.13245/j.hust.239213.F018图18不同齿线半径下传动误差5 结论本研究给出了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度计算方法，通过齿面网格节点啮合刚度计算得到单齿啮合刚度．基于有限元静力学分析方法模拟齿轮的真实啮合过程，获取了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副啮合过程中的接触印痕，得到了啮合周期内齿面接触法向力和综合弹性变形量．计算得到了考虑齿间载荷分配影响的变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度和传动误差，并验证了本文方法的正确性，可为变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的动力学建模和分析提供理论基础，同时为高性能齿轮设计提供参考．本研究的主要结论如下．a. 无误差装配下，变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿面接触法向力、综合弹性变形量、各节点啮合刚度均关于中截面对称分布，且单齿啮合区上述各值均大于双齿啮合区的值．b. 变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的啮合刚度变化相比相同参数和工况下的标准直齿轮更加平稳，啮入过程中啮合刚度存在“过渡区”，仅在啮出过程中出现轻微刚度冲击．c. 变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的时变啮合刚度和传动误差均呈周期性变化，且均随载荷增大而增大．载荷对啮合周期也有较大影响，实际重合度随载荷增大而增大．d. 齿线半径对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮时变啮合刚度和传动误差均有较大影响，随着齿线半径增大，时变啮合刚度增大，传动误差减小，啮出过程中啮合刚度也出现较为明显的“过渡区”．齿线半径对啮合周期也有较大影响，实际重合度随齿线半径增大呈先增大后减小的变化规律．