含间隙机械系统由于间隙存在而引起的部件间的碰撞(例如机车车轮和轨道间的碰撞、牵引齿轮副啮合碰撞等)，通常会导致分岔、混沌等非线性现象[1-2]．为了抑制或减小混沌运动造成的机械部件损伤及引起的噪声危害，研究者们从混沌运动形成机理及混沌运动控制等方面进行了探索[3-7]，为含间隙机械系统结构优化设计和混沌振动控制提供理论和应用参考．近年来，在碰撞振动系统混沌运动形成机理方面，学者们开展了多参数协同变化下系统运动性态转迁规律的研究[8-12]．然而相较于混沌运动形成机理，碰撞振动系统混沌运动控制研究相对较少，且目前基于参数反馈控制原理进行碰撞振动系统混沌运动控制的研究，主要集中于单参数反馈控制，而考虑一个以上参数对系统动力学性态转迁的综合影响的双参数或多参数反馈控制研究还未见报道．De Souza等[13]对一类单自由度碰撞振动系统混沌运动的阻尼控制方法进行了研究，通过改变系统的阻尼系数实现对其混沌运动的控制．Wei等[14]提出了一种基于自适应混合引力搜索算法(adaptive hybrid gravitational search algorithm，AHGSA)的含间隙碰撞振动系统无模型混沌控制方法．Shen等[15]采用实时离散时间反馈控制策略，将擦边诱导的混沌控制为周期运动．张惠等[16]采用径向基函数神经网络(radial basis function neural network，RBFNN)方法实现了单自由度弹碰系统的分岔及混沌的控制．卫晓娟等[17]提出了一种无模型自适应参数反馈混沌控制方法，从而将一类单自由度非光滑系统混沌运动控制为稳定周期运动．田亚平等[18]用改进的OGY方法(Ott-Grebogi-Yorke method)，实现了含齿侧间隙和轴承支承间隙的单级齿轮系统混沌吸引子内部不稳定周期轨道的稳定化．林何等[19]以轴承预载荷为摄动激励实施微扰控制，以实现多间隙齿轮-轴承系统的混沌吸引子向多种不同周期路径上的迁移控制．近年来碰撞振动系统动力学性态转迁研究印证了含间隙碰撞振动系统丰富复杂的运动性态(如分岔、混沌等)，往往是多参数变化的综合作用结果．在碰撞振动系统混沌控制研究中也发现，基于系统的单一参数进行参数反馈混沌控制，无法获得某些预期的运动性态．为了满足预期控制目标的需要，本研究针对一类单自由度含间隙碰撞振动系统的混沌控制问题，提出了混沌运动的双参协同智能优化控制策略．当基于径向基函数神经网络设计控制器时，将系统的可控参数激励频率ω和阻尼比ζ引入控制器输入变量的构造中，并将ω和ζ的微幅调整量作为控制器的输出变量，借助径向基函数神经网络的非线性映射特性，在控制器输出变量中体现ω和ζ对系统动力学行为的综合影响；同时提出了局部旋转量子粒子群优化(LRS-QPSO)算法优化控制器参数，实现混沌运动转迁为预期周期运动．1 碰撞振动系统描述如图1所示，在光滑水平面上，质量为M的振子左侧通过线性阻尼器(阻尼系数为C)和线性弹簧(刚度为K)与基础相连，在简谐激振力Psin(ΩT+τ)作用下振动，其运动位移为X，当振子处于平衡位置时，其与右侧刚性约束的间隙为Δ．10.13245/j.hust.239244.F001图1单自由度刚性碰撞振动系统力学模型当振子M与右侧刚性约束发生碰撞时，其运动位移为Δ．若忽略碰撞持续时间，则系统运动微分方程为MX¨+CX˙+KX=Psin(ΩT+τ)  (XΔ);X˙+=-RX˙-  (X=Δ), (1)式中：X¨为振子加速度；X˙为振子速度；X为振子位移；X˙+为振子碰撞后瞬时速度；X˙-为振子碰撞前瞬时速度；R为碰撞恢复系数．引入无量纲量x=XK/P，ζ=C/(2MK)，ω=ΩM/K，t=TK/M，δ=ΔK/P，对式(1)进行无量纲变换，得x¨+2ζx˙+x=sin(ωt+τ)  (xδ);x˙+=-Rx˙-  (x=δ). (2)2 (ω，ζ )参数平面内系统运动分布为了研究系统周期运动及混沌运动的分布规律，选择碰撞后瞬时的σ截面，即σ={(x,x˙,θ)∈R2×S1x=b,x˙=x˙+}为Poincaré截面，以激励频率ω和阻尼比ζ作为研究对象．取系统参数：R=0.8，δ=0.05，ω∈[2.5，3.0]，ζ∈[0.1，0.7]．数值计算系统在(ω，ζ )参数平面内的运动分布见图2．图2中用不同颜色和符号n，p(n为激励周期数，p为碰撞次数)标示周期运动所处参数区域；图中白色区域为混沌运动分布区．10.13245/j.hust.239244.F002图2参数(ω，ζ)平面内运动分布图分别选择ζ=0.2和ω∈[2.5，3.0]，ω=2.65和ζ∈[0.1，0.7]，R和Δ取值与图2相同，研究系统运动的转迁规律．图3(a)为速度x˙随ω变化的分岔图和对应的李雅普诺夫指数谱图(即图2沿ζ=0.2点划线变化时的分岔图及李雅普诺夫指数谱图)．图3(b)为速度x˙随ζ变化的分岔图和对应的李雅普诺夫指数谱图(即图2沿ω=2.65点划线变化时的分岔图及李雅普诺夫指数谱图)．图3中用λ1表示最大李雅普诺夫指数[20]．10.13245/j.hust.239244.F003图3系统分岔图和李雅普诺夫指数谱图结合图2及图3(a)可知：当ω∈[2.5，3.0]时，周期1-1运动经由周期倍化分岔序列实现转迁，演变为周期2-2，4-4，⋯，直至混沌运动；当ω进一步增大，混沌运动又退化为周期4-2，2-1运动，λ1也经过了从小于0(系统运动为稳定的周期运动)变为大于0(系统运动为混沌运动)、最后又小于0的过程；且在混沌运动过程中还具有一些周期窗口，这也是混沌运动的一个典型特征．结合图2及图3(b)也可知：当ζ ∈[0.1，0.7]时，随着ζ减小，系统运动由周期2-1运动演变为周期4-3运动；当ζ进一步减小时，周期运动最终演变为混沌运动，λ1也经过了从小于0变为大于0的过程．3 双参协同智能优化控制策略3.1　控制策略分析图2和图3可知：当ω=2.65，ζ=0.2时系统处于混沌运动状态(图2中两条点划线的交点，即“*”点)，Poincaré截面图为具有分形结构的密集点集(见图4(a))，相平面图不重复且杂乱无章(见图4(b))．若希望对图4(a)所示混沌吸引子进行控制且预期控制目标为周期1-1运动，由图2可以看到：在ζ保持不变的情况下(即ζ=0.2)，随着ω逐渐减小，混沌运动经过逆周期倍化分岔序列转迁为周期1-1运动，这意味着通过合理设计控制器以输出一个小扰动施加于ω，使混沌运动的生存条件发生改变(即通过单独调整ω对图4(a)所示混沌吸引子进行控制)，则可实现混沌运动向周期1-1运动的转迁；但问题是通过单独调整ω仅可得到图2黄色区域中点划线对应的周期1-1运动，若预期控制目标设定为图2黄色区域中点划线以上或以下区域所对应的周期1-1运动，则无法通过单独调整ω来实现．例如，通过单独调整ω有可能实现将图4(a)所示混沌吸引子控制为图5所示红色封闭曲线对应的周期1-1运动(ω=2.5，ζ=0.2)，但却不可能将图4(a)所示混沌吸引子控制为图5所示蓝色封闭曲线对应的周期1-1运动(ω=2.5，ζ=0.4)；图5中灰色部分为图4(a)所示混沌吸引子对应的相图．10.13245/j.hust.239244.F004图4当ω=2.65，ζ=0.2时相平面图和混沌吸引子图10.13245/j.hust.239244.F005图5不同参数条件下的相平面图同样，上述预期控制目标也无法通过单独调整ζ来实现，由图2可知：通过单独调整ζ，只能使图4(a)所示混沌吸引子最终转迁为周期2-1运动．综上所述，基于ω或ζ的单参数反馈混沌控制难以满足某些预期控制目标的需要，因此本研究提出双参协同智能优化控制策略：依据非线性系统反馈控制原理，采用Poincaré截面上的投影点间的距离为判断依据搜寻周期轨道，且考虑到ω和ζ之间的协同作用，将前一次迭代时控制器输出的扰动量也同时作为控制器的输入量，基于不依赖于系统精确数学模型的径向基函数神经网络，并利用受控系统的输入/输出数据(即对系统可测状态变量——速度和相位进行采样，采样所得离散数据及控制器的输出值即为系统的输入/输出数据)，设计双参协同控制器，同时采用本研究提出的LRS-QPSO算法优化选择控制器参数，通过动态微幅调整ω和ζ，使系统能自动搜寻并稳定在预期周期轨道上．3.2　控制器结构依据上节的控制策略，本研究设计的双参协同控制器结构如图6所示，图中：d(k)为能够反映系统趋近于稳定周期运动趋势的相邻两次迭代后Poincaré截面上的投影点间的距离，即d(k)=X(k)-X(k-1) ，d(k-1)=X(k-1)-X(k- 2) ；X(k)为第k次迭代后状态变量X=[x˙, τ]的值)；uω(k-1)和uζ(k-1)为ω和ζ的调整量；径向基函数神经网络的隐含层节点数为5；隐含层的激活函数选用高斯径向基函数，即Φs(D,Cs)=10.13245/j.hust.239244.F006图6双参协同控制器结构exp[- D-Cs2 / (2σNs2)] ；D=[d(k-1),d(k)，uω(k-1),uζ(k-1)]T．Cs为隐层节点中心，σNs为径向基函数的宽度；w∈Rs×2为连接隐层和输出层的权矩阵；控制器输出量为ω和ζ的微幅调整量，即    uω(k-1)/uζ(k-1)=u(k)=∑s=15wsΦsD,Cs=∑s=15ws∙exp[-D-Cs2/(2σNs2)].(3)为维持控制的有效性，最大调整量分别设定为uωmax和uζ max，且-uωmaxuωuωmax，-uζ maxuζuζ max．4 局部旋转量子粒子群算法优化控制器参数本研究提出局部旋转量子粒子群优化算法优化选择控制器的参数，既减少了控制器设计时对主观经验知识的依赖，又提高了控制系统设计效率．4.1　适应度函数的构建适应度函数引导局部旋转量子粒子群优化算法优选控制器参数，同时定量评价控制器的控制能力．本研究构建控制器参数优化选择时所应满足的适应度函数为f(P^i)=α1∑k=1Ld*-X(k)-X(k-1)∙ln(1/η)+α2∑k=1Luω(k)+α3∑k=1Luζ(k), (4)式中：αr为相对权重(r=1，2，3)；X(k)为受控系统状态变量X在k时刻的值；η为在区间(0，1)上均匀分布的随机数；uω(k)为控制器输出的ω的微幅调整量；uζ(k)为控制器输出的ζ的微幅调整量；d*为Poincaré截面上相邻两点距离的期望值；L为输入/输出数据序列长度．4.2　局部旋转量子粒子群优化算法优化控制器参数的流程从量子粒子群优化算法[21]中粒子的迭代公式(Xi, j(t+1)=Pi, j(t)±βP¯(t)-Xi, j(t)ln[1/ui, j(t)])可以看到：搜索过程中粒子的运动方向和搜索步长与群体平均最优位置P¯(t)密切相关，当粒子位置非常接近P¯(t)时，搜索步长减小，粒子位置几乎仅由个体历史最优位置Pij决定，降低了种群多样性，在求解较为复杂且适应度函数局部极值点较多的实际工程问题中，易陷入局部最优．针对这个问题，本研究通过借鉴鲨鱼算法[22]中鲨鱼的觅食运动，对量子粒子群优化中粒子的搜索运动进行改进，提出了局部旋转量子粒子群优化算法．假设种群规模为m，t时刻粒子i的第j维的位置表示为Xi,j(t)，个体最好位置表示为Pi,j(t)，群体的全局最好位置表示为Gj(t)，则局部旋转量子粒子群优化算法中粒子位置的更新规则为Pi,j(t)=φj(t)Pi,j(t)+[1-φj(t)]Gj(t)；(5)    P¯(t)=1m∑i=1mPi^(t)=1m∑i=1mPi,1(t),1m∑i=1mPi,2(t),⋯,1m∑i=1mPi,20(t); (6)    Xi,j(t+1)=Pi,j(t)±βP¯(t)-Xi,j(t)ln1/ui,j(t); (7)Z⌢i,j(t+1)=Xi,j(t+1)+RrotXi,j(t+1)，(8)式中：φj(t)∈(0,1)；ui,j(t)∈(0,1)；Rrot为[-1，1]中均匀分布的随机数；Xi,j(t+1)为粒子直线搜索运动对应的位置；Z⌢i,j(t+1)为粒子局部旋转搜索运动对应的位置．则t+1时刻，粒子i的位置定义为    Xi,j(t+1)=argmin{f(Xi,j(t+1)),f(Z⌢i,j(t+1))}. (9)局部旋转量子粒子群优化算法优化控制器参数的流程步骤如下．步骤1 随机初始化粒子位置．步骤2 依据式(6)计算粒子平均最优位置．步骤3 依据式(4)计算适应值，若当前适应值小于前一次迭代适应值，则更新当前粒子位置．步骤4 计算当前粒子的个体最优位置和群体最优位置．步骤5 依据式(5)计算粒子每一维的随机点位置．步骤6 依据式(7)及式(8)获得粒子新的位置．步骤7 重复步骤2～6，直至满足终止条件．5 仿真研究5.1　混沌运动的控制结果采用本研究提出的双参协同智能优化控制方法对图4(a)所示混沌吸引子进行控制仿真．局部旋转量子粒子群优化算法的参数设置为：种群规模m=30，粒子最大搜索次数nmax=100，收缩-扩张系数β=0.8-0.2sin(πncur/nmax)(ncur为粒子当前搜索次数)．为了更清楚地呈现混沌控制效果，当系统迭代400次时施加控制．图7为控制结果图，控制器输出为uωk=Δω和uζk=Δζ；图7(a)和(b)对应的预期控制目标为周期1-1运动，图7(c)和(d)对应的预期控制目标为周期2-2运动．表1和表2为采用局部旋转量子粒子群优化算法优选得到的控制器参数，表1对应的预期控制目标为周期1-1运动，表2对应的预期控制目标为周期2-2运动．由图7可知混沌运动均迅速被控制为预期的周期运动．10.13245/j.hust.239244.F007图7混沌运动的双参协同智能优化控制效果图10.13245/j.hust.239244.T001表1局部旋转量子粒子群优化优选的控制器参数(周期1-1)CsσNsws(-1.286 2，-0.302 4，-0.775 0，0.111 1)0.665 8-0.353 6，-0.680 4(1.587 3，0.745 8，-0.124 9，-0.136 0)0.369 12.824 3，2.642 5(-0.123 7，-0.093 2，-0.228 4，-0.600 6)0.375 5-0.197 4，-0.161 7(-0.690 0，0.067 1，-0.130 8，-0.329 5)-0.442 71.310 3，1.701 3(-0.795 3，-0.582 1，-4.922 7，0.119 9)0.511 70.604 7，0.071 210.13245/j.hust.239244.T002表2局部旋转量子粒子群优化优选的控制器参数(周期2-2)CsσNsws(-3.044 5，-2.707 2，0.093 0，-0.340 2 )-0.015 1-0.785 3，-0.648 6(-0.177 1，-0.161 8，-0.575 5，-0.295 0)0.413 4-0.144 0，1.542 2(-0.037 2，-0.314 0，-0.410 9，0.367 5)0.702 9-2.579 5，-2.604 8(-0.307 3，0.600 5，0.187 9，0.881 7)0.069 70.596 0，0.576 5(-0.767 1，-0.831 9，0.185 9，0.010 8)0.486 4-1.599 3，-2.848 65.2　与单参智能优化控制的比较为了验证双参协同智能优化控制可实现比单参智能优化控制更为多样的控制目标，将预期控制目标设定为周期1-1运动，且振动速度幅值比图2黄色区域中点划线对应的周期1-1运动更小/更大，对图4(a)所示混沌吸引子进行控制仿真．单参智能优化控制器也基于径向基函数神经网络设计，其结构与图6的区别在于输入层和输出层不同，输入层仅有2个节点，输入量为d(k)=X(k)-X(k-1)，d(k-1)=X(k-1)-X(k-2)，输出层为一个节点，输出量为uω(k-1)=u(k)=∑s=15wsΦs(D，Cs)=∑s=15ws∙exp[-D-Cs2/(2σNs2)]．局部旋转量子粒子群优化算法的参数设置与5.1节相同．图8为分别采用双参协同智能优化控制和单参智能优化控制对图4(a)所示混沌吸引子进行控制的仿真结果，其中：图8(a)中蓝色及绿色为采用双参协同智能优化控制得到的周期1-1运动，红色为采用单参智能优化控制得到的周期1-1运动；图8(b)中蓝色及绿色封闭曲线为采用双参协同智能优化控制得到的周期1-1运动的相图，红色封闭曲线为采用单参智能优化控制得到的周期1-1运动的相图，灰色部分为图4(a)所示混沌运动的相图．10.13245/j.hust.239244.F008图8系统的受控周期1-1运动表3(对应于双参协同智能优化控制)和表4(对应于单参智能优化控制)为LRS-QPSO算法优选得到的控制器参数．由图8可以看出采用双参协同智能优化控制得到的周期1-1运动的速度幅值更小/更大．10.13245/j.hust.239244.T003表3局部旋转量子粒子群优化优选的控制器参数(双参协同智能优化控制)CsσNsws(-0.096 0，-0.379 5，-0.156 2，-0.316 8 )0.281 8-0.769 8，-0.098 2(0.125 6，0.085 5，-0.334 8，0.186 4)0.477 50.841 7，-0.198 1(-0.928 3，0.033 5，-0.127 3，-0.162 6)0.370 5-1.088 4，-0.408 0(-0.309 1，-1.658 8，-0.873 6，-0.254 9)0.992 6-0.004 8，0.075 0(-0.777 0，-0.234 5，12.522 8，0.182 1)0.894 3-0.654 5，-0.537 010.13245/j.hust.239244.T004表4局部旋转量子粒子群优化优选的控制器参数(单参智能优化控制)CsσNsws(0.179 5，-1.164 5)0.635 0-8.073 3(0.223 1，-0.437 2)0.118 4-0.552 3(-0.425 4，-0.405 2)0.183 0-0.850 9(-0.442 5，1.600 8)-0.040 9-0.286 3(1.183 2，-0.515 3)0.387 70.289 1综上所述，本研究提出的双参协同智能优化控制方法可以有效地控制图1系统的混沌运动，且相比于单参智能优化控制而言，其可实现将混沌运动控制为速度幅值更小/更大的预期周期运动，即设定预期控制目标时的局限性更小，更符合工程实际需求．此外，预期控制目标也可以设定为其他周期n-p轨道，本研究只列出预期控制目标为周期1-1和周期2-2运动的控制效果，其余周期轨道不再赘述．6 结论针对碰撞振动系统混沌运动控制问题，本研究提出一种基于局部旋转量子粒子群优化算法优化径向基函数神经网络的双参协同智能优化控制方法．a. 数值计算系统在(ω，ζ)参数平面内的运动分布，得到了周期运动及混沌运动分布图，结合单参分岔图、李雅普诺夫指数谱图、Poincaré截面图和相图，分析了混沌运动、周期运动与系统参数变化之间的关联关系及表现特征．b. 在量子粒子群优化算法的基础上，借鉴鲨鱼算法中鲨鱼的觅食运动，提出了局部旋转量子粒子群优化算法；考虑参数ω和ζ对系统动力学性态转迁的综合影响，提出了双参协同智能优化控制方法，并基于径向基函数神经网络设计了控制器；采用局部旋转量子粒子群优化算法优化控制器参数，实现了将图1系统的混沌运动控制为预期周期运动．c. 双参协同智能优化控制方法考虑了系统参数变化对系统动力学行为的综合影响，因而相较于单参智能优化控制，当设定控制目标时局限性更小，更符合实际工程需求．