粗粒土具有压实性好、渗透系数大、抗剪强度高等优点[1]，被广泛应用于高速公路和铁路路基填筑中，如砂、煤矸石废料等．然而，粗粒土在使用过程中通常处于非饱和状态，须建立SWCC反映土体水力特性．SWCC描述了土体含水量与基质吸力之间的连续关系，其数学表达式对强度、本构关系的表达非常重要[2]．获取全吸力段的SWCC试验常同时涉及张力计法、轴平移法、滤纸法等多种测试方法，过程复杂且耗时费力[3]，因此常采用数学方法基于少量离散的试验数据拟合获得SWCC预测模型．现阶段对不同类型土体SWCC预测较为常见的有用以描述土壤持水性能的经验函数方程、经典V-G模型方程、半经验模型和基于统计分析理论提出的适用于所有土类的模型等．通过建立数学模型的方式不仅可以有效预测SWCC，还很好地解决了试验方法繁琐费时的问题．分形理论是一种研究不规则几何形态的数学方法，主要参数分形维不仅反映了不规则几何形态的复杂程度，而且还体现了不同几何形态的成因差异，被广泛应用在各领域[4-5]．在土力学领域，分形方法被用于预测SWCC，其参数可以客观描述土体中孔隙结构[6-7]，相比于其他预测SWCC模型，具有计算简便、物理意义明确的优点[8-9]．然而，土体的颗粒组分对其基质吸力与含水率的分布特征有重要影响．土中细粒质量分数不同往往造成土体孔隙结构变化，进而影响SWCC[10]．当粗粒土中含有细颗粒时，其孔隙结构受两者控制，形成粗颗粒间的大孔隙群(简称大孔隙)和细颗粒间的小孔隙群(简称小孔隙)两类孔隙结构，孔径分布曲线具有两个峰值[11-12]．已有研究表明：当土体孔径分布曲线呈双峰时，SWCC具有两段下降段和中间平台段，即双台阶土-水特征曲线[13-14]．此时，基于一种孔径分布的单一分形维参数的分形模型预测SWCC效果并不理想，应考虑土体中孔隙群的不同大小、成因及孔隙结构复杂程度，采用不同的分形维表示各种孔隙群[15]．鉴于此，本研究在明确粒度成分对土体孔隙及SWCC影响的基础上，基于分形理论分别计算了代表土体大孔隙群和小孔隙群的分形维，并以两个分形维为模型参量建立了土体的分形模型(以下简称双分形维模型)．最后，通过实测数据验证了模型的准确性，分析了模型相较于传统模型的优势，并采用建立的双分形维模型对6组不同粒度成分土体的SWCC进行了预测，为工程实践提供了参考．1 含细粒粗粒土SWCC特征土中细粒质量分数影响了土体孔隙结构的分布，孔隙不同，土体中的毛细作用也不同，进而影响了土体的持水特性[16]．如图1(a)所示，单一粒径组土体的颗粒间通过接触点直接接触构成土体骨架，形成单一孔径分布的孔隙群．当土体中粒度成分改变，即粗粒土中含有一定量的细粒时，土中存在大、小两类孔隙结构，如图1(b)所示．随着细粒土质量分数增加，土体骨架变为细颗粒控制，孔隙由细粒间小孔隙主导，如图1(c)所示．10.13245/j.hust.240359.F001图1孔隙结构的分布图根据杨-拉普拉斯方程，孔隙基质吸力与孔隙直径之间成反比，ψ=(4Tscos α) / d，(1)式中：ψ为土体基质吸力；Ts为水的表面张力；α为接触角；d为孔隙直径．在土-水特征曲线定义中，进气值为空气开始进入土中孔隙时的吸力值，孔隙中的水不再随吸力增加而明显排出，对应吸力值为残余基质吸力．图2为通过压汞法获取的土体孔径分布曲线，图中V'为区间孔隙体积．图1(a)和(c)代表孔隙孔径范围均为dmin~dmax，孔径分布曲线仅有一个峰值，如图2中黏土、粉土的孔径分布曲线．此时，土体仅有一个进气值和一个残余基质吸力值，基质吸力随含水率增加而下降，土体SWCC为典型的S形特征，如图3单台阶SWCC所示．10.13245/j.hust.240359.F002图2土体孔径分布曲线10.13245/j.hust.240359.F003图3土-水特征曲线当粗粒土中细颗粒增多时(图1(b))，大孔隙被细颗粒填充，原有大孔隙尺寸减小，小孔隙体积增加，孔隙分布曲线呈现两个峰值段，如图2细粒土质砾和含细粒土砾孔径分布曲线所示．双峰形态的孔径分布曲线可分为小孔隙区间Ⅰ(dmmin~dmmax)、大孔隙区间Ⅲ(dMmin~dMmax)及峰间区间Ⅱ(dmmax~dMmin)三个范围．一般区间Ⅱ的孔隙数量很少，可忽略不计．SWCC同时受到大孔隙群和小孔隙群的控制，具有两个进气值和残余基质吸力值及斜率不同的两段下降段和中间平台段，SWCC呈现双S形特征，双台阶SWCC如图3所示，图中θ为体积含水率．各阶段孔隙水分布特征如图4所示，孔隙脱湿过程从饱和状态开始，在两个进气值位置，微小的基质吸力增大就会导致大量水排出，理论上SWCC在大、小孔隙两个进气值处各有一个转折．另一方面，因大小孔隙群的数量较大，而大、小孔隙间(即区间Ⅱ)的孔隙数量几乎没有，大孔隙脱湿完成后，要进一步把小孔隙中的水分排出，需要很大的基质吸力增量，SWCC产生平台段且该段含水量变化不大．按孔隙排水过程将双台阶SWCC分为四个阶段，包含四个关键点[20]，分别对应孔径分布曲线的三个区间：第1阶段为所有孔隙都充满了水的情况，此时土体处于饱和状态，该段末端ψs为大孔隙进气值；第2阶段水从大孔隙中排出，对应区间Ⅲ，此时大孔隙中自由水仍可保持连续相的情况，其末端ψj'为大孔隙残余基质吸力；第3阶段大孔隙内水完全排出，对应孔隙分布曲线中区间Ⅱ，其末端ψj为小孔隙进气值；第4阶段对应小孔隙中水逐步排出的情况，即区间Ⅰ，其末端为小孔隙残余基质吸力ψr．基于分形理论，对双台阶SWCC各阶段进行分析，构建SWCC双分形维模型．10.13245/j.hust.240359.F004图4双台阶SWCC各阶段孔隙水分布特征2 SWCC双分形维模型基于土体团聚体的理论序列，Rieu和Sposito[21]通过粒径推导出了描述孔隙度的方程，表达式为ϕ=1-(dmin'/dmax')3-D'，(2)式中：ϕ为孔隙率；dmin'和dmax'分别为土中团聚体最小直径和最大直径；D'为团聚体分形维数．Zhang等[22]认为使用孔径代替粒径更具有实际意义，提出了累积孔隙率与孔径之间的关系方程，ϕ(d)=1-(d/dmax)3-D，(3)式中：D为孔隙分形维；ϕ(d)为孔隙孔径大于d的孔隙率；dmax和dmin分别为土体最大、最小特征孔径．当孔径d=dmin时，孔隙率为ϕ=1-(dmin/dmax)3-D．(4)根据式(1)，当土体吸湿时，水优先浸满小的孔隙，则体积含水率可以表示为θ=ϕ(≤d)=ϕ-ϕ(d)=ϕ-1+(d/dmax)3-D．(5)将孔径替换为基质吸力得θ=ϕ-1+(ψd/ψ)3-D，(6)式中ψd为土体进气值．含细粒土的粗粒土具有大小两种孔隙[14]，孔隙的成因不同，复杂程度也有所差别，具有两种不同的分形．基于既有SWCC模型理论，可得到SWCC分形维模型为θi=ϕi    (ψψi);ϕi-1+(ψi/ψ)3-Di    (ψi≤ψ), (7)式中下标i=1，2，分别代表小孔隙和大孔隙．土的基质吸力是土中不同孔隙综合作用的结果，全范围内吸力应为两种孔隙吸力的和．可通过土体单峰孔隙分布下的分形模型分段累加获得双分形维模型，代数形式采用分段函数表示，即θi=ϕT    (0ψψs);ϕT-1+(ψs/ψ)3-D2    (ψs≤ψψj');ϕm    (ψj'≤ψψj);ϕm-1+(ψj/ψ)3-D1    (ψj≤ψψr), (8)式中：ϕT为总孔隙率；ϕ=ϕT=ϕm+ϕM，ϕM和ϕm分别为大、小孔孔隙率．3 双分形维模型参数影响分析3.1　模型参数确定方法双分形维模型参数ϕm，ϕM，ψs，ψj'，ψj，ψr可采用吸力测量技术通过试验直接确定．各点基质吸力值也可以基于孔径分布曲线间接计算确定，即：ψs=4Tscos αdMmax;ψj'=4Tscos αdMmin;ψj=4Tscos αdmmax;ψr=4Tscos αdmmin. (9)孔隙分形维数的计算方法为3-D=ln(1-(V(≥d)/Va))ln(d/dmax)，(10)式中：V(≥d)为孔径大于d的孔隙体积；Va为孔隙总体积；ϕ=V(≥d)/Va．根据式(4)，小孔和大孔的分形维数为3-Di=ln(1-ϕi)ln(dimin/dimax)．(11)代入式(1)得到小孔隙和大孔隙的分形维分别为：3-D1=ln(1-ϕm)ln(ψj/ψr); (12)3-D2=ln(1-ϕM)ln(ψs/ψj')．(13)3.2　模型参数分析分形维数与孔隙特征有关，孔隙越小，孔隙结构越复杂，分形维数越大；土体进气值受到孔径影响，孔隙半径越大，进气值越小．分析单一分形维模型参数可知：分形维影响SWCC的形态，进气值影响曲线开始阶段转折点．双分形维模型参数分析如图5所示，曲线两端下降段分别受大、小孔隙分形维影响，分形维越小，曲线越陡．曲线开始端受大孔隙进气值ψs影响，平台段受大孔隙残余基质吸力ψj'和小孔隙进气值ψj共同影响．10.13245/j.hust.240359.F005图5不同参数对SWCC的影响4 SWCC双分形维模型试验验证4.1　模型的验证采用Burger等[23]的硅藻土颗粒与天然砂混合物SWCC试验数据验证双分形维模型的预测效果，硅藻土-砂混合物物理参数如表1所示，其中CG1为硅藻土，20-60砂为90%质量保留在20号筛和60号筛之间的砂．粒度分布曲线如图6所示．10.13245/j.hust.240359.T001表1硅藻土与天然砂混合材料物理参数混合物硅藻土质量分数/%相对密度干密度/(g∙cm-3)ρdmaxρdminCG1&20-60砂4.12.641.3811.2278.72.611.2981.14214.12.591.2041.06427.62.530.9960.89710.13245/j.hust.240359.F006图6硅藻土和砂粒成分材料的粒度分布硅藻土颗粒是具有高孔隙率的材料，天然砂颗粒几乎不具有孔隙．两种材料混合后，天然砂颗粒与硅藻土颗粒之间的空间构成大孔隙，硅藻土颗粒自身孔隙构成混合物的小孔隙[14]．由试验结果可知，混合物中存在孔径分布不连续的大、小两种孔径，SWCC呈双台阶分布，图7为不同硅藻土颗粒质量分数试验验证效果．10.13245/j.hust.240359.F007图7基于硅藻土-砂混合物SWCC[23]的分形模型拟合基于试验数据，反演得到混合物的SWCC双分形维模型参数见表2，拟合曲线绘制于图7中，拟合曲线与试验数据符合良好，相关系数最高为0.98．图8给出了SWCC双分形维模型和Burger等[23]使用的修改的V-G模型、F-X模型的拟合曲线，三个模型的拟合优度分别为0.97，0.98和0.97．通过SWCC双分形维模型与既有模型效果对比可以看出双分形维模型拟合效果不低于两种模型．此外，双分形维模型所需参数更少，且参数具有更为明确的物理意义，更方便应用．10.13245/j.hust.240359.T002表2混合物的双分形维模型参数混合物硅藻土质量分数/%ϕMϕmϕTψs/kPaψj/kPaψr/kPaD1D2R2硅藻土-砂4.10.4200.0570.4770.8861410 0002.605 42.979 00.980 18.70.4150.0880.5030.7942710 0002.639 82.970 80.974 614.10.4150.1200.5350.6965510 0002.669 82.953 10.983 427.60.4210.1850.6060.599110 0002.693 12.956 50.955 610.13245/j.hust.240359.F008图8双分形维模型与V-G模型、F-X模型拟合效果对比4.2　不同粒度成分土体SWCC模型预测效果选用陈仁朋等[16]和Zhang等[24]的试验数据，按照不同细粒土(0.075mm)质量分数共分为6组，其中细粒土的质量分数依次为5%，7%，24%，50%，55%，80%，不同粒度成分土体物理参数如表3所示．10.13245/j.hust.240359.T003表3不同粒度成分土体物理参数土体名称细粒质量分数/%粗粒质量分数/%煤矸石土595砾石土(GW-GM)793砂土(SM)2476煤矸石粉土15050煤矸石粉土25545粘土(CL)8020不同粒度成分土体孔径分布曲线如图9所示．当粗粒土中细粒质量分数增加时，小孔隙体积增加，土体孔径分布呈双峰特征，如曲线GW-GM所示．随着细粒质量分数的持续增加，由小颗粒填充产生的小孔隙体积增加，区间Ⅰ峰值变大，由于细颗粒骨架作用，区间Ⅲ仍存在少量大孔隙体积，但土体孔径分布曲线总体呈单峰分布，如曲线CL所示．10.13245/j.hust.240359.F009图9孔径分布曲线基于试验数据，得到混合物的SWCC分形模型参数如表4所示．SWCC试验数据与利用分形模型模拟不同粒度成分土体的SWCC如图10所示．当细粒土质量分数为50%，55%，80%时，获取的SWCC均为单台阶分布，采用一个分形维拟合曲线模型．当土体含有一定量细颗粒(5%~25%)时，SWCC为双台阶分布，采用两个分形维分别表示大、小孔隙的孔隙特征．由此可以推断：在细颗粒质量分数为25%~50%之间，存在一个使SWCC由双台阶向单台阶转化的界限值．10.13245/j.hust.240359.T004表4不同粒度成分土体双分形维模型参数土体ϕMϕmϕTψs/kPaψj/kPaψj'/kPaψr/kPaD1D2R2煤矸石土0.080.120.200.15510.01062.976 22.981 50.992 7砾石土(GW-GM)0.150.170.320.3013.01052.865 02.982 10.959 0砂土(SM)0.100.220.320.15920.71052.977 02.974 10.978 5煤矸石粉土10.200.2010.001082.986 20.963 9煤矸石粉土20.200.2020.001062.985 50.971 8粘土(CL)0.500.5012.001052.916 80.939 910.13245/j.hust.240359.F010图10分形模型拟合的不同粒度成分土体SWCC根据分形维计算可知：小孔隙分形维一般大于大孔隙分形维，这是由于小孔隙具有更复杂的孔隙结构．如图10所示，双台阶SWCC大孔隙进气值ψs与砂砾SWCC进气值接近，小孔隙进气值ψj接近粉土SWCC进气值，说明双台阶SWCC两段下降段(阶段2和阶段4)分别由大、小孔隙控制．随着土体中粉粒质量分数增加，双台阶SWCC第二段平台(阶段3)基质吸力增大，说明土中孔隙直径减小．此时，孔隙由粉粒填充，小孔隙体积增加，持水能力增加，阶段3平台抬高．随着粉粒质量分数继续增加，大孔隙完全由小孔隙填充，阶段3平台抬高至与阶段1平台相同，阶段2消失，土体SWCC变为单台阶．结果表明：双分形维模型预测拟合优度R2平均值为0.968，拟合曲线与试验数据符合较好，模型可较好的拟合不同土体粒度成分导致SWCC形态变化．当土体SWCC为单台阶时，土体基质吸力是由一种孔隙作用的结果，土体孔隙的复杂性用单一分形维即可表达，即采用式(7)单分形维模型对SWCC进行预测，此时，可认为双分形模型退化为单分形维模型．5 结论本研究考虑土体粒度成分对孔径分布及SWCC的影响，构建了基于孔隙分形维参数的SWCC双分形维模型，并与已有模型对比，验证了模型的准确性，弥补了既有单分形维模型无法准确拟合双台阶SWCC的缺陷，得到以下结论．a．当粗粒土中含有少量细粒时，土体中大孔隙受细粒影响，孔径分布曲线变为双峰曲线，使SWCC呈现双台阶曲线形式．随着细粒质量分数持续增加，孔径分布曲线变为小孔径段的单峰曲线，SWCC平台段抬高，曲线逐渐过渡为单台阶形式．b．采用硅藻土-砂混合物试验验证SWCC双分形维模型，拟合优度R2=0.98．对比修改的V-G模型、Fredlund-Xing模型的拟合曲线，双分形维模型拟合效果好，且所有参数均具有明确的物理意义．c．对比6组不同粒度成分土体的实测SWCC，当细粒质量分数为5%~25%时，土体孔隙具有明显双重孔径分布，SWCC具有两个台阶段，双分形维模型的拟合优度R20.95；当土体中细粒质量分数超过25%时，土体孔径分布曲线逐渐呈现单峰分布，SWCC呈单台阶分布，此时模型退化为单分形维预测模型，模型的拟合优度R20.94．