耐压壳体被广泛应用于潜艇、无人潜航器、深海预置系统等装备中，主要承受静水压力的作用，是潜器的关键结构之一．实践证明，高斯曲率为正的壳体具备优良的承载性能[1]，球形壳是典型的代表[2-3]．然而，球形壳体具有极高的缺陷敏感性，使得理想状态下的球形壳体制造极其困难；由于壳体曲率半径较大，导致内部设备难以安装[4]．因此，除极限深度载人潜器使用金属球形耐压壳外，通常以圆柱壳作为潜器耐压壳体的基本构型[5]，这种方案是衡量了结构承载能力与空间利用率的结果．改变壳体几何构型能够显著提高其承载特性，壳体的构型设计近年来备受关注[6-19]．Blachut等[6]研究了具有圆弧形母线壳体的弹塑性屈曲．通过对比数值计算结果和试验数据，发现具有变曲率特征的旋转壳体相较于同等质量的圆柱壳体具有更强的承载能力．Ross[7]提出了藕节型、波纹形耐压壳体的设计方案，本质上是一种组合壳体结构，几何外形规则变化，虽然增加了内部空间，但是连接结构仍然较为薄弱，须要进行特殊加强．Jasion和Magnucki研究了卡西尼椭圆[9]、回旋球面[10]、圆弧形[11]等特征的旋转壳体，对于各型壳体的屈曲进行了理论和数值分析，证明了变曲率壳体的承载优势．但是，受限于模型的制备工艺水平，上述工作缺乏试验来进一步验证结果的有效性．随着增材制造技术的发展，为复杂几何构型结构的制备提供了支撑．张建等[12]对蛋形壳的承载性能进行了分析，基于此技术制备了蛋形耐压壳模型，并对其进行了一系列试验研究[13-14]，验证了壳体所具备的承载能力、高容重比、美观性等优势[15]．但是该研究中旋转壳母线是闭合的，终止于旋转轴，对于非封闭母线旋转壳暂时未开展探讨．在耐压壳体的工程应用中，受限于结构外形与空间布置等因素，壳体的母线不可避免地会发生变化，导致壳体剖面具有收缩或者扩张的不规则特征，变化区域存在应力集中，是结构承载的薄弱环节．等强度壳通常作为两段不同直径壳体的连接结构，用于提高变截面结构的整体承载能力．基于等强度壳理论设计的壳体，经向与纬向的应力比值为1，即两个主方向的应力在同等水平．等强度壳理论自提出以来，在建筑结构[20]中得到了广泛应用，然而在潜器耐压结构中的应用鲜见报道，仅在工程中作为变截面壳体的过渡段[21]．在耐压壳体设计的过程中，普遍希望两个方向的主应力尽可能接近，以实现材料的最大利用率，等强度壳理论对指导耐压壳体设计具有重要意义．因此，针对传统耐压壳体承载效率的局限性问题，基于等强度壳理论，探讨了等厚度变曲率对称旋转耐压壳体的力学性能．通过旋转壳理论推导了壳体的应力强度与临界失稳载荷计算公式，基于数值分析方法探讨了壳体承载的最优构型，并设计静压试验进行验证，以期为大潜深耐压壳体的设计提供借鉴．1 变曲率旋转壳理论分析模型1.1　对称旋转壳的数学模型旋转壳结构是由一条特定的曲线绕轴线旋转一周得出，该曲线称作旋转壳的母线，曲线所在面可视为壳体的中面，旋转壳示意图见图1．由图1可知：本文的研究对象为等厚度旋转壳，壳体厚度为t，记旋转壳首端部的回转半径为r0，壳体中部的回转半径为rn．定义旋转壳母线的数学方程为y=R(x)，其中函数y的一阶导数与二阶导数均存在．10.13245/j.hust.241518.F001图1旋转壳示意图如图2所示，在经线上任意选取一点c，经过点c且垂直于中心轴oo'的平面与中面的交线称为平行圆或纬线，其半径用r表示．经过点c且通过中心轴oo'的平面与中面的交线称为经线．经线om上c点曲率半径称为旋转壳体的第一曲率半径，用R1表示．经线om上c点的法线与中心轴oo'交点的距离称为第二曲率半径，用R2表示．R1和R2与壳体的几何参数存在关系r=R2sinφ，dr=R1dφcosφ．10.13245/j.hust.241518.F002图2旋转壳中面几何参数显然，由勾股定理与弧微分方程，可得任意一点R1和R2的计算公式为：R1(x)=[1+(R'(x))2]3/2/R''(x)；(1)R2(x)=R(x)1+(R'(x))2．(2)以上为旋转壳结构的基本几何关系，旋转壳是一类典型的轴对称结构，根据上述几何关系可以推导壳体的应力分布规律与临界失稳载荷．这里结合工程实际，选取了标准圆、椭圆、抛物线、三角函数和指数函数共5种曲线方程，以探讨壳体构型对力学性能的影响规律，具体为：y1=R2-x2-R+rn；(3)y2=b1-x2/a2-b+rn；(4)y3=px2+rn；(5)y4=a1sin(b1x+c1)+d1；(6)y5=a2exp[-((x-b2)/c2)2]+d2．(7)1.2　应力分布规律旋转壳体承受的均布载荷为p0，在壳体表面取一微元，根据无力矩理论与对称性[22]，可知微元仅需考虑两个内力分量，分别为经向薄膜应力Nφ与纬向薄膜应力Nθ，则可得σφ/R1+σθ/R2=-p0/t，式中：经向应力σφ=Nφ/t；纬向应力σθ=Nθ/t．上式称为拉普拉斯方程．图3为旋转壳结构一个微段，假设壳体首部的半径为r0，底部的半径为rn．在壳体上取一段长度为dl的圆环形微元段mm'，壳体微元段沿经线面的剖面示意图如下．10.13245/j.hust.241518.F003图3壳体局部受力示意图因此，基于上述假设，对微元体进行微分处理dF=-2πrp0cosφdl．壳体侧壁的受力为F1=-2πp0∫r0rnrdr=-πp0(rn2-r02)．此外，壳体在边界处的受力为F2=-πr02p0．(8)同时，壳体底部区域所受载荷沿着中心轴oo'方向的合力为F'=2πrnσφtcosα=2πrnσφtsinφ，(9)式中α=π/2-φ．由于壳体受力平衡，因此有F1+F2=F'，继而得到经向与纬向的应力为：σφ=-p0R22t⋅rnsinφ=-p0R22t；σθ=-p0R22t2-R2R1．由上述两式可以看出：随着母线曲率的变化，旋转壳两个方向的主应力会发生变化．变曲率壳体相较于圆柱壳体，纬向应力相应减小，经向应力增加，两者之间的差距逐渐接近；壳体的第一曲率半径与第二曲率半径对两个方向的应力有重要影响．此外，值得注意的是，对于不同构型的旋转壳而言，式中R1和R2的值并不是恒定的，在计算壳体不同区域的应力值时，为保证计算精度，可根据坐标系将R1(x)和R2(x)代入计算．1.3　屈曲载荷计算公式对于薄壳结构而言，普遍认为局部失稳是其主要失效模式，张建等[1]在弹性薄壁回转壳局部失稳公式的基础上，推导了受压完整回转壳体的线弹性范围内的局部失稳载荷计算公式[23]，壳体的受力平衡方程为α1∂4w∂x4+α3∂4w∂x2∂y2+α5∂4w∂y4-1R1∂2F∂y2-1R2∂2F∂x2-σxt∂2w∂x2-σyt∂2w∂y2=0;       β1∂4F∂x4+β3∂4F∂x2∂y2+β5∂4F∂y4+∂2wR2∂x2+∂2wR1∂y2=0,式中：α1，α3，α5，β1，β3和β5为相应的参数，各参数的计算公式及求解过程见文献[1]；w为壳体中面的挠度；F为壳体中面的应力函数．除此之外，在均布载荷p0作用下，根据上节推导的壳体应力表达式，壳体平衡方程为σx=-σ/2;σy=-σ(2-κ)/2,式中σ=p0R2/t．基于线弹性理论可得临界压力为σ=E1/2+(1-κ/2)γ1m2κ2(1+γκ)2(1+γ)+112(1-ν2)t2R2m2κ2(1+γ)2.将σ=p0R2/t代入，通过Mushtari薄壳经典屈曲理论推导可得封闭旋转壳在线弹性范围内的临界失稳载荷，即pcr=2Et2(2R1-R2)R213(1-ν2)．(10)可以看出：封闭旋转壳的临界失稳载荷与起始端的半径、壳体厚度、第一曲率半径和第二曲率半径有关．当第一曲率半径和第二曲率半径不是恒定值时，须用平均曲率半径R¯1和R¯2代替．将平均曲率半径定义为曲线各点曲率半径的算数平均值，结合式(1)和(2)，壳体的两个平均曲率半径为R¯i=∫-L/2L/2Ri(x)Ldx  (i=1,2)．由式(10)可知：pcr与变量r0，rn，R1和R2有关．然而r0和rn确定了壳体的主要尺寸，与平均曲率半径的计算有直接关系，对临界失稳载荷的影响程度较高．2 变曲率壳体几何构型设计2.1　力学性能评价指标针对旋转壳而言，通常关注两个方向的主应力，分别为经向(环向)应力σφ和纬向(纵向)应力σθ．经向为母线方向，纬向为旋转轴方向．在外压作用下，壳体会出现失稳，定义结构失稳时所对应的外载荷为pcr．定义结构发生应力强度失效时对应的外载荷为ps，这里取最大应力准则判断应力强度失效．定义旋转壳两个主应力的比值为A=σθ/σφ．根据最大应力失效准则，定义结构应力强度失效与稳定性失效所对应的外载荷比值为B=ps/pcr．传统等强度壳理论要求理想状态下主应力比值A=1．若在此基础上增加一个条件，即破坏载荷比值B=1，则该理论称为广义等强度理论．该理论的意义在于，当结构处于广义等强度状态时，两个主方向的应力水平接近，且当结构发生失稳时，主应力已接近材料的许用应力．因此，基于广义等强度壳理论设计耐压壳体，能将材料利用率维持在较高的水平，是一种比较理想的承载状态．此外，主应力比值A和失效载荷比值B可用于评价结构的承载能力．对于均质薄壳结构而言，通常稳定性失效为主要破坏模式，比值B≫1．广义等强度壳理论代表的是一种理想状态，在工程中较难实现．目前等强度壳结构设计中只能使比值A接近于1，比值B尽可能小．因此，根据“短板效应”，在设计过程中针对制约结构极限承载能力的“薄弱环节”进行提高，也是广义等强度壳理论的一种表现形式．结构的容积与空间利用率和容重比等指标密切相关，也是衡量壳体设计水平的重要因素．旋转壳的容积为V=∫-L/2L/2R(x)dx，对于对称变曲率壳体而言，首部半径r0和最宽处半径rn限制了耐压壳体的主要尺寸，对结构的容积影响较明显．在广义等强度壳理论的基础上，以主应力比值A、失效载荷比值B、容积作为评价指标，建立了结构容积约束下的耐压壳体力学性能评价体系，便于进一步探讨耐压壳体的最优几何构型设计．2.2　几何构型与力学性能关系当已知壳体主尺度的关键变量L，r0和rn时，即可确定各类构型壳体的母线方程，进而求得耐压壳体的容积、应力和屈曲载荷．为了进一步探讨几何构型与力学性能的关系，通过解析方法对式(3)~(7)所提出的5种构型耐压壳体的数学模型进行了求解，然后预测了各类壳体的力学性能，并且与圆柱壳体进行了对比．以r0/rn=0.92为例，各型壳体的基本参数如表1所示，表中W为容积．10.13245/j.hust.241518.T001表1不同构型壳体的参数参数圆柱圆弧椭圆抛物线三角函数指数函数R—2 500————rn100100100100——p———-2.003×10-4——ai——2 500.4—100100bi——2 500—2.02×10-3-1.903×10-6ci————1.571690.7di————00W/L12.611.911.911.911.911.7由表1可知：在相同r0/rn的前提下，壳体构型对容积的影响不大．圆弧形壳体的容积最小，相对于圆柱壳体降低了8.6%，其他构型壳体容积略大于圆弧形壳体．基于理论公式和数值计算，进一步探讨变曲率壳体的力学性能规律，分别绘制了环向应力、主应力比值Ａ、屈曲载荷随r0/rn的变化曲线，如图4和图5所示．10.13245/j.hust.241518.F004图4环向应力随r0/rn的变化曲线10.13245/j.hust.241518.F005图5主应力比值A随r0/rn的变化曲线对于母线为正高斯曲线的旋转壳结构而言，认为当r0/rn=0时，结构为球形壳，当r0/rn=1时，结构为圆柱壳，0＜r0/rn＜1时结构为变曲率壳，也是探讨的重点．由图4和5可知：不同构型变曲率壳体环向应力与主应力比值A具有相同的变化规律，数值大小排序为：圆柱＞圆弧≈椭圆＞抛物线＞三角函数＞高斯曲线＞球．随着r0/rn的增加，壳体环向应力和主应力比值A逐渐变大，除指数型曲线外，各类构型壳体的应力特征没有明显差别，当r0/rn＞0.6时，所有构型壳体的差异减小．因此，考虑到变曲率壳体的应力分布特征，使用指数型曲线作为几何构型承载优势较为明显，能实现较高的材料利用率．由表2可知：不同构型壳体的屈曲载荷排序为：球＞圆弧≈椭圆＞抛物线＞高斯曲线＞三角函数＞圆柱．随着r0/rn的增加，壳体的屈曲载荷逐渐减小，当壳体为圆柱壳时载荷最小．须要注意的是，具有指数型曲线构型的壳体是一种不稳定的结构，当r0/rn较小时屈曲载荷存在明显波动，载荷值明显低于其他壳体；当r0/rn较大时，各种构型屈曲载荷的差别较为接近，但是圆弧、椭圆、抛物线3类构型屈曲载荷值总体上占优．10.13245/j.hust.241518.T002表2屈曲载荷随r0/rn的变化情况r0/rn标准圆椭圆抛物线指数函数三角函数圆柱0665—————0.2438538533884284—0.5825725724718220—0.80132132130110110—0.878888878072—0.906666666254—0.925353535052—1.00—————21综上所述，在工程应用中，变曲率壳体的r0/rn通常被限定在一定的范围内，不可能一直减小直至趋于球壳．针对确定的r0/rn值，结合应力与稳定性两方面因素，变曲率壳体应该优先使用圆弧、椭圆、抛物线中的一种．同时，由于上述3种构型壳体的力学性能相差不大，根据工程需求与工艺性要求合理选择其中1种曲线作为壳体的母线方程．3 变曲率壳体静力学性能试验3.1　试验方案基于增材制造技术制作了圆柱壳与变曲率耐压壳体模型，通过改变壳体几何构型、长度L、曲率半径R1和R2，证明理论公式的准确性和壳体构型与力学性能关系的合理性．试验模型的详细尺寸见表3，模型的主体材料为9400E光敏树脂(密度为1.18 g/cm3，弹性模量为2.6 GPa，拉伸强度为40 MPa，泊松比为0.4)，由光固化立体成型工艺(SLA)制备，具有光顺的表面以及良好的气密/水密性，且固化后该材料的均匀性与力学性能较好．封头的厚度为20 mm，并且在边界处局部加强，使得边界处具备足够的强度刚度和气密性，保证壳体的变形和破坏主要发生在中部承载区域，试验模型见图6．10.13245/j.hust.241518.T003表3试验模型详细参数编号构型LR1R2tC1圆柱300∞1002Y1圆弧3001 5001002T1椭圆3002 0001002Y2圆弧4006002002T2椭圆4002 0001003P2抛物线4002 0002002mm10.13245/j.hust.241518.F006图6试验模型3.2　试验准备在试验开始前，须测量模型的几何外形和材料厚度，以掌握实际模型与理想模型间的差异．通过超声测厚仪(Olympus OMNISCAN-SX)测量试验模型的厚度．虽然壳体边界区域存在局部加厚区域，但是经仿真计算后，发现边界局部加强后对模型的失效载荷影响较小，且边界弯曲应力的影响得到了缓解．因此这里仅测量了壳体中部圆周方向上各点的厚度，取其算术平均值作为壳体的平均厚度，以掌握不同壳体模型加工的厚度误差，结果如表4所示．根据测量结果可知：试验模型的厚度误差均小于2.5%．10.13245/j.hust.241518.T004表4试验模型厚度测量结果编号设计厚度/mm平均测量厚度/mm误差/%C121.97-1.5Y122.042.0T122.021.0Y222.042.0P222.052.5T222.052.5通过三维扫描仪(KSCAN-MAGIC)测量了试验模型的几何外形．测量时临界值定义为 1 mm，从扫描所得三维云图可获取每个测量点的几何偏差．三维云图和测量结果分别见图7和表5，表5中最大临界值为100%．由测量结果可知：各试验模型在临界值范围内(≤±1 mm)内的测量点占比均大于99%，圆弧构型壳体加工精度略优于椭圆和抛物线构型壳体，但是差异不明显．综合厚度与几何外形测量结果，表明基于增材制造技术制作的试验模型具备较高的加工精度，试验模型与理想模型较为接近．10.13245/j.hust.241518.F007图7试验模型三维扫描几何偏差云图(色标单位：mm)10.13245/j.hust.241518.T005表5试验模型几何外形测量结果编号最大偏差/mm最小偏差/mm平均偏差/mm临界值范围内的比例/%C10.71-1.010.2699.98Y10.32-0.87-0.15100.00T12.35-0.780.4199.99Y21.92-0.950.5199.97P21.98-1.990.4599.70T21.99-1.870.3599.613.3　试验结果及分析完成试验准备工作后，依次对每个模型进行测试．试验装置如图8所示，该装置由底座、密封板、压力表及控制系统组成．试验装置的工作原理与压力桶装置基本相同．不同之处在于，本装置以气体为介质向模型施加均布压力，模拟深海静水压力载荷，使加载过程更加准确和可控，因此该试验装置更适用于具有较低破坏载荷模型的静压试验．10.13245/j.hust.241518.F008图8试验测试装置试验过程中，将阀门关闭使装置处于密闭状态，然后向内部空间充气以达到正压状态，试验模型承受环向与纵向均布载荷作用，与静水压力相同．载荷每次增加5 kPa，到达测试压力后，稳压30 s，然后继续增加压力，重复上述操作，直至模型出现破坏．当结构发生破坏时，会伴随着明显的响声，模型测试结果如图9所示，各模型均发生了不同程度的破溃，可以视为壳板失稳．10.13245/j.hust.241518.F009图9模型破坏示意图图10为试验模型的应力时间曲线．分析曲线可知，在变曲率壳体在承载过程中，在初始阶段应力与载荷呈线性关系；随着载荷的增加，由于几何非线性的存在，在临近破坏时应力与载荷出现了较为明显的非线性关系．通过比较壳体应力与材料的压缩强度可知：壳体破坏属于稳定性破坏，并且将各模型的应力及屈曲载荷的理论、仿真和试验值进行对比，如表6所示．10.13245/j.hust.241518.F010图10试验模型的应力-时间曲线10.13245/j.hust.241518.T006表6试验模型测试结果对比编号载荷/kPa环向压应力屈曲载荷理论仿真试验理论仿真试验C115750749752506560301 5001 5371 638Y115703724698898475301 4051 4491 415T115702718659909969301 4041 4361 505Y2151 0441 2151 135676944302 0892 4902 418T2151 0471 2721 218687134302 0932 5452 715P2151 0311 2711 159657141302 0622 5412 411kPa试验结果表明壳体均发生了失稳破坏，结合表6可知：变曲率壳体相对于圆柱壳体承载优势较为明显，容积相近的前提下具备更高的失稳载荷，验证了表2和式(10)所得结论．对于不同构型的变曲率壳体，圆弧构型壳体的屈曲载荷较高且测试结果稳定，椭圆与抛物线构型壳体虽然理论上优于圆弧构型，但是加工中更容易产生初始缺陷，导致其屈曲载荷有所降低．在应力特征方面，相较于圆柱壳体，变曲率壳体的环向应力减小，纵向应力增加，两个方向主应力的比值下降，更符合等强度壳的设计理念，这与式(8)和(9)所得结论相同．但是构型变化对壳体应力的影响不明显，圆弧构型反而拥有较优的应力特征．此现象仍然与加工过程中的初始缺陷有关，导致试验结果与图4中的理论预报结果存在差异．针对应力及屈曲载荷预报的准确性，壳体应力的误差较小，屈曲载荷的误差较大．这是由于壳体构型及初始缺陷的影响，当外压接近屈曲载荷时，壳体的承载进入了非线性阶段，基于线性假设推导的理论公式进行预报不可避免地导致了误差，因此对于变曲率壳体的稳定性预报应使用非线性屈曲计算．综上所述：圆弧构型壳体在应力与稳定性方面都表现出了优异的性能．由于加工精度的限制，椭圆、抛物线等较为复杂构型的壳体承载优势难以发挥，因此在工程应用中建议使用圆弧构型作为变曲率壳体的基本构型，以显著提高结构的承载能力．4 结论a．相较于圆柱壳体(单曲率壳体)而言，变曲率壳体具有明显的承载优势，该型壳体的主应力比值A更低，屈曲载荷更高．b．壳体长度L、端部与最宽处半径r0和rn决定了壳体的容积．r0/rn是影响壳体承载能力的关键变量，该值越小，壳体的承载能力越接近球壳，但是在工程实际中又不可能使其无限制地减小．应该根据工程需要，以容积为约束，合理选择变曲率壳体的r0/rn，即可以明显提高壳体承载能力，又在一定程度上保证了空间利用率．c．具备正高斯曲线特征的变曲率壳体具有良好的承载特性，改变壳体几何构型对其承载能力有一定影响，但是在r0/rn确定时影响程度不明显．综合考虑加工精度及初始缺陷等因素，变曲率壳体建议使用圆弧构型．d．提出的理论公式在壳体应力方面具有较高准确性，当预报屈曲载荷时，由于壳体承载进入了非线性阶段，通过线性理论公式进行预报不可避免地产生了误差，应使用非线性方法进行修正．