随着“碳达峰、碳中和”国家战略的贯彻落实，新能源已成为新型电力系统的重要组成部分[1-2]．然而，由于新能源资源与用电负荷分布不均衡问题，新能源并网装备往往运行于弱电网的场景，此时新能源并网装备与弱电网之间会产生复杂的耦合关系从而引发严重的稳定性问题[3]．作为风力发电和光伏发电目前所广泛采用的一种并网接口装置[4]，并网逆变器(grid-connected inverter，GCI)在弱电网下的稳定性受到了广泛关注与并已开展大量的研究工作．结合已有的稳定性研究工作，学者们提出了众多参数设计指导原则与方法来保证并网逆变器在受到扰动时的稳定性．根据扰动大小的不同，主要可以归纳为小扰动和大扰动两类．在小扰动稳定参数设计方面，文献[5-6]分别通过构建并网逆变器的传递函数及类Heffron-Phillips动力学模型分析指出锁相环与电流环参数对系统小扰动稳定性的影响．文献[7-9]从系统裕度的角度提出了锁相控制参数优化设计方法以保证小扰动稳定性．文献[10]提出了一种基于多目标函数的电流环参数设计方法，并通过阻抗模型进一步分析了锁相环参数对系统的影响．在大扰动稳定性方面，文献[11-12]分别采用相平面法和等面积法指出提高锁相环带宽有利于锁相环的跟踪性能．文献[13]基于哈密顿能量函数给出了并网变换器的暂态稳定判据及稳定裕度．文献[14]指出交流电流控制会对锁相环造成影响从而恶化系统暂态稳定性，并建议增加电流环带宽和降低锁相环带宽来提高暂态稳定性．由此可见，考虑弱电网下新能源并网逆变器小扰动稳定约束条件的参数设计已经较为成熟并且行之有效．然而，计及大扰动稳定约束条件的参数优化设计方法仍存在较大的空白．针对该问题，以文献[15]所提出的并网逆变器奇异摄动模型为基础，提出了一种暂态稳定约束下并网逆变器控制参数可行域优化设计方法．该设计方法兼顾并网逆变器的稳态与暂态性能，使其能够同时应对小扰动与大扰动故障．1 并网逆变器的奇异摄动模型与暂态稳定判据1.1　系统介绍图1为并网逆变器接入弱电网的典型拓扑结构图．图中：Lf为滤波电感；Ug为等效电网电压；Zg为等效线路阻抗；Lg为线路电感；Rg为线路电阻；Ut为并网电压；I1为并网电流；I1ref为并网电流指令；E为并网逆变器端口电压，Udc为直流电压；j为虚数单位；ωPLL为锁相环角频率；θPLL为锁相环输出相角，θPLL=θg+δ(θg为电网实际相角；δ为锁相偏差角)；上标s与c分别表示电网实际同步dq坐标系与控制器dq坐标系．10.13245/j.hust.240773.F001图1并网逆变器接入弱电网的典型拓扑结构图当电网发生三相电压跌落故障时，并网逆变器将进入低电压穿越控制模式，即直接给定并网电流指令值进行控制，不考虑外环功率控制的作用[16]．研究的并网逆变器采用传统的锁相环与电网保持同步，即检测并网点电压Ut的相角，通过PI控制器获得锁相环的输出相角θPLL进而实现与电网的同步．根据图1，忽略较小的线路电阻Rg的影响，可推导出并网逆变器的全阶数学模型[15]为d2δdt2=Imkp_PLLdUtsdt-jdδdtUtse-jδ+ki_PLLUtse-jδ ;     Lg+Lfki_cd2I1sdt2=kp_cki_cd(I1refcejδ-I1s)dt+I1refcejδ-I1s+jLfki_cd2δdt2I1s+dδdtdI1sdt-jωgLgki_cdI1sdt;Uts=Ugs+LgdI1sdt+jωgLgI1s;Edqs=Uts+LfdI1sdt+jωgLfI1s, (1)式中：kp_c和ki_c分别为电流环PI控制器比例和积分系数；kp_PLL和ki_PLL分别为锁相环比例系数和积分系数；ωg为电网角频率；下标d和q分别表示dq坐标系中的d轴分量和q轴分量．1.2　基于奇异摄动理论的暂态稳定判据根据文献[16]，选取时间尺度分离参数ε=1/ki_c≪1，可以推导出并网逆变器奇异摄动模型为I1slows=(I1refdc+jI1refqc)ejδslow;    1kp_PLL-LgI1refdcd2δslowdt2=kPLLUgqs-Ugdsdδslowdtcosδslow+dδslowdtkPLLLgI1refdc-kPLLUgds+Ugqsdδslowdtsinδslow++ωgkPLLLgI1refdc , (2)式中：kPLL=ki_PLL/kp_PLL；ddtI1fastdsI1fastqsδfast=ABCI1fastdsI1fastqsδfast，(3)A=[A11,A12,A13]，A11=-kp_cki_c(Lg+Lf)-LfI1slowqsLg+LfHL，A12=-LfI1slowqsLg+LfGL，A13=-kp_cI1refqccosδslowki_c(Lg+Lf)-kp_cI1refdcsinδslowki_c(Lg+Lf)-LfI1slowqsLg+LfFL，B=[B11,B12,B13]，B11=LfI1slowdsLg+LfHL，B12=-kp_cki_c(Lg+Lf)+LfI1slowdsLg+LfML，B13=-kp_cI1refqcsinδslowki_c(Lg+Lf)+kp_cI1refdccosδslowki_c(Lg+Lf)+LfI1slowdsLg+LfFL，C=[H/L,M/L,F/L]，HMFT=LgLg+Lfkp_csinδslow+ωgLgcosδslow-LgLg+Lfkp_ccosδslow+ωgLgsinδslowLgLg+Lfkp_cI1refdc-Ugdscosδslow-Ugqssinδslow-ωgLgsinδslowI1slowds+ωgLgcosδslowI1slowqsT，L=ki_ckp_PLL-LfLgki_cLg+LfI1slowdscosδslow+I1slowqssinδslow．式(2)为慢子系统，式(3)为快子系统．下标slow和fast分别表示慢子系统和快子系统．针对二阶非线性的慢子系统可以构建出相应能量函数，并保证其能量函数的导数大于零，即可获得慢子系统的暂态稳定判据为：1kp_PLL-LgI1refdc0;kPLLUgds0;Ugds+Ugqsδslow-kPLLLgI1refdc0. (4)针对三阶线性的快子系统，其暂态稳定判据为：式(3)中状态变量的系数矩阵特征值均小于零，则快子系统能够保持稳定．2 暂态稳定约束下参数可行域设计2.1　D分割法D分割法是一种划分稳定区的方法[17]，通过构建闭环传递函数的特征方程，令s=0，∞和±jω获得D分割边界从而确定参数可行域．以图2中含有PI控制器的单位负反馈系统为例，图中：s为复变量；GPI(s)和G(s)分别为PI控制器的传递函数和被控对象的传递函数，表达式为GPI(s)=kp+kis,G(s)=amsm+am-1sm-1+⋯+a0bnsn+bn-1sn-1+⋯+b0, (5)式中：kp和ki分别为PI控制器的比例系数和积分系数；a和b分别为被控对象传递函数G(s)分子和分母多项式的系数．10.13245/j.hust.240773.F002图2含有PI控制器的单位负反馈系统上述系统的闭环特征方程为     D(s,kp,ki)=s(bnsn+bn-1sn-1+⋯+b0)+(skp+ki)(amsm+am-1sm-1+⋯+a0). (6)根据D分割法的原理，D分割边界为D(0,kp,ki)=kia0=0;D(∞,kp,ki)=an=0;D(±jω,kp,ki)=0, (7)式中：第1，2个方程为奇异边界；第3个方程为非奇异边界，且ω=2πf为系统的角频率．因此，由式(7)中第一个方程能够确定的一条PI参数边界为ki=0．(8)对于式(7)中第3个方程确定的非奇异边界，须先令s=jω将被控对象传递函数转换至复平面下，即G(jω)=R(ω)+jI(ω)，其中：R(ω)为实部；I(ω)为虚部．随后将±jω代入方程中可求解出kp和ki关于ω的表达式为：kp=-R(ω)R2(ω)+I2(ω);ki=-ωI(ω)R2(ω)+I2(ω). (9)式(9)为系统的另一条边界，其与ki=0的边界所围成的区域则为PI参数可行域．2.2　参数可行域优化设计暂态稳定约束下的并网逆变器参数可行域优化设计流程具体步骤如下．a．确定含有相位-增益裕度测试器的锁相环小信号模型，并根据幅值裕度与相位裕度要求，获得锁相环的初始参数可行域．b．结合锁相环传递函数及带宽大小，对锁相环初始参数可行域进行优化，若上述可行域不存在交集则须要修改约束条件返回a重新进行．c．根据慢子系统稳定性判据，在一定的电网电压跌落条件及要求下，再次对上述锁相环参数可行域进行优化，从而获得最终优化后的锁相环PI参数可行域．d．确定含有相位-增益裕度测试器的电流环小信号模型，并根据幅值裕度与相位裕度要求，获得电流环的初始参数可行域．e．结合电流环传递函数及带宽大小，对电流环参数可行域进行优化若上述可行域不存在交集则须修改约束条件返回d重新进行．f．根据快子系统稳定性判据，在一定的电网电压跌落条件及要求下，依据快子系统稳定性判据得出满足快子系统暂态稳定的电流环参数可行域，并与e中的参数可行域取交集，所得区域则为最终优化后的电流环参数可行域，可从中选取最终的电流环PI参数．如果不存在交集则须要修改电流环约束条件并返回d重新进行．2.2.1　小扰动稳定下的锁相环参数可行域设计以额定功率为50 kW的并网逆变器为例进行参数可行域优化设计，其额定电压为480 V，额定电流为85.05 A，线路电感为7.34 mH，滤波电感为1.5 mH，系统短路比为2．根据设计流程，须先确定锁相环的小信号模型．在实际工程中，锁相环结构通常都会含有低通滤波环节，因此所采用的锁相环小信号模型如图3所示．图中：Vg为相电压幅值；Ugq为电网电压的q轴分量；GPI_PLL(s)为PI控制器的传递函数；Gf_PLL(s)为滤波器的传递函数．由此可以获得并网逆变器锁相环的开环传递函数为       Go_PLL(s)=Vgωps+ωpkp_PLL+ki_PLLs1s=Vgωpkp_PLLs+Vgωpki_PLLs3+ωps2, (10)式中ωp为低通滤波器的截止频率，对锁相环低通滤波器的截止频率预先选取为432 rad/s，则其特征方程的表达式为DPLL(s)=s3+ωps2+Vgωpkp_PLLs+Ugωpki_PLL ．(11)为保证锁相环针对小扰动具有良好的动态与稳态性能，通常情况下要求锁相环的幅值裕度5 dB，相位裕度为30°~70°．因此，须在锁相环小信号模型中加入相位-增益裕度测试器(如图4所示)，以获得相应的幅值裕度和相位裕度[18]．图中：A为系统的幅度裕度，GM=20lg A；φ为系统的相位裕度．10.13245/j.hust.240773.F003图3锁相环小信号模型10.13245/j.hust.240773.F004图4含相位-增益裕度测试器的锁相环小信号模型多数设计场景还会对锁相环的带宽提出限制，而锁相环的带宽通常在十几至一百赫兹．因此，考虑锁相环的带宽选取范围为10~50 Hz．根据上述锁相环闭环传递函数，将其转换至如下形式 Gc_PLL(jω)=Go_PLL(jω)1+Go_PLL(jω)=1Go_PLL(jω)+1-1=-jω3-ωpω2jVgωpkp_PLLω+Vgωpki_PLL+1-1．(12)根据带宽的定义，可以将带宽频率代入式(12)进行简化，获得锁相环PI控制器比例系数和积分系数之间的关系如下-jωb_PLL3-ωpωb_PLL2jVgωp_PLLkp_PLLωb+Vgωp_PLLki_PLL+1-1=12，(13)式中ωb_PLL为锁相环的截止角频率，与锁相环带宽fb_PLL的关系为ωb_PLL=2πfb_PLL．根据式(13)及对锁相环带宽的约束要求，加入带宽的约束，最终满足要求的锁相环PI控制器参数可行域如图5所示．10.13245/j.hust.240773.F005图5带宽约束优化后的锁相环参数可行域2.2.2　慢子系统暂态稳定约束的锁相环参数可行域优化设计针对电压深度跌落并且须在扰动期间持续向电网供电的大扰动情景，还须要进一步对上述参数可行域进行优化．依据式(4)，可获得并网逆变器暂态稳定下的锁相环PI参数的不等式关系为：kp_PLL1LgI1refdc;ki_PLL0;ki_PLLUgds+UgqsδslowLgI1refdckp_PLL. (14)按照电网导则的低电压穿越要求，保证不脱网连续运行625 ms的最低并网点电压为额定电压的20%，此时若仍须要控制并网逆变器持续输出d轴并网电流，则要按照式(14)对锁相环的参数可行域再次优化，当锁相环的PI参数位于上述不等式的范围内时则代表并网逆变器慢子系统在该跌落深度下暂态稳定．按照本研究所采用的并网逆变器参数，电网电压跌落至0.2 p.u.时，d轴并网电流指令最大取值为0.4 p.u.，为了保障设计时存有一定裕度，依次绘制d轴并网电流指令为0.31，0.33，0.35 p.u.下的临界参数范围，线条右侧区域为满足慢子系统暂态稳定的锁相环参数可行域，如图6所示．最终，选取d轴并网电流指令为0.35 p.u.时的参数可行域与图5中参数可行域的交集作为最终的锁相环参数可行域，即图6中的蓝色区域．在该范围内，其参数既满足了幅值裕度、相位裕度和带宽约束条件，又能够在发生电网电压跌落故障的情况下保持慢子系统的稳定性．综上所述，针对本文所选用的50 kW的并网逆变器，锁相环PI控制器比例系数可以选取为kp_PLL=0.3，积分系数可以选取为ki_PLL=4．10.13245/j.hust.240773.F006图6慢子系统暂态稳定约束优化后的锁相环参数可行域2.2.3　小扰动稳定下的电流环PI参数可行域设计电流环的小信号模型如图7所示．图中：Utdq为并网点电压的dq轴分量；GPI_c(s)为电流环PI控制器的传递函数；Gde(s)=e-sTs为电流环调制信号计算延迟环节，其中Ts为并网逆变器采样时间，取为1×10-4 s．为获得幅值裕度与相位裕度约束下的电流环PI参数可行域，在图7所示电流环小信号模型的基础上加入一个相位-增益裕度测试器(如图8所示)．10.13245/j.hust.240773.F007图7电流环小信号模型10.13245/j.hust.240773.F008图8含相位-增益裕度测试器的电流环小信号模型电流环的幅值裕度取5 dB，相位裕度取30°~60°．考虑电流环的带宽约束条件，选取的范围为400~900 Hz．根据前述电流环的开环传递函数，可以获得如下形式的电流环闭环传递函数Gc_c(jω)=Go_c(jω)1+Go_c(jω)=1Go_c(jω)+1-1=-ω2Lf(kp_cjω+ki_c)e-jωTs+1-1．(15)同样根据带宽的定义，可以将带宽频率代入式(15)进行简化获得锁相环PI控制器比例系数和积分系数之间的关系如下-ωb_c2Lfkp_cjωb_c+ki_ce-jωb_cTs+1-1=12，(16)式中ωb_c为电流环的截止角频率，与电流环带宽fb_c的关系为ωb_c=2πfb_c．根据式(16)及对电流环带宽的约束要求，可绘制出小扰动稳定下最终的电流环PI参数可行域如图9所示．10.13245/j.hust.240773.F009图9带宽约束优化后的电流环PI参数可行域2.2.4　快子系统暂态稳定约束的电流环参数可行域优化设计上述电流环PI参数可行域是基于D分割法划定而来，所以与锁相环的设计类似，这也意味着该电流环能够针对小扰动具有一个良好的稳态及动态性能．但是对于发生大扰动，还须进一步优化上述参数可行域．依据文献[15]中对于奇异摄动模型的推导要求，须满足时间尺度分离参数ε≪1才可以保证奇异摄动模型对原模型的描述准确度．因此，可以获得快子系统下对于电流环积分系数的边界限制，即ki_c1 000．根据式(3)所述的快子系统表达式及前面确定的锁相环参数，可以计算出所选取的并网逆变器特征值表达式为：λ1=-113.2008kp_cki_c;λ2=-356.542+27.719kp_cki_c+1ki_cγ;λ3=-356.542+27.719kp_cki_c-1ki_cγ,式中γ=127 122.345-55 076.715kp_c+768.328kp_c2．依据快子系统稳定判据，上述特征值的实部均须小于0才能保证快子系统的稳定，因此只须对λ2与λ3的实部进行正负讨论即可．先从快子系统不稳定的角度求出参数取值范围，然后对该范围取补集，即可获得相应的参数可行域．考虑γ大于0的情况，计算λ2与λ3分别大于0时的参数取值范围，具体过程不再赘述．对上述获得的两个取值范围取并集可得kp_c0或kp_c69.296．随后考虑γ小于0的情况，此时λ2与λ3是一对共轭复数，因此可以求得实部大于0的参数取值范围为12.863kp_c69.296．获得快子系统稳定状态下的电流环比例系数取值范围为0kp_c12.863．(17)将式(17)及前述电流环积分系数ki_c1 000的条件加入参数可行域中，可得奇异摄动模型快子系统暂态稳定约束优化的电流环PI参数可行域．依据可行域范围，电流环PI控制器比例系数可选取为kp_c=8，积分系数可以选取为ki_c=5 000．3 硬件在环实验验证为了验证上述方法的正确性，在SpaceR硬件在环实验平台进行了实验验证，图10为实验平台，详细介绍参见文献[19]．50 kW并网逆变器主电路和弱电网集成在高速实时仿真器SpaceR中，控制系统在DSP控制器(TMS320F28335)中执行，I/O Box用于SpaceR和DSP的信息交互．10.13245/j.hust.240773.F010图10基于SpaceR的硬件在环实验平台根据所确定的参数可行域，选取3组控制参数组进行对比实验，控制参数组如表1所示．在正常工况下，d轴并网电流指令设定为0.9 p.u.，q轴并网电流指令设定为-0.3 p.u.，此时功率因数为0.9．当t=12.0 s时，电网电压跌落至原本正常工况的20%，此时d轴并网电流指令降低为0.35 p.u.，q轴并网电流保持不变．当控制参数选取参数组1时，锁相环与电流环参数均在参数可行域内，实验波形图如图11所示．当锁相环与电流环的控制参数均设计合适时，若发生电网电压跌落故障，则锁相环将会受到扰动，最大锁相环误差为5 Hz，并且能够在0.2 s以内基本收敛至稳态，并网电流也能够迅速跟随上指令值而不产生过大的超调和畸变．10.13245/j.hust.240773.T001表1具体控制参数表参数组锁相环电流环对应参数位置kp_PLLki_PLLkp_cki_c10.3485 000均在参数可行域内20.31885 000锁相环参数在参数可行域外30.3425 000电流环参数在参数可行域外10.13245/j.hust.240773.F011图11控制参数组1的实验波形图当控制参数选取参数组2时，锁相环参数高于参数可行域，电流环参数仍位于参数可行域内，实验波形图如图12所示．可以看出：此时锁相环参数设计不合理而电流环参数设计合理，在电网电压跌落过低的情况下，锁相环输出的频率偏差将在振荡后直接失稳．并网电流和并网点电压在跌落瞬间未产生太大畸变，但随着锁相环失稳两者也将出现明显的振荡和畸变．10.13245/j.hust.240773.F012图12控制参数组2的实验波形图当控制参数选取参数组3时，锁相环参数位于参数可行域内，而电流环参数则位于可行域外的左侧，实验波形图如图13所示．可以看出：此时锁相环参数设计合理，即便在电网电压跌落过低的情况下，锁相环的输出最终能够达到稳定状态．但由于电流环参数设计不尽合理，因此最大锁相环误差将达到8 Hz，且会出现较为剧烈的振荡过程，而并网电流和并网点电压也将在电网电压跌落初期出现较为明显畸变．10.13245/j.hust.240773.F013图13控制参数组3的实验波形图4 结语基于并网逆变器的奇异摄动模型提出了一种暂态稳定约束下并网逆变器控制参数可行域优化设计方法，填补了计及暂态稳定约束条件并网逆变器参数整定方面的空缺．在满足幅值裕度、相位裕度及带宽的约束条件下，采用D分割法得到锁相环和电流环的参数可行域．然后，结合并网逆变器快、慢子系统暂态稳定约束条件进一步得到优化后的参数可行域．最后，基于所设计的控制参数，通过SpaceR硬件在环仿真检验了并网逆变器的控制性能与暂态稳定性．所提的参数可行域优化设计方法保证了在电网电压发生深度跌落故障的情况下并网逆变器的暂态稳定性．同时，由于采用幅值裕度和相位裕度进行约束，因此该方法所设计的参数也能够保证并网逆变器的稳态性能．