齿轮是机械装备量大面广的关键基础部件，广泛应用于冶金、风电、航空、舰船等重要领域[1-2]．随着各领域的快速发展，各种高端、尖端装备对齿轮的承载能力需求日渐提高[3-4]．目前市场上最常用的齿轮为渐开线齿轮，然而受制于渐开线齿轮的几何特性，其齿面接触强度偏低，高承载下齿面点蚀甚至胶合等问题日益突出[5-8]．为满足现代装备对高承载能力的需求，齿轮传动系统逐步朝多级化发展，导致传动系统体积、质量增大，零件个数增多[9]．轮齿的几何形状在一定程度上决定了齿轮传动的性能，采用新的齿形是提高齿轮传动系统承载能力的另一条有效途径；因此，新齿形的开发和研究一直是齿轮传动领域的热点．Yao等[10]设计了内啮合双圆弧螺旋锥齿轮副，并成功应用于章动减速器．Hlebanja[11]提出了一种啮合线为曲线的S型齿轮，进行了新型齿轮传动的中心距误差敏感性分析．Dong等[12]建立了根据啮合线构造共轭齿廓的数学模型，构造了直线啮合线、圆弧啮合线及二次曲线啮合线的圆柱齿轮和椭圆外啮合齿轮．韩振华等[13]提出了一种基于四阶复合摆线设计的新型齿轮．贵新成等[14]设计了一种具有高重合度的新型内啮合复合摆线齿轮副．Wang等[15]基于曲线型圆弧啮合线设计了一种新型内啮合齿轮．Liu等[16]设计了一种新型等相对曲率齿轮，与渐开线齿轮相比，新型齿轮接触强度高，滑动系数小．Zorko[17]通过理论分析和实验测量研究了新型S型齿轮的弯曲疲劳寿命．唐挺等[18]提出了一种共轭参数驱动的谐波传动齿廓设计方法．从以上研究可以发现，科技的飞速发展不断地对齿轮传动提出新的要求，更大的功率密度、更高的效率一直是齿轮传动领域追求的目标．本研究基于抛物线啮合线设计了一种新型高承载能力低滑动率齿轮，并借助空间啮合理论、轮齿承载接触分析等，深入分析安装误差、齿面修形等对啮合性能的影响，完善了曲线型啮合线圆柱齿轮的设计理论，可为新型高承载能力低滑动率圆柱齿轮的齿廓设计和齿面修形设计等提供参考．1 基于啮合线的齿轮齿廓设计齿轮在啮合过程中接触点在固定坐标系中形成的轨迹即为啮合线[15]，因此可预先对啮合线进行设计，然后反向构造满足预设啮合线的共轭齿廓．如图1所示，S1和S2分别为与齿轮1和齿轮2固连的动坐标系，Sf为固定坐标系，Of位于节点，r1和r2分别为两齿轮节圆半径，ϕ1和ϕ2为两齿轮转角．10.13245/j.hust.240694.F001图1齿轮啮合坐标系预设啮合线rf在坐标系Sf下，可表示为rf=xf(ut),yf(ut),1T，(1)式中ut为啮合线参数．将啮合线坐标由固定坐标系Sf向坐标系S1和S2进行坐标转换，即可得到满足预设啮合线的共轭齿廓R1和R2，可表示为R1(ut)=L1,frf=xfcos ϕ1(ut)+yfsin ϕ1(ut)+r1sin ϕ1(ut)-xfsin ϕ1(ut)+yfcos ϕ1(ut)+r1cos ϕ1(ut)1；(2)R2(ut)=L2,frf=xfcos ϕ2(ut)-yfsin ϕ2(ut)+r2sin ϕ2(ut)xfsin ϕ2(ut)+yfcos ϕ2(ut)-r2cos ϕ2(ut)1，(3)式中L1,f和L2,f分别为固定坐标系Sf到动坐标系S1和S2的坐标转换矩阵．由于齿轮共轭齿廓在接触点的公法线一定通过瞬心Of，因此单位法向矢量在坐标系Sf可表示为[19]nf=1/(xf)2+(yf)2xf,yf,0T．(4)将法向矢量表示在坐标系S1中，则有n1=L1,frf=1xf2+yf2xfcos ϕ1(ut)+yfsin ϕ1(ut)-xfsin ϕ1(ut)+yfcos ϕ1(ut)0．(5)根据齿轮啮合原理，啮合方程可表示为f1=n1dR1dutdutdt=xf'xf+yf'yf+r1xfϕ1'(ut)=0．(6)齿轮角位移与啮合线参数ut的关系可表示为：ϕ1(ut)=-∫0ut[(xf'xf+yf'yf)/(r1xf)]dut;m12=N2/N1=ϕ1/ϕ2;ϕ2(ut)=ϕ1(ut)/m12. (7)将方程(7)代入方程(2)和(3)中，即可得到满足预设啮合线的共轭齿廓方程．2 重合度与滑动率计算对于非渐开线齿轮，渐开线齿轮重合度的计算公式显然不再适合，因此须要根据齿轮重合度的一般公式进行计算，即某一轮齿从进入到退出啮合转过的角度(齿轮作用角ϕt)与齿距角的比值[20]ε=ϕt/ϕp，(8)式中：ε为齿轮重合度；ϕp为齿距角，ϕp=2π/Z1，Z1为该齿轮的齿数．根据滑动率δ的定义，假设某一瞬时两齿面在C点接触，随着齿轮转动，C1和C2点在下一瞬时进入啮合，两接触点在这一时间段内滑过的弧长分别为ΔS1和ΔS2，则齿廓1和齿廓2的滑动率δ1和δ2可表示为δ1=limΔS1→0[(ΔS1-ΔS2)/ΔS1]=(dS1-dS2)/dS1;δ2=limΔS2→0[(ΔS2-ΔS1)/ΔS2]=(dS2-dS1)/dS2. (9)下面给出基于啮合线的齿廓滑动率解析法计算过程．根据方程(2)和(3)可以得到如下方程[21]x1'2+y1'2=r2(r1+h)2/[r12(h-y)2],x2'2+y2'2=r2(r2-h)2/[r22(h-y)2]; (10)dS1=x1'2+y1'2dy={r(r1+h)/[r1(h-y)]}dy;dS2=x2'2+y2'2dy={r(r2-h)/[r2(h-y)]}dy, (11)式中：h为啮合线法线与两轮连心线交点到节点的距离，h=f(x)+x/f'(x)，f(x)为预设啮合线在Sf下的方程；xi和yi分别为Si下齿轮i(i=1，2)的坐标分量；xi'和yi'为xi和yi对于x的一阶导数；r1和r2分别为两齿轮节圆半径；r为啮合点到节点的距离．将方程(11)代入方程(9)，即可得到两齿轮的滑动率δ1和δ2．上述方法求解滑动率比较繁琐，为此本文提出了基于轮齿接触分析的滑动率求解方法．图2为基于轮齿接触分析得到的齿面接触点迹，C和C1为两相邻接触点，两点的空间距离可基于C和C1点的位矢得到．当转角步长足够小时，弧CC1̑的长度可满足以下近似关系CCi¯≈CCȋ=ΔSi(i=1,2)．(12)10.13245/j.hust.240694.F002图2齿面接触点迹(以直齿轮为例)将方程(12)代入方程(9)，即可得到齿面滑动率．为验证所提出的方法可行性，下面将用解析法与提出的近似解法计算齿数比为17/29、模数为2.25 mm、压力角为20°的渐开线直齿轮滑动率．通过计算发现，用解析法得到的两齿轮滑动率极值分别为|δ1|max=8.056和|δ2|max=2.221；基于提出的简化方法计算得到两齿轮滑动率极值分别为|δ1|max=8.024和|δ2|max=2.237．两种方法计算得到的滑动率极值误差仅为0.40%和0.72%，因此下文基于轮齿接触分析求解滑动率．3 算例与分析本研究以抛物线作为预设啮合线，完成新型齿轮设计，并将其与渐开线齿轮进行对比．3.1　基于抛物线啮合线的新型齿轮设计如图3所示，P1-Of -P2为预设抛物线啮合线，Sf为固定坐标系，坐标系原点Of位于节点．引入无量纲参数k1和k2，建立抛物线焦点与齿轮节圆之间的联系：p1/2=k1r2;p2/2=k2r1. (13)10.13245/j.hust.240694.F003图3抛物线型啮合线设计共轭齿廓在第一象限的抛物线啮合线Of-P2顶点位于节点，抛物线焦点位于F2(0，p1/2)，坐标系Sf下Of-P2的方程为：xf=2p1ut;yf=2p1ut2;s.t.  p10,ut≥0. (14)共轭齿廓在第三象限的抛物线啮合线Of-P1顶点位于节点，抛物线焦点位于F1(0，-p2/2)，坐标系Sf下Of -P1的方程为：xf=2p2ut;yf=-2p2ut2;s.t.  p20,ut≤0. (15)表1为齿轮副相关设计参数，抛物线参数k1和k2取0.32．图4为设计的新型齿轮齿廓与同参数渐开线齿廓对比．10.13245/j.hust.240694.T001表1齿轮设计参数参数新型齿轮渐开线齿轮齿数17/2917/29模数/mm2.252.25螺旋角/(°)88齿宽/mm2020分度圆压力角/(°)020齿顶高系数11齿根高系数1.251.25刀具圆角半径/mm1110.13245/j.hust.240694.F004图4基于抛物线啮合线的新型齿轮3.2　新型齿轮重合度分析为研究抛物线参数对重合度的影响，分别选择不同设计参数的抛物线进行新型齿轮重合度计算，结果见表2．基于计算结果可知：新型齿轮的重合度随抛物线参数k1和k2的增大而增大，且增大抛物线参数k2对于重合度的影响更为显著；同参数下渐开线齿轮的重合度为1.95，与渐开线齿轮相比，基于抛物线啮合线设计的新型齿轮重合度明显增大，最高增大了23.08%，新型齿轮传动更加平稳．10.13245/j.hust.240694.T002表2新型齿轮不同设计参数的重合度对比k1k2ε0.200.322.200.320.322.310.440.322.370.320.202.180.320.322.310.320.442.403.3　新型齿轮滑动率分析研究表明在一定条件下两齿轮磨损量之比等于两齿轮滑动率之比，为描述两齿轮非均匀磨损程度，引入滑动率差异系数U，将其定义为U=δ1max/δ2max. (16)图5给出了齿轮副滑动率的计算结果．基于图5和表3中的计算结果可知：10.13245/j.hust.240694.F005图5新型齿轮与渐开线齿轮滑动率对比10.13245/j.hust.240694.T003表3齿轮副滑动率计算结果对比齿轮滑动率范围Uδ1δ2渐开线齿轮[-6.794，0.681][-2.131，0.872]3.19新型齿轮[-4.298，0.840][-5.238，0.811]0.82a. 两种齿轮的滑动率极值均出现在啮合极限点位置，且齿根位置的滑动率大于齿顶位置，反映出齿根位置磨损相比齿顶更为严重；b. 渐开线齿轮最大滑动率|δ|max=|δ1|max=6.794，滑动率差异系数U=3.19，渐开线齿轮滑动率较大，其中小轮滑动率大于大轮，小轮齿面磨损更严重；c. 新型齿轮最大滑动率|δ|max=|δ2|max=5.238，与渐开线齿轮相比，滑动率降低了22.9%，新型齿轮齿面磨损更小，新型齿轮副滑动率差异系数U=0.82＜1，新型齿轮副磨损更为均匀．3.4　新型齿轮承载接触分析(无误差无修形)本研究利用ABAQUS软件完成齿轮承载接触仿真分析．齿轮的三维有限元网格为八节点六面体C3D8R单元，齿轮材料的弹性模量为201 GPa，泊松比为0.29．承载计算中，在两齿轮中心建立参考点，对大轮两侧面和内孔施加固定约束，并约束小轮除绕轴线转动的所有自由度，对小轮施加100 N⋅m的转矩，忽略齿面摩擦影响，以1°为步长依次提取中间轮齿在一个完整啮合周期内的最大齿面接触应力σc和齿根弯曲应力σb．图6给出了新型齿轮与渐开线齿轮的齿面接触应力和弯曲应力对比，从图中可看出新型齿轮的接触应力和弯曲应力都小于渐开线齿轮．表4给出了两种齿轮的应力计算值，在啮入位置、节点与啮出位置，新型齿轮的齿面接触应力比渐开线齿轮分别减小22.8%，20.01%和33.47%，弯曲应力减小10.62%．10.13245/j.hust.240694.F006图6渐开线齿轮与新型齿轮应力对比10.13245/j.hust.240694.T004表4渐开线齿轮与新型齿轮应力计算结果对比 MPa类型σcσb啮入节点啮出渐开线齿轮505.99426.35789.64187.81新型齿轮390.60341.03525.35167.873.5　新型齿轮承载接触分析(有误差有修形)实际工况中误差不可避免，因此须要进行齿面修形．如图7所示，修形曲线由两段二阶抛物线和一段直线组成，y1和y2为两端最大修形量，y3为齿向不修形长度，b为齿宽．可根据齿向修形曲线方程计算齿面相应网格节点修形量，依照修形量重新求解齿轮的空间节点坐标后将其导入ABAQUS软件，实现修形齿轮的快速三维网格建模．10.13245/j.hust.240694.F007图7齿向修形曲线设计如图8所示，建立包含安装误差Δγ的齿轮啮合传动坐标系，图中所示为正安装误差，反之为负安装误差．S1和S2分别为固连于大小轮的动坐标系，Sg为模拟安装误差的坐标系，大小轮分别围绕坐标轴ZF和Zp旋转．本研究只对小齿轮齿面修形，齿向修形参数yi(i=1，2，3)分别为8 μm，8 μm和8 mm．10.13245/j.hust.240694.F008图8考虑安装误差的齿轮啮合坐标系图9和图10给出了安装误差下修形渐开线齿轮与修形新型齿轮的齿面接触应力和齿根弯曲应力计算结果．如图中所示，齿轮螺旋角的存在导致正负安装误差对齿轮承载应力的影响不同，正向误差使小轮在退出啮合时齿面发生严重偏载，导致小轮在啮出时齿顶位置发生严重的应力集中．10.13245/j.hust.240694.F009图9修形齿轮在安装误差下的接触应力10.13245/j.hust.240694.F010图10修形齿轮在安装误差下的弯曲应力从图11中节点位置von-Mises等效应力云图可以看出：在负向误差影响下，齿面实际接触区域偏离节点向齿顶圆移动，使得实际接触点对齿根弯矩增大，因此相比正向误差，负向误差对齿轮齿根弯曲应力影响更为显著．10.13245/j.hust.240694.F011图11安装误差下修形齿轮在节点啮合的齿面载荷分布表5给出了不同误差角下的应力值，正向误差下修形新型齿轮在啮入位置、节点、啮出位置的最大接触应力相比于修形渐开线齿轮分别降低17.24%，21.14%和28.96%，弯曲应力降低3.23%；负向误差下修形新型齿轮在啮入位置、节点、啮出位置的最大接触应力相比于修形渐开线齿轮分别降低26.37%，18.57%和17.55%，最大弯曲应力降低8.92%．10.13245/j.hust.240694.T005表5考虑误差的修形齿轮应力计算结果对比齿轮类型Δγ/(′)σc/MPaσb/MPa啮入节点啮出渐开线齿轮0436.36467.55647.47185.002421.06530.07728.76190.64-2495.14511.12618.83223.07新型齿轮0327.45363.00484.86173.092348.48418.01517.71184.49-2364.56416.22510.20203.174 结论a. 基于抛物线啮合线设计了一种新型高承载、低滑动率齿轮，并借助微分几何、空间啮合理论、轮齿承载接触分析等，深入分析了安装误差、齿面修形等对新型齿轮啮合性能的影响．b. 与渐开线齿轮相比，基于抛物线啮合线设计的新型齿轮重合度大幅提高，在传动平稳性方面优势明显；齿廓相对滑动率显著降低，有利于减小齿面磨损，改善齿面润滑与非均匀磨损状态，提高齿轮副的使用寿命．c. 轮齿承载接触分析计算结果表明：设计的高承载低滑动率新型齿轮，在无误差无修形工况和有误差有修形工况下，承载能力都明显优于渐开线齿轮，特别是齿面接触应力可减小高达17.0%以上．d. 本研究完善了曲线型啮合线圆柱齿轮的设计理论，可为新型高承载低滑动率圆柱齿轮的齿廓设计和齿面修形设计等提供参考．设计的新型齿轮在高承载应用领域有一定的应用潜力．