方矩形管广泛应用于农机、建筑、化工等领域，在连续辊弯成形方矩形管过程中，根据其成形方式可以分为直接成方和圆成方．在直接成方过程中，中性层偏移系数的选择对孔型设计起着关键作用[1-3]；在圆成方过程中，孔型设计的总扩展系数依然依靠经验选取，取值范围通常在1.02～1.04之间[4]．同时由于其内壁侧无约束，会导致方矩形管出现截面收缩、壁厚增大的现象，壁厚的增大容易导致角部成形区域处于欠充满状态，对成形精度造成影响．在圆管辊弯成形异型管的相关研究中，文献[5-6]通过对圆成方过程中不同区域进行划分，分别建立了分块区域的动可容速度场，基于上限法推导了成形过程的解析公式，将试验结果与解析计算结果进行对比，验证了解析解的正确性，并将其推广到多道次成形中，同样取得了较好的效果．文献[7]采用椭圆管作为母管进行方管辊弯成形研究，结果表明当采用直径较大的驱动辊和较小直径的立辊成形时，方管会出现角部下垂的现象，同时随着椭圆管垂直长度的增加，驱动辊的压下量增大，因此顶部平面凹度增加．文献[8-9]采用有限元法对P形管和8字形管辊弯成形过程进行仿真，分析造成截面尺寸误差的原因，针对成形中出现的质量问题提出了改进措施，并结合试验证明了改进方案的有效性．文献[10-11]针对闭式冷弯成形提出了一种新的孔型设计方法，并将其应用到矩形管和扇形管成形中，基于冷弯矩形管分析了成形过程中的金属流动规律，最后通过冷弯试验验证了孔型设计的有效性．基于以上研究，在圆成方过程中一般将圆管壁厚设为定值，但在实际成形中壁厚的增加容易导致角部误差的出现．因此，本研究提出了一种考虑增厚系数的圆成方孔型设计方法，采用有限元模型和优化算法进行工艺分析，根据优化方案进行了辊弯成形试验．该研究可为圆管成形异型管孔型的设计及优化提供参考．1 孔型设计原则1.1　体积不变定律在圆成方辊弯成形过程中，设定共有N个成形道次，以第M-1和第M道次为例(MN)，如图1所示．10.13245/j.hust.240643.F001图1孔型设计计算由体积不变定律[12-13]可知    τ1ψ1{α(2a-τ1)/2-α'[(2c-τ1')/2]δ1λ1}+τ2ψ2{β(2a-τ2)/2-β'[(2c-τ2')/2]δ2λ2}+τ3ψ3{(θ1-α-β)(2a-τ3)/2-[(θ1'-α'-β')(2c-τ3')/2]δ3λ3}+τ4ψ4{θ2(2b-τ4)/2-[θ2'(2d-τ4')/2]δ4λ4}+τ5ψ5{θ3(2a-τ5)/2-[θ3'(2c-τ5')/2]δ5λ5}=0,式中：δi(i=1~5)分别为第M道次上不同圆弧段的延伸系数；λi分别为第M道次上不同圆弧段的增厚系数；α为第M-1道次第一段圆弧圆心角；a为第M-1道次第一、二、三、五段圆弧半径；τi分别为第M-1道次不同圆弧段对应厚度；β为第M-1道次第二段圆弧圆心角；θ1-α-β为第M-1道次第三段圆弧圆心角；θ2为第M-1道次第四段圆弧圆心角；b为第M-1道次第四段圆弧半径；θ3为第M-1道次第五段圆弧圆心角；ψi分别为第M-1道次上不同圆弧段的轧后长度；α'为第M道次第一段圆弧圆心角；c为第M道次第一、二、三、五段圆弧半径；τi'分别为第M道次不同圆弧段对应厚度；β'为第M道次第二段圆弧圆心角；θ1'-α'-β'为第M道次第三段圆弧圆心角；θ2'为第M道次第四段圆弧圆心角；d为第M道次第四段圆弧半径；θ3'为第M道次第五段圆弧圆心角．考虑同一个道次上不同圆弧段连接点的连续性，假设同一道次上每段圆弧的延伸系数、增厚系数相等，即δ1=δ2=…=δ5=ud;λ1=λ2=…=λ5=εd;ψ1'=ψ2'=…=ψ5'=ld';ψ1=ψ2=…=ψ5=ld;τ1'=τ2'=…=τ5'=td';τ1=τ2=…=τ5=td,式中：ψi'分别为第M道次上不同圆弧段的轧后长度；ud为不同道次的延伸系数；εd为不同道次的增厚系数；ld'为不同道次的轧后管坯长度；ld为不同道次的轧前管坯长度；td'为不同道次的轧后管坯厚度；td为不同道次的轧前管坯厚度．因此可以得到CM-1(N)=kMCM(N)=uMεMCM(N)，式中：CM-1(N)为第M-1道次中性层周长；kM为第M道次扩展系数；CM(N)为第M道次中性层周长；uM为第M道次延伸系数；εM为第M道次增厚系数．对于N个成形道次，K为总扩展系数，K=k2k3⋅⋅⋅kN=u2u3⋅⋅⋅uNε2ε3⋅⋅⋅εN，式中：ki(i=2~N)为各个道次的扩展系数；ui为各个道次的延伸系数；εi为各个道次的增厚系数．1.2　金属秒流量相等原则由于轧辊孔型由多段圆弧组成，成形过程中孔型上每个质点的速度不同，因此将整个轧辊的速度等效为平均速度进行计算．将每道次的前滑值考虑到辊径的逐渐递增上，由于整个机组由一台电机驱动，每个道次角速度相同，因此根据连续辊弯过程金属连轧秒流量相等原则[14]，有    ω{τ1{α[(2a-τ1)/2]ρ1-[α'(2c-τ1')/2]λ1(ρ1+Δρ1)}+τ2{β[(2a-τ2)/2]ρ2-β'[(2c-τ2')/2]⋅λ2(ρ2+Δρ2)}+τ3{(θ1-α-β)[(2a-τ3)/2]ρ3-(θ1'-α'-β')[(2c-τ3')/2]λ3(ρ3+Δρ3)}+τ4{θ2[(2b-τ4)/2]ρ4-θ2'[(2d-τ4')/2]λ4(ρ4+Δρ4)}+τ5{θ3[(2a-τ5)/2]ρ5-θ3'[(2c-τ5')/2]λ5(ρ5+Δρ5)}}=0,式中：ω为角速度；ρi为第M-1道次不同位置的轧辊半径；Δρi为第M道次较第M-1道次在轧辊上不同位置的增量．由上式可得RMRM-1=CM-1(N)εMCM(N)=KMεM=μM',式中：RM为第M道次轧辊平均半径；RM-1为第M-1道次轧辊平均半径；μM'为第M道次平均延伸系数．其中，理论上μM=μM'=C(C为常数)，但在成形过程中由于轧辊上质点的轴向速度不同，使得μM'会出现一个浮动的变化区间．2 孔型设计2.1　拓扑映射原理基于李普希茨(Lipschitz)映射可知，在圆管辊弯成形异型管过程中，圆管与异型管之间保持线性拓扑映射关系，即圆管上的每个质点都能在成形异型管上找到一一对应的关系，如图2所示，成形中圆管与异型管的形心始终重合，拓扑映射数学模型[15-16]为10.13245/j.hust.240643.F002图2拓扑映射关系f1(x,y)→g1(x,y);f2(x,y)→g2(x,y);     ⋮fi+1(x,y)→gi+1(x,y),式中：fi(x,y)为圆管上的质点；gi(x,y)为异型管上的质点．2.2　设计与计算以50 mm×50 mm×6 mm的20号钢方管为设计目标，总扩展系数选取为1.033，各个道次厚度增量与圆心角变化量呈现相同的变化趋势；各个道次孔型具体参数计算过程如下Li=Li+1ki+1;LiL=Li+1,Lki+1,L;LiS=Li+1,Ski+1,S;LiC=Li+1,Cki+1,C; (1)Ri=Li/(2π);αL=(LiL/Ri)(180/π);βS=(LiS/Ri)(180/π);αi=αL[1-(x1+x2+…+xi)];βi=βS[1-(x1+x2+…+xi)];x1=10%,x2=22%,x3=22%,x4=21.5%,x5=21.5%,x6=3%;Rαi=(LiL/αi)(180/π)+0.5ti;Rβi=(LiL/βi)(180/π)+0.5ti;φi=90°-(αi+βi)/2;rφi=(LiC/φi)(180/π)+0.5ti;    Exi=(Rβi-rφi)cos12βi180π-(Rαi-rφi)sin12αi180π;    Eyi=(Rαi-rφi)cos12αi180π-(Rβi-rφi)sin12βi180π,式中：Li，LiL，LiS，LiC分别为第i道次整体、长边、短边、角部中性层弧长；ki+1，ki+1,L，ki+1,S，ki+1,C分别为第i+1道次整体、长边、短边及角部的扩展系数；Li+1，Li+1,L，Li+1,S，Li+1,C分别为第i+1道次整体、长边、短边及角部中性层弧长；Ri为圆弧中性层半径；αL为长边总变化角；βS为短边总变化角；αi为第i道次长边对应圆心角；βi为第i道次短边对应圆心角；xi(i=1~6)为第2~7道次按圆心角分配的变形量；Rαi为第i道次长边圆弧半径；Rβi为第i道次短边圆弧半径；φi为第i道次连接圆弧对应圆心角；ti为第i道次的成形管壁厚；rφi为第i道次连接圆弧半径；Exi为第i道次X轴偏心距；Eyi为第i道次Y轴偏心距．根据式(1)的计算结果，由2.1节拓扑映射原理，根据偏心距、圆弧半径和圆心角绘制辊花图，如图3所示．其中，根据布劳威尔不动点定理[17]可知，图3中A和C两点为二维空间中水平方向上的不动点，B和D为竖直方向上的不动点，中心点O为三维空间中的不动点．10.13245/j.hust.240643.F003图3辊花图3 有限元模拟3.1　有限元模型建立由于方矩形管连续辊弯过程是对称成形，因此采用1/4模型进行有限元建模，具体参数设定如下：管坯材料为20号钢，网格划分如图4(a)所示；平辊为驱动辊，转速设定为1 rad/s；立辊为从动辊，在其旋转中心采用控制节点进行约束，在轧辊边缘采用辅助节点进行约束．因为立辊为自由滚动的方式成形，应尽可能地保持辊面光滑，所以设定立辊与管坯之间的接触摩擦系数为0.001[18]；在圆管咬入前采用推板的形式将管坯推入孔型，根据金属秒流量相等原则，推板速度应略小于轧辊上质点的线速度，设定为75 mm/s；在X和Y方向上建立两个对称面；由于第一道次为定径阶段，因此有限元模型从第二道次开始建立，有限元建模如图4(b)所示．10.13245/j.hust.240643.F004图4有限元模型3.2　工艺参数对增厚系数的影响在圆成方辊弯成形过程中，圆管管径、圆管壁厚和成形R角尺寸对结果有重要影响，所以截取管坯稳定段成形截面，对1/8圆管的部分节点进行增厚系数计算．在R角尺寸对增厚系数的影响分析中，将最终成形道次的轧辊进行不同R角成形，如图5(a)所示，可以看出R角尺寸对增厚系数的影响不大，这是因为当圆管管径偏小时，角部处于欠充满状态，轧辊边部靠近角部区域并未与管坯接触，所以导致R角的减小对成形结果影响较小．10.13245/j.hust.240643.F005图5R角尺寸对增厚系数的影响在图5(b)中，当管径较大时，角部处于过充满状态，在10号节点(角部与边部过渡区域)附近增厚系数最大，且随着R角尺寸的减小增厚系数逐渐增大，这是因为圆管管径越大越会有足够的金属对角部进行成形，当R角越小时，轧辊宽度越大，角部成形剧烈，壁厚增加；但当管径增加过大时，由于金属的堆积角部有出现损伤的可能，同时根据国标GB/T6728－2002，过大的管径会使角部壁厚出现超差．在实际生产过程中，角部区域进行平辊成形，此时角部区域会根据圆管管径的大小进行成形，R角尺寸也会随着圆管管径变化．圆管壁厚对增厚系数的影响如图6(a)所示，可以看出在圆管管径和R角尺寸一定的情况下，随着壁厚的增加增厚系数逐渐增大，同时随着壁厚的变化最大增厚系数出现的位置逐渐改变，当厚度较小时，增厚系数最大值出现在14号节点附近(角部中心位置附近)；当厚度较大时，最大值出现在8号节点位置(边部和角部过渡区域)，出现这种现象的原因是当较大厚壁管成形时，其阻碍金属流动的能力较强，使得金属在边部与角部过渡区域流动不充分，在该区域堆积，造成增厚；当厚度较小时，阻碍金属流动能力弱，金属在角部流动较充分，流动距离大，所以在角部中心位置附近造成了金属堆积．10.13245/j.hust.240643.F006图6圆管壁厚和管径对增厚系数的影响图6(b)为圆管壁厚和R角尺寸在定值的情况下，圆管管径对增厚系数的影响，可以看出：增厚系数随着管径的增加逐渐增大，在节点7～8号位置(角部与边部过渡区域)达到最大；在节点1～6号位置(边部区域)增厚系数的增长率随着管径的增加逐渐增大，在节点7～8号位置增长率随着管径的增加逐渐减小．根据增厚系数的分布可知，若圆管壁厚较大，同时来料管径过大，则会首先在角部与边部过渡区域出现较大的增厚，根据国标GB/T6728－2002对壁厚的要求，该区域壁厚会首先出现超差的情况．4 角部增厚预测及优化4.1　回归模型与方差分析为了探究工艺参数与角部增厚系数之间的关系，建立角部增厚系数的数学模型，采用虚拟仿真取代试验的方式进行响应面设计，用Box-Behnken设计(BBD)试验设计法[19]，以成形过程中边部与角部过渡区域的增厚系数作为响应值，研究圆成方辊弯过程中圆管管径、圆管壁厚和成形R角尺寸对角部增厚系数的影响，采用3因素3水平，共15组仿真试验．其中3组中心重复仿真试验的响应值在管坯长度方向不同位置进行数据提取，具体设计及结果如表1所示．10.13245/j.hust.240643.T001表1Box-Behnken仿真设计及结果仿真试验组号D/mmt/mmV/mmεc1576.08.01.043 942606.07.51.071 903636.08.01.079 724634.58.51.062 905604.58.01.052 916574.58.51.028 587573.08.01.015 838574.57.51.029 829604.58.01.052 5210604.58.01.049 9411606.08.51.069 2612603.08.51.033 8213634.57.51.064 2214603.07.51.034 7215633.08.01.052 81以角部增厚系数作为响应值，数学回归模型为    Y(D,t,V)=-1.460 05+0.071 368D+0.014 617t+0.035 805V-6.666 67×10-5Dt-1.333 33×10-5DV-5.80×10-4tV-5.422 22×10-4D2+5.177 78×10-4t2-2.12×10-3V2,式中：Y为响应值，即角部增厚系数εc；D，t和V分别为圆管管径、圆管壁厚和R角成形尺寸．4.2　回归模型优化与试验验证根据国标GB/T6728－2002，辊弯壁厚小于10 mm的方矩形管，其壁厚误差不超过10%，但为了实现角部成形区的金属填充，须要对Y(D，t，V)进行望大值优化，即对-Y(D，t，V)求望小值．问题描述如下：    f=min[-Y(D,t,V)];s.t.  57 mm≤D≤63 mm,       3 mm≤t≤6 mm,       V=8.5 mm.优化函数与结果如图7所示，可以看出采用遗传算法(GA)得到角部增厚系数为1.077 9，圆管管径为62.88 mm，初始壁厚为5.87 mm；其余优化算法得到的角部增厚系数为1.079 6，圆管管径为63 mm，初始壁厚为6 mm．将直径为63 mm，壁厚为6 mm的圆管作为母管进行仿真，提取角部增厚系数仿真结果为1.081，与回归模型相比误差较小，验证了回归模型的可靠性．10.13245/j.hust.240643.F007图7优化函数与优化结果原始方案与优化方案成形结果对比如图8(b)所示，可以看出：相比原始管径，优化管径的成形使得角部充满度得到提升，验证了优化结果的有效性．采用直径为63 mm、壁厚为6 mm的圆管作为母管进行辊弯成形试验，试验结果与仿真结果对比如图8所示，可以看出试验与仿真结果符合度较高，两者误差小于10%，验证了仿真模型的准确性．10.13245/j.hust.240643.F008图8辊弯试验与仿真结果对比两者之间误差的产生主要是由于在实际辊弯成形过程中金属流动会导致材料的性能变化(角部区域显著)、轧辊的空间定位误差、机架的刚度及有限元模型中迭代计算和网格划分的疏密程度造成的，所以在实际生产过程中轧辊的空间定位应精确，尽可能减小定位误差；在有限元模型计算中，保证模型计算效率的前提下，应尽可能细化角部成形区域的网格．5 结论a. 根据体积不变定律和金属秒流量相等原则，考虑增厚系数对50 mm×50 mm×6 mm方管进行孔型设计，根据辊花图建立圆成方辊弯成形有限元模型，分析工艺参数对增厚系数的影响，基于响应面法建立了评价角部增厚的回归数学模型．b. 圆管管径和壁厚对角部增厚系数的影响显著；由于成形过程中角部处于欠充满状态，因此R角尺寸对角部增厚系数的影响并不显著；角部增厚系数随着圆管管径和壁厚的增加逐渐增大；角部增厚系数增长率随着管径的增加逐渐变缓，壁厚对增长率的影响相对较小．c. 结合国标GB/T6728－2002和角部充满度考虑，基于优化算法对模型采用望大值优化，优化方案的仿真结果与回归模型之间的误差较小，验证了回归模型的可靠性；优化结果的角部充满度较原始结果得到提升，验证了优化的有效性；将优化尺寸作为母管进行辊弯试验，试验与仿真结果误差小于10%，验证了有限元模型的准确性．