永磁同步电机(PMSM)具有结构简单、运行可靠、体积小、质量轻、效率和功率密度高等优点，被广泛应用于航空航天、装备制造、轨道交通、新能源等领域[1-2]，在诸如数控装置、机器人运动控制等应用场景中，系统往往对电机的位置控制有严格要求，包括极低的稳态误差、响应快速且不允许超调等，在这些场景中电机的经典控制策略多为矢量控制与比例积分(PI)控制器相结合[3]．传统的PI控制往往基于反馈过程进行调节，受到实际被控对象物理参数的限制，其响应快速性和超调之间存在矛盾，而前馈控制方法能在不改变系统本身结构稳定性的基础上提高其动态响应能力，因此在反馈控制的基础上添加前馈控制形成复合控制，可以很大程度提高控制系统的响应速度和跟踪特性[4]，前馈方法按照补偿方式可分为基于输入的补偿和基于扰动的补偿，对于输入补偿，前馈控制器往往基于整个控制系统传递函数的逆进行设计，具体到永磁同步电机相关的位置伺服系统中，输入补偿的形式多表现为速度前馈和加速度前馈[5]．传统的速度前馈和加速度前馈方法是将位置指令的一阶微分量和二阶微分量乘以一定的比例系数，分别作用到系统的速度环和电流环输入[6]，其实现过程对系统内环进行了一定程度的简化，在此基础上，为得到更为准确的前馈量，Wang等[7]提出了基于系统控制模型的前馈方法，通过搭建整个控制系统的参数模型，输入与实际系统相同的位置指令，基于模型中计算的速度，电流值进行前馈以得到更好的效果，但该方法会受到系统模型参数不准确的影响，且计算复杂；Milecki等[8]将模型跟踪控制(MFC)方法用于电液伺服系统的控制中，在该方法中前馈量由实际被控对象的物理模型生成，同时模型输出将作为实际控制系统的指令输入，以起到指令整形的作用，但该方法同样依赖于准确的模型参数，且模型计算量大，实现困难．除去须要生成准确的前馈量，位置伺服系统中前馈环节的效果还受到输入指令类型的影响，若指令对应曲线变化率较大，则前馈环节往往效果微弱甚至失效，尤其体现在系统对于阶跃类型指令的响应上，小位置增益的系统跟踪性能差且稳态误差大，而大位置增益的系统往往存在超调，此时的系统性能受限严重．为此，黄科元等[9]在数控伺服系统位置前馈控制的基础上，针对系统的位置阶跃响应超调量大、前馈环节效果不明显等问题，引入位置环微分负反馈，通过微分负反馈抑制系统的超调，其仿真和实验结果验证了该方法的有效性；然而该方法在实际应用中会受到微分过程对反馈信号中采样噪声放大的影响，实际效果微弱．陆浩等[10-11]将非线性跟踪微分器引入系统的前馈环节，利用跟踪微分器为指令安排过渡过程，并基于跟踪微分器得到的指令微分量前馈，该方法能实现系统对于阶跃指令快速且无超调的跟踪，然而实际跟踪微分器应用时加速度因子调参复杂，当阶跃指令较大时仍然存在响应超调，且对连续信号的跟踪存在较大程度的滞后．针对现有方法的不足，本研究在位置伺服系统基于跟踪微分器前馈方法的基础上，对跟踪微分器进行了一定程度的改进，对于加速度因子调参问题，基于实际系统的电流限幅给出了加速度因子的计算公式，简化了调参过程；对于阶跃响应超调问题，结合实际系统的速度限幅在跟踪微分器中引入了最大速度约束参数，实现了系统对阶跃指令的无超调快速跟踪；对于连续信号跟踪滞后问题，引入超前计算步长参数实现对输入指令的超前预测，使得跟踪信号的滞后得到了一定程度的补偿，最终的仿真和实验结果均验证了上述方法的有效性．1 永磁同步电机前馈反馈复合控制位置伺服系统中经典的永磁同步电机三闭环控制示意图如图1所示，由内而外分别为电流环、速度环和位置环，电流环一般采用电机d轴电流id=0 A的矢量控制方式，其和速度环的控制器均为PI控制器，位置环控制器多为P控制器，主要在于实现对位置指令的快速且无超调跟踪．10.13245/j.hust.240634.F001图1永磁同步电机三闭环反馈控制框图实际电机的运动方程通常具有如下形式Te-Tl=J(dω/dt)+Bω, (1)式中：Te为电磁转矩；Tl为负载转矩；J为电机转动惯量；t为时间；B为黏滞阻尼系数；ω为机械转速．电机输出电磁转矩满足Te=1.5p(Ψdiq-Ψqid), (2)式中：p为电机极对数；Ψd和Ψq分别为电机d轴磁链和q轴磁链；iq为电机q轴电流．当未达到磁饱和时，磁链满足Ψd=Ldid+Ψf；(3)Ψq=Lqiq，(4)式中：Ld和Lq分别为电机d轴电感和q轴电感；Ψf为永磁体磁链．在基于id=0的矢量控制方式下，输出电磁转矩可进一步表示为Te=1.5pΨfiq．(5)通常令KT=1.5pΨf表示电机的力矩常数，从而有Te=KTiq．(6)基于式(1)和(6)，忽略黏滞阻尼及负载转矩，并基于电机加速度、速度和位置之间的积分关系，同时将电流环简化为一阶惯性环节，可以得到在复域下参数化的电机三闭环反馈控制框图如图2所示．10.13245/j.hust.240634.F002图 2永磁同步电机三闭环反馈控制参数化框图对于仅依赖于PI环节进行反馈控制的系统，位置环增益决定了系统的位置跟踪性能，位置环增益越大，系统响应越快，跟踪误差越小，但更容易出现超调．在一定的位置环增益下，为了提高系统的动态响应特性，进一步降低跟踪误差，通常在系统反馈控制的基础上添加基于位置指令的前馈环节形成复合控制，从位置指令到速度指令的前馈环节称为速度前馈，从位置指令到q轴电流指令的前馈环节称为加速度前馈，如图3所示．其中速度前馈环节传递函数为Fv(s)=Kvffs；(7)10.13245/j.hust.240634.F003图3永磁同步电机三闭环前馈反馈复合控制框图加速度前馈环节传递函数为Fa(s)=Kaffs2．(8)当满足对于输入的全补偿条件时，有：Kvff=1；(9)Kaff=J/KT．(10)式(7)和(8)是基于系统速度环闭环传递函数的逆推导得到，同时式(8)描述的加速度前馈形式对系统电流环进行了进一步简化，忽略了电流环的时间常数，前馈系数的理论值由式(9)和式(10)给出，其基于系统的理论传递函数为1得到．2 基于非线性跟踪微分器前馈传统前馈方式下，前馈量的生成依赖于输入指令的一二阶微分量，由于控制器内部各个环节的输出限幅，实际前馈环节的效果会受到输入指令类型的影响．当输入指令对应曲线变化率较大时，前馈环节往往效果微弱甚至失效，尤其体现在系统对于阶跃类型指令的响应，此时系统性能受限且超调严重[9,11]，基于非线性跟踪微分器的前馈方法可以解决这一问题．跟踪微分器是利用惯性环节来尽可能快地跟踪输入信号，并通过求解微分方程来近似获取微分信号，其有线性与非线性、高阶与低阶之分，离散控制系统中效果较好的是二阶非线性跟踪微分器，其具有如下描述形式[12]x1(k+1)=x1(k)+hx2(k);x2(k+1)=x2(k)+hfh;fh=fhan(x1(k)-u(k),x2(k),r,h0), (11)式中：x1(k)为第k个采样时刻输入信号的跟踪信号；h为计算步长；x2(k)为第k个采样时刻输出的微分信号；fh可以看作x2(k)的微分信号；fhan为离散系统的最速控制函数；u(k)为在第k个采样时刻跟踪微分器的输入信号；r为加速度因子；h0为滤波因子．其算法公式描述为fh=fhan(x1,x2,r,h);fhan(x1,x2,r,h)=-rsign(a)    (ad),r(a/d)    (a≤d);(12)d=rh;d0=hd;y=x1+hx2;a0=d2+8ry；a=x2+[(a0-d)/2]sign(y)    (yd0),x2+y/h    (y≤d0),式中a，a0，y，d和d0为计算过程中间变量[12]．将非线性跟踪微分器用于前馈环节的控制，相比于传统前馈方法，反馈环节的输入指令由跟踪微分器给出的跟踪信号提供，同时跟踪信号的一二阶微分量会提供给前馈环节．传统前馈方法下，当阶跃类型指令作用时前馈环节失效的原因在于速度前馈量和加速度前馈量均为脉冲量，持续时间短同时被控制器的输出限幅约束，并且受到了初始控制时刻较大的反馈控制量对其效果的进一步削弱．对于基于非线性跟踪微分器的前馈方法，在参数设置合理的条件下，跟踪微分器对阶跃指令的响应特征将表现为跟踪信号以有限时间无超调的进入稳态，跟踪信号与指令之间存在过渡过程，将跟踪信号作为反馈控制器输入，可以减小初始时刻指令与实际之间的偏差，也即减小对应的反馈控制量，从而增强前馈环节的作用，同时由于跟踪信号在跟踪过程中受到加速度因子的约束，跟踪信号可看作对指令进行加速度约束后的信号，将其对应的微分信号进行前馈，可以避免系统电流限幅的影响．在上述控制策略下，实际系统的速度指令绝大部分由前馈量提供，反馈控制量仅针对其他微小的扰动，从而使得系统可以具有更大的位置环增益，对于原本阶跃响应存在超调的系统，其超调将会消失．图4给出了在1 rad阶跃位置指令下基于不同前馈方法系统实际位置跟踪曲线仿真结果，此时传统前馈方法下系统响应超调严重，而基于非线性跟踪微分器前馈的系统响应快速且不存在超调．10.13245/j.hust.240634.F004图41 rad阶跃位置指令下仿真结果3 改进跟踪微分器设计基于非线性跟踪微分器的前馈方法在实际应用中还面对加速度因子调参复杂，当阶跃指令较大时响应超调，以及对连续信号的跟踪滞后问题．因此，本研究对传统非线性跟踪微分器进行了改进，通过给出加速度因子的计算公式简化了调参过程；通过引入最大速度约束参数抑制了系统的阶跃响应超调；通过引入超前计算步长参数补偿了系统对连续信号的跟踪滞后，控制示意图如图5所示，主要区别在于将传统跟踪微分器(TD)替换成用于前馈环节的改进跟踪微分器(ITD)．10.13245/j.hust.240634.F005图5基于改进非线性跟踪微分器前馈的永磁同步电机复合控制框图3.1　加速度因子计算传统非线性跟踪微分器须要调节的参数为加速度因子r和滤波因子h0，式(12)中fhan(∙)的计算公式表明r决定了跟踪信号的最大加速度，r越大，跟踪微分器跟踪输入信号的速度越快；而对于滤波因子h0，取其适当大于实际计算步长h，可以起到对指令信号进行滤波的效果，并能消除跟踪信号末端的微弱超调．在基于跟踪微分器的前馈方法中，跟踪信号的一阶微分量和二阶微分量会在经过前馈环节后作用到系统的速度指令和电流指令处；由于系统的速度和电流限幅，为使前馈量不被限幅值影响，跟踪信号须要满足一定的速度和加速度约束，因此实际跟踪微分器的加速度因子可以基于系统电流限幅值计算得到，基于式(8)和(10)，加速度因子应当满足r≤(KTIqmax)/J．(13)同时为使跟踪信号尽快跟踪指令，通常取加速度因子为理论最大值．当加速度因子大于该表达式时，基于跟踪微分器给出的电流前馈量将超过系统限幅，对应速度前馈量将具有更大的峰值和更短的持续时间．而由于实际系统的电流无法超过最大电流，也即系统的最大加速度受限，速度前馈量将无法被系统很好地响应，进一步地，由于持续时间缩短，前馈环节对系统跟踪性能的提升也将受限．图6给出了不同加速度因子下基于跟踪微分器前馈的系统对于1 rad阶跃位置指令的位置跟踪仿真结果，其中r为基于式(13)计算得到的加速度因子最大值，随着加速度因子增大，系统阶跃响应的上升时间也增大，响应逐渐变慢，尤其当加速度因子为3r时，由于速度前馈量过早下降，因而系统的实际位置响应曲线出现了拐点．10.13245/j.hust.240634.F006图6不同加速度因子下1 rad阶跃位置指令仿真结果3.2　最大速度约束经典跟踪微分器只对跟踪信号的最大加速度进行了限制，而用于前馈环节的跟踪微分器须要进一步考虑跟踪信号的速度限制，若跟踪信号的最大速度超过系统速度限幅，则系统在基于跟踪微分器进行前馈的方法下也会出现响应超调．图7给出了在3 rad阶跃位置指令下，基于传统跟踪微分器前馈的系统速度跟踪仿真结果(图中n为转速)，其位置跟踪结果见图8．仿真系统给定了1 000 r/min的速度限幅，图中反馈控制量为位置环比例环节的输出，前馈控制量为基于式(7)计算得出的．由于系统阶跃指令较大，跟踪微分器给出的跟踪信号的最大速度将超过系统速度限幅，但系统指令速度和实际速度仍然会维持在限幅值，因此此时系统实际位置将无法跟踪上跟踪微分器提供的输入指令．二者之间的偏差进一步产生较大的速度反馈控制量，其与前馈控制量一同作用使得系统实际转速在最大转速处维持了更长时间；当系统实际位置跟踪上阶跃位置指令时，电机仍然具有一定的转速，从而导致了响应超调．10.13245/j.hust.240634.F007图73 rad阶跃位置指令下速度跟踪仿真结果10.13245/j.hust.240634.F008图8阶跃位置指令下不同前馈方法仿真结果针对上述问题，本研究对式(11)描述的跟踪微分器算法进行了改进，引入最大速度约束，用参数s表示，计算过程如下：x1(k+1)=x1(k)+hx2(k);x2(k+1)=x2(k)+hfh(k);fh0=fhan(x1(k)-u(k),x2(k),r,h0);fh(k)=fh0    (x2(k)+hfh0≤s),[s-x2(k)]/h    (x2(k)+hfh0s),-[s+x2(k)]/h    (x2(k)+hfh0-s). (14)主要不同之处在于：当计算k+1时刻跟踪信号的一阶微分量时，先基于当前时刻的一阶微分量x2(k)和最速控制函数得到的二阶微分量fh0预测下一个时刻一阶微分量；然后与最大速度限制s作比较，若未达到速度上限，则实际二阶微分量fh(k)与fh0相等；若达到速度上限，则基于速度上限对fh(k)进行修正，从而确保跟踪信号的一阶微分量不会超过最大速度上限．图8给出了在3 rad阶跃位置指令下，基于改进跟踪微分器前馈的系统位置指令跟踪仿真结果，图9在相同实验条件下增加了负载，仿真结果均表明在对跟踪微分器添加最大速度约束后，系统的实际位置响应超调消失．10.13245/j.hust.240634.F009图9带负载系统阶跃位置指令下不同前馈方法仿真结果3.3　超前计算步长由于跟踪微分器对连续信号的跟踪存在一定程度的幅值衰减和相位滞后，因此基于跟踪微分器进行前馈的系统对连续指令的跟踪也将存在一定程度的幅值衰减和相位滞后，这将影响在该前馈方法下实际系统的位置跟踪性能．为此对现有跟踪微分器算法进行了进一步改进，在其离散计算过程中引入了超前计算步长对系统的跟踪滞后进行补偿．对于式(14)描述的计算过程，二阶微分量fh0基于k时刻的输入u(k)计算得到，由于在k时刻跟踪指令的一阶微分量x2(k)及二阶微分量fh(k)已知，因此将二者作为输入u(k)的一阶微分量和二阶微分量，便可以对当前时刻的输入指令进行一定程度的相位超前预测；进一步跟踪预测后的输入指令，便可以一定程度上补偿跟踪指令存在的滞后．因此，在原本跟踪微分器的算法中引入了超前计算步长h1，针对k时刻的输入u(k)，基于延时环节的近似泰勒展开式计算k时刻的输入预测值xpre(k)，并基于输入预测值xpre(k)计算二阶微分量fh0，实际计算过程描述如下：x1(k+1)=x1(k)+hx2(k);x2(k+1)=x2(k)+hfh(k);xpre(k)=u(k)+h1x2(k)+h12fh(k)/2;fh0=fhan(x1(k)-xpre(k),x2(k),r,h0);fh(k)=fh0    (x2(k)+hfh0≤s),[s-x2(k)]/h    (x2(k)+hfh0s),-[s+x2(k)]/h    (x2(k)+hfh0-s).对于超前计算步长参数，其对应输入指令超前计算的时间，该参数越大，算法对输入指令相位超前预测的程度也越大．但由于实际计算过程基于输入指令上一时刻的近似一二阶微分量，因此过大的超前计算步长会使得输入预测值存在一定程度的失真，而当该参数较小时，改进跟踪微分器对输入指令跟踪滞后的补偿效果也会受到影响，通常情况下可取超前计算步长参数等于跟踪微分器的滤波因子，并在实际应用中适当调整．图10给出了幅值大小为0.1 rad和频率为5 Hz的正弦位置指令下，基于不同跟踪微分器前馈的系统实际位置跟踪仿真结果，可以看出：相比于传统的跟踪微分器，基于改进的跟踪微分器进行前馈，系统的位置跟踪滞后得到了一定程度的补偿．10.13245/j.hust.240634.F010图105 Hz正弦位置指令下不同前馈方法仿真结果4 实验结果图11所示为电机控制系统实验平台的连接示意图，实验用永磁同步电机额定功率为2.03 kW，额定转速为1 500 r/min，额定电压为400 V，额定力矩为12.9 N∙m，转动惯量为1.2 g∙m2．10.13245/j.hust.240634.F011图11实验平台连接示意图为验证基于改进跟踪微分器前馈方法的效果，在电机空载的实验条件下，分别给定了1 rad，5 rad和10 rad阶跃位置指令，以及幅值0.01 rad和频率50 Hz的正弦位置指令，实验过程中直流母线电压给定311 V，脉冲宽度调制(PWM)波频率为10 kHz，电流限幅值为5 A，转速限幅值为1 000 r/min，转速限幅受限于实验条件下的母线电压，不同跟踪微分器加速度因子均设置为9 387.5，该参数基于式(13)计算得到，滤波因子设置为0.002，改进跟踪微分器额外设置了1 000 r/min的最大速度约束参数和0.002的超前计算步长．图12给出了在不同大小阶跃位置指令下基于不同跟踪微分器前馈的电机实际位置跟踪图，当阶跃指令较小时，基于不同跟踪微分器前馈的系统具有相同的位置跟踪结果；当阶跃指令较大时，基于传统跟踪微分器进行前馈系统出现位置响应超调，在5 rad和10 rad阶跃指令下超调量分别为4.4%和2.5%，超调量随指令增大而减小的原因在于速度限幅限制了系统最大位置跟踪误差，指令增大使得表示相对大小的超调量减小，而基于改进跟踪微分器前馈的系统响应快速且未出现超调．10.13245/j.hust.240634.F012图12不同阶跃位置指令下不同前馈方法位置跟踪图图13给出了10 rad位置指令下对应实验过程的电机速度跟踪图，进一步表明最大速度约束参数通过避免速度前馈量超限来抑制系统响应超调的效果．图14给出了幅值大小为0.01 rad和频率为50 Hz的正弦位置指令下基于不同跟踪微分器前馈的电机实际位置跟踪对比结果，基于改进跟踪微分器进行前馈，系统的位置跟踪滞后得到了改善，最大跟踪误差由0.009 3 rad降低到0.006 1 rad，减小了34.4%．10.13245/j.hust.240634.F013图1310 rad阶跃位置指令下不同前馈方法速度跟踪图10.13245/j.hust.240634.F014图1450 Hz正弦位置指令下不同前馈方法位置跟踪图5 结语为实现位置伺服系统的无超调快速跟踪，提出了一种基于改进跟踪微分器前馈的永磁同步电机复合控制方法，在基于传统非线性跟踪微分器前馈控制方法的基础上，针对加速度因子调参问题，结合系统电流限幅给出了加速度因子计算公式，简化了调参过程；针对阶跃响应超调问题，引入最大速度约束参数，实现了系统对阶跃指令的无超调快速跟踪；针对连续信号跟踪滞后问题，引入超前计算步长参数实现对输入指令的超前预测，降低了系统对连续信号的跟踪误差，提高了系统的位置跟踪性能．综上所述，基于本研究对传统前馈方法的改进，实际位置伺服系统能做到对指令的无超调快速跟踪，该方法在数控装置及机器人控制等场景具有较大的应用价值．