五相实心转子感应电机(five phase solid rotor induction motor，FPSRIM)具备结构简单、机械强度高、起动和调速性能好、可靠性高等优点，在舰船飞轮储能及气体压缩机等高速领域中应用广泛[1-2]．实心转子的电路与磁路合为一体，导致转子磁场分布并不规则，集肤效应强烈，涡流及磁通主要集中在转子表面，使得转子表面区域达到高度饱和，这也导致了电机的转子参数与转差率和磁场强度密切相关，采用欧姆定律无法计算实心转子阻抗参数[3-4]．对此，国内外学者对实心转子感应电机电磁场分布和等效电路参数计算开展了大量研究工作，提出透入深度法、单位磁阻抗法[5]、多层理论法[6-7]和有限元法[8-9]等方法．然而透入深度法、单位磁阻抗法和多层理论法等方法忽略了定子齿槽效应的影响；有限元法计算时间成本高，且难以对电机特性及其设计参数进行规律性研究，不适用于处理电机设计初期的优化问题．近年来，子域法凭借其媲美有限元法的精度受到国内外学者的广泛关注．该方法根据激励源的性质，将电机横截面划分为多个子域，建立每个子域内的矢量磁位方程，并结合不同子域间的边界条件，求得矢量磁位解，进而求得各子域内磁通密度分布[10-12]．文献[13]针对传统子域法在计算表贴式永磁游标电机磁场时系数矩阵维数高、计算过程复杂的问题，以双曲函数的形式表示各矢量磁位的解析解，提出了一种改进的子域解析模型，并计算了空载反电动势、气隙磁通密度和电磁转矩．文献[14]建立了五相鼠笼转子感应电机精确子域模型，考虑了定转子齿槽结构和定子槽开口的影响，得到气隙磁通密度分布．文献[15]将实心转子感应电机求解区域划分为定子槽子域、气隙子域和实心转子子域，建立子域解析模型，但并未考虑定子槽开口的影响，并且随着子域和计算精度的增加，表达式的复杂度、求解矩阵的维度和计算时长均会大幅增加．文献[16]通过安培环路定理对定子槽的非齐次边界条件进行简化，得到槽内磁场分布，但该等效边界条件只针对恒定磁场问题，对运动导体中感应产生的时变涡流等磁准静态场(实心转子的电磁场)有何影响还有待研究．针对上述问题，本研究将FPSRIM划分为定子槽载流子域、槽开口子域、气隙子域和实心转子子域，建立精确子域模型，结合安培环路定理和静磁学原理对定子槽载流子域和槽开口子域的边界条件进行等效，基于傅里叶级数法对气隙子域和实心转子子域交界面边界条件进行分析，求解得到各子域矢量磁位．随后，利用磁场计算结果对FPSRIM转子阻抗和电磁转矩进行计算，并通过有限元仿真验证了理论计算的准确性．该解析模型极大减小了磁场计算的时间成本，适用于电机优化设计初期的参数计算．1 磁场解析模型1.1　模型前处理及假设条件以FPSRIM为计算对象，将求解域划分为四个子域，即定子槽载流子域、定子槽开口子域、气隙子域和实心转子子域，横截面如图1所示，图中：R1为转子外半径；R2为定子内半径；R3为定子外半径．10.13245/j.hust.250541.F001图1FPSRIM结构横截面图图2为FPSRIM子域划分，图中：A1,i(r, θ)，A2,i(r, θ)，A3,i(r, θ)和A4,i(r, θ)分别为定子槽载流子域、定子槽开口子域、气隙子域和实心转子子域的磁位；r为径向长度；θ为机械角度；θs为定子槽距角度；βs1为定子槽开口角度；βs2为定子槽角度；Ra为定子槽开口内表面半径；Rb为定子槽开口外表面半径；Rc为定子槽外表面半径．为便于计算分析，定义θ1=βs1/2，θ2=βs2/2，R2=Ra．取定子坐标系为解析参考坐标系，以第1槽的中心作为初始位置，则第i槽的中心位置为θi=2π(i-1)/Q，式中：Q为定子槽数，i=1,2,⋯,Q．10.13245/j.hust.250541.F002图2FPSRIM子域划分为简化计算，作以下假设：磁场模型中所有的电磁量均为正弦量；定转子轴向无限长，忽略实心转子的饱和效应、磁滞效应、端部效应；定子铁心磁导率无穷大，电导率为0；矢量磁位及感应电流密度只有轴向分量；定子绕组为单层绕组；实心转子为各向同性均匀介质，相对磁导率和电导率不变．1.2　子域模型建立及通解求解定子槽载流子域矢量磁位A1,i(r,θ)的泊松方程可以表示为∂2A1,i(r,θ)∂r2+1r∂A1,i(r,θ)∂r+1r2∂2A1,i(r,θ)∂θ2=-μ0Ji，式中：μ0为空气磁导率；Ji为载流区域的电流密度，是一个包含时间因子的复相量，其相位根据电流相序不同而错开72°，可以表示为Ji=2N1Imβs2(Rc2-Rb2)ejωstejϕi，其中，N1为槽内绕组匝数，Im为绕组内电流幅值，ωs为电流角频率，ϕi为第i槽对应的相位，取值为0，2π/5，4π/5，6π/5，8π/5．考虑到定子铁磁材料磁导率无穷大，在定子槽载流子域边界及底部磁场强度的切向分量为零，因此边界条件可以表示为：∂A1,i(r,θ)/∂θθ=θi-θ2=0;∂A1,i(r,θ)/∂θθ=θi+θ2=0;∂A1,i(r,θ)/∂rr=Rc=0.通过分离变量法可求得槽载流子域通解为      A1,i(r,θ)=-μ0Jir2/4+μ0JiRc2lnr/2+∑k=1∞(Ck,i1rkl2+Dk,i1r-kl2)cos[l2k(θ+θ2-αi)],式中：l2=π/θ2；Dk,i1=Ck,i1Rc2l2k；Ck,i1和Dk,i1为待求解系数；k为定子槽载流和槽开口子域的谐波系数．定子槽开口子域矢量磁位A2,i(r,θ)的拉普拉斯方程可以表示为∂2A2,i(r,θ)∂r2+1r∂A2,i(r,θ)∂r+1r2∂2A2,i(r,θ)∂θ2=0．定子铁磁材料磁导率无穷大，槽开口子域矢量磁位满足以下条件：∂A2,i(r,θ)/∂θθ=θi-θ1=0;∂A2,i(r,θ)/∂θθ=θi+θ1=0.采用分离变量法求解可得               A2,i=Pi2lnr+∑k=1∞(Ck,i2rl1k+Dk,i2r-l1k)cos[l1k(θ+θ1-αi)]，式中：l1=π/θ1；Pi2，Ck,i2，Dk,i2为待求解系数．气隙子域矢量磁位A3,i(r,θ)的拉普拉斯方程可以表示为∂2A3,i(r,θ)∂r2+1r∂A3,i(r,θ)∂r+1r2∂2A3,i(r,θ)∂θ2=0．由分离变量法求解可得气隙子域通解表达式为     A3,i(r,θ)=∑m=1∞(Am3rm+Bm3r-m)cos(mθ)+∑m=1∞(Cm3rm+Dm3r-m)sin(mθ),式中：m为气隙子域谐波系数；Am3，Bm3，Cm3和Dm3为待求解系数．实心转子子域矢量磁位A4,i(r,θ)的涡流方程可表示为     ∂2A4,i(r,θ)∂r2+1r∂A4,i(r,θ)∂r+1r2∂2A4,i(r,θ)∂θ2=μ0μrσr∂A4,i(r,θ)∂t+ωr∂A4,i(r,θ)∂θ，式中：μr为转子相对磁导率；σr为转子电导率．利用数学物理方程的知识，采用分离变量法进行求解，发现这是一个典型的Sturm-Liouville问题，该方程可以表示为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数组合的形式，考虑到r=0处，矢量磁位为有限值，n阶第二类贝塞尔函数在0处为无穷大，因此通解可化简为     A4,i(r,θ)=∑n=1∞(An4Jn(ζ1r))cos(nθ)+∑n=1∞(Cn4Nn(ζ1r))sin(nθ),式中：ζ1=-jsωsμ0μrσr，s为转差率，ωs为定子电流角速度；An4和Cn4为待求解系数；Jn和Nn分别为n阶第一类和第二类贝塞尔函数；n为实心转子子域的谐波系数．2 谐波系数求解2.1　定子槽区域边界条件分析在求得定子槽载流子域、槽开口子域、气隙子域和实心转子子域的通解后，根据各交界面边界条件求解各阶次的谐波系数．传统子域模型利用交界处法向磁通密度和切向磁场强度相等这一条件进行求解，然而随着子域的增加，计算复杂度大幅增加．对此，利用安培环路定理等效处理定子槽载流子域和槽开口子域边界条件，随后利用傅里叶级数法处理气隙子域和实心转子子域边界条件，相当于将子域个数由4减少为2，降低了计算复杂度．图3为FPSRIM定子槽型示意图，在槽边界AI，IC，CD，DE，EF，FG，GH上，边界为磁导率无穷大的铁磁界面，磁场完全正交，即切向磁场强度为零．在边界HA，GI上，边界为空气域，磁场受槽型的影响，不适用齐次的纽曼边界条件．将闭环AICDEFGH定义为Γ，除弧线HA外，沿路径Γ的磁通密度B与Γ局部正交，将ICDEFG定义为Γ1，除弧线GB外，沿路径Γ1的磁通密度B与Γ1局部正交，由安培定律可知[16]∮ΓBds=∫HABds=-∫-θ1θ1Bt(Ra,θ)Radθ=μ0JiSCDEF ；(1)∮Γ1Bds=∫GBBds=-∫-θ1θ1Bt(Rb,θ)Rbdθ=μ0JiSCDEF ，(2)式中：Bt(Ra,θ)和Bt(Rb,θ)为沿弧线HA和GI处切向场；SCDEF=θ2(Rc2-Rb2)．式(1)和(2)表示HA和GI边界处必须满足的积分约束条件，但并不能直接用来求解．10.13245/j.hust.250541.F003图3FPSRIM定子槽结构区域内的磁场在内角α=π/2处是奇异的，即在A，I，G，H处存在奇异点，在这些点附近，当与顶点距离趋近于0时，磁场可以等效为一个以ε-1/3形式发散的函数，因此沿弧线HA，GI处的切向场可以表示为[16]： Bt(Ra,θ)=b0Ra31θ1+θ3+1θ1-θ3； Bt(Rb,θ)=b1Rb31θ1+θ3+1θ1-θ3．将上式分别带入安培环路定理，可以解得系数b0，b1的值为[16]：b0=-μ0JiSCDEF/34Ra2θ123；b1=-μ0JiSCDEF/34Rb2θ123．2.2　各子域谐波系数求解对于定子槽载流子域边界CF来说，其边界条件表示为Bt1,iCF(θ)=Bt1,i(Rb,θ)=-∂A1,i(r,θ)∂rr=Rb，以θ2为周期，对上式进行傅里叶级数展开，可得Bt1,iCF(θ)=Bi,0CF+∑k=1∞Bi,kCFcos(l2kθ)，结合Dk,i1=Ck,i1Rc2l2k，由系数对应相等可求得定子槽载流子域谐波系数为Ck,i1=Bi,kCFRbl2k+1l2k(Rb2l2k-Rc2l2k)； Dk,i1=Bi,kCFRbl2k+1Rc2l2kl2k(Rb2l2k-Rc2l2k)，式中：    Bi,kCF(θ)=2b1θ2Rb2l22k23cos(l2kθ1)Ci(2/3,2l2kθ1)+sin(l2kθ1)Si(2/3,2l2kθ1)；  Ci(a,z)==za∑q=0∞(-1)qz2q(2q+a)(2q)!； Si(a,z)=za∑q=0∞(-1)qz2q+1(2q+a+1)(2q+1)!．同理可得定子槽开口子域谐波系数为： Pi2=-μ0Jiθ2(Rc2-Rb2)2θ1； Ck,i2=Ral1k+1Bi,kAH-Rbl1k+1Bi,kBGl1k(Ra2l1k-Rb2l1k)； Dk,i2=Ral1k+1Rb2l1kBi,kAH-Rbl1k+1Ra2l1kBi,kBGl1k(Ra2l1k-Rb2l1k)．由气隙和定子槽开口交界面处矢量磁位连续和磁场强度的切向分量相等可得边界条件为：∂A3,i(r,θ)∂rr=R2=∂A2,i(r,θ)∂rr=R2     (θi-θ1≤θ≤θi+θ1) ;0     (其他).由实心转子和气隙交界面处矢量磁位连续可得 A4,i(r,θ)|r=R1=A3,i(r,θ)|r=R1，实心转子和气隙交界面处磁场强度切向分量相等可得边界条件为 1μr∂A4,i(r,θ)∂rr=R1=1μ0∂A3,i(r,θ)∂rr=R1．对上述边界条件进行傅里叶分解，可以得到满足子域通解和各交界面边界条件的方程组．对谐波次数取满足精度要求的有限阶次，采用矩阵的方式进行求解，得到通解表达式中待求解的谐波系数，从而求得气隙子域和实心转子子域矢量磁位．此过程与常规子域法计算方法相同，在此不再赘述．3 参数计算3.1　转子阻抗求解根据全电流定律，由转子表面的磁场强度Hx可以得到折算至定子侧的转子电流表达式为 I2=πR12mN1Kdp1Hx，式中：m为电机相数；Kdp1为绕组系数．由坡印廷定理可得S·=Pr+jQr=-pτ∫0l2Ezr=R1Hx*r=R1dz，式中：l2为转子有效长度；Ezr=R1为转子表面电场强度z方向分量；Hx*r=R1为转子表面磁场强度x方向分量的共轭值．折算至定子侧的阻抗为Zr=Rrs+jXrσ=PrsmI22+jQrsmI22，式中：Rr为转子电阻；Xrσ为转子电抗；Pr为转子有功功率；Qr为转子无功功率．3.2　电磁转矩求解由磁场解析模型可求解气隙磁通密度分布，在定子电流和转差率的情况下，可根据麦克斯韦张量法求得FPSRIM的电磁转矩，将气隙中半径为r的圆作为积分路径，电磁转矩可以表示为Te=lefμ0∫02πr2Br3(r,θ)Bt3(r,θ)dθ，式中：lef为电机轴向有效长度；Br3(r,θ)为气隙磁密的径向分量；Bt3(r,θ)为气隙磁密的切向分量．4 有限元验证为验证理论分析的正确性，在ANSYS中建立电机有限元模型进行仿真分析，电机参数如下：额定功率为3.7 kW，相数为5，额定转速为4 500 r/min，相电流有效值为12 A，定子外径为210 mm，定子内径为116 mm，转子外径为115.2 mm，电机轴向长度为110 mm，定子槽数为30，绕组匝数为42，极对数为1，定子槽角度βs2为16π/360，定子槽开口角度βs1为6π/360．电机定子材料为DW465-50，磁化曲线的膝点约为1.8 T，其电阻率为44μΩ∙cm，密度为7.7 g/cm3；转子材料为45号钢，其剩磁为0.9245 T，矫顽力为529 A/m，电导率为3.7×106 S/m．图4为FPSRIM在不同转差率时磁力线分布情况，可知：实心转子内部磁力线的分布与电机转差率密切相关，这是由于实心转子磁路和电路合为一体，内部磁力线没有确定的路径，尤其是在大转差率运行状态下，集肤效应强烈，磁力线集中分布在转子表面，随着转差率减小，磁力线透入深度增加，接近同步转速时，磁力线分布与鼠笼转子感应电机相似．10.13245/j.hust.250541.F004图4FPSRIM磁力线分布(色标单位：Wb/m)图5和图6为FPSRIM在不同转差率运行下，气隙径向和切向磁通密度(Bn和Bt )分布对比．FPSRIM大转差率运行时，解析解与有限元解存在一定的误差，如图5(a)和图6(a)所示，当s=1(堵转)时，径向磁通密度误差为6.7%，切向磁通密度误差为5.9%，随着转差率的减小，解析解与有限元解整体趋势较为符合，如图5(d)和图6(d)所示，当s=0.03时，解析解与有限元解误差极小，径向磁通密度误差为0.74%，切向磁通密度误差为1.23%，考虑到FPSRIM多工作于小转差率状态，因此快速子域模型能够准确的求解其磁场分布．而大转差率运行时，计算误差的根本原因在于实心转子内电流和磁通透入深度有限，集中在转子表面，导致转子饱和效应、涡流效应和磁滞效应严重，从而对气隙磁场造成干扰．而实心转子感应电机在大转差率运行时磁场分布复杂，没有明显规律，并且极易受外界环境的影响，当前鲜有解析法能够准确描述其磁场分布，常采用有限元法对其大转差率工况进行分析．10.13245/j.hust.250541.F005图5不同转差率情况下FPSRIM气隙径向磁通密度分布10.13245/j.hust.250541.F006图6不同转差率情况下FPSRIM气隙切向磁通密度分布图7为FPSRIM转子阻抗随转差率变化情况，分析可知：在转差率0~1范围内，FPSRIM转子阻抗随转差率增大而减小，基于快速子域法和坡印廷定理的解析结果与有限元结果符合较好，误差在0.37%~3.49%之间，并且误差随转差率减小而减小，主要是因为转差率减小导致涡流变小，转子饱和程度降低，磁场分布和转子参数计算结果则更为精确．10.13245/j.hust.250541.F007图7不同转差率下FPSRIM转子阻抗参数计算结果图8为转差率0.03时FPSRIM电磁转矩计算结果，解析解为17.97 N∙m，有限元解为17.65 N∙m，误差为1.6%，满足电机设计初期参数计算的要求．图9为FPSRIM机械特性曲线，在小转差率范围内，有限元解和解析解符合较好，误差随着转差率增大而增大，转差率为1时(堵转状态)，误差达到7.84%；同时在转差率0~1范围内，FPSRIM未出现最大转矩点，符合实心转子电机机械特性软这一特点．10.13245/j.hust.250541.F008图8s=0.03时FPSRIM电磁转矩计算结果10.13245/j.hust.250541.F009图9FPSRIM机械特性曲线5 结语本研究将FPSRIM划分为定子槽载流子域、槽开口子域、气隙子域和实心转子子域，充分考虑槽开口的影响，并结合安培环路定理和静磁学原理对定子槽区域的边界条件进行等效．将该化简方法由恒定磁场推广到磁准静磁场，建立了用于FPSRIM磁场计算的快速子域模型，提高了磁场计算速度和准确度．基于快速子域模型，可以准确求解定子绕组为单层绕组时FPSRIM转子阻抗及电磁转矩等参数，满足电机优化设计初期快速计算电机参数的要求，具有较强的实用性．