滑模(sliding mode，SM)控制具有继电控制特性与强适应性，已成为一种有效的鲁棒非线性控制方法[1]．目前Buck变换器的实际应用中，以电压控制型居多[2]，其控制性能严重受制于电路的非线性．从Buck变换器结构角度，电路的非线性主要归因于所包含的电容、电感等非线性元器件，其个数决定不同拓扑结构下系统的阶数必然大于等于2．实际应用时，Buck变换器通常多以电压控制型居多[2]，即仅选择电容电压作为采样信号来实现反馈控制．但值得注意的是，变换器输出电能品质却由电容电压和电感电流共同决定，虽然电流呈现类似欠驱动系统的特性[3]，在基尔霍夫电路定理约束下，电流也最终会收敛到平衡值，但其收敛过程是不可控的．尽管系统仍可保证稳定，但却会影响系统的暂态和稳态性能．另一方面，针对电感电流，通常多选择该变量来构造数学模型，但其采样值受到内部参数摄动和外界干扰影响大，既不利于Buck变换器控制系统的鲁棒性，又不利于稳定性控制，严重制约其输出电能品质，因此作为一种替代方案，常以电容电流替代电感电流[4]．针对电压控制型Buck变换器，为提高其输出电能品质，传统的解决方法是采用电压-电流双闭环控制方法，但仍未解决采样电流信号对外界干扰敏感的问题[5]．作为替代方案，引入模型解耦技术成为一种必需，利用微分几何、奇异摄动和输出重定义等常用方法应用于变换器，继而将其稳定性控制问题转化为变换器非线性系统的线性化、解耦、零动态系统与反馈镇定问题上．例如文献[6]基于微分几何理论，采用状态反馈精确线性化方法推导出Buck变换器的仿射非线性模型，利用二次型最优控制对状态反馈系数进行优化设计．文献[7]研究传感器未建模动态对Buck变换器SM控制系统的性能影响，选取传感器的上升时间作为摄动时间，建立其未建模动态的奇异摄动模型，在多时间尺度框架下，揭示传感器稳定输出与摄动时间的影响关系．文献[8]针对弱电网短路故障下新能源并网变换器，建立并网变换器接入弱电网的奇异摄动模型，将原高阶模型降阶简化为二个低阶的快、慢子系统，并分别采用李雅普诺夫第一法和第二法分析了快、慢子系统的稳定性．文献[9]针对模块化多电平变换器，利用输出重定义的反馈线性化理论，将其转化为线性模型，实现解耦控制．然而，目前SM控制方法在Buck变换器的应用多以一阶滑模为主，其中又以常规线性滑模[10]和终端滑模[11]应用居多，使得控制性能受制于实际开关管、系统运算性能等因素，依然无法满足开关电源日益提高的动态响应和控制精度要求．针对电压控制型Buck变换器，本研究基于输出重定义方法[9]，提出一种基于模型解耦的SM控制方法．不同于文献[6-9]先模型解耦再设计控制器的常规做法，这里设计一种二层结构的滑模面，之后基于输出重定义方法，将系统模型解耦为输入输出子系统和零动态子系统，使得变换器输出电能品质的控制问题转化为输入输出子系统的稳定性控制，并分四种情况推导出控制器参数与系统稳定性的约束关系．可间接将电流纳入SM控制器作用下，直接避免电感电流采样的问题．最后通过仿真结果证明，所提方法可显著提高变换器的响应速度和稳态性能，实现简单，更具应用价值．1 系统描述图1为典型的电压控制型Buck变换器SM控制系统框图．针对Buck变换器，E为直流输入电压源，vc为输出电压，Sw为可控开关管，以MOSFET和IGBT应用居多，且多采用脉宽调制(pulse width modulation，PWM)方式控制其通断，这里用u=1表示开关管导通，u=0表示开关管关断；L，C和R分别为滤波电感、电容和负载电阻，iL和iC分别为流过电感和电容的电流．针对SMC控制器，Vref为输出电压给定值；s为滑模面；d为控制律．10.13245/j.hust.250086.F001图1Buck变换器SM控制系统框图1.1　变换器的数学模型假设Buck变换器工作在连续电流模式(continuous conduction mode，CCM)，利用基尔霍夫电路定理，则开关管Sw通断两种情况下的数学模型可表示为[1]：diLdt=1L(uE-vc);dvcdt=1CiL-vcR.(1)针对电压控制型Buck变换器，定义Vref为输出电压vc给定值，则电压偏差的各状态变量可表示为：x1=∫0t(vc-Vref)dt；x2=x˙1=vc-Vref；(2)x3=x˙2=v˙c．式(2)可变换为x˙1x˙2x˙3=0100010-ω02-1/(RC)x1x2x3+00ω02Eu+00-Vrefω02，(3)式中ω02=1/(LC)．定义矢量x=[x1，x2，x3]T，可进一步将式(3)变换为状态空间形式 x˙=Ax+Bu+D，(4)式中：A=0100010-ω02-1/(RC);B=00ω02E;D=00-Vrefω02．可见：系统状态的维数为3，而控制量u的维数为1，即呈现类似欠驱动特性[3]．1.2　传统SM控制器设计SM控制器的设计，通常包括滑模面和控制律两部分．步骤1 滑模面设计．由式(1)可知：输出电能品质受制于图1中的电容和电感的非线性，即由电容电压vc和电感电流iL共同决定[1,3]．在基尔霍夫电路定理约束下，传统电压控制型Buck变换器的滑模面s设计通常有两种形式．由式(2)电压偏差各状态变量的定义，一种直接选取电压偏差变量x2，即s=x2，另一种则设计为s=c1x2+x3，(5)式中：设计参数c10；x3=x˙2=v˙C=iC/C．尽管引入了电容电流iC，但是其值和受外界的变化率都较电感电流iL小很多[4]，同时在控制律作用下，若s收敛到0，则有x2=x3=0，即同时实现了变换器电压偏差及其变化率的控制，相比于第一种s=x2形式，滑模面更有利于系统性能提升．步骤2 控制律设计．由图1，SM控制器的输入为滑模变量s，输出为控制信号u，即为PWM下的占空比，进而可通过控制可控开关管Sw的通断来实现变换器输出电压vc的调节．这里根据SM等效控制原理[1，10-11]，将控制u设计为等效控制ueq1和切换控制un1两项，u=ueq1+un1，(6)式中等效控制项ueq1的作用是维持系统在滑模s=0，由式(5)s˙=0可推出ueq1=1ω02E1RC-c1x3+ω02x2+ω02Vref，(7)且文献[1，10-11]已证明SM控制作用下的变换器等效控制项ueq1与占空比等价．切换控制项un1的作用是驱动系统趋向滑模s=0运动，且有效抑制外界扰动对占空比的影响，须满足滑模到达条件ss˙0[1,10-11]．联合式(5)~(7)，设计为un1=-η1sgn(s)s，(8)式中η10为控制增益．综合步骤1和2可知：式(5)~(8)构成的传统SM控制器可保证系统的稳定性，且相比于PI等线性PWM调制方法，增加了控制系统的鲁棒性，但依然无法改变传统电压控制型变换器动静态性能不佳的问题．2 基于模型解耦的SM控制为改善传统SM控制方法对Buck变换器输出电能品质的影响，设计一个二层滑模面，并以此变量为基础引入输出重定义方法[9]，将系统分解为输入输出子系统和零动态子系统，使得变换器输出电能品质的控制问题转化为输入输出子系统的稳定性控制．2.1　改进的二层滑模面设计不同于式(5)以电压偏差x2及其导数x3为变量设计滑模面，由式(2)，二层结构的滑模面设计为s=c2x1+x2;s¯=c¯s¯1+s¯2,(9)式中：s¯1=s；s¯2=s˙；设计参数c20，c¯0．由式(9)可见：式(2)定义的状态变量x3尽管没有直接出现在所设计的两层滑模面s和s¯中，但由于s¯2=s˙=c2x2+x3，实质上却隐含着对x3的控制．由图1和式(5)可知：改进方法依然采用电容电流iC，即用x3=iC/C来替代电感电流iL，进而避免引入电感电流iL直接设计控制器．此外，对比式(5)和(9)可知，电压偏差积分x1增加到滑模面设计中．若s和s¯同时收敛到零，则有x1=x2=x3=0，说明改进的二层滑模(9)同时还具有消除静差作用，这对改善Buck变换器的动静态性能具有积极作用．2.2　基于模型解耦的控制器设计为便于控制律设计，由式(9)重新定义系统输出y=[x1，s¯1，s¯2]T，使得y=Px，(10)即有y=x1s¯1s¯2=x1c2x1+x2c2x2+x3=100c2100c21x1x2x3，(11)继而可推导出状态变换矩阵P∈R3为P=100c2100c21．(12)结合式(10)与(4)，可推导出输入输出子系统为y˙=A¯y+Bu+D，(13)式中A¯=PAP-1，A¯=-c210001c2ω02+c23-c22RC-ω02-c22+c2RCc2-1RC ．(14)针对输入输出子系统(13)，根据SM等效控制原理，将控制u设计为式(6)形式，即包括等效控制ueq2和切换控制un2两项．类似地，ueq2的作用是维持系统在二层滑模s¯=0，由式(9)s¯˙=0，可推出    s¯˙=c¯s˙+s¨=c¯(c2x2+x3)+(c2x3+x˙3)=c¯(c2x2+x3)+(c2x3-ω02x2-x3/(RC)+ω02Eueq2-Vrefω02),(15)进而可得到等效控制项ueq2为ueq2=1ω02E(ω02-c¯c2)x2+1RC-c2-c¯x3+Vrefω02．(16)un2的作用是驱动系统趋向滑模s¯=0运动，且有效抑制扰动，须满足滑模到达条件s¯s¯˙0．类似式(8)，un2可设计为un2=-η2sgn(s¯)，(17)式中η20为控制增益.由式(12)可知状态变换矩阵P是非奇异的．根据零动态定义[9]，将式(6)、(16)和(17)的控制律代入式(13)，可得到零动态子系统为y˙=A¯cy-Bcsgn(s¯)，(18)式中常数矩阵A¯c和Bc分别为A¯c=-c21000100-c¯,Bc=00η2．进而使得零动态子系统等价变换为：x˙1=-c2x1;s¯˙1=s¯2;s¯˙2=-c¯s¯2-η2sgn(s¯).(19)由式(5)和(9)，设计参数c20和c¯0可保证系统状态x1和s¯2的收敛性，之后s¯1也会渐近收敛到零，即有x1=s¯1=s¯2=0，换言之，式(11)重新定义系统也最终收敛到零．特别注意，式(18)零动态子系统的稳定性与式(13)输入输出子系统一样仅依赖所设计的SM控制器设计参数c2和c¯，并不像常规重定义方法分解后的零动态子系统，其稳定性除了取决于控制器外，还须额外辅助以极点配置或状态反馈等方法，后者的表面原因是重定义的变量不同，而实质却归因于“先模型变换再设计控制器”的两步做法．本文方法选取式(9)滑模变量为重定义输出，两步合并一步，系统设计更直接高效．2.3　系统稳定性分析根据滑模到达条件s¯s¯˙0，详细给出式(6)、(16)和(17)改进SM控制器作用下的系统的稳定性分析．由式(9)，将滑模变量s¯变换为重定义系统(10)形式下，即有s¯=c¯y2+y3，(20)可见，滑模变量s¯与系统状态y1无关，s¯=0代表一条直线，斜率用m1表示为m1=-c¯0，(21)因此在y2y3平面内对系统进行稳定性分析．联合式(3)，对s¯求一阶导数，则有  s¯˙=c2ω02+c23-c22RCy1+-ω02-c22+c2RCy2+c¯+c2-1RCy3+ω02Eu-Vrefω02.(22)令y1=0，根据开关管导通(u=1)和关断(u=0)两种情况，在滑模到达条件s¯s¯˙0的约束下，其稳定性分为两种情况讨论．a．当s¯≤0时，须满足s¯˙0，u=1，即由式(22)有     l1:-ω02-c22+c2RCy2+c¯+c2-1RCy3+ω02E-Vrefω020．(23)b．当s¯0时，须满足s¯˙0，u=0，由式(22)，类似可推导出     l2:-ω02-c22+c2RCy2+c¯+c2-1RCy3-Vrefω020．(24)可见：在y2y3平面内，l1和l2代表两条斜率相同的直线，对应的斜率m2可表示为m2=RCc22-c2+RCω02RC(c¯+c2)-1．(25)为表述方便，令mn=RCc22-c2+RCω02，md=RC∙(c¯+c2)-1．为进一步分析SM控制下的Buck变换器稳定性条件(23)和(24)，采用图示法转化为直线s¯=0与直线l1，l2的相交情况进行判断．联合式(20)、(23)和(24)，算出s¯=0与l1，l2交点P1和P2分别为：P1=-(Vref-E)RCω02mn+c¯md,(Vref-E)RCω02c¯mn+c¯md;P2=-VrefRCω02mn+c¯md,VrefRCω02c¯mn+c¯md.(26)直线l1和l2斜率m2的分子mn和分母md都是关于式(9)SM控制器参数c2和c¯的函数．因为无法确定斜率m2的正负情况，所以有必要根据分子和分母的不同而分为四种情况讨论：mn0，md0，m20；mn0，md0，m20；mn0，md0，m20；mn0，md0，m20．假设vc的初始值为0，电感和电容均无储能，则系统在y2y3平面的初始点P0=(-Vref，-c2Vref)将存在于坐标轴第三象限．相应地，直线s¯=0与直线l1和l2相交而成的稳定区域如图2所示，其中区域1表示为{s¯0，l10}，区域2表示为{s¯0，l20}．下面根据图2所示的四种情况分别讨论其稳定性．10.13245/j.hust.250086.F002图2SM控制下的Buck变换器稳定工作区域当mn0，md0时，m20，此时对应的稳定区域如图2(a)所示．在此种情况下，根据滑模到达条件，滑模运动只会发生在滑模面s¯=0附近的稳定区域中，因此为保证系统稳定，系统的状态轨迹应满足两个条件：状态轨迹初始点P0应存在于稳定区域之中；系统状态轨迹穿过滑模面后的区域仍为稳定区域．针对第一个条件，为使P0在稳定区域内，其纵坐标应位于直线l1的上方，即有-c2Vref-mnmdVref+(Vref-E)RCω02md．(27)针对第二个条件，若状态轨迹与滑模面的交点在点P1和P2之外，则状态轨迹穿过滑模面后将进入不稳定区域中，因此须将初始点P0限制在P2点的右侧以保证状态轨迹全程处于稳定区域里，即有-Vref-VrefRCω02mn+c¯md．(28)当mn0，md0时，m20，此时对应的稳定区域如图2(b)所示．可见坐标轴第三象限全部为稳定区域；而当系统状态轨迹穿过滑模面后将继续存在于稳定区域之中，仍可保证系统的稳定性．当mn0，md0时，m20，此时对应的稳定区域如图2(c)所示．类似地，为使P0在稳定区域内，其纵坐标应位于直线l1的下方，即有-c2Vref-mnmdVref+(Vref-E)RCω02md．(29)在这情况下，状态轨迹穿越滑模面后将继续留在稳定区域中，仍可保证系统的稳定性．当mn0，md0时，m20，此时对应的稳定区域如图2(d)所示．这种情况与图2(a)类似，须同时满足P0纵坐标在直线l1上方，且横坐标在点P2右侧，经过推导后得到SM控制器参数c2和c¯须满足条件与式(27)和(28)相同．根据以上四种情况的分析，由mn和md的不同符号及式(27)~(29)，可得到如下约束条件：md0:c2mnmd+(EVref-1)RCω02md,c¯-mnmd+RCω02md; (30)mn0,md0:c2mnmd+(EVref-1)RCω02md ．(31)进一步，将式(25)中mn和md的表达式带入式(30)~(31)并进行化简，进而最终可推导出式(9)SM控制器参数c2和c¯的约束条件为：md0:c2ELCVrefc¯,RCc¯2+RCc2-1c¯+RCc22-c20; (32)mn0,md0:c2ELCVrefc¯．(33)3 仿真分析针对图1电压控制型Buck变换器，为验证所提基于模型解耦的SM控制方法的正确性和有效性，与传统的SM控制方法进行仿真对比．Buck电路参数：输入直流电压E=18 V，输出电压参考值Vref=9 V，电感L=1 mH，电容C=1 mF，负载电阻R=10 Ω．为便于表述，将式(5)~(8)作用下的传统SM控制器用SM-1表示，将改进具有二层滑模面结构的新型控制器用SM-2表示．针对式(5)~(8)SM-1控制器，设计参数c1=5，η1=0.5；式(9)改进的二层滑模面设计中，选取第一层滑模参数c2与SM-1的滑模参数c1相同，即c2=c1=5，以更好进行性能对比；第二层滑模参数c¯=50；式(17)控制增益η2=0.5．SM-1与SM-2的仿真对比结果如图3所示，图3(a)中SM-1和SM-2皆能保证滑模变量s的收敛性．SM-1方法只有一层滑模面，收敛速度快，且存在超调量，只能实现变换器电压偏差x2及其变化率x3的控制；而SM-2方法却有两层结构，对于第二层滑模变量s¯，图3(a)一并给出其在s-s˙的相平面的收敛过程，即s=s˙=0，之后可最终实现x1=x2=x3=0．由于将电压偏差积分x1增加到滑模面设计中，增加了消除静差的作用，从理论上证明了SM-2方法的优越性．图3(b)为控制律u的仿真结果，近似等价于变换器的占空比，在0与1之间连续变化；图3(c)和(d)为vc和iL的仿真结果，SM-1下的稳态误差分别约为0.7 V和15.2 mA，SM-2下的稳态误差分别为0.045 V和13.6 mA，与图3(a)结果一致，即SM-2可显著提高变换器的稳态性能，且响应速度更快．10.13245/j.hust.250086.F003图3SM-1与SM-2的仿真性能对比为进一步验证SM-2控制器参数c2和c¯对输出电能品质的影响，根据式(32)和(33)推导的参数整定约束条件，分别选取3组6种情况进行仿真性能对比．不同控制器参数对变换器性能影响如表1所示．10.13245/j.hust.250086.T001表1不同控制器参数对变换器性能影响c2c¯标签电压稳态误差/mV电流稳态误差/mA55A13.6015.3525A20.5015.03255B10.4014.9625B20.1015.01755C10.0314.9725C20.0815.00由表1可知：式(32)和(33)推导出稳定性约束条件下，可有c2和c¯不同组合情况，即控制器参数取值并不唯一，均可保证SM-2控制下的Buck变换器控制系统的稳定性；且也并不意味着两者取值越大，输出电压vc和电感电流iL的控制性能越好，应根据实际系统具体的性能指标进行选取即可．4 结语针对电压控制型Buck变换器，提出一种基于模型解耦的SM控制方法，以改善传统控制方法因变换器电路非线性而控制性能不佳的问题．以变换器电压作为控制量，构造二层结构滑模面，可间接将电流纳入SM控制器作用下，再将系统模型解耦为输入输出子系统和零动态子系统，使得变换器输出电能品质的控制问题转化为输入输出子系统的稳定性控制，并分四种情况推导出控制器参数与系统稳定性的约束关系．仿真结果证明：所提方法可显著提高变换器的响应速度和稳态性能，且更具应用价值．