齿轮是众多装备的关键基础零件，其加工工艺水平对提升各行业的装备性能具有重要意义．强力车齿属于一种新兴的齿轮加工方法，具有高效率、高精度、绿色干切等显著优势，正成为工业机器人谐波/RV减速器、汽车减速器上复杂精密齿轮加工的首选工艺[1-2]．然而，在车齿加工中刀具径向进给量分配不合理会导致切削条件恶劣，从而降低刀具使用寿命和影响齿面加工质量．车齿加工是基于相交轴双自由度线面共轭原理，其切削成形过程很难通过实验直接观察分析，数值模拟和仿真是分析车齿加工的主要手段．Schulze等[3]用有限元软件开发了车齿加工的3D仿真模型，分析了模拟的变形切屑形状、切削力和温度，并对仿真模型进行了初步的实验验证；而Klocke等[4]用自主开发的SPARTApro滚齿软件模拟了车齿加工的切屑厚度、切削速度和刀具工作前角；Bergs等[5]采用上述软件验证了未变形切屑与切削力模型，Janben等[6]通过车齿实验证明SPARTApro软件的可靠性．在前期研究车齿成形过程中，未变形的切屑几何形状是计算切削力和分析刀具磨损的主要依据．如Tapoglou[7]提出了一种能够预测车齿过程中未变形切屑的形状的仿真分析模型；Mccloskey等[8]通过计算沿离散刀刃边缘的切削速度来确定有效前角和刃倾角，提出了一种预测切屑形态和切削力变化的模型；Onozuka等[9]建立了一种考虑车齿切削过程中工作前角变化对切削力影响的解析模型；Fang等[10]提出了一种用轮廓曲线隐式构造未变形切屑的方法，可较好地呈现切屑的合并、出现和分离过程；Marinakis等[11]开发了一种车齿加工仿真软件，能够基于三维未变形切屑分析车齿切削力；Guo等[12]提出了一种多刃协同切削的锥形车齿刀具，基于三维软件布尔运算，提取未变形切屑，计算出切削力；刘鸿梁等[13]和陈永鹏等[14]采用数值分析方法计算了车齿加工中切屑的法向厚度，随后又分析了刀具前角和螺旋角对切削刃载荷的影响，仿真结果表明较小的进给量和较大的刀具螺旋角获得的切屑厚度更均匀．从目前的研究来看，尽管前人已在车齿未变形切屑和切削力数值计算方法上取得一定的进展，但仍缺乏对刀具径向进给策略与切屑厚度、切削刃载荷之间关联规律的认识，导致在制定车齿进给工艺时缺乏理论指导，难以发挥车齿加工效能．本研究通过建立等间距、等差递减、反比例递减三种径向进给策略的车齿加工展成包络模型，提出基于未变形切屑几何特征的切削力计算方法，通过分析未变形切屑几何特征与切削刃有效接触区域，得到车齿加工中三种径向进给策略与切屑厚度和切削力的影响规律．1 车齿加工基本原理1.1　车齿加工几何学关系图1为采用车齿加工内齿轮的数学模型，其中Ss1(Os1-xs1，ys1，zs1)和Ss2(Os2-xs2，ys2，zs2)分别为两个固定的坐标系，S1(O1-x1，y1，z1)和S2(O2-x2，y2，z2)分别为与齿轮和刀具固连的坐标系．在下文中，下标“1”均代表关于齿轮的坐标系或参数，下标“2”均代表关于刀具的坐标系或参数．zs1轴和zs2轴分别与齿轮和刀具的回转轴重合，其夹角为刀具安装角Σ；xs1和xs2轴相重合，其方向为齿轮和刀具回转轴线的最短距离方向，最短距离为Os1Os2，其值为齿轮与刀具之间的安装中心距a．齿轮以匀角速度ω1绕轴zs1旋转，且绕zs1轴转角为φ1；刀具以匀角速度ω2绕轴zs2旋转，并以速度v1沿zs1轴匀速移动，刀具绕zs2轴转角为φ2．10.13245/j.hust.250608.F001图1车齿加工内齿轮示意图当车齿加工斜齿轮时，刀具沿着齿轮轴向进给，齿轮须要通过附加转速来满足正确的啮合关系，则刀具角速度与齿轮角速度的关系式为ω1=Z2Z1ω2-2v1sinβ1mnZ1，(1)式中：Z2为刀具齿数；Z1为齿轮齿数；v1为刀具进给速度；β1为齿轮螺旋角；mn为齿轮法向模数．刀具安装轴交角Σ和安装中心距a的计算公式为Σ=β1±β2;a=r1±r2, (2)式中：β2为刀具的螺旋角；r1和r2分别为齿轮和刀具的节圆半径；“+”表示外齿轮；“-”表示内齿轮．1.2　求解车齿刀具刃形根据齿轮几何学原理[15]和文献[16]中车齿刀具设计方法，交错轴渐开线螺旋齿轮的两个齿面Π1和Π2在其瞬时接触点处的公法线通过两齿轮工作节圆柱的切触点．图2所示为在交错轴条件下与内齿轮共轭的桶形曲面．假设内齿轮的节圆为r1保持不变，而与内齿轮共轭的刀具应在其节圆处存在一个空间上相切的瞬心点，则该瞬心点始终位于啮合节圆半径为r1的圆柱体上．由此可知，与内齿轮相共轭的桶形曲面的节点轨迹为一条空间曲线l．令l上任一点坐标为Q(xQ，yQ，zQ)，齿轮的齿面坐标点为M(xM，yM，zM)，M点的法线矢量分量为nM(nxM，nyM，nzM)，则当M点旋转运动至其法线矢量nM与矢量QM相平行时，两者满足啮合条件，即xQ-xMnxM=yQ-yMnyM=zQ-zMnzM．(3)由式(3)可以推导出啮合方程组：f1(u,θ,φ1,φ2)=(xQ-xM)nyM-(yQ-yM)nxM;f2(u,θ,φ1,φ2)=(yQ-yM)nxM-(zQ-zM)nzM . (4)10.13245/j.hust.250608.F002图2与内齿轮共轭的桶形曲面对于齿轮齿面rw(u，θ)而言，其齿形参数u已知，且车齿加工中刀具与齿轮满足运动关系φ2=i21φ1，因此，通过方程(4)可以求解出满足啮合条件的一对参数(θ，φ2)．将参数(u，θ，φ1，φ2)由齿轮坐标系转换到刀具坐标系，得到与该齿面rw(u，θ)相共轭的刀具曲面，即图2中的桶形共轭曲面rt，rt=Mt-S2MS1-S2-1MS1-wrw(u,θ), (5)式中：MS1-1=Rot(k,φ1)；MS1-S2=Rot(i,Σ)∙Tran(i,a)；M2-S2=Rot(k,φ2)；其中Rot和Tran分别指旋转矩阵和平移矩阵．最后，通过构建刀具结构前角为γ的前刀面方程Ae(γ)，则前刀面Ae(γ)与刀具共轭曲面rt的交线即为刀具前刀面刃形re．2 未变形切屑计算方法在实际车齿加工过程中，受限于机床功率、刀具强度与全齿高切深的限制，刀具往往须要在全齿高切深方向分多次径向进给才能切出完整的齿形．车齿进给工艺又分为粗加工和精加工．粗加工主要用于齿槽开坯，其进给次数取决于机床功率、最大切屑厚度等；而精加工是切削出正确的齿形，为了获得较好的车齿加工齿面形貌，精加工的切深占比应尽量小，一般选取全齿高切深的1%～6%．为了准确获得刀具在不同切深下的切削刃扫掠轨迹和未变形切屑几何特征，须要根据车齿加工运动学关系，建立切削刃扫掠曲面方程F(φ2)=M2-S2MS1-S2-1MS1-1re，(6)式中：φ2为车齿刀具的转角；M2-S2=Rot(k,φ2)；MS1-S2=Rot(i,Σ)Tran(i,a')．其中，刀具坐标系到齿轮坐标系的变换矩阵MS1-S2中每次进刀的中心距为a'=a-Ap(1-wp(i))，a为刀具安装中心距，Ap为内齿轮的全齿高切深，wp(i)为第i次径向进给切深用量占全齿高切深的比例．本研究选用的待加工内齿轮的基本参数：齿数Z1=97齿，模数mn=1.587 5 mm，压力角αn=20°，螺旋角β1=23.5°(右旋)．车齿刀具的基本参数：齿数Z2=27，螺旋角β2=0°，前角γ=5°，后角α0=8°，刀具外径D2=63.27 mm．切削参数：刀具安装轴交角为Σ=23.5°，齿轮转速n1=500 r/min，轴向进给速度f =0.3 mm/r，全齿高切深Ap=3.572 mm．该内齿轮的车齿加工共分4次径向进给，前3次为粗加工，第4次为精加工，其精加工的切深占比选取为全齿高切深Ap的5%(即0.179 mm)．分别采用等间距、等差递减、反比例递减进给策略来分配径向进给的切深用量，则每次进给切深占全齿高切深的比例见表1．10.13245/j.hust.250608.T001表1不同进给策略的全齿高切深占比进给策略进给1进给2进给3进给4等间距31.6731.6731.675.00等差数列45.0031.6718.335.00减函数51.8225.9117.275.00%由式(6)计算出每次进给切深的切削刃扫掠曲面，并将其转换到工件端面上，建立如图3所示在不同进给策略下的切削刃轨迹包络模型．其中，等间距、等差递减、反比例递减进给策略的切削用量的计算公式Ap(i)a，Ap(i)b，Ap(i)c分别为Ap(i)a=Ap(1-wp(n))i∑i=1n-11i-1;Ap(i)b=Ap(wp(1)+(i-1)d);Ap(i)c=Ap(1-wp(n))/(n-1), (7)式中：wp(n)为精加工切深用量占全齿高切深的比例；n为总的径向进给次数；wp(1)为粗加工第1次进给切深用量占全齿高切深的比例；d为等差递减进给策略中的公差．其中粗加工第1次进给切深占比wp(1)与公差d可由方程组：f1=nwp(1)+n(n-1)d/2-(1-wp(n));f2=wp(1)+(n-1)d,求解得到．事实上，车齿切削成形具有切削角度时变、多刃断续展成、热力耦合对切屑影响大的特殊性，很难通过实验直接观察分析切屑的变形过程．本研究提出了一种采用离散网格化的齿坯布尔运算求解未变形切屑的数值计算方法．由该方法得到的未变形切屑是一个三维的几何实体，并具有厚度特征，因此既能用来分析切屑的几何形状变化，又能对切屑实体分层处理以计算切屑厚度和切削力．如图4所示，未变形切屑的具体计算过程如下：首先，求解出刀具每次径向进给与轴向进给的扫掠轨迹曲面，由刀具相邻轴向进给扫掠轨迹曲面与离散网格化的工件齿坯进行布尔运算，得到未变形切屑几何特征(见图4(a))；其次，对切屑进行分层处理(见图4(b))，并辨识出刀具切削刃与切屑的有效接触区域；最后，将切削刃与切屑的接触面积划分微元(见图4(c))，采用微元等效叠加思路计算出刀齿在每一瞬时的切削力如图4(d)所示．图中：Nindex为切屑的分层编号；F为每层切屑的切削力．该方法可用于分析切屑几何特征与切削刃载荷、刀具磨损之间的关联规律．10.13245/j.hust.250608.F003图33种径向进给策略的切深占比示意图10.13245/j.hust.250608.F004图4基于未变形切屑的切削载荷计算方法3 刀刃-切屑接触区域根据图4中未变形切屑的计算方法，由表1中的参数，计算得到等间距、等差递减、反比例递减这3种进给策略在4次进给中的未变形切屑几何特征，如图5所示．将前刀面切削刃展成轨迹等分成60层扫掠面，用于分析未变形切屑几何特征与每层切削刃的接触情况，初始层数与终止层数表示刀具切削刃切入和切出时所在的层数．在第1次进给过程中，对比等间距、等差递减和反比例递减这3种进给策略的接触区域，都是从第7层切入刃靠近齿顶部分开始参与切削，但3种进给策略的切削终止层从44增大到51，这表明单次径向进给量越大，则刀具与切屑的接触区域越长．在第2次进给过程中，由于3种进给策略的切削深度占比分别为31.67%，31.67%，25.91%，因此仅从未变形切屑的几何形态来看，前两种进给策略的未变形切屑差异较小，而反比例递减进给策略的未变形切屑在长度方向略小于前两者．在第3次进给过程中，由于等间距进给策略的切削深度占比最大，因此切削刃参与切削的频率更高，而反比例递减进给策略的切削深度占比最小，与切屑的接触区域也最少，即进给量越低，两侧刃与切屑的接触区域越少．由此可见在第1次进给过程中，降低进给量可以显著减少两侧刃与切屑的接触，而在后续进给过程中，降低进给量对减少右侧刃与切屑的接触区域更加显著．此外，在第4次进给过程中，精加工切削深度占比均为5%，得到的未变形切屑几何特征相同．10.13245/j.hust.250608.F005图53种进给策略下的切屑几何特征为了定量分析未变形切屑几何特征对切削刃的接触关系，本研究又提出了一种采用离散点微元求交集的刀具-工件有效接触区域辨识方法．将刀具切削刃与切屑离散成若干微元，对刀具刃形与切屑的点云进行分层处理，求取每层切屑离散点至刀刃离散点间的距离，将距离每层刀刃面最近的切屑点按照展成运动关系转换到刀刃面上，获得刀具切削刃与切屑的实际接触区域．由于第3次进给过程中切屑几何特征差异明显，而且刀具切削刃参与切削比例较高，因此是影响刀具磨损的关键进给工序．如图6所示，主要分析了3种进给策略的第3次进给中刀具与切屑的接触情况，图6上侧区域为未变形切屑点云与切削刃扫掠轨迹，图6下侧区域为切削刃在第3次进给过程中与切屑的接触范围．相比于等差递减与反比例递减的进给策略，等间距进给策略在第3次进给过程中的进给切深占比最大，刀具的顶刃和两侧刃区域与切屑接触也最多．而随着等差递减与反比例递减进给策略的进给切深占比减小，顶刃和切出侧刀刃区域与切屑的接触也减少，降低刀-屑接触区域则有利于减小刀具顶刃的过度参与切削．因此，在车齿粗加工进给过程中，合理分配每次进给切深占比可能更有利于改善刀具切削条件．10.13245/j.hust.250608.F006图6第3次进给下的刀刃-切屑接触区域4 切屑厚度与切削力车齿切削过程中的刀具切削载荷能间接反映出刀具磨损情况．根据基于求解未变形切屑的切削力计算方法，将切屑沿扫掠方向进行二维切片处理，由微段等效切削刃的切削力矢量叠加，得到刀具切削刃的载荷变化曲线．Kienzle-Victor切削力计算方法已在车齿加工中得到应用[17-18]，计算切削力与实际切削力在变化趋势上匹配性较好．本研究采用Kienzle-Victor切削力计算公式计算车齿刀具的轴向最大切削力[17]F=∑i=1n-1(dF(i));dF=Kh-μdA, (8)式中：dF为每个微元面上所受的切削力；K为被切削材料的单位切削力系数；μ为微元面厚度h对K的影响系数；dA为每个微元面的面积．本研究的齿轮材料为42CrMo，K=2 452 N/mm2，μ=0.26．图7和图8分别为3种进给策略在4次进给过程中的切屑厚度h与切削力F的变化曲线，其中在第4次进给过程中，因为3种进给策略的进给切深占比均为5%，得到的切屑厚度与切削力曲线相同．如表2和图7(a)所示，等间距进给策略的前3次进给过程中尽管进给切深占比相同，但产生的最大切屑厚度仍有微小差异，这表明最大切屑厚度不仅与切深占比有关，还与切削刃扫掠轨迹、刀-屑接触区域有关．如表2和图7(b)所示，等差递减进给策略的前2次进给过程中产生的切屑厚度相同，但第3次进给过程中的切屑厚度明显降低．如表2和图7(c)所示，反比例递减进给策略在第1次进给中产生了最大切屑厚度hmax为0.097 mm，但是在第2次和第3次进给过程中逐渐降低，这有利于改善刀具切削条件．10.13245/j.hust.250608.F007图7不同进给策略下的切屑厚度10.13245/j.hust.250608.F008图8不同进给策略下的轴向切削力10.13245/j.hust.250608.T002表2不同进给策略的最大切屑厚度与最大切削力对比进给策略切屑厚度/切削力进给1进给2进给3进给4等间距hmax/mm0.0830.0850.0760.035Fmax/kN0.6291.3171.8850.835等差递减hmax/mm0.0840.0840.0490.035Fmax/kN0.9201.5451.7330.835反比例递减hmax/mm0.0970.0610.0470.035Fmax/kN1.0671.6041.6840.835由图8中3种进给策略与切削力的关系曲线可知：当进给次数为4时，切削力最大值发生在第3次进给过程中．对于等间距进给策略(如图8(a)所示)，尽管前3次进给过程中每次进给切深占比相同，而且产生的切屑厚度差异并不显著(如图7(a)所示)，但每次进给产生的切削力在不断增大，这表明进给切深与切削力呈非线性关系．如图8(b)和图8(c)所示，对比等差递减和反比例递减两种进给策略，在前3次进给过程中的切削力差异并不显著，但反比例递减的切削力最大值(Fmax=1.684 kN)要略小于等差递减的切削力最大值(Fmax=1.733 kN)．当进给次数为4时，切削力最大值发生在第3次进给，相对于其他两种进给策略的第3次进给占比，反比例递减策略的切削力数值最小，对于改善刀具切削条件、提高刀具使用寿命更有利．由上述分析可知：当规划车齿进给工艺参数时，不仅要参考最大切屑厚度，还要考虑前一次进给切深、当前进给切深与切削力之间的关系．通常来说，应采用逐渐递减的策略分配粗加工的进给切深，而在切屑厚度小于允许值的情况下，应优选反比例递减的进给策略，其次为等差递减的进给策略．5 结论本研究通过建立等间距、等差递减、反比例递减3种径向进给策略的车齿加工展成包络模型，基于未变形切屑几何特征分析了车齿加工进给策略对切屑厚度和切削力的影响规律，得到主要结论如下．a．在车齿粗加工进给中，逐渐降低每次进给切深可能有利于改善刀具局部非均匀磨损．其中，在粗加工首次进给中，降低进给切深可以显著减少切出刃与切屑的接触区域，而在后续的粗加工进给中，降低进给切深能够减少切入刃与切屑的接触区域．b．衡量车齿工艺参数是否合理，须要根据切屑厚度和体积计算的车齿切削力来判断．虽然等间距进给策略在粗加工的每次进给过程中切屑厚度较均衡，但后续每次进给过程中刀具包络面积和切屑体积逐渐增大，使切削力也逐渐增大，对刀具切削不利；而反比例递减进给策略的切削力峰值较小，有利于改善刀具切削条件．c．切屑厚度、切削力与进给切深呈非线性关系．当规划车齿进给工艺参数时，要综合考虑最大切屑厚度和切削力，应采用逐渐递减的策略分配粗加工的进给切深．在切屑厚度小于允许值的情况下，优先选用反比例递减的进给策略，其次为等差递减的进给策略．